混合LSMC和PDE方法为百慕大期权定价

对所有n的δnn进行几乎确定的分离估计∈ {1，…，M- 2}.6、提案1。证明n={1，…，M的定理- 3} 使用引理6和引理7。同时获得| aNn（S）的最可靠分离估计值- 感应过程中使用的。引理3。设ε>0，h:S→ R在S中连续且紧支撑。Leeth:S×S→ R定义的viaeh（S，R）=h（S R） ·ηE（R），其中E来自（17）。存在一个映射ψ：S×S→ 形式为ψ（S，R）=kXi=1ψi，S（S）ψi，R（R），使得ψi，S，ψi，R∈ 抄送和| | eh- ψ||∞< ε证明。它遵循映射i（S，R）=S的性质ηe和h的紧支撑，thateh在S×S中紧支撑。我们也有thateh在S×S上连续。为了构造ψ，我们首先定义函数代数a：=（kXi=1ψi，S（S）ψi，R（R）|ψi，S，ψi，R∈ Cc（S），k∈ N） 在均匀度量下，A在C（S×S）中是稠密的。给定两个不同的点{（Si，Ri）}i=1，在不丧失一般性的情况下，我们假设S6=S。我们现在找到凸点函数ηS，1，ηS，2∈ 将S，S，即ηS，1（S）=1，ηS，1（S）=0，ηS，2（S）=0，ηS，2（S）=1与凹凸函数ηR分开的Cc（S）∈ Cc（S）是在Rand R上支撑的。让ψ（S，R）=ηS，1（S）·ηR（R）和ψ（S，R）=ηS，2（S）·ηR（R），我们有一个分隔点。因为A包含每个点（S、R）支持的凹凸函数∈ S×S，它在任何地方都不会消失。引理4。设ε>0，h:S→ R是连续的，在S中有支撑。Leteh是引理3的陈述，ψ（S，R）是H的可分ε-近似。存在一个随机变量F（S）和函数G（S）：S→ R，使EQφ（vn）h（Sn+1）| Sn=S，[v]n+1n= F（S）+φ（vn）kXi=1ψS，i（S）EQψR，i（Rn）|[v]n+1n公式[φ（vn）h（Sn+1）| Sn=S]=G（S）+kXi=1ψS，i（S）公式[φ（vn）ψR，i（Rn）]，其中| F（S）||∞,Q≤ cε，| G（S）|≤ 所有S的cε∈ 其中c，c仅在截断和可分性条件下结束。证据

我们将仅显示第一个关系，因为它们是相似的。均衡器φ（vn）h（Sn+1）| Sn=S，[v]n+1n= 公式[φ（vn）h（S Rn）（1- ηE（Rn））| Sn=S，[v]n+1n]+等式φ（vn）h（S Rn）ηE（Rn）| Sn=S，[v]n+1n= F（S）+EQhφ（vn）eh（S Rn）| Sn=S，[v]n+1ni=F（S）+EQhφ（vn）（eh（S 注册护士）- ψ（S，Rn））| Sn=S，[v]n+1ni+EQφ（vn）ψ（S，Rn）| Sn=S，[v]n+1n= F（S）+F（S）+等式φ（vn）ψ（S，Rn）| Sn=S，[v]n+1n= F（S）+F（S）+等式φ（vn）ψ（S，Rn）| Sn=S，[v]n+1n= F（S）+F（S）+φ（vn）kXi=1ψS，i（S）EQψR，i（Rn）|[v]n+1n然后得出| | Fi（S）||∞,所有S的Q<ciε∈ S和i=1，2，其中cidepend取决于我们的截断和可分性条件。最后，我们设置F（S）=F（S）+F（S）。引理5。设ε>0。我们有| aNM-1（S）- 是-1（S）|≤ 厘米-1ε+kM-1XiM-1=1αiM-1，牛米-1，MψS，iM-1（S）a.S.，其中αiM-1，牛米-1，依赖于{[vj]MM的马尔随机变量-1}∞j=1和limN→∞αiM-1，牛米-1，M=0 a.s.，ψs，iM-1满足引理4和cM的条件-1依赖于我们的截断和可分性条件。证据给定ε>0，我们有| aNM-1（S）- 是-1（S）|=|[ANM-1]-1NNXj=1φ（vjM-1） 等式[h（SM）|[vj]MM-1，SM-1=秒]- A.-1米-1EQ[h（SM）φ（vM-1） | SM-1=S]|。通过引理4，我们可以找到常数c和可分离ε-近似ψM-1（S，R）使| aNM-1（S）- 是-1（S）|≤ |ANM公司-1.