具有交易成本的市场中的鲁棒效用最大化

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英文标题：
《Robust utility maximization in markets with transaction costs》
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作者：
Huy N. Chau and Miklos Rasonyi
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We consider a continuous-time market with proportional transaction costs. Under appropriate assumptions we prove the existence of optimal strategies for investors who maximize their worst-case utility over a class of possible models. We consider utility functions defined either on the positive axis or on the whole real line.
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中文摘要：
我们考虑具有比例交易成本的连续时间市场。在适当的假设下，我们证明了在一类可能的模型上，对于最大化其最坏情况效用的投资者，存在最优策略。我们考虑定义在正轴或整条实线上的效用函数。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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关键词：效用最大化 交易成本 最大化 Mathematical proportional

具有交易成本的市场中的鲁棒效用最大化*Huy N.Chau Mikl'os R'asonyiDecemb er 6，2018年摘要我们考虑具有比例交易成本的连续时间市场。在适当的假设下，我们证明了在一类可能的模型上，对于最大化其最坏情况效用的投资者，存在最优策略。我们考虑在正轴或整条实线上定义的效用函数。1引言本文研究了存在模型模糊时终端效用最大化问题解的存在性。我们假设投资者为最坏情况做好了准备，因为他们在最大化可接受的投资策略之前，会在可能模型的效用函数范围内。关于稳健优化的文献通常假设，不确定性是由一系列先验测度P对过程所在的某些规范空间进行建模的。用[29]，[34]开始，在这种情况下，P由参考测度P支配*接受了充分的治疗。在不同的设置中，这与漂移中的不确定性相对应。这种方法并不完全令人信服，因为市场参与者可能也不确定波动性。最近，非支配问题m也在不同的背景下进行了研究。例如，[35]研究了一组可能的漂移和波动系数，并通过求解关联的Hamilton-Jacobi-Bellman方程解决了鲁棒性问题。在[24]中，当波动系数在紧集上不确定且漂移未知时，应用了BSDE理论。只有在离散时间内，才有相当普遍的模型类别的存在结果：见[27]、[8]、[26]、[2]、[3]和[31]。

文献[14]建立了无摩擦连续时间市场中有界效用的极大极小结果。据我们所知，下面的存在性结果是首次应用于国外连续时间模型。现在，我们总结一下我们论点背后的主要思想。首先，我们在比例交易成本下工作。*两位作者都得到了匈牙利科学院（HungarianAcademy of Sciences）LP2015-6“Lend¨ulet”拨款和NKFIH（National Research，Development and Innovation Office，H ungary）KH 126505拨款的支持。作者感谢Walter Schacherm ayer和两位匿名裁判的帮助性评论。在此设置中，策略可以通过我们赋予适当拓扑的有限变化过程来识别。其次，我们考虑固定过滤概率空间上的参数化随机过程族，而不是一系列度量。我们需要考虑与相应参数对应的一系列可能值，而不是一个por tfolio值。第三，后一个事实迫使我们将策略家族作为我们的优化领域（不同于[21]以来的大多数最优投资文献，它们倾向于优化一组随机变量：可能投资组合的终值）。第四，我们发现，终端组合价值的适当有界性意味着策略本身的适当有界性：这在连续时间无摩擦市场中是错误的，但在我们的环境中是正确的。第五，我们从【30】中首次开发的一种方法中得出结论，该方法基于【13】中的引理验证了假定优化器的超鞅性质。由于上述第四点，我们的技术似乎不适用于连续时间无图像环境。

然而，请注意处理离散时间无摩擦市场的配套文件[31]。本文中的鲁棒模型与[6]、[25]、[22]中介绍的模型类似，假设风险集的不确定性动力学存在参数化。然而，正如我们将在下文中看到的，没有对参数化做出具体假设，允许使用任意索引集。从实用的角度来看，这种方法在进行校准时特别容易处理和易于实现。例如，估计漂移和波动性参数对于不同的价格过程，结果只能猜测（希望有一些置信集）真实值。因此，通过考虑包含被估计系数可能值的合适范围来参数化模糊度是合理的。从数学的角度来看，本文中稳健模型的处理是技术上的简化，因为从屋顶上可以明显看出这一点。在相同的（过滤的）概率速度上工作，而不是考虑一系列度量，通过避免与空事件、过滤完成等有关的问题的规范设置，使我们更加灵活。不再需要度量选择参数，请参见[9]、[4]或[27]。我们的方法仍然可以包含大多数相关的模型类，它们的定律不需要等价，请参见第2节。紧性在证明优化器的存在性方面起着重要作用。通常，效用最大化问题被转化为具有随机变量的“抽象”版本（可容许投资组合的最终财富），然后L中的凸紧性结果，特别是Koml'os型参数，被成功应用，见【21】。

