交易活动的理论与实证分析

假设“杠杆中性假设”成立，交易数量N仅取决于四个量σ、P、V和C，即N=g（σ、P、V、C），（5），其中函数g:R+→ R+是维数不变的，并且利用中性。然后，有一个常数c>0，使得交易次数N服从关系n3/2=c·σP VC。（6） 证明遵循附录A中回顾的一般Pi定理。为了方便读者，我们还提供了定理1的直接证明。虽然有点长和重复，但我们希望这有助于直觉。定理1的证明。首先，我们对（5）中的函数g进行以下ansatz：g（σ，P，V，C）=C·（σ）yPyVyCy，（7）其中C>0是常数，y，是未知的实数。查看表1的第一部分，可以得出以下关系- y+y=0。（8） 事实上，当计算100个单位而不是单个单位的股份时，数字P被100P取代，而数字V被V/100取代。由于（7）中的函数g被假定为维数不变，因此g应该保持不变，即c·σyPyVyCy=c·σy（100P）y五、yCy（9），只有当（8）成立时才可能。查看表1的其他行，我们由此得到线性方程组- y+y=0 y+y=0-y- y=-12年- y=0，其唯一解决方案是y=,,, ->, （10） 给出了（6）作为（5）的一个可能解。我们仍然需要证明（6）的唯一性。为此，可以方便地传递到对数坐标：假设有一个函数G:R→ R使得log（N）=G对数（σ）、对数（P）、对数（V）、对数（C）或等效地，log（N）- G（X，X，X，X）=0，（11）我们写的地方对数（σ）、对数（P）、对数（V）、对数（C）as（X，X，X，X）。我们必须证明g的formlog（N）=yX+yX+yX+yX+const，其中y，y，y，yare由（10）给出，const是实数。

用r表示：=-e+表1的第一行，视为R中的向量，其中（ei）i=1是R的规范基础。与（9）类似，表1的第一行和维度不变性意味着g对数（σ）、对数（P）、对数（V）、对数（C）= G对数（σ），对数（P）+对数（100），对数（V）- 对数（100），对数（C）.显然，我们可以用任何实数替换log（100）。抽象地说，这意味着g:R→ 在平行于向量R的任何直线上，R必须是常数。类似的参数适用于R=e+EAN和R=2e- e、 关于r=-e- E情况略有不同，因为表1的第三行也涉及非零条目N。表1和（11）的第三行意味着对于任何λ∈ R、 G（X- λ、 X，X- λ、 X）=G（X，X，X，X）- λ.σP V C NS 0-1 1 0 0 u 0 1 0 1 0 t-1 0-1 0-1 0-1 m 2-1 0 0 0表1：数量P、V、σ和C的标注概述。设置常数：=G（0，0，0，0，0），我们有(-λ, 0, -λ, 0) = -λ+所有λ的常数∈ R、 它唯一地确定了由R=-e-ein R。正如我们所看到的，G也必须沿着与R、randr平行的每一条线保持常数，并且当R、R、R、R跨越整个空间R时，我们得出结论，函数G只有一个选项，直到常数常数=G（0，0，0，0）。对于关系式（6）的另一种推导，我们从考虑σ（相对价格变化的可变性）转移到考虑σB（绝对价格变化的可变性）。这将允许我们将两个解释变量σ和P减少为一个解释变量σB=σP。我们称σB为Bachelier波动率，因为它对应于1900年Bachelier\'s原始模型，见【5】。回想一下，价格过程（Pt）的动态≥Black-Scholes模型与Bachelier模型的比较结果是dPt=σPtdWt，（Black-Schloes模型）（12）dPt=σBdWt，（Bachelier模型），其中wt是标准布朗运动。

定义σB=σP只要Pt移动不太多，这两个模型就非常吻合（例如比较[29]）。因此，我们确定oσB=σp区间[t，t+t]中的最大波动率。插入尺寸[σ]=T-1和[P]=美国-1，我们得到[σB]=US-2吨-表2显示σBhas Modigliani-Miller维数M等于零（与其他变量V、C和N一样）。这使我们能够通过仅使用三个明显的标度不变性来推导定理1的断言，但不必强加杠杆中立性的先验要求。推论2。假设交易次数N仅取决于三个量σB，Vand C，即N=g（σB，V，C），（13），其中函数g:R+→ R+是维数不变的。然后，有一个常数c>0，使得交易次数N服从关系n3/2=c·σBVC。（14） σBV C NS-2 1 0 0U 2 0 1 0T-1-1 0-1M 0 0 0表2：数量V的标注概述，σB=σ和C。证明类似于（甚至比）上述证明。注意，命题1和推论2都只依赖于关于S、T和U的非常令人信服的不变性假设，而不依赖于“杠杆中性假设”。预计关系式（14）比关系式（2）更适合于经验数据，我们可以得出以下结论：选择σB、V、C作为数量N的解释变量优于上述命题1中选择的σ、P、V。这是一个“维度论证”，为什么我们应该期望推论2比命题1得到更好的结果。从量纲分析的方法来看，一切都取决于所选解释变量确实“充分解释”因变量的假设。当然，在现实中，这样的假设充其量也只能勉强满足。

