具有交易成本的市场中的鲁棒效用最大化

此外，我们定义了θ（y）：={YT：（y，y）∈ B（y）}。θ-模型areuθ（x）：=supf的原值函数和对偶值函数∈Cθ（x）EU（f），vθ（y）：=infh∈Dθ（y）EV（h）。下一个引理指出，集合Cθ（x）和Dθ（y）彼此是极性的。它直接来自于[12]的命题2.9。引理3.4。修复x，y>0。假设2.7生效。随机变量X∈ L+满意度X∈ Cθ（x）i f f x≤ xy代表所有Y∈ Dθ（y）。随机变量Y∈ L+满意度∈ D（y）i FF EXY≤ xy表示所有X∈ Cθ（x）。我们强加了一个技术假设。假设3.5。双值函数vθ（y），y>0对所有θ都是有限的∈ Θ.定理3.6。让x>0。在假设2.7、3.1、3.5下，鲁棒效用最大化问题（5）有一个解决方案，即存在H*∈ A（x）满足u（x）=infθ∈ΘEU（Wx，liqT（θ，H*)).当U从上方有界时，假设存在（至少）一个|θ，同样的结论成立∈ 存在λ-SCPS的。证据如果U是常数，那么没有什么可以证明的。否则，通过向U添加常数，我们可以假设U(∞) > 0>U（0）。请注意，U(∞) > 0和uθ（x）≥ U（x）（6）暗示lim infx→∞uθ（x）/x≥ 引理3.4中的uθ（x）≤ vθ（y）+xy，（7）对于所有y>0。修正y，我们得到lim supx→∞uθ（x）/x≤ y并将y发送到零giveslimx→∞uθ（x）x=0。（8） 经过这些准备，我们转向主要论点。假设3.5、（7）和（6）意味着uθ（x）对于每个θ都是有限的，u（x）也是有限的。让Hn∈ A（x），n∈ N是最大化序列，即infθ∈ΘEU（Wx，liqT（θ，Hn））↑ u（x），n→ ∞.现在让我们确定θ∈ Θ和0<u<λ的u-CPS（~Sθ，Qθ）。首先，我们证明了过程vxt（θ，Hn）=Wxt（θ，Hn）+φntSθt，（9）是所有n的Qθ-上鞅。

实际上，It^o的公式给出了VxT（θ，Hn）=-SθtdHn，↑t+（1- λ） SθtdHn，↓t+~Sθtdφnt+φntd▄Sθt=（▄Sθt- Sθt）dHn，↑t+[（1- λ） Sθt-~Sθt]dHn，↓t+φntdSθt.HnimpliesHn的可容许性，+（Sθ-Sθ）+Zt（Sθu-Sθu）dHn，↑u（10）+Zt[°Sθu- (1 - λ） Sθu]dHn，↓u型+ZtφnudSθu-≤ x+Hn，-[Sθ（1- λ) -Sθ]+ZtφnudSθu+.特别是，我们获得Rtφnud？Sθu-≤ x+Hn，-Sθ（1- λ） 每t∈ [0，T]因此φnudSθu，T∈ [0，T]是Qθ-超鞅，参见[1]。因此，Vxt（θ，Hn），t∈ [0，T]也是Qθ-上鞅。我们把它叫做supnHn，-是有限的。如果不是这样的话，那么沿着序列nk，k∈ N我们会有Hnk，-→ ∞, k→ ∞ 和Hnk，+=0，k∈ N、 取（10）中的Qθ-期望值，我们将得到0≤ x+lim信息→∞嗯，-（Sθ（1- λ) -Sθ）=-∞,矛盾。因此，上确界是有限的。此外，从tφnud▄Sθu，supnEQθZTφnud▄Sθu+≤ x+supnHn，-Sθ（1- λ） 如下所示。