算法交易中部分信息的平均场对策

因此，利用ξξ、三角形不等式和Jensen不等式的有界性，存在一个常数C>0，使得▄q▄q▄t▄q▄q▄qt≤ Cq▄q▄q▄q▄q▄q+Ztggg▄1，uggg1，udu≤ Cq▄q▄q▄q▄q▄q+ZTggg▄1，uggg1，udu.现在，积分并取期望值EZT▄q▄q▄q▄t▄q▄q▄qtdt≤ 计算机断层扫描q▄q▄q▄q▄q▄q+ZTggg▄1，uggg1，udu.注意到▄q▄q▄qis有界且ERTGGGG▄1、tggg1、tdt，∞, 我们发现（B.18）EZT▄q▄q▄q▄t▄q▄q▄qtdt<∞ .现在使用这个结果，并将三角形不等式和Jensen不等式应用于￠ννν，EZT￠ννννν| t￠νννννtdt的表达式≤ （2aaa）-2.EZTggg | 1，tggg1，tdt+EZT（ggg2，t▄q▄q▄qt）|（ggg2，t▄q▄q▄qt）dt≤EZTggg | 1，tggg1，tdt+C EZT▄q▄q▄q▄t▄q▄q▄qtdt< ∞ ,其中，我们使用ggg2的有界性，tin第二条直线以获得C>0，从而获得所需的结果。带有算法交易部分信息的制造商29B。3、命题3.8的证明。证据为了证明命题陈述中的主张，我们必须证明所述形式的νjt解决了FBSDE（3.22）。首先，通过插入ansatz（B.19）νjt=￠νkt+2akhk2，tqj，νjt- qk，￠νkt在FBSDE中，我们得到了简化-2akd￠νkt- dhk2，tqj，νjt- qk，￠νkt-4akhk2，tqj，νjt- qk，￠νktdt公司=bAt+λλλλ|νИνИννt- 2φkqj，νjtdt公司- dMjt。从方程（3.11）插入FBSDE中的￠νkt，并选择Mjt=Mkt，我们可以取消项，得到方程（B.20）0=qj，νjt- qk，￠νktdhk2，t+4akhk2，t- 2φdt公司,几乎可以肯定的是，对于（qj，νjt）的所有值- ~qk，~νkt）。因此，解hk2，twich将使花括号内的项消失，也将解FBSDE（3.22）。

因此，将花括号内的项设置为零并插入适当的边界条件，我们得到ODE（B.21）-dhk2，t=4akhk2，t- 2φdthk2，T=-2ψk。这最后一个ODE是经过充分研究的Riccati类型，其解在定理陈述中给出。接下来，我们希望证明hk2，t≥ 首先，让我们注意到，由于t<t和γk≥ 0 thatsinh(-γk（T- t） （）≤ 0和cosh(-γk（T- t） （）≥ 1、自ξk，ψk≥ 然后我们得到（B.22）ψkcosh(-γk（T- t） （）- ξksinh(-γk（T- t） ）ξkcosh(-γk（T- t） （）- ψksinh(-γk（T- t） （）≥ 0，然后得到所需的结果。最后，我们希望证明νj∈ Aj。首先，请注意，νjit足以显示νj- νk∈ Aj，自￠νkt起∈ Aj。首先，让t=qj，νjt- ~qk，~νkt。从命题的陈述中，我们得到（B.23）dt=hk2，t2 aktdt，带边界条件= Qj公司- mk.由于HK2，t2是确定性的，边界条件是Fj适应的，很明显tis Fj已改编。我们可以直接求解SDE，得到溶液（B.24）t型=Qj公司- mk公司eRthk2，u2 akdu。由于qj是有界方差，h2是有界函数，很明显 ∈ HT。因此 ∈ Aj。现在因为νjt- νkt=hk2，t2 akt、 h2是一个有界的确定性函数，我们发现νj- νk∈ Aj。B、 4。定理3.9的证明。我们首先介绍下面的引理，它将用于定理3.9的证明。引理B.1。设νjt为命题3.7中为agent j insub种群k定义的ansatz平均场最优控制。然后（B.25）qj，νjt- qk，￠νkt=Qj公司- mk公司e2akRthk2，udu，其中Qkis是j库存的初始值，mk=EQj，hk2是命题3.8中定义的函数，满足性质h2，t<0.30 CASGRAIN，P.和JAIMUNGAL，s.Proof。根据命题3.8，我们得到了（B.26）νjt=￠νkt+fktqj，νjt- qk，￠νkt,其中，我们让fkt=hk2，t2ak。