-1NNXj=1φ（vjM-1） kMXiM-1=1ψS，iM-1（S）等式ψR，iM-1（RM-1） |[vj]毫米-1.- A.-1米-1kMXiM-1=1ψS，iM-1（S）等式φ（vM-1） ψR，iM-1（RM-1)| + cε≤公里数-1XiM-1=1 |ψS，iM-1（S）|·αiM-1，牛米-1，M+cε，其中最后一行从交换求和开始，c取决于截断和可分性条件以及αiM-1，牛米-1，M=|[ANM-1]-1NNXj=1φ（vjM-1） 均衡器ψR，iM-1（RM-1） |[vj]毫米-1.- A.-1米-1EQφ（vM-1） ψR，iM-1（RM-1)|.由SLLN，limN→∞αiM-1，牛米-1，对于所有iM，M=0 a.s-1.∈ {1，…，kM}。引理6。设ε>0。我们有| aNM-2（S）- 是-2（S）|≤ cnm-2ε+kM-1XiM-1=1αiM-1，牛米-1，MkM-2XiM-2αiM-2，即时消息-1，牛米-2，米-1ψS，iM-2，即时消息-1（S）+δNM-2（S）a.S。

其中αiM-1，牛米-2，米-1是依赖于{[vj]M的随机变量-1米-2}∞j=1和令人满意的支持→∞αiM-2，牛米-2，米-1< ∞.此外，lim supN→∞cnm-2< ∞ 有一个界仅取决于我们的截断和可分性条件以及ψS，iM-1，即时消息-2满足引理4的条件。最后，δNM-2如（14）所述。证据给定ε>0，使用引理2和5，我们得到了a.s.| aNM-2（S）- 是-2（S）|≤ ecNNXj=1EQ|aNM公司-1（SM-1) - 是-1（SM-1） | | SM-2=S，[vj]M-1米-2.+ δNM-2（S）≤ cε+kM-1XiM-1αiM-1，牛米-1，MNNXj=1EQψS，iM-1（SM-1） | SM-2=S【vj】M-1米-2.+ δNM-2（S）对于每个ψS，iM-1，我们应用引理4，得到了一个可分离的ε-逼近函数ψiM-ψiM形式的1（S，R）-1（S，R）=kM-2XiM-2=1ψS，iM-2，即时消息-1（S）ψR，iM-2，即时消息-1（R）并将其应用于预期。这将导致| aNM-2（S）- 是-2（S）|≤ （c+ecNM-2） ε+kM-1XiM-1=1αiM-1，牛米-1，MkM-2XiM-2=1αiM-2，即时消息-1，牛米-2，米-1ψiM-2，即时消息-1（S）+δNM-2（S）其中limN→∞ecNM公司-2=0和αiM-2，牛米-2，米-1=NPNj=1EQψR，iM-2，即时消息-1（RM-2） |[vj]米-1米-2.. 通过SLLN，δNM-2（S）和αiM-2，牛米-2，米-1对于每个（iM-1，即时消息-2） 最终收敛到0 a.s.，设置cNM-2=c+ecNM-2简化引理。引理7。让n∈ {1，…，M- 2} ，δNn（S）如（14）所示，ε>0。我们有δNn（S）≤ c·ε+knXin=1βin，Nn，n+1ψin（S）Q-a.S.其中βin，Nn，n+1是依赖于{[vj]n+1n}的随机变量∞j=1，limN→∞βin，Nn，n+1=0 a.s.，c依赖于截断和可分性条件，ψ不满足引理4的条件。证据我们将证明分为多个阶段。ak、fk的初步估计。如（12）所述。我们首先展示了每个j∈ {n，…，M- 1} thataj（S）=Fj（S）+Gj（S）Fj（S，v）=Hj（S，v）+Jj（S，v），其中| Fk（S）|≤ ckε，| Hk（S，v）|≤ ckε与ck，ck取决于截断条件和可分离条件。函数Gj允许表示Gj（S）=Pkjij=1cij，jψS，ij（S），其中cij，j∈ RdBandψS，ij∈ 抄送（S）。最后Jj（S，v）=max（h（S），Gj（S）·φ（v））。