利用（3），我们推导出supneqθZTδ（θ）dHn，↑u+dHn，↓u≤supnEQθZT（Sθu-Sθu）dHn，↑u+[°Sθu- (1 - λ） Sθu]dHn，↓u！<∞.引理6.1表明存在凸权αnj≥ 0，j=n。。。，M（n），且PM（n）j=nαnj=1，使得▄Hn：=PM（n）j=nHn→ H*在V.中，由于对流组合提高了c oncave函数的效用，我们得到▄Hn，n∈ N也是一个最大化序列，infθ∈ΘEU（Wx，liqT（θ，Hn））≤ infθ∈ΘEU（Wx，liqT（θ，~Hn））→ u（x），n→ ∞.现在我们证明了序列U+（Wx，liqT（θ，~Hn）），n∈ N对于每个θ都是统一整数∈ Θ. 相反，假设序列对于某个θ不是一致可积的。然后，一个查找不相交集∈ F、 n个∈ N和α>0的常数U+（Wx，liqT（θ，~Hn））1An≥ α、 对于n≥ 1、设置wn=Pni=1Wx，liqT（θ，～Hi）1Wx，liqT（θ，～Hi）≥uAi，其中uis的选择应满足U（U）=0。Eu（wn）=nXi=1E是立即的U+（Wx，liqT（θ，~Hi））1Ai≥ nα。此外，对于任何h∈ Dθ（1），超鞅性质表明E[hwn]≤nx。

因此，我们获得wn∈ Cθ（nx），由L e mma 3.4表示。我们计算θ（nx）nx≥EU（wn）nx≥αx>0，当n时达到极限→ ∞ 与（8）相矛盾。因此，U+（Wx，liqT（θ，~Hn））n∈ N确实是一致可积的。自▄Hn起→ H*∈ 五、 Wx，liqT（θ，~Hn）→ Wx，liqT（θ，H*) 几乎超过byRemark 6.2，所以Fatou引理和一致可积性是简单的→∞infθ∈ΘEU（Wx，liqT（θ，~Hn））≤ infθ∈Θlim supn→∞EU（Wx，liqT（θ，~Hn））≤ infθ∈ΘEU（Wx，liqT（θ，H*))这证明了H*是优化器。仍需检查H*∈ A（x）。对于每个θ，Wx，liqt（θ，H*) ≥ 0 a.s.对于Leb esgue几乎非常t，通过备注6.2，我们得到H的可容许性*自t起→ Wx，liqtis a.s.右连续。在U从上方有界的情况下，对|θ执行上述证明的第一部分就足够了，然后，对于每个θ，可以简单地调用EFATOU引理来完成证明。备注3.7。在不存在不确定性的经典理论中，即当Θ仅包含一个元素时，存在性结果仅在假设u（x）的元素时成立。然而，这种情况并不能保证在鲁棒性问题中找到优化器。事实上，u（x）的单位s使稳健问题适定，c紧性为优化器提供了一个候选者，但这仍然不足以证明候选者确实是优化器。为了完成证明，当被视为策略变量的函数时，需要具有预期效用的上半连续性。在[27]中，给出了一个反例（其中u（x）是有限的，但无法找到优化器），该反例是在非支配的情况下给出的。作者的论点正是在一个模型中利用了lackof上半连续性质。此外，[27]给出了具有upp er半连续性的一个充分条件，即效用函数的正部分在每种可能模型下的可积性，参见定理2.2，以及[8]的进一步发展。