使用上述方程式并注意到t型qj，νjt- qk，￠νkt= νjt- ~νkt，我们知道了（B.27）t型qj，νjt- qk，￠νkt= fkt公司qj，νjt- qk，￠νkt.用初始条件qk=Qkandqk=mk求解上述ODE会得到所需的结果。现在我们继续证明定理3.9。证据为了证明该定理的第一个结果，我们研究了差异νkt- νkt，其中（B.28）νkt=limN→∞N（N）kXj∈K（N）Kνjt。利用命题3.8中νjt的ansatz，我们得到（B.29）νjt- νkt=hk2，t2akqj，νjt- qk，￠νkt.使用引理B.1的结果，这变成（B.30）νjt- νkt=Qj公司- mk公司fkt，其中fkt=hk2，t2ake2akRthk2，udui是一个有界的连续函数。取所有j的平均值∈ 以极限为例，我们看到（B.31）limN→∞N（N）kXj∈K（N）Kνjt- νkt=fktlimN→∞N（N）kXj∈K（N）KQj公司- mk公司.自集合{Qj}j以来∈K（N）kis是一组等式为mk且有界方差的独立随机变量，我们可以应用大数定律，使得（B.31）中的右极限几乎肯定地消失，而在L中。因此，计算左极限，我们得到（B.32）νkt- νkt=0，几乎可以肯定所有t∈ [0，T]。这意味着对于所有的t∈ [0，T]。由于￠ννννt=νννt，我们发现￠νt=νt=limN→∞NPNj=1νj，*t、 由于建议的νj形式，*talso求解FBSDE（3.11），~νt=νtalmost solute和νj，*∈ Aj，我们发现νj，*塔尔索解决了最优性FBSDEfrom定理（3.5）。因此，应用定理（3.5），集合{νj，*}∞j=1是最佳且令人满意的（B.33）νj，*= arg supν∈AjHj（ν），对于所有j.附录C.第4节的证明--纳什财产。C、 1。定理4.2的证明。我们通过引入两个引理开始定理4.2的证明。第一个是引理，它提供了一个封闭形式的表达式，表示代理的平均场最优控制及其自身子种群的平均场库存的差异。

第二个是关于平均场游戏目标Hj和最终玩家游戏目标Hj之间距离的引理。带有算法交易部分信息的制造商31Lemma C.1。让νj，*是子种群k中agent j的平均场最优控制。然后（C.1）qj，νj，*t型- \'\'qkt=Qj公司- mk公司e2akRth2，udu，其中Qkis是j库存的初始值，mk=EQj，h2是命题3.8中定义的函数，满足h2，t<0。证据结果是使用引理B.1和定理3.9得到的。引理C.2。Letν∈ Ajbe-一些任意容许控制与ν*,-j∈ A.-jbe集合ν-j*:=ν1,*, . . . , νj-1.*, νj+1，*, . . . , νN，*除j以外的所有代理的平均场最优控制。然后（C.2）Hj（ν，ν-j*) - Hj（ν）= o（δN）+o（N）。证据我们将通过证明（C.3）的等效声明来证明该声明成立Hj（ν，ν-j*) - Hj（ν）= o（δN）+o（N）。使用Hj（3.8）和Hj（2.12）的表示，我们发现其差值的平方等于（C.4）Hj（ν，ν-j*) - Hj（ν）= λEZT（ν（N）t- νt）dt.因此，我们有必要证明方程右侧的量是o（N-2） +o（δN）。如果我们考虑方程（C.4）中出现的期望值，我们可以应用ν（N）的定义来分解itas（C.5）EZT（ν（N）t- νt）dt= E“ZTNνt- νj，*+NNXi=1νi，*- νtdt#，其中νj，*这是agent j的平均场最优控制。

