交易活动的理论与实证分析

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英文标题：
《Theoretical and empirical analysis of trading activity》
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作者：
Mathias Pohl and Alexander Ristig and Walter Schachermayer and Ludovic
  Tangpi
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Understanding the structure of financial markets deals with suitably determining the functional relation between financial variables. In this respect, important variables are the trading activity, defined here as the number of trades $N$, the traded volume $V$, the asset price $P$, the squared volatility $\\sigma^2$, the bid-ask spread $S$ and the cost of trading $C$. Different reasonings result in simple proportionality relations (\"scaling laws\") between these variables. A basic proportionality is established between the trading activity and the squared volatility, i.e., $N \\sim \\sigma^2$. More sophisticated relations are the so called 3/2-law $N^{3/2} \\sim \\sigma P V /C$ and the intriguing scaling $N \\sim (\\sigma P/S)^2$. We prove that these \"scaling laws\" are the only possible relations for considered sets of variables by means of a well-known argument from physics: dimensional analysis. Moreover, we provide empirical evidence based on data from the NASDAQ stock exchange showing that the sophisticated relations hold with a certain degree of universality. Finally, we discuss the time scaling of the volatility $\\sigma$, which turns out to be more subtle than one might naively expect.
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中文摘要：
理解金融市场的结构需要适当地确定金融变量之间的函数关系。在这方面，重要变量是交易活动，此处定义为交易数量N$、交易量V$、资产价格P$、波动率平方$\\sigma^2$、买卖价差S$和交易成本C$。不同的推理导致这些变量之间存在简单的比例关系（“比例定律”）。在交易活动和平方波动率之间建立了一个基本的比例关系，即$N\\sim\\sigma^2$。更复杂的关系是所谓的3/2定律$N^{3/2}\\Sima P V/C$和有趣的缩放$N\\sim（\\sigma P/S）^2$。我们通过物理学中一个著名的论点：量纲分析，证明了这些“标度律”是所考虑的变量集的唯一可能的关系。此外，我们基于纳斯达克证券交易所的数据提供了经验证据，表明复杂的关系具有一定的普遍性。最后，我们讨论了波动率$\\sigma$的时间标度，这比人们天真地预期的要微妙得多。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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关键词：实证分析 proportional Quantitative QUANTITATIV Dimensional

贸易活动的理论和实证分析*Mathias Pohl+Alexander RistigWalter Schachermayer§Ludovic TangpiP2018年10月16日致力于Georg P flugabstract。理解金融市场的结构需要适当确定金融变量之间的函数关系。在这方面，重要变量是交易活动，此处定义为交易数量N、交易量V、资产价格P、波动率平方σ、买卖价差S和交易成本C。不同的推理导致这些变量之间存在简单的比例关系（“比例律”）。在交易活动和平方效用之间建立了基本的比例关系，即N~ σ. 更复杂的关系是所谓的3/2-lawN3/2~ σP V/C和有趣的标度N~ （σP/S）。我们通过物理学中一个著名的论点：量纲分析，证明了这些“标度律”是所考虑的变量集的唯一可能的关系。此外，我们基于纳斯达克证券交易所的数据提供了经验证据，表明复杂的关系具有一定的普遍性。最后，我们讨论了波动率σ的时间标度，这比人们天真地预期的要微妙得多。1、简介了解金融市场的结构对交易员、投资者和监管机构具有明显的相关性。除其他外，过去五十年来，交易活动与价格波动之间的关系在金融文献中受到了广泛关注。先驱者*作者通过projectMA14-008感谢维也纳科技基金会（WWTF）的支持。M、 波尔和W.Schachermayer还得到了奥地利科学基金会（FWF）在P25815和P28861拨款项下的进一步支持。W