游戏的艺术在于找到解释变量的组合，以“最好”解释结果变量。如推论2所示，变量σB、V、C的选择自动意味着“杠杆中性假设”得到满足，如表2所示。事实上，变量σB、V、C以及N对于Modigliani-Miller维度M的入口为零。因此，任何与这些变量相关的函数都是自动利用中性的。这与比例1中变量σ、P、V的选择相反，如表1所示，P和σ对M具有非平凡的依赖性。因此，公式（2）不满足“杠杆中性假设”规定的不变性关系。最后，我们研究了用上面介绍的更常见的对应方买卖价差S替代每交易成本C的影响。事实上，在本上下文中，如果交易量V已经是解释变量之一，则相当于使用C或S作为交易数量N的解释变量。实际上，我们有C=SQ=SV/N的关系，因为区间[t，t+t]中的平均交易规模Q是由交易量V除以交易数量N得出的。因此，如果我们知道N和V之间的函数关系，我们也知道N和q之间的函数关系，因此可以从S传递到C=SQ，反之亦然。因此，我们可以根据买卖价差S而不是以下推论中的成本比C来重述定理1（以及，相当于推论2）。推论3。假设交易次数N仅取决于三个量σB、V和S，即N=g（σB、V、S），（15），其中函数g:R+→ R+维数不变。然后，有一个常数c>0，使得交易数量N服从关系N=c·σBS.

（16） 我们观察到变量σB、V和S再次没有Modigliani-Miller维数M，即它们在杠杆变化下是不变的。因此，公式（16）满足“杠杆中性假设”给出的方差原则。我们再次注意到，给定关系C=SQ=SV/N以及σB=σp，两个方程（6）和（16）实际上是等价的。关系式（16）正是Wyart等人提出的关系式【31】。通过重新排列术语，我们发现S=c·σBN。（17） 其解释是，每笔交易的Bachelier波动率的平方与价差的平方成正比。如果我们进一步阐述（17），我们会发现SP=c·σ√N、 （18）在不丧失一般性的情况下，我们可以确定（18）asmidquote价格左侧的价格P，即最佳询标价的平均值。然后，S/P指的是所谓的比例买卖价差，可用于近似经销商的“往返”交易成本。显然，近似的往返成本增加了相对价格变化的波动性，减少了交易活动。综上所述，我们已经看到~ σ由Jones etal提出。[16] 遵循限制性假设，即交易数量N仅取决于数量σ、P和V以及维度参数（见命题1）。除了后一种关系之外，在我们的分析中加入有关投标报价的信息似乎是合理的。根据我们是直接选择交易成本C还是出价askspread S，我们会被引导到3/2定律N3/2~ Benzaquenet等人[6]（见定理1）提出的σP V/C或与S的关系~ σB/√N由Wyart等人[31]提出（见推论3）。在证明后两种关系时，我们已经看到，平均中立的假设发挥了作用。

或者，我们也可以考虑乘积σP，而不是单独考虑σ和P。由于不再需要杠杆中性的假设，这种对“Bachelier波动率”σB=σ的考虑导致了问题的复杂性。同样，上述任何标度定律的实际有效性都应通过详尽的实证分析来证实。3、经验证据3.1。普遍性程度和相关文献我们现在转向关系（2）和3/2定律（6）的实证分析。当收集数量N、σ、V、P和C的数据时，必须指定考虑的资产集和考虑的时间段，以及数据聚合的时间间隔的长度T。我们不能期望在关系式（2）中出现的常数c分别为。（6） 对于任一关系中的每个考虑的间隔、每个可能的间隔长度和每个考虑的资产，都是相同的。我们只能希望给定的关系保持平均。根据Benzaquen等人[6]中介绍的命名法，我们因此区分了关系（2）和（6）的有效性所附带的以下三个普遍性程度：1。无普遍性：对于固定资产和固定间隔长度，这种关系平均成立。然而，对于不同的资产和不同的长度，常数c变化很大。2、弱普适性：对于某些资产和某些区间长度，该关系平均成立，其值与常数c.3的值相似。

普遍性强：该关系平均适用于所有资产和所有区间长度，其值与常数c相似。请注意，这种区别不允许agiven关系的有效性随时间变化，因为我们只考虑一个特定的时间段。在转向我们自己的实证分析之前，让我们简要讨论一下文献中可以找到的相关实证证据。Andersen等人[3]在当前背景下进行了一项重要的临时研究。他们测试关系I=σP VN3/2，（19），其中I独立且相同地分布在E-mini标准普尔500期货合约的资产和时间上。忽略价格P，它们表明关系N3/2~ Vσ在该特定资产的交易日内和交易日之间保持不变。事实上，他们的数据与V~ σ响应。N~ σ由Tauchen和Pitts分别提出。Jones等人【16】。Benzaquen等人[6]通过研究11份额外的期货合约以及300支美国股票，解决了同样的问题。目的是确认在关系Nβ中β=3/2~ σP V，他们分别估计每个考虑的岩石的β。他们发现^β=1.54±0.11，其中不确定度为均方根横截面色散。因此，这些作者指出，这提供了N3/2关系的证据~ σP V也适用于股票市场，而不仅仅是流动性很强的期货市场。