为此，我们让j=M- 1和thataM-1（S）=A-1米-1EQ[φ（vM-1） h（SM）| SM-1=S]=A-1米-1EQ[φ（vM-1） h（S） RM-1)(1 - ηE（RM-1） ）]+A-1米-1EQ[φ（vM-1） h（S） RM-1） ηE（RM-1） （18）其中E如（3.5）所示，并集中于第二项。我们删除了-1： R2dS+dv→ RdBeΞM-1（S，R，v）=φ（v）h（S R） ηE（R）=φ（v）eh（S，R），并应用引理3找到形式为ψM的ε-分离函数-1（S，R）=PkM-1英寸-1=1ψS，iM-1（S）ψR，iM-1（R）式中ψS，iM-1，ψR，iM-1.∈ 抄送和| | eh- ψM-1||∞< ε. 这让我们可以写下-1（S，R，v）=F2，M-1（S，R，v）+φ（v）ψM-1（S，R），其中F2，M-1（S，R，v）=φ（v）（eh（S，R）- ψM-1（S，R））和等式[F2，M-1（S，RM）-1，vM-1） ]<cε和c取决于我们的截断和可分性条件。回到（18）中的表述，我们最终-1（S）=FM-1（S）+kM-1XiM-1=1厘米-1，米-1ψS，iM-1（S）=：FM-1（S）+总经理-1（S）其中| FM-1（S）|≤ 厘米-所有S为1ε∈ S，厘米-1依赖于截断和可分性条件，以及CIM-1，米-1=等式φ（vM-1） ψR，iM-1（RM-1).我们现在转到fM-1（S，v）fM-1（S，v）=最大（h（S），aM-1（S）·φ（v））=最大值（h（S），FM-1（S）·φ（v）+GM-1（S）·φ（v））=hmax（h（S），FM-1（S）·φ（v）+GM-1（S）·φ（v））- 最大（h（S），GM-1（S）·φ（v））i+最大（h（S），GM-1（S）·φ（v））。等于HM-1（S，v）至括号内的术语和JM-1（S，v）：=最大（h（S），GM-1（S）·φ（v）），给出了所需的表格，并得出j=M的索赔结论- 1、现在让j∈ {1，…，M- 2} ，我们有aj（S）=A-1jEQ[φ（vj）fj+1（Sj+1，vj+1）]=A-1jEQ[φ（vj）Hj+1（Sj+1，vj+1）]+A-1jEQφ（vj）最大值（h（S Rj）、Gj+1（S） Rj）·φ（vj+1））（1- ηEj+1（Rn）））+ A.-1jEQφ（vj）最大值（h（S） Rj）、Gj+1（S） Rj）·φ（vj+1））ηEj+1（Rn）,其中Ej+1如（17）所示，因此Q(Ohmεj+1，c）<ε| | Jj+1||∞, 关注最终期限。根据假设，Gj+1（S）=Pkj+1ij+1=1cij+1ψS，ij+1（S），其中cij+1∈ RdB。

让dij+1（v）=cij+1·φ（v），我们考虑函数eΞj:R2dS+2dv→ RdBeΞj（S，R，v，v）=φ（v）maxh（S） R） ηEj+1（R），kj+1Xij+1=1dij+1（v）ψS，ij+1（S R） ηEj+1（R）= φ（v）最大值eh（S，R），kj+1Xij+1=1dij+1（v）eψS，ij+1（S，R）式中，eψS，ij+1（S，R）=ψS，ij+1（S，R）ηEj+1（R）。在进行与j=M非常相似的施工之前-1例，我们让Aj+1=| |呃||∞+Pkj+1ij+1=1 | | dij+1||∞||eψS，ij+1||∞. 接下来，我们注意到Maxeh，kj+1Xij+1=1dij+1eψS，ij+1∈ 复写的副本S×S×Rdv并找到形式为ψj（S，R，v）=Pkjij=1ψS，ij（S）ψR，v，ij（R，v）的函数，使得ψS，ij∈ Cc（S），ψR，v，ij∈Cc（S×Rdv）和最大值eh，kj+1Xij+1=1dij+1eψS，ij+1- ψj∞< ε.