不幸的是，稳健的设定不太可能被提升到“抽象”版本，因为不确定性导致了整个财富过程的集合。因此，无法使用空间lca上的Koml'os类型参数。此外，此设置中的候选对偶问题通常不允许有解决方案（见[2]的Remar k 2.3），因此从对偶问题的解决方案中获取优化器的常用方法似乎不适用。因此，我们不得不直接研究原始问题m。我们使用了两个Koml'os类型的参数：第一个是在有限的空间变化过程（策略）上执行的，这为优化器提供了一个候选参数，第二个是在Orlicz空间环境中使用的，以处理在建立最优财富过程的超级可分配属性时可能出现的交易损失，依赖于[13]。一个重要的观察结果是，投资组合的效用是策略的顺序上半连续函数（当后者配备了方便的收敛结构时），参见[15]，其中以类似的方式看待优化问题。本文的组织结构如下。第2节介绍了稳健的市场模型和技术假设。第3节和第4节研究了当效用函数分别定义为R+和R时，鲁棒效用最大化问题解的存在性。第5节讨论了分支。第6.2节“市场模型”介绍了关于有限变化过程和Orlicz空间理论的一些初步内容(Ohm, F、 （Ft）t∈[0，T]，P）是一个过滤概率空间，其中过滤假设是右连续的，并且与P-平凡西格玛代数的完成一致。我们用L+表示实值d随机变量类及其正锥。设Θ为（非空）集，它被解释为不确定性参数。

我们认为金融市场由风险资产St=1构成∈ [0，T]和风险资产，其动态未知。为了描述后者，我们考虑一个family（Sθt）t∈[0，T]，θ∈ 一个具有连续轨迹的自适应正过程，这些轨迹表示可能的价格波动。目前，对Θ和风险集合的动态也没有施加任何条件。备注2.1。现在，我们评论一下我们对模型模糊性的看法与之前大多数论文的不同，在这些论文中，在正则空间上考虑了大量的先验s。在给定的概率空间上工作和过滤相当于对问题的信息结构进行细化：信息流不是由特定的驱动过程（如多维布朗运动）正常生成的。然后，可能的价格是参数（有限或有限维，见下文示例2.2和2.4）和行驶噪声的函数。策略在功能上适应给定的信息流。考虑到一系列概率，人们有更大的自由，因为不需要常见的驱动噪声，但策略的选择是有限的：它们必须是正则空间上的自适应泛函。在某种意义上，它们必须是“闭环”控制，取决于价格过程。在我们的建模中，控制是“开环”的，它们适应的信息流可能比任何可能的价格过程的自然过滤更大。从严格的形式意义上讲，这两种方法中没有一种比另一种更通用，另请参见[31]中的示例。

从直觉上看，标准设置是更一般的，而我们的标准设置似乎更容易处理，更适合实际校准和/或统计推断框架。我们通过以下示例说明，当前设置是有用的，并且包含了以前研究中的有趣模型。示例2.2。（稳健的Black-Scholes市场模型。）风险资产满足SDEdS（u，σ）t=S（u，σ）t（udt+σdWt），S（u，σ）=S>0，其中u，σ为常数，W为标准布朗运动。不确定性由Θ={θ=（u，σ）建模∈ R： u≤ u ≤ u, σ ≤ σ ≤ σ} ，其中u≤ u, 0 < σ ≤ σ是给定的常数。经典Black-Scholes模型对应于u=u和σ=σ的情况。观察到，当σ6=σ时，Su、σ、Su、σ的规律是奇异的。如果只考虑波动率的不确定性，那么这个法律家族是相互独立的。类似型号见【22】和【6】ab Outtreations。备注2.3。在稳健金融领域，经常使用可测量的选择技术，参见例如。[27]. 这要求与各种模型相对应的法律系列具有一定的可测量性。然而，在我们目前的做法中，这不是必要的。例如，设Θ′为上述示例2.2中Θ的非Borelian（甚至非解析）子集。定理3.6和4.7适用于模型Sθ，θ族∈ Θ′也是。示例2.4。在上面的例子中，Θ是有限维吕氏空间的子集。我们可以很容易地制作出类似的例子，其中Θ是在有限维中。例如，设Θ由所有对可预测过程e s（ut，σt）组成，这样，对于所有t∈ [0，T]，uT∈ [u，u]a.s.和σt∈ [σ，σ]a.s.并考虑SDESD（u，σ）t=s（u，σ）t（utdt+σtdWt），s（u，σ）=s>0，对于每个（u，σ）∈ Θ.以下示例扩展了鲁棒Black-Scholes模型，并允许外部经济因素。示例2。5.

（受[20]启发的因子模型，但非常简单。）LetΘ R2×2为一套。风险资产受SDEdSθt=Sθt（m（Yθt）+σ（θYθt+θ））dt+σdWt）控制，Sθ=S>0，因子过程按照Yθt演化=g（Yθt）+ρ、 θ1·Yθt+θ2·dt+ρdWt+ρdWt，Yθ=Y，其中m，g是合适的函数，W=（W，W）是二维布朗运动，ρ=（ρ，ρ）∈ 罕见的相关参数。br acket h·，·idenotes R中的标量积。请注意，【20】的原始设置不能直接转移到当前设置，因为它涉及SDE的一系列弱解，这些解在给定的随机基础上不一定成立。风险资产按比例交易成本λ进行交易∈ (0, 1).更准确地说，投资者在购买therisky资产时必须支付更高的（买入）价格Sθ，但收到的（买入）价格较低（1）- λ） 销售时Sθ。设V表示[0，T]上的非递减右连续函数族，其为0 a T乘以0。设V表示三元组的集合H=（H↑, H↓, H） 其中H↑t、 H类↓t、 t型∈ [0，T]是可选过程，例如↑（ω） ，H↓(ω) ∈ V foreachω∈ Ohm 和H∈ R（确定性）。空间V可配备收敛结构，详情见下文第6.1 b小节。每个交易策略对应一个元素H∈ 五、 在此公式中，H↑表示从无风险资产转移到therisky one和H的累计金额↓表示反向转移，Hencode表示从无风险资产到风险资产的初始转移金额。