Schachermayer还感谢WWTF项目MA16-021的支持。+维也纳大学商业、经济和统计学院，奥斯卡·摩根斯坦广场1号，1090维也纳，奥地利，马蒂亚斯。pohl@univie.ac.at维也纳大学数学系和商业、经济与统计系，OskarMorgenstern Platz 1，1090 Vienna，Austria，alexander。ristig@univie.ac.at§维也纳大学数学系，Oskar Morgenstern Platz 1，1090 Vienna，Austria，walter。schachermayer@univie.ac.atP普林斯顿大学，运营研究和金融工程系，新泽西州Sherred Hall 203，邮编08544，美国普林斯顿，ludovic。tangpi@princeton.eduof该领域，例如Clark【9】、Epps和Epps【14】以及Tauchen和Pitts【30】，通过交易量定义了交易活动，并得出了交易量和价格波动性之间的比例关系。这一定义和隐含关系背后的基本原理是被广泛引用的格言“价格变动需要数量”。我们参考Karpo Off【17】对这些早期作品的量价关系进行调查。由于这些早期方法中提出的假设的经验证据较少，以交易量为基础的交易活动定义已被交易数量所取代。这种定义是由观察到的价格波动性与交易数量之间的实质性联系引起的（见Jones等人【16】、An'e和Geman【4】以及Dufour和Engle【12】）。例如，Jones等人[16]发现交易量对价格波动性没有预测能力，但交易数量与波动率平方成比例。这种缩放关系将是我们讨论的起点。在上述思想的基础上，随后进行了大量其他研究，例如[2，20]。特别是，让我们指出Wyart等人的贡献。

[31]，他们认为每笔交易的价格波动性，即（价格）×（波动性）×（交易数量）-1/2，与买卖价差成比例。这种联系可以看作是Jones等人提出的关系的一个有点明确的版本。最近，基于市场微观结构的不变性，得出了金融量之间的一般关系，见Kyle和Obizhaeva【18】。特别是，作者提出了一个交易不变性原则（与上述关系相反），该原则是在元订单的潜在层面上制定的。Andersen等人[3]和Benzaquen等人[6]从经验上证实，这种不变性原理的类似物适用于日内可观测量。基本关系可表述如下：一段时间内交换风险的名义价值，定义为产品（波动率）×（交易量）×（价格），与幂的交易数量成比例3/2。Jones等人[16]和Wyart等人[31]提出的这种所谓的日内交易不变性原则及其与关系的关系是本论文的重点。我们的目的是通过应用物理学中著名的方法：量纲分析来批判性地分析这三种关系及其变体。它是一种工具，允许对提议的关系进行假定位，例如上述交易数量公式，但不允许对其进行验证。这一原则在精神上类似于波普尔（K.Popper）的认识论方法，后者又受到经典统计学理论的启发：人们可能会拒绝无效假设，但永远不会证明它。同样，量纲分析只能孤立涉及某些“量纲”的变量之间的函数关系，这些“量纲”不违反这些量纲的明显标度不变性。

因此，它先验地排除了与这些缩放要求相冲突的功能关系。但这并不意味着符合标度要求的确定的功能关系以合理的方式描述了现实。这必须通过其他方法确认。当然，在目前的环境中，最终的挑战是如何满足经验数据。为了完成这幅图，我们对上述关系进行了实证分析，并表明日内交易不变性原则提供了适当的经验数据，但并非“普遍规律”。在维度分析中，有人使用了一个非常明显的论点，即涉及某些“维度”的数量之间的有意义关系不应受到单位的影响，在这些单位中，元顺序（也称为bet）是来自单个投资者相同交易决策的交易集合。测量这些“尺寸”。在目前的语境中，相关的“维度”是时间、份额和金钱，分别表示为T、S和U。我们还将使用一个额外的论点，即Kyle和Obizhaeva（19）提出的“杠杆中立”。我们强调，这些作者是第一个将“杠杆中立性”和维度分析相结合的人。杠杆中性的假设基于ModiglianiMiller定理（见[24]），并导致一个标度不变性原则，该原则在数学上达到顶峰，与上述维度标度要求完全相似。本文其余部分的结构如下。在第2节中，我们首先从维度参数推导出Joneset等人[16]提出的交易数量与价格波动性之间的比例。接下来，我们推导了Benzaquen等人[6]和Wyart等人提出的更复杂的标度关系。