最后，我们写出aj（S）=Fj，1（S）+Fj，2（S）+Fj，3（S）+Pkjij=1cij，jψS，ij（S），其中Fj，1（S）=A-1jEQ[φ（vj）Hj+1（Sj+1，vj+1）| Sj=S]，Fj，2（S）=A-1jEQφ（vj）最大值（h（S Rj）、Gj+1（S） Rj）·φ（vj+1））（1- ηEj+1（Rn）））,Fj，3（S）=EQheΞj（S，Rj，vj，vj+1）- φ（vj）ψj（S，Rj，vj+1）iso对于i=1，2，3，我们有| | Fj，i||∞≤ cj，iε，其中cj，idepend on our truncation and separability conditions and cij，j=Eφ（vj）ψR，v，ij（Rj，vj+1）. 还有ψS，ij（S）∈ 抄送（S）。将Fj=Fj，1+Fj，2+Fj，3和Gj（S）作为最终期限，完成aj（S）的索赔。显示fj（S，v）的结果类似于基本情况，因此我们省略了证明。δNn（S）的估计我们写δNn（S）=|安-1NNXj=1EQφ（vn）fn+1（Sn+1，vn+1）| Sn=S，[vj]n+1n- A.-1nEQ[φ（vn）fn+1（Sn+1，vn+1）| Sn=S]|≤ |安-1NNXj=1EQφ（vn）Jn+1（Sn+1，vn+1）| Sn=S，[vj]n+1n- A.-1nE[φ（vn）Jn+1（Sn+1，vn+1）| Sn=S]+cε≤ |安-1NNXj=1φ（vjn）等式最大值（h（Sn+1），Gn（Sn+1）·φ（vn+1））ηE（Rn）| Sn=S，[vj]n+1n- A.-1nEQ[φ（vn）max（h（Sn+1），Gn（Sn+1）·φ（vn+1））ηE（Rn）| Sn=S]|+cε，其中c和cdepend取决于截断条件。

现在，我们将重点放在我们期望的表达上，并定义函数：R2dS+2dv→ RdBeΞn（S，R，v，v）=φ（v）max（h（S R） ，Gn（S） R） ·φ（v））ηE（R）=φ（v）max（h（S R） ηE（R），Gn（S R） ηE（R）·φ（v））=φ（v）max（eh（S，R），eGn（S，R）·φ（v）应用与前面步骤完全类似的技术，我们获得了形式E（S，R，v，v）=F（S，R，v，v）+φ（v）Pknin=1ψS，in（S）ψR，v，in（R，v）的分离估计foreΞ，其中F是适当有界的，ψS，in∈ 抄送（S）。这导致δNn（S）≤ cε+Pknin=1 |ψS，in（S）|·βin，Nn，n+1，其中c再次取决于截断条件和βl，Nn，n+1=|安-1NNXj=1φ（vjn）等式ψR，v，in（Rn，vn+1）|[vj]n+1n- A.-1 NEQφ（vjn）ψR，v，in（Rn，vn+1）|.到了SLLN，对于每一个in，我们都有一个limN→∞βin，Nn，n+1=0 a.s完成验证。提案1。让n∈ {1，…，M- 3} ε>0。我们有|安（S）- 安（S）|≤ cNnε+δNn（S）+αNn（S）+M-2Xl=n+1βNl，n（S）（19）a.S.，其中αNn（S）=kM-1XiM-1=1αiM-1，牛米-1，MkM-2XiM-2=1αiM-2，即时消息-1，牛米-2，米-1.knXin=1α英寸，。。。，感应电动机-1，Nin，in+1·ψn，αin，。。。，感应电动机-1（S），βNl，n（S）=mlXil=1βl，il，Nl-1，lml-1Xil-1=1βl，il，il-1，Nl-2，l-1.mnXin=1βl，il，。。。，in，Nn，n+1·ψn，βil，。。。，in（S），limN→∞αiM-1，牛米-1，M=0，lim supNαij，。。。，il，Nk-1，k<∞,  k∈ {n，…，M- 1} a.s.和 l∈ {n+1，…，M- 2}, j∈ {n，…，l}limN→∞βl、il、Nl-1，l=0，lim supNβl，ij，。。。，il，Nk-1，k<∞几乎可以肯定。lim supncnn的界取决于我们的截断和可分性条件以及ψk，αil，。。。，in，ψk，βil，。。。，满足引理3的条件。通过在两侧取极限，并注意所描述的随机变量、映射和常数的性质，主要定理如下。命题证明。

