混合LSMC和PDE方法为百慕大期权定价

对于Fourier空间中的每个ω，可以对该ODE进行解析，以获得以下bu（t，ω）=bu（tn+1，ω）·expidSXi=1ΩiZtn+1tai（s）ds-dSXi=1dSXj=1ωiωjZtn+1tbi，j（s）ds= bg（ω，vtn+1）·expiω·Ztn+1+idSXi=1ωiZtn+1tai（s）ds-dSXi=1dSXj=1ωiωjZtn+1tbi，j（s）ds.2.4.3. 数值近似定义特征指数ψ（ω，tn，tn+1）=iω·Ztn+1+idSXi=1ωiZtn+1tnai（s）ds-dSXi=1dSXj=1ωiωjZtn+1tnbi，j（s）dsor更紧凑地ψn，n+1：=ψ（ω，tn，tn+1），使用FST的离散化方法和快速傅立叶变换（FFT），我们有以下递归un=FFT-1dS【FFTdS【gn+1】exp（ψn，n+1）】，其中gn，una分别是g（tn，y）、u（tn，y）的离散化，FFTdS注意到dS维的傅里叶变换。将变量更改回S空间，然后提供原始期望的数值近似值。2.5. 算法讨论我们请读者参阅附录A，以获取基于伪代码的形式化描述。在第5节中，我们证明了对于给定的计算预算，该算法可以准确地确定时间零值曲面和最佳练习区域。这可能是由于我们的PDEgrid S的存在。当沿每条路径求解条件PDE时，我们获得了第2.3.1节所述的预曲面。此时有两种选择：全局回归或局部回归。我们的回归方法可以被视为一种特殊类型的降维局部回归，它是针对S的存在而定制的，相当于NDS仔细选择区域的局部回归。如果Ns=128，dS=dv=2，我们回归到16384个基函数族，代价是求出大小为dB×dB的单个矩阵的逆，其中dbis约为10，并且每个∈ S后一步随着DSR的增加引入了非平凡的成本。

事实上，我们必须只反转一个回归矩阵，独立于S∈ S、 A第3节将更清楚地说明每个时间步。此外，Cn（sj，v）通常作为v的函数很容易拟合，并且似乎可以抵抗基选择问题。使用S还有其他优点。与LSMC的标准方法相比，我们在如何比较连续值和练习值以及定位练习边界方面发生了根本性的转变。在时间n，为每个si设置VN值时∈ S we haveVNn（si，v）=最大值hn（si）、CNn（si、v）,注意，hn（si）是一个确定性常数，而不是一个随机变量的函数。因此，我们将边界定位问题从（S，v）-空间上的全局问题简化为一系列低维问题，这些低维问题本质上更简单，噪声更少。此外，与LSMC相比，不是对单个点的VN进行估计，（S，v）∈ RdS+dv，一个获得半全局解决方案，即avalue for all S∈ S和v∈ Rdv，由于算法的PDE方面。获取ALL的解决方案∈ S允许我们计算关于S的灵敏度，只需很少的额外计算。一般而言，推导条件偏微分方程并非易事，据我们所知，文献中有两种方法：Lipp et al.（2013）、Cozma andReisinger（2017）、Dang et al.（2015）中的漂移离散化方法和Dang et al.（2017）的条件分解。离散化方法相当普遍，可应用于广泛的模型，包括具有非线性LV分量的模型，即随机LV模型。然后，可以使用Lipp等人（2013）中的有限差分类型方法来解决产生的偏微分方程。