[31]，再次使用维度分析，并在此背景下讨论杠杆中立的假设。为所讨论的关系奠定了理论基础，然后我们转向第3节中的实证分析：基于纳斯达克股票市场的数据，我们表明Benzaquen等人提出的关系非常符合数据。在第4节中，我们将仔细研究波动性，并分析其不同时间尺度的影响。最后，我们给出了这方面的一些经验结果。关于量纲分析中的Pi定理以及所有考虑的关系，请参见附录。2、交易不变性原则我们感兴趣的是解释给定股票中交易的到达率，测量方法为oN=Nt+TT固定时间间隔内的交易数量【t，t+t】，因此Nis是按时间单位测量的。按照[26]中的表示法，变量N与其尺寸单位之间的联系由[N]=T给出-1、让我们确定变量（及其维度[·]），这些变量可能会影响给定区间内交易数量N【t，t+t】。三个明显的候选者是：oV=Vt+Tt时间间隔内股票的交易量[t，t+t]，以每次股票的单位来衡量[V]=S/t。oP=Pt+Tt时间间隔内股票的平均价格[t，t+t]，以每股货币的单位来衡量[P]=U/S。oσ=（σ）t+Tt=Var（log（Pt+t）- log（Pt））在时间间隔【t，t+t】内原木价格的方差。我们假设[σ]=T-1、如果价格过程（Pt）t≥0根据Black-Scholes模型，见（24），我们清楚地发现上述标度[σ]=T-1并应在大部分论文中保留这一假设。然而，σ的标度结果比乍看起来更加微妙。

在下面的第4节中，我们将研究比例关系[σ]=T的含义-2H，其中H∈ （0，1）可能不同于1/2。例如，这种缩放可能来自基于分数布朗运动（BHt）的价格过程≥0带赫斯特参数H∈ （0，1），见【23】。基于这些确定的维度，让我们转向维度分析的基本思想：所考虑关系的有效性不应取决于我们是以秒还是以分钟来衡量时间T，是以单股还是以百股为单位来衡量股票S，是以欧元还是以欧分来衡量货币u。定义1（尺寸不变性）。A函数h:Rn+→ R+将感兴趣的数量U与解释变量W，Wn，即U=h（W，…，Wn），如果在重新缩放相关维度（在我们的案例中为S、T和U）时保持不变，则称为维度不变。作为第一种，也是相当幼稚的方法，我们分析了三个变量σ、P和V充分解释交易数量N的假设。命题1。假设交易次数N仅取决于三个量σ、P和V，即N=g（σ、P、V），（1），其中函数g:R+→ R+是维数不变的。然后，有一个常数c>0，使得交易次数N服从关系N=c·σ。（2） 该证明依赖于初等线性代数，并在下面的附录B中给出（与下面的定理1的证明类似）。回想一下，关系（2）可以追溯到Jones等人【16】。正如导言中所提到的，我们应该将目前支持关系（2）的“维度”论证解读为纯粹的“如果……那么……”断言：如果N真的由σ、P和V完全解释，并且满足S、T和U的明显标度不变性，那么（2）是唯一可能的关系。正如我们将在下文中看到的，经验数据并没有重新确认（2）的有效性。