我们从n=M开始-通过引理2和引理6，我们几乎可以确定| aNM-3（S）- 是-3（S）|≤ δNM-3（S）+ecNNXj=1EQ|aNM公司-2（SM-2) - 是-2（SM-2） | | SM-3=S，[vj]M-2米-3.≤ δNM-3（S）+cNM-2+eckM-1XiM-1=1αiM-1，牛米-1，MkM-2XiM-2αiM-2，即时消息-1，牛米-2，米-1NNXj=1EQψS，iM-2，即时消息-1（SM-2） | SM-3=S，[vj]M-2米-3.（20） +ecNNXj=1EQ[δNM-2（SM-2） | SM-3=S，[vj]M-2米-3] （21）第（20）行可以像引理6的证明一样处理。对于第（21）行，我们使用引理7和writenxj=1EQ[δNM-2（SM-2） | SM-3=S，[vj]M-2米-3]≤ cε+mM-2XiM-2=1βM-2，即时消息-2，牛米-2，米-1NNXj=1EQ[ψiM-2（SM-2） | SM-3=S，[vj]M-2米-3] limN在哪里→∞βM-2，即时消息-2，牛米-3，米-2=0 a.s.我们采用通常的分离技术，我们省略了其中的细节。然后我们获得| aNM-3（S）- 是-3（S）|≤ cnm-3+δNM-3（S）+公里-1XiM-1=1αiM-1，牛米-1，MkM-2XiM-2αiM-2，即时消息-1，牛米-2，米-1公里-3XiM-3αiM-3，即时消息-2，即时消息-1，牛米-3，米-2·ψM-3，αS，iM-3，即时消息-2，即时消息-1（S）+kM-2XiM-2=1βM-2，即时消息-2，牛米-2，米-1毫米-3XiM-3=1βM-2，即时消息-2，即时消息-3，牛米-3，米-2ψM-2，βiM-3，即时消息-2（S）几乎肯定对应于l=M-2且上述随机变量满足必要条件。归纳法的其余部分与建立命题的前一个引理的基本情况和证明完全相似。4、复杂性和多级蒙特卡罗/多重网格概述通过从SPDE角度查看我们的条件偏微分方程，我们自然会考虑Giles（2015）中的多级蒙特卡罗（MLMC）/多重网格方法，以降低复杂性。对于直接估计量，我们的系数取决于我们的SPDE的解的期望，这可以使用MLMC计算。此外，低估计量表示为可使用MLMC计算的期望值。MLMC调整倾向于将运行时间减少至少一个数量级。

MLMC方法也出现在Ang（2013）和Dang（2017）的混合MC-PDE作品中。附录A.4.1中的算法3提供了基于此思想的方法的伪代码描述，如下所述。多级蒙特卡罗/多重网格4.1.1。MLMC为了计算估计的系数假设，我们对vton[0，T]进行了L个独立的模拟，表示{（v（L）T）}Ll=0，其中Nvlpaths为Nvl>Nvl+1。此外，设P（j，l）n（S）表示第j条路径上条件PDE的数值解，其中，在[tn，tn+1]上，在每个维度上，网格分辨率为NSl，其中NSl<NSl+1。使用通常的多级MC方法，我们可以编写≈安-1“NvNXj=1φ（vj，0n）·P（j，0）n（S）+L-1Xl=0NlNlXj=1φ（vj，ln）·（Pj，l+1n（S）- Pj，ln（S）），（22），其中，对Pj，ln（S）中的每一个进行插值，以获得与L级网格匹配的分辨率。在计算（22）时，以及在为PDE生成终端条件时，naive实现可能会执行数千次插值。我们的伪代码描述（附录A中的算法3）显示了如何将插值总数保持在最小。4.1.2. 对于时间零点价格的低偏差估计，我们再次对vton[0，T]进行L个独立的模拟，表示为{（v（L）T）}Ll=0，其中Nvlpaths为Nvl>Nvl+1。设P（j，l）（S）表示第j条路径上条件偏微分方程的数值解，网格分辨率为NSlover[0，T]，其中NSl<NSl+1we haveVl，0（S）≈NvNvXj=1P（j，0）（S）+L-1Xl=0NvlNvlXj=1（Pj，l+1（S））- Pj，l（S）），再次插值低分辨率栅格，以匹配最高分辨率栅格。我们不提供此部分的伪代码描述，因为它相对简单。4.2.