我们遵循适用于纯SV模型的条件式方法，避免了时间步进误差和漂移离散化。最后，从偏微分方程的角度，我们从一个确定性偏微分方程问题开始，使用单向耦合，我们将其转换为一个低维随机偏微分方程（SPDE）问题。我们求解的SPDE基本上是Black-Scholes方程，其中系数和终端条件取决于随机模拟过程v。然后使用如上所述的回归来处理问题的多周期方面。鉴于与SPDE的连接，在第4节中，我们开发了一个通用的多层蒙特卡罗（MLMC）方案，该方案完成了算法。3、算法的理论方面在本节中，我们提供了算法机制的更多理论视角。我们从第3.2节开始，介绍收敛结果所需的概念。在第3.2节中，我们推导了估计回归系数的表达式。第3.4小节引入了截断方案，以确保算法得到很好的定义，第3.5小节显示了算法在某些额外连续性条件下几乎可以肯定地收敛。3.1. 符号We表示元素x的欧几里德范数∈ Rnor x∈ Mn×m（R）×x。给定任意函数h:Rn→ R、 我们写| | h||∞:= supx公司∈Rn | h（x）|和supp h：=cl{x∈ Rn | | h（x）|>0}。设X是nwe定义的C（X）的开放子集，C（X）是f:X上的连续函数集→ R在本质上消失。通过消失，我们的意思是，对于每一个ε>0，集合{x∈ X | | f（X）|>ε}是紧的。我们还假设Cc（X）是X.3.2上紧支撑的连续函数集。条件期望和抽样空间3.2.1。

过滤和条件概率我们回忆概率空间的存在(Ohm, F、 Q）通过强大、独特的解决方案满足SDEs系统的流程（St、vt）。在本节中，我们将严格定义波动路径上的条件化概念。设Fvs，t=σ（vu）u∈[s，t]，FSs，t=σ（Su）u∈[s，t]和FWvs，t=σ（Wvu）u∈【s，t】即V、s和Wv分别产生的自然过滤。为了扩展这种表示法，我们有时会为某个进程Z编写FZt：=FZ0，tf。Giventn∈ [0，T]，我们定义了一类新的（条件）概率度量Qtn，Svia Qtn，S（B）=Q（B | Stn=S），用于B∈ FStn，T∨ Fvtn，T.3.2.2。在这一节中，我们简要介绍了波动路径条件的概念。对于实现vt和Wvton【tn，tn+1】，我们将其表示为【v】tn+1tn，存在路径的有限维静态，∧n:C（【tn，tn+1】）dv+dWv→ Rd∧，使得以下类似马尔可夫的关系保持seq[h（Stn+1，vtn+1）| Stn=S，FWvtn，tn+1]=等式[h（Stn+1，vtn+1）| Stn=S，λn（[v]tn+1tn），vtn+1]。（7） 这可以从第2.4节中导出的条件偏微分方程的解中看出，该解仅依赖于向量shrtn+1tnai（s）dsii、hRtn+1tnbi、j（s）dsii、j和Ztn+1。在我们的算法中，当计算回归系数时，我们会遇到公式hφ（vtn）h（Stn+1，vtn+1）的期望值Stn=S，FWvtn，tn+1，其中φ：Rdv→ R取决于统计量Θn（[v]n+1n）：=（vtn，∧n（[v]n+1n），vtn+1）。为了压缩表示法，我们再次将Θn（[v]n+1n）替换为[v]tn+1，并简单地写qhφ（vtn）h（Stn+1，vtn+1）Stn=S，[v]tn+1tni：=等式φ（vtn）h（Stn+1，vtn+1）Stn=S，Θn（[v]n+1n）.3.2.3.