换言之，我们必须将上述说法颠倒过来：由于（2）没有被经验数据再次证实，变量σ、P和V不能完全解释数量N。因此，为了解释交易数量N，引入更多/其他数量是很自然的。关于（1）中函数g的唯一性，（2）给出的唯一选择g的数学原因是，我们有三个标度关系（与“维度”S、U和T的不变性有关）以及三个解释变量σ、P和V。这导致了三个未知量的三个线性方程，产生了唯一的解。现在让我们通过考虑进一步的解释变量来尝试超越关系（1）的范围。受Wyart等人【31】的启发，我们认为，除了σ、P和V之外，以下数量与给定区间内的交易数量N【t，t+t】相关：oS=St+tt区间内的平均买卖价差【t，t+t】，以每股货币单位衡量【S】=U/S。遵循Benzaquen等人【6】，也可以方便地考虑数量oC=Ct+Tt区间[t，t+t]内每笔交易的平均成本，以货币单位[C]=U来衡量。为了形象化事物，假设我们在时间区间[t，t+t]内平均观察到的一些股票的要价为12.30欧元，出价为12.20欧元，这样出价askspread S等于10美分。如果区间[t，t+t]中的平均交易规模（以q=Qt+Tt表示）为500股，我们得出平均每笔交易成本C=QS为50欧元。关于使用S而不是C作为解释变量之间的差异的讨论可以在本节末尾找到。现在，让我们遵循Benzaquen等人[6]推导日内交易不变性原理，并将其传递给解释变量的集合σ、P、V和C，即，对于某些函数g，N=g（σ、P、V、C），（3）：R+→ R+。

由于我们现在有四个解释变量，由维度S、U和T的尺度不变性产生的三个方程不足以暗示（本质上）g的唯一解。事实上，上述四个解释变量与与S、T和U的三个不变性关系相结合，只得到了形式n=σf的（3）的通解P VσC, （4） 其中f:R+→ R+是一个任意函数，其通用性不能仅通过涉及三维S、T和U的量纲分析的参数来限制（见附录B）。因此，为了获得如（2）中所述的清晰结果，需要额外的“维度不变性”。Kyle和Obizhaeva【19】找到了一种补救方法：一种无套利类型的论点，称为“杠杆中立”。这一概念的灵感来自Modiglianiand Miller[24]（比较[26]）：考虑一家公司的股票，并假设该公司通过支付股息或筹集新资本来改变其资本结构。ModiglianiMiller定理准确地告诉我们，公司的哪些特征不受资本结构变化的影响。这使我们能够确定在公司债务和股权之间的关系方面，当使用杠杆时，某些数量是如何表现的。从概念角度来看，杠杆中性假设在改变公司资本结构的情况下，对数量N、σ、P、V、C（分别）的行为进行了限制。在我们的分析中，这一约束可以理解为一个额外的合成维度，我们称之为ModiglianiMiller“维度”M。公司股份的ModiglianiMiller“维度”M是根据杠杆L来衡量的，即数量L=总资产权益。请注意，Kyle和Obizhaeva[19]在市场影响的背景下使用了杠杆中立的论点。

但是，当然，同样的想法也适用于目前的情况。将L乘以系数a>1等于支付（1- A.-1） 股票的现金股利。另一方面，将L乘以系数0<a<1对应于增加新资本，以便将公司股本增加系数a-1、继Kyleand Obizhaeva【19】和【26】之后，我们得出以下假设：杠杆中立假设（【19，26】）。按系数a缩放Modigliani-Miller“尺寸”M∈ R+意味着N、V和C（以及S）保持不变，oP变化系数a-1，oσ随系数a变化。概括地说：设置a=2相当于支付一半股权作为股息，因此每股产生的股息为（1-A.-1） P=P/2。因此，股票价格乘以-1=1/2，而波动率σ乘以A=2。根据莫迪利亚尼（Modigliani）和米勒（Miller）[24]的见解以及凯尔（Kyle）和奥比扎耶娃（Obizhaeva）[19]最近的研究，剩余的数量不受杠杆变化的影响。经济原因是相应公司的资产价值和相关风险不变。定义2（杠杆中立）。A函数h:Rn+→ R+将数量N与解释变量σ、P、V、C和S相关联，即N=h（σ、P、V、C、S），如果在重新缩放上述假设中定义的变量N、σ、P、V、C、S的Modigliani-Miller维数m时保持不变，则称为杠杆中性。我们现在可以得出以下关系，这是本论文的重点。这证明了一个基本事实，即在“杠杆中性假设”下，我们现在可以找到四个线性方程，以确定四个未知数。请注意，Benzaquen等人【6】将这种关系创造为“3/2定律”。定理1（（3/2）-定律）。