此外，他们还表明（19）中I的分布在很大程度上取决于所研究的资产，因此得出结论，关系（19）只适用于弱普适性。作为另一项贡献，作者揭示了将交易成本C包括在内是有益的，因为他们提出的不变量I=σP V C-1N-3/2对于不同的资产几乎是不变的。最后，让我们提及Wyart等人早期工作中的证据。这些作者表明，当聚合级别正确时，关系（17）可以很好地描述数据。在检查法国电信股票时，S和σB/√N是两个交易日的平均值，而对于纽约证券交易所的股票，这些数量是全年的平均值。发现关系式（17）中的常数c介于1.2和1.6之间。此外，作者指出，所考虑数量的典型日内模式与（17）一致：波动率σBis的U形模式，解释为买卖价差的下降和交易日内交易数量N的增加。3.2. 数据描述我们的实证分析基于LOBSTER数据库提供的限额订单数据(https://lobsterdata.com). 考虑的采样期从2015年1月2日开始，到2015年8月31日结束，剩下167个交易日。在所有纳斯达克股票中，选择了d=128的高市值流动性股票。只要聚合变量（如下所述）可以合理地视为连续分布，即聚合变量的经验分布没有明显集中质量的点，则股票被视为“充分流动”。

交易所开盘后30分钟内的观察结果以及交易暂停被取消。让我们确定区间长度T∈ {30、60、120、180、360}分钟，对已开发的假设进行测试。为了便于说明，将所考虑的时间间隔长度设置为60min。该时间间隔长度一方面平衡了数据的有效聚合，另一方面平衡了一些日内变化。因此，我们留下了n=1002个不重叠的时间间隔，等长T=60min。让我们专注于特定资产i∈ {1，…，d}（为了便于在第3.2节的其余部分中标记，省略索引i），并让j∈ {1，…，n}表示任意间隔。假设所考虑的时间间隔j内的交易到达不规则间隔的交易时间t，t，tNj。然后，nj表示区间j中的交易数量，Qj=N-1jPNjk=1Qtkdenotes区间j内交易的平均规模，其中Qtkdenotes为tk时交易的股票数量，Vj=Nj×Qjis为区间j内的交易量，Pj=N-1jPNjk=1Ptkdenotes区间j中的平均中报价，其中Ptk=（Atk+Btk）/2和Atk（resp.Btk）表示时间tk交易后的最佳ask（resp.bid）价格，σjdenotes区间j中的估计平方波动率，Sj=N-1jPNjk=1STK表示区间j内的平均买卖价差，其中Stk=Atk- Btkis是时间tk交易后的买卖价差，cj=Qj×sj是时间间隔j内的每笔交易成本。请注意以下四个细节：首先，尽管交易时间记录在纳秒级，但当在时间tk针对L个限额订单执行市场订单时，原始数据中的时间戳tkis记录了L次（tk，…，tkL）。同一时间戳的多个条目只输入一次交易次数nj（不是L次）。

通过对数据集Qtk`，`=1，…，中的L记录求和来确定时间tkis时交易的大小qtkof，五十、 即Qtk=PL`=1Qtk`。中报价Pt和买卖价差与规模为Qtkare的合并市场订单相关，计算为成交量加权平均值ptk=Q-1tkLX`=1Qtk` Ptk`和Stk=Q-1tkLX`=1Qtk“Stk”。其次，聚合变量，即平均市场订单量Qj、平均中间报价价格pjan和平均买卖价差Sjof区间j，事实上并非如上所述由样本平均值计算。由于简单样本平均值对异常值很敏感，例如巨大的市场订单，因此Qj、Pjand和SJ基于稳健平均值。具体来说，我们计算了Qt的修剪平均值，QtNj，Pt，PtNjand St，分别获得Qj、PJAN和SJ。这些修剪意味着丢弃相应有序数据的上限0.5%和下限0.5%，并基于剩余99%的数据计算平均值。第三，估计的平方波动率σjis计算为区间j^σj=NjXk=2中的已实现方差日志（Ptk）- 日志（Ptk-1). （20） 对于各种有效价格过程（Pt）模型，都能很好地理解估计量σJar的性质≥例如，如果有效价格过程的动力学遵循随机模型dPt=σPtdWt，σ>0，则估计量σjconverging弱概率为σT（log（Pt））T增量的二次变化≥0）随着间隔j内的事务数量变得密集（如Nj→ ∞). 然而，如果观察到的中间报价受到市场微观结构噪音的污染，则^σj的极限与有效价格过程的二次变化不一致。例如，这种噪音源于市场缺陷，如价格离散性或价格变化中的信息含量，参见[7]。