重新表达条件期望方程（7）会产生映射Gf，tn，S，由Gf，tn，S定义：RdΘ→ R，Gf，tn，S（θ）=等式[f（Stn+1，vtn+1，vn）| Stn=S，Θn=θ]（8）和通过Qtn，S，θ（B）定义的条件概率度量Qtn，S，θ）：=Q（B | Stn=S，Θn=θ）∈ σ（Stn+1）∨ σ（vtn+1）∨ σ（vtn）。LettingeQΘndennoteΘnon RdΘ我们的条件期望的分布可以写成q[f（Stn+1，vtn+1，vtn）| Stn=S，Θn=θ]=ZOhmf（Stn+1（ω），vtn+1，vtn）dQtn，S，θ（ω），因此我们有以下关系式[f（Stn+1，vtn+1，vtn）| Stn=S]=ZRdΘZOhmf（Stn+1（ω），vtn+1，vtn）dQtn，S，θ（ω）deQΘn（θ）。(9)3.2.4. 继承的采样概率空间单向耦合的结果是能够独立于St模拟vt的路径。我们现在理解了vt样本路径的iid集合的概念。由于我们仅通过统计量Θn实现vt，我们仅描述如何生成Θn的iid副本。表示有序子集{0=t，…，tn，tn+1，…，tn=t} [0，T]，设{[tn，tn+1]}N-1n=0为相应的间隔。给定路径vton[0，T]，定义dΘ×N维矩阵Θ（[v]）=[Θ（[v]），ΘN-1（[v]NN）-1)].该随机矩阵在RNdΘ上产生一个measureeQΘ。GiveneQΘ，我们引入了一个新的概率空间(Ohm, F、 Q）配备有一组独立的随机矩阵{Θ（[vj]）}∞j=1，这样每个Θ（[vj]）在RNdΘ上都有分布qΘ。这一构造源自Kolmogorov将REM扩展到RNdΘ上的测量（关于R的证明，请参见Durrett（2010），关于更一般的空间，请参见Aliprantis和Border（2006））。然后，每个列Θn（[vj]n+1n）都有distributioneQΘnon RdΘ。虽然流程尚未确定Ohm, 我们仍然可以使用（8）中定义的Gf、tn、S（Θ）计算涉及该过程的相关预期。我们还记得，一个随机变量Ohm对应于映射X的非等效类：Ohm→ R同意Q-a.s.3.2.5。

计算极限在我们的算法中取极限时，我们考虑formlimN的表达式→∞NNXj=1EQ[f（Sn+1，vtn+1，vtn）| Stn=S，[vj]n+1n,式中，f有界，根据强大的拉金数定律（SLLN），其收敛于q下的等式[Gf，tn，S（Θ（[v]tn+1tn））]a.S。然而，出于我们的目的，我们需要收敛到Qf（Stn+1，vtn+1，vtn）| Stn=S.建立这些表达式之间的等价关系：EQ[Gf，tn，S（Θ（[v]tn+1tn））]=ZOhmGf，tn，S（Θn（[v（ω）]n+1n））dQ（ω）=ZRdΘGf，tn，S（θ）deQΘn（θ）=ZRdΘEQ[f（Stn+1，vtn+1，vtn）| Stn=S，Θn=θ]deQΘn（θ）=ZRdΘZOhmf（Stn+1（ω），vtn+1，vtn）dQtn，S，θ，n（ω）deQΘn（θ）=等式[f（Stn+1，vtn+1，vtn）| Stn=S]（10），其中第二个等式从Θ（[v]tn+1tn）开始分布。3.3. 延续函数提醒读者，对于每个n，随机变量{[vj]n+1n}∞j=1在空间上定义Ohmandare iid（见第3.2.4节的讨论）。为了便于说明，我们假设无风险利率为0。由于我们的算法基于Tsitsiklis和Van Roy（2001）对LSMC的方法，因此我们的许多表达式都是相似的。3.3.1. 对于每一个n，我们考虑一个理想化连续函数族Cn，它是通过反向归纳法构造的。我们从写CM开始≡ 0和Cn（S，v）=n<M的an（S）·φ（v），其中an（S）是将随机变量eq[max（hn+1（Sn+1），Cn+1（Sn+1，vn+1））| Sn=S，vn]回归到每个S的{φM（·）}dBm=1的基础上的结果∈ S、 系数向量an（S）是使映射Hn，S:RdB最小化的向量→ Rdefined byHn，S（a）=EQh等式[fn+1（Sn+1，vn+1）| Sn=S，vn]- a·φ（vn）| Sn=Si（11），其中fn（S，v）=max（hn（S），Cn（S，v））表示n<M，fm（S，v）=hM（S）。（12） 为了使H最小化，我们获得了一阶条件并获得了正态方程，从而得出了系数san（S）=A-1n·EQ[φ（vn）fn+1（Sn+1，vn+1）| Sn=S]，其中An=EQ[φ（vtn）φ（vtn）|]。3.3.2.