复杂性概述虽然完整的复杂性分析超出了本文的范围，但我们概述了成本和错误的来源，并讨论了我们的MLMC-FST方案的复杂性。直接估计分为三个主要阶段：路径模拟、条件偏微分方程的求解和回归步骤。假设路径模拟采用Euler离散化，条件偏微分方程采用FST方法，神经网络反演采用高斯-乔丹消元法，我们得到了算法成本的以下表达式：C=CPath。Sim卡+CPDE+CReg。~ Nv·Nt+NdSS·（对数NS）·Nv+（Nv·dB+dB+dB·NdSS）。CReg中的术语。对应于构建ANn、计算其逆运算和乘法的成本【ANn】-1到每个NDS回归站点的长度dBvector。我们对网格中单个点的算法误差进行以下粗略估计：∈ S、 ε（S）~ ε路径。Sim卡+εPDE+εReg。~√Nv+Nt+NS系列+√内华达州+ E（dB、Nv、Nt、NS），其中确定E是未来论文的主题。对于其他形式的LSMC，εReg。Glasserman等人（2004年）、Stentoft（2004年）、Eglo off（2005年）、Belomestny（2011年）对此进行了研究。未来论文中的另一个重要问题是，Nv、Nt、NS、dbs的数量是如何导致误差的，并且应该如何进行最佳平衡的，特别是在我们下面讨论的MLMC的背景下。在第5节中，除了对Heston型模型实施混合LSMC/PDE算法外，我们还研究了在单期期望值的背景下，偏差、方差和成本在MLMC-FST方案的各个层面上的表现。根据通用多级定理（GMLT）（见Cliffe et al.（2011）和Giles（2015）），我们能够提出MLMC-FST组件与算法其余部分分离的复杂性界限。

对于整个算法而言，PDE阶段的最高分辨率选择可能不是最优的，因为在回归阶段使用了最新网格。最小网格的最佳选择还应考虑回归的成本和误差；这是一个我们在本文中没有充分论述的主题。另一方面，GMLT揭示了MLMC对算法主要瓶颈的潜在改进。Giles（2015）的工作还为每个层次上的路径数量提供了一个最优分配方案，然而，传统方案是针对标量值单周期问题，而不是向量值多周期问题。虽然我们的MLMC方案主要处理用于求解偏微分方程的网格，但也可以为模拟路径vt合并多个离散化级别。由于算法的主要瓶颈往往在于PDE阶段，为了简单起见，我们将路径从MLMC方案中分离出来。5、数值例子在本节中，我们将我们的算法与标准LSMC算法的性能进行了比较：1。赫斯顿模型DST=St（r dt+√vtdWSt）和dvt=κ（θ- vt）dt+η√vtdwvt，其中d[WS，Wv]t=ρdt。2、多维Heston（mdHeston）模型ds（1）t=S（1）t（r dt+qv（1）tdW（1）t），dv（1）t=κ（θ）- v（1）t）dt+ηqv（1）tdW（3）t，dS（2）t=S（2）t（r dt+qv（2）tdW（2）t），dv（2）t=κ（θ- v（2）t）dt+ηqv（2）tdW（4）twhere（W（i））i=1是一个具有完全相关结构ρ=[ρi，j]的四维布朗运动。我们为带有支付函数h（S）的百慕大期权定价。在每种情况下，我们都会显示时间零价格和最佳运动边界（OEB）的结果。对于标准赫斯顿模型，我们还实施了一种明确的有限差分方法，我们将其视为参考解决方案，而不是基准。最后，我们进行了第4.5.1节中讨论的MLMC-FST测试。