在我们的方法中，上半连续性源自每个模型的对偶值函数的不确定性。RAssumption 4.1上的4个实用功能。效用函数U:R→ R从上方有界，不减，凹，U（0）=0。定义U byV（y）的凸共轭：=supx∈R（U（x）- xy），y>0。我们还假设limx→-∞U（x）x=∞, （11） 林苏比→∞V（2y）V（y）<∞. （12） 备注4.2。在（11）下，函数V ta表示有限值，而V（y）>0表示y足够大，因此（12）是有意义的。条件U（0）=0用于简化计算。条件（11）是温和的，条件（12）也是温和的：如[32]的第4.2（i）节所示，对于具有合理渐近弹性的每个效用函数U，其共轭V满足（12）。研究【11】、【23】假设一个在其整个域上严格集中的小U，我们不需要它的光滑性或严格的凹性。正如【7】、【33】所讨论的，在效用最大化的背景下，允许交易策略的选择是一个微妙的问题，效用函数定义在实线上。一种常见的方法是考虑那些健康过程从下到下一致有界于常数的策略。然而，这个选择结果是限制性的，并且无法包含优化器。在无摩擦市场中，[33]证明了，对于具有合理渐近弹性的效用函数，最优投资过程是在每个鞅测度Q下的s超鞅，因此EV（dQ/dP）是有限的。因此，我们将使用SUP-ermartingale属性来确定可采性，就像在[28，10]中一样。首先，我们定义θV={Qθ：（~Sθ，Qθ）是λ一致的价格体系，EV（dQθ/dP）<∞},具有有限广义相对熵的θ-模型的一致价格系统中的局部鞅测度集。定义4.3。

我们定义θ（x）=H∈ V：φT=0，Vx（θ，H）是每个λ-一致价格体系的Qθ-上乘子（≈Sθ，Qθ），使得Qθ∈ MθVo，并设置A（x）：=Tθ∈ΘAθ（x）。优化问题becomesu（x）=supH∈A（x）infθ∈ΘEU（Wx，liqT（θ，H））。（13） 假设4.4。对于每个θ∈ Θ，价格过程Sθ允许λ-SCPS（Qθ，~Sθ），使得Qθ∈ MθV.备注4.5。与【11、12、23】和第3节不同，在本节中，我们没有对每笔交易的成本系数0<u<λ强加一致的价格体系，我们只规定了假设4.4。以下示例表明，对于相对较大的λ，很可能有CPS，而对于任意小的u，则没有CPS。在这个例子中，有一个明显的arbiotrage，用[17]的语言，它表示（停止）非常小（大）的交易成本。示例4.6。让我们考虑st=1+t+2πarctan（Wt），t∈ [0, 1].如果λ<3/7，则（1- λ） 因此，没有一致的价格体系。如果λ≥ 2/3，然后（1- λ) ≤ 3/4 ≤ St，t∈ [0，T]。换言之，（S≡ 3/4，P）是一个一致的价格体系。定理4.7。根据假设4.4和4.1，存在策略H*∈A（x）使得u（x）=infθ∈ΘEU（Wx，liqT（θ，H*)).证据我们采用了[30]中的某些技术。我们的论点甚至在Θ是单态（即没有模型不确定性）的情况下也是新颖的。定义Φ*（x） =-U型(-x） ，x≥ 其共轭（在下面第6.2小节的意义上）为Φ（y）：=（0，如果0≤ y≤ β、 V（y）- V（β），如果y>β，（14），其中β是U在0处的左导数，请参见[5]。注意Φ，Φ*是Youngfunctions，Φ是类, 按（12）。让Hn∈ A（x），n∈ N是最大化序列，即infθ∈ΘEU（Wx，liqT（θ，Hn））↑ u（x）≥ U（x）。（15） 首先，对于所有θ∈ Θ，它认为supneu（Wx，liqT（θ，Hn））-< ∞.