因此，在时间t等于φt时，风险资产的投资组合头寸：=H+H↑t型- H↓t、 t型∈ [0，T]，φ0-:= 0、对于任意实数x∈ R、 我们表示x+：=max{0，x}，x-:= 最大值{0，-x} 。首字母大写x∈ R、 n个投资者遵循策略H的现金账户的动态按照x（θ，H）：=x演化- H+Sθ+H-Sθ（1- λ) -ZtSθudH↑u+Zt（1- λ） SθudH↓u、 对于t∈ [0，T]。清算值由wx，liqt（θ，H）：=Wxt（θ，H）+φ+t（1）定义- λ） Sθt- φ-tSθt.（1）我们引入了一致价格系统的定义，它在无摩擦市场中起着类似于鞅测度的作用，参见[19]、[17]和[16]。定义2.6。对于每个θ∈ Θ，模型θ的λ-相容pr ic e系统（λ-CPS）是概率测度Qθ的一对（￠Sθ，Qθ）~ P和a Qθ局部鞅Sθ使得（1- λ） Sθt≤Sθt≤ Sθt，a.S。t型∈ [0，T]。（2） λ-严格一致价格体系（λ-SCPS）是一种CPS，使得（2）中的不等式是严格的。我们将对每个模型Sθ施加一致价格系统的存在性。在第3节中，我们需要以下假设，以便能够得到[12]的结果。假设2.7。对于每个θ∈ 对于所有0<u<λ，价格过程Sθ允许u-CPS。对于每个θ，这一假设都是充分的∈ Θ，过程Sθ满足u-所有u>0的交易成本的无套利条件，见【17】。参见示例4.6，了解风险资产波动假设2.7。显然，u-CPS也是λ-SCP。引理2.8。如果（△Sθ，Qθ）是λ-严格一致的价格体系，则随机变量δ（θ）：=inft∈[0，T]min{SθT- (1 - λ） Sθt，Sθt-~Sθt}（3）几乎肯定是严格正的。证据

该论点遵循了文献[19]中引理3.6.4的论点。LetMθ：={dQθ/dP：（~Sθ，Qθ）是λ-CPS}。对于一致的价格体系（▄Sθ，Qθ），我们定义了过程vxt（θ，H）：=Wxt（θ，H）+φt▄Sθt，（4），但没有强调V对特定价格体系的依赖性。很容易检查Wx、liqt（H）≤ Vxt（θ，H）a.s.，适用于所有t∈ [0，T]。3 R+假设的效用函数3.1。效用函数U：（0，∞) → R是非减量且凹的。定义U byV（y）的凸共轭：=supx>0（U（x）- xy），y>0。由于效用函数的作用域，可接受的策略以自然的方式定义。定义3.2。A策略H=（H↑, H↓, H）∈ 对于初始资本x>0和模型θ，V是允许的∈ Θ，if，对于所有t∈ [0，T]，Wx，liqt（θ，H）≥ 0 a.s.用aθ（x）表示θ的所有容许策略集。刚毛θ（x）：={H∈ Aθ（x）：φT=H+H↑T- H↓T=0}，且A（x）=Tθ∈ΘAθ（x）。备注3。3、每小时∈ A（x），Wx，liqT（θ，H）=WxT（θ，H）=VxT（θ，H）乘以φT=0。我们还可以从（1）中看到，在时间0<t<t时，H中的清算值既不是凹的也不是凸的。然而，条件φt=0时清算值相对于H的恢复性。这对于在后续分析中找到最大化者至关重要。让x>0。注意A（x）6= 因为相同的z ero策略是存在的。投资者希望找到优化器foru（x）：=SUP∈A（x）infθ∈ΘEU（Wx，liqT（θ，H））。（5） 值得注意的是，H中的极大化是一个凹问题，然而，过Θ的极小化不是一个凸问题。对于每个θ∈ Θ和x>0，表示cθ（x）：=nX∈ L+：X≤ 对于某些H，Wx，liqT（θ，H）∈ Aθ（x）o。对于每一个y>0，超鞅函数集Bθ（y）由严格的正过程y=（Yt，Yt）t组成∈[0，T]，Y=Y，因此yy∈ [(1 - λ） Sθ，Sθ]和Wx（θ，H）Y+φYis a（c\'adl\'ag）上鞅∈ Aθ（x）。