利用左边的三角形不等式和Jensen不等式，我们发现（C.6）（C.4）≤λNEZT公司νt- νj，*t型dt公司+ λE“ZTNNXi=1ν*,我- νtdt#。ν、 νj∈ Aj公司 HTR意味着EhRTνt- νj，*t型dti<∞, so（C.7）λNEZT公司νt- νj，*t型dt公司= o（N-2) .此时，剩下的就是研究术语（C.8）E“ZTNNXi=1νi，*t型- νtdt#。使用符号p（N）k=N（N）kNandνk，（N）t=N（N）kPi∈K（N）Kνi，*t、 我们可以写ennxi=1νi，*t型- νt=KXk=1np（N）kνk，（N）t- pkνkto=KXk=1nνk，（N）tp（N）k- 主键+ 主键νk，（N）t- νkto、 32 CASGRAIN，P.和JAIMUNGAL，S.利用最后的结果和三角形不等式，我们得到了（C.9）的lhs（C.8）≤KXk=1（EZTνk，（N）tdtp（N）k- 主键+ pkE公司ZT公司νk，（N）t- νktdt公司).首先，插入结果引理C.1，取所有i的平均值∈ K（N）kto计算νK，（N）- νkwe getEZT公司νk，（N）t- νktdt公司=ZTeRth2，s2akdsdt！N（N）kXi∈K（N）kEhQj- mki（C.10）=0，（C.11），这意味着EhRTνk，（N）tdti=EhRTνktdti。将其应用于（C.9），并注意到νkt∈ HTwe get（C.12）（C.9）≤ CKXk=1p（N）k- 主键= o（δN）对于某些C>0。把这些放在一起，我们发现（C.13）Hj（ν，ν-j）- Hj（ν）= o（δN）+o（N-2） ，对于其他常数C>0。取两边的根，注意（C.14）qo（δN）+o（N-2） =o（δN）+o（N-1） 我们得到了最终结果。C、 2。定理4.2的证明。证据我们用引理C.1证明了定理的结果。首先，让我们注意到，通过定义上确界，（C.15）Hj（ω，ν-j*) ≤ supν∈AjHj（ν，ν-j*)保持所有ω∈ 因此，定理4.2中最左边的不等式成立。接下来，我们必须证明定理4.2中最右边的不等式也成立。首先让我们注意到引理C.1，对于任何ν∈ Aj，Hj（ν，ν-j*) ≤ Hj（ν）+o（δN）+o（N-1） （C.16）≤ Hj（νj，*) + o（δN）+o（N-1） ，（C.17），其中我们使用Hj（νj，*) = supν∈AjHj（ν）。

再次应用引理C.1，我们发现（C.18）Hj（ν，ν-j*) ≤ Hj（νj，ν-j*) + 2 o（δN）+2 o（N-1) .因为上述不等式适用于所有ν∈ Ajwe可以取左边的上确界，并将常数项乘以little-o项，以得到最终结果（C.19）supν∈AjHj（ν，ν-j*) ≤ Hj（νj，ν-j*) + o（δN）+o（N-1) .MFG WITH PARTIAL INFORMATION FOR ALGORITHMIC TRADING 33参考文献[1]R.Almgren和N.Chriss，《投资组合交易的最佳执行》，风险杂志，3（2001），第5-40页。[2] P.Bank、H.M.Soner和M.Voss，《具有临时价格影响的对冲》，数学和金融经济学，11（2017），第215–239页。[3] E.Bayraktar和A.Munk，《小型飞机坠毁、模型风险和最佳执行》（2017）。[4] B.Bouchard、M.Fukasawa、M.Herdegen和J.Muhle Karbe，《交易成本均衡回报》，预印本，（2017年）。[5] P.Cardaliaguet和C.-A.Lehalle，《控制的平均场游戏和贸易拥挤的应用》，arXiv预印本arXiv:1610.09904，（2016）。[6] R.Carmona和F.Delarue，《平均场游戏的概率分析》，暹罗控制与优化杂志，51（2013），第2705-2734页。[7] R.Carmona和F.Delarue，《平均场对策概率理论及其应用I-II》，Springer，2018年。[8] R.Carmona、J.-P.Fouque和L.-H.Sun，《平均场比赛和系统风险》（2013）。[9] \'A.Cartea、R.Donnelly和S.Jaimungal，《具有模型不确定性的算法交易》，暹罗金融数学杂志，8（2017），第635-671页。[10] \'A.Cartea和S.Jaimungal，《将订单流纳入最优执行》，数学和金融经济学，10（2016），第339-364页。[11] P.Casgrain和S.Jaimungal，《潜在阿尔法模型中具有学习的交易算法》，PhilippeCasgrain，Sebastian Jaimungal：：SSRN，（2016），https://papers.ssrn.com/sol3/papers.cfm?abstractid=2871403.[12] I.Ekeland和R。

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