（16） 实际上，让我们假设存在θ∈ Θ使得（16）不成立，或等效地，存在子序列nk=nθk，k∈ N使得EU（Wx，liqT（θ，Hnk））->k、 让我们用C表示U的上界，thenEU（Wx，liqT（θ，Hnk））≤ C- EU（Wx，liqT（θ，Hnk））-→ -∞,k→ ∞, 这与（15）相矛盾。因此（16）确实成立。考虑λ-严格一致的价格体系（~Sθ，Qθ）。Fenchel不等式givesu（VxT（θ，Hn））- V（（dQθ/dP））≤ （dQθ/dP）VxT（θ，Hn），因此（dQθ/dP）（VxT（θ，Hn））-≤U（VxT（θ，Hn））- V（（dQθ/dP））-. 从（16）中，我们推导出supneqθ（VxT（θ，Hn））-< ∞. （17） It^o的公式给出了VXT（θ，Hn）=-SθtdHn，↑t+（1- λ） SθtdHn，↓t+~Sθtdφnt+φntd▄Sθt=（▄Sθt- Sθt）dHn，↑t+[（1- λ） Sθt-~Sθt]dHn，↓t+φntdSθt。这意味着hn，+（Sθ-Sθ）+Zt（Sθu-Sθu）dHn，↑u+Zt[°Sθu- (1 - λ） Sθu]dHn，↓u型+ZtφnudSθu-≤ x+Hn，-（Sθ（1- λ) -Sθ）+（Vxt（θ，Hn））-+ZtφnudSθu+.特别地，ZtφnudSθu-≤ x+Hn，-Sθ（1- λ） +（Vxt（θ，Hn））-. （18） 对于每个n，过程Vx（θ，Hn）是一个Qθ-上鞅，因此存在aQθ-鞅，它支配（18）的RHS和同一表达式的LHS。文献[1]的第3.5条暗示，Rtφnud▄Sθu，t∈ [0，T]是Qθ上鞅。我们得到了supnHn，-< ∞ 以与第3.6条证明相同的方式。因此，（17），（18）和Hn的有界性，-, n∈ NgivesupnEQθZTφntd▄Sθt！+<∞.注意到（∧Sθ，Qθ）是一个λ-严格一致的价格体系，我们从上述参数中得出，QθHn，+Sθ+δ（θ）ZT[dHn，↑t+dHn，↓t] 哦！≤supnEQθHn，+Sθ+ZT（Sθt-Sθt）dHn，↑t+[°Sθt- (1 - λ） Sθt]dHn，↓!< ∞.因此引理6.1意味着凸权αnj的存在≥ 0，j=n，M（n），PM（n）j=nαnj=1，使得▄Hn：=PM（n）j=nαnjHn→ H*在V。

由于凸组合提高了凹效用函数的性能，~Hn，n∈ N也是最大化序列。我们将证明H*∈ A（x），换句话说，过程ss Vx（θ，H*) 对于每个Qθ，是aQθsuperMartingale∈ 每个θ的MθVand∈ Θ. 为此，必须控制Vx（θ，H）的负部分*). 应该强调的是，（17）对于我们的目的是不够的，需要使用Orlicz空间理论进行更有力的陈述（见第6.2小节）。利用U的凹度和Vx（θ，·）的线性，我们得到了U（VxT（θ，~Hn））-< ∞. （19） 将引理6.3应用于（19）中的随机变量序列，我们得到了凸权α′nj≥ 0，n≤ j≤ M（n），PM（n）j=nα′nj=1，使得zn：=M（n）Xj=nα′njVxT（θ，Hn）-满意度：=| | supnZn | |Φ*< ∞, （20） 根据芬切林质量和（20），等式θsupnZn=LEQθsupnZnL公司≤ LEΦdQθdP+ LEΦ*supnZnL公司< ∞,（21）对于每个Qθ∈ 当L=0时，MθV.不等式（21）是平凡的。现在，我们定义Hn：=M（n）Xj=nα′njHn，（22），这也是一个最大化序列。