几乎理想化连续函数下一步，对于固定的tn，我们定义了一种新的连续值，称为几乎理想化连续函数，eCNn（S，v）=eaNn（S）·φn（v）。这些随机变量是通过运行动态规划算法获得的，该算法在任何时候都具有理想的连续值k=M。。。，n+1。然后，在时间步n，我们使用vt的n条路径和未来的理想连续值来估计eaNn（S）。这为我们提供了以下回归系数：eaNn（S）=安-1NNXj=1φ（vjn）·等式fn+1（Sn+1，vn+1）| Sn=S，[vj]n+1n其中，ANn=NPNj=1φ（vn）φ（vn）T。请注意，fn+1包含时间n+1.3.3的理想连续值。估计的连续函数估计的连续函数是我们的算法生成的连续函数：CNn（S，v）=aNn（S）·φn（v）。回归系数由ann给出=安-1·NNXj=1φ（vjn）·EQhfNn+1（Sn+1，vjn+1）| Sn=S，[vj]n+1ni（13），其中fnn（S，v）=最大值（hn（S），CNn（S，v）），对于n<M，fnm（S，v）=hM（S）。3.4. 截断方案我们现在为最小二乘回归说明以下截断方案。它确保了算法产生的系数得到很好的定义，并在稍后描述的意义上收敛。假设1（截断条件）。基函数{φm}dBm=1有界并支持在一个紧矩形上。2、回归矩阵的逆满足supn，N | |[ANn]-1||∞,Q<∞ 如果定义了反比。3、对于每个i=1。。。，M，运动值hti（·）以S中的紧支撑为界 RdS。条件（1）可以通过限制{φl}在有界域上的支撑来施加，因为它们通常是mooth。

通过制作suppφ RDV要成为一个非常大的矩形，值函数基本上不受影响。通过替换【ANn】施加条件（2）-1与[安]-1In，nr其中In，nr是事件的指示器，[ANn]-1由某个常数R一致有界。如果R>A-1n |那么我们有[安]-1英寸，个→ A.-1nQ-a.s.同样，通过将R设为一个非常大的常数，这基本上不会对算法获得的值产生影响。函数h的条件（3）在实际中总是满足的，因为数值求解h域的PDE涉及结构。引理1。在给定截断条件下，（11）中定义的函数Hn、Sde的值为all n=1。。。，M- 1、由于证明简单，因此省略了证明。下一个引理建立了理想化、几乎理想化和估计系数之间的有用关系。引理2。让n∈ {1，…，M- 2} ，S∈ S、 存在一个常数c，它取决于截断条件，例如| aNn（S）- 安（S）|≤ c·βNn（S）+δNn（S），其中βNn（S）=NNXj=1EQ|aNn+1（Sn+1）- an+1（Sn+1）| Sn=S，[vj]n+1n.和δNn（S）=eaNn（S）- （14）证明。给定n∈ {1，…，M- 1} 和S∈ 我们有|安- 安（S）|≤ |安（S）- eaNn |+| eaNn（S）- 安（S）|。简化后，我们发现| aNn（S）- eaNn（S）|≤ |[安]-1RA |·NNXj=1EQh | fNn+1（Sn+1，vjn+1）- fn+1（Sn+1，vjn+1）| | Sn=S，[vj]n+1ni·|φ（vjn）|≤ c·NNXj=1EQh | fNn+1（Sn+1，vjn+1）- fn+1（Sn+1，vjn+1）| | Sn=S，[vj]n+1ni（15），然后我们关注预期内的差异。使用不等式| max（a，b）-最大值（a，c）|≤ |b-c | we findeqh | fNn+1（Sn+1，vjn+1）- fn+1（Sn+1，vjn+1）| | Sn=S，[vj]n+1ni=EQh | max（hn+1（Sn+1），CNn+1（Sn+1，vjn+1））- 最大值（hn+1（Sn+1），Cn+1（Sn+1，vjn+1））| | Sn=S，[vj]n+1ni≤ 方程| CNn+1（Sn+1，vjn+1）- Cn+1（Sn+1，vjn+1）| | Sn=S，[vj]n+1ni≤ 均衡器|aNn+1（Sn+1）- an+1（Sn+1）| Sn=S，[vj]n+1n· |φ（vjn+1）|≤ c·EQ|aNn+1（Sn+1）- an+1（Sn+1）| Sn=S，[vj]n+1n（16） 其中c，cdepend在截断条件上。