利用asup ermartingale的负部分是子鞅这一事实，我们得到了Vxt（θ，Hn）-≤ 等式θ[VxT（θ，Hn）-|Ft]和thussupnVxt（θ，Hn）-≤ supnEQθ[VxT（θ，Hn）-|英尺]。通过对上述不等式的两边进行期望，我们得到了等式θsupnVxt（θ，Hn）-≤ 公式θsupnEQθ[VxT（θ，Hn）-|英尺]≤ EQθEQθ[supnVxT（θ，Hn）-|英尺]≤ 等式θsupnVxT（θ，Hn）-≤ 等式θsupnZn<∞,使用映射x 7的凸性→ x个-和（21）。由于随机变量supn（Vxt（θ，Hn））-是序列nc e Vxt（θ，Hn）的上界-, n∈ N、 这证明了该序列在任意时刻t在Qθ下的一致可积性∈ [0，T]。同样，（Vxt（θ，H*))-≤ 等式θ[supnVxT（θ，Hn）-|Ft]，t∈ [0，T]，（23）后一个过程是鞅，因此它是一致可积的。很明显，Hn→ H*∈ V，因此Vxt（θ，Hn）→ Vxt（θ，H*) a、 美国代表everyt∈ D [0，T]，其中[0，T]\\D的勒贝格测度为0，见备注6.2。Let0≤ s≤ t<t都在D中。

注意到超常性，Fatou\'slema yieldsEQθ[Vxt（θ，H*)|Fs]=等式θhlim infn→∞Vxt（θ，Hn）| Fsi≤ lim信息→∞等式θhVxt（θ，Hn）| Fsi≤ lim信息→∞Vxs（θ，Hn）=Vxs（θ，H*).相同的参数适用于t=t，到o。现在它扩展到任意t∈ [0，T]使用Fa tou引理和（23）。最后，它扩展到rbitrary s∈ [0，T]通过后向鞅收敛定理和T的右连续性→Vxt（θ，H*). 这意味着Vx（θ，H*) 是Qθ-超鞅*∈ A（x）。因为你是从爱中诞生的，由法图的伦玛利姆·苏普→∞infθ∈ΘEU（Wx，liqT（θ，Hn））≤ infθ∈Θlim supn→∞EU（Wx，liqT（θ，Hn））≤ infθ∈ΘEU（Wx，liqT（θ，H*)),证明了H的最优性*.5结论SIT可以扩展我们在第4节中的结果：可以处理[19]的多资产“二次曲线”框架；无界效用也可以沿[30]中定理3.12的直线合并；由于我们根本不考虑双重问题，所以可以以很少的成本添加rando m捐赠（或随机公用事业）。然而，这些扩展不需要任何必要的新想法，因为它们会使演示变得相当复杂。我们这里的重点是介绍新的方法，而不是追求最大的通用性。承认价格过程中的跳跃会导致更多涉及的o类策略。这种环境的处理是未来值得研究的一个方向。6附录6.1有限变分过程设V表示[0，T]上的非递减右连续函数族，其在0处为0。让rk，k∈ N是D的枚举：=（Q∩ [0，T]）∪ {T}，r=T。

对于f，g∈ 五、 定义ρ（f，g）：=∞Xk=0-k | f（rk）- g（rk）|。级数自| f（rk）开始收敛- g（rk）|≤ f（T）+g（T），它定义了一个度量。相应的钻孔用G表示。让V表示三元组的s e t H=（H↑, H↓, H） 什么时候↑t、 H类↓t、 t型∈ [0，T]是可选过程，因此H↑（ω） ，H↓(ω) ∈ 每个ω的V∈ Ohm 和H∈ R（确定性）。视为映射H↑, H↓: (Ohm, F）→ （V，G），通过定义度量ρ，它们是可测量的。当V的元素在P-null集外重合时，我们确定了V的元素。我们说序列Hn∈ V收敛到某个H∈ V如果Hn，↑→ H↑和Hn，↓→ H↓a、 s.in V，n→ ∞ 和alsoHn→ H（在R的拓扑中）。有限变分过程的凸紧性型结果在文献中以各种形式出现。下一个结果与toLemma 3非常相似。5英寸[18]。引理6.1。让Hn∈ 五、 n个∈ 是这样的∈N公式[Hn，↑T+Hn，↓T] +| Hn|< ∞对于一些Q~ P然后是H∈ 有凸权αnj≥ 0，j=n，M（n），PM（n）j=nαnj=1，n∈ N，使得∧Hn:=M（N）Xj=NαnjHj→ H在V中，因此，对于P，几乎每个ω∈ Ohm,Hn，↑t（ω）→ H↑t（ω）和~Hn，↓t（ω）→ H↓t=t时的t（ω）以及作为两个H的连续点的每个t↑（ω） 和H↓(ω).证据回想一下，D=（[0，T]∩Q）∪{T}。根据假设，seq ue nc e Hn，↑T、 n个∈N在s ome Q的L（Q）中有界~ 因此，我们将Koml'os定理与对角化过程结合使用，以获得凸权重αnjsuchthat▄Hn的序列，↑t型→ H↑t、 t型∈ D（24）对于so me Ft可测随机变量H↑t、 在事件▄Ohm 带P【】Ohm] = 1、由于极限过程（如果存在）是非递减且右连续的，因此wesetH↑t=limq↓t、 q∈QH公司↑q、 t型∈ 我们证明了ω∈~Ohm,Hn，↑t（ω）→ H↑t（ω），（25）对于每个t∈ [0，T）这是函数s的连续点→ H↑s（ω）。任意固定ε>0。

在t/H处使用连续性↑, 我们发现了两个国家数字q，q<t<q和H↑q（ω）- H↑q（ω）<ε。从（24）中，存在N=N（ω），使得，↑q（ω）- H↑q（ω）|<ε，| | Hn，↑q（ω）- H↑q（ω）|<ε，n≥ N、 我们估计≥ N | Hn，↑q（ω）-Hn，↑q（ω）|≤ |Hn，↑q（ω）- H↑q（ω）|+| H↑q（ω）- H↑q（ω）|+| H↑q（ω）-Hn，↑q（ω）|≤ 3ε.因此，使用▄Hn的单调性，↑, 我们为所有人而奋斗≥ N（ω）| Hn，↑t（ω）- H↑t（ω）|≤ |Hn，↑t（ω）-Hn，↑q（ω）|+| Hn，↑q（ω）- H↑q（ω）|+| H↑q（ω）- H↑t（ω）|≤ |Hn，↑q（ω）-Hn，↑q（ω）|+| Hn，↑q（ω）- H↑q（ω）|+| H↑q（ω）- H↑q（ω）|≤ 5ε.注意，（25）也适用于t=t。对于序列Hn，可以重复相同的参数，↓, n∈ N和Hn→ H可以用someH担保∈ 通过提取进一步的子序列。备注6.2。上述证明表明，如果fn→ f，n→ ∞ 在V中，则fn（x）在f的每个连续点x趋向于f（x）。因此，对于任何连续g：[0，T]→ R、 RTg（t）dfn（t）→RTg（t）df（t），n→ ∞ 其中，积分是指fn，f诱导的测度。因此，对于在上述引理6.1中构建的序列▄Hn，Wx，liqt（θ，▄Hn）（ω）→Wx，liqt（θ，H）（ω）和Vxt（θ，Hn）（ω）→ Vxt（θ，H）（ω），n→ ∞ 几乎可以肯定的是，int=T，在每个T中，它是H和H的连续点↑（ω） ，H↓（ω） 特别是对于Lebesgue-a.e.t.Fubini定理，因此意味着存在一个零Leb e sgue测度（不包括t）的集合Z，而对于t∈ [0，T]\\Z，Wx，liqt（θ，~Hn）→ Wx、liqt（θ，H）和Vxt（θ，Hn）→ Vxt（θ，H）几乎保持P。6.2 Orlicz spacesWe调用Φ：R+→ R+一个Young函数，如果它是凸的，Φ（0）=0和limx→∞Φ（x）/x=∞. 集合Φ：={X∈ 五十： EΦ（γ| X |）<∞ 对于某些γ>0}是具有以下范数| | X | |Φ的Banach空间：=inf{γ>0:X∈ γBΦ}，其中BΦ：={X∈ 五十： EΦ（| X |）≤ 1} ，LΦ的单位球。定义共轭函数Φ*（y） ：=supx≥0（xy- Φ（x）），y∈ R+。这也是一个年轻的函数（Φ*)*= Φ.