将（16）代入（15），得到结果。3.5. 纯SV模型下的几乎肯定收敛在本节中，我们证明了对于一类具有一定可分性条件的模型，系数也几乎肯定收敛，这是我们的SV模型所满足的。假设2（可分性条件）。让n∈ {1，…，M- 1}1. 过程St，对于所有t∈ [0，T]，取值inS=n（S（1）。。。，S（dS））∈ RdS | S（i）>0，i=1。。。，dSo，a.s.2。如果Sn=S几乎可以肯定，即过程在时间tn的S开始，则Sn+1=SRn=（S（1）nR（1）n。。。，S（ds）nR（ds）n），其中RN不取决于Sn的值。RN取S a.S.3中的值。运动函数h在S中是连续的，具有紧支集。基函数φ在Rdv上是紧支集和连续的。条件（1）将我们的分析局限于仅取正值的资产，如股票和外汇汇率。条件（2）允许我们将未来资产价格作为其当前价格和回报的乘积进行分离。S中Rntake值的假设意味着它们是有限值a.S。因此，如果ε>0，则存在元组{（r（i）l，r（i）h）}dSi=1，其中r（i）l>0，从而Ohmεrl，rh=nr（i）l≤ R（i）n≤ r（i）h | n∈ {1，…，M- 1},  我∈ {1，…，dS}o Ohm （17） 满意度Q(Ohmεrl，rh）>1-ε. 我们还写出εrl，rh=nR∈ RdS | r（i）l≤ R（一）≤ r（i）h， 我∈ {1，…，dS}o。给定Eεrl，rh，我们可以找到一个开集Uε，使得Eεrl，rh Uε和Uε（S。根据Urysohn引理/Tietze的张力定理（见Munkres（2000）），存在一个映射ηE:S→ R使得Eεrl、rh上的ηE=1，S\\Uε和| |ηE上的ηE=0||∞≤ 1，即e上支持的凹凸函数。在大多数情况下，我们的符号将抑制对rl、rh、ε的依赖。条件（3）允许我们应用Stone-Weierstrass（SW）定理，该定理是即将在引理中演示的“分离技术”的基础。

我们将SW版本应用于在内部消失的无边界域上的函数（见Folland（1999））。假设我们得到了看涨期权的支付函数，例如：R→ R其中g（x）=（x- K） +。为了修改g，使其符合我们的假设，我们首先截断其支持度，以获得函数f（x）=（x- K） +I（0，R）（x），其中Ris为大数。最后，我们在R上连续扩展f，使得f=0在（R，∞) 其中，R>R。对于接近0的看跌期权支付和高维域上的支付，可以进行类似的构造。在这些假设下，我们得到以下主要结果。定理1。让n∈ {1，…，M- 1} 和S∈ 这是固定的。那么我们有Limn→∞|安（S）- an（S）|=0Q几乎可以肯定定理1告诉我们，对于几乎所有路径序列的选择，基于这些路径的系数收敛到真正的理想化系数。然后，由于CNn（S，v）=aNn（S）·φ（v），连续值、期权价格和最佳行使边界几乎肯定会收敛（直到我们的基本假设的偏差）。该证明借鉴了Tsitiklis和Van Roy（2001）以及Cl’ement等人（2002）的观点，并采取了以下步骤1。引理3。进行一个几何构造，使我们能够近似分离S中连续且紧支撑的函数h。提供近似分离的函数表示为ψ。引理4。使用几何构造来显示h与分离函数ψ之间的显式关系，从而证明所谓的分离估计。引理5。证明n=M的定理- 1并获得| aNM的几乎确定的分离估计-1（S）- 是-1（S）|。引理6。证明n=M的定理- 2并获得| aNM的几乎确定的分离估计-2（S）-是-2（S）|。n=M的分离估计-2涉及函数δNM-2（S）定义为第（14）条。引理7。