混合LSMC和PDE方法为百慕大期权定价

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Mixing LSMC and PDE Methods to Price Bermudan Options》
---
作者：
David Farahany, Kenneth Jackson, Sebastian Jaimungal
---
最新提交年份：
2020
---
英文摘要：
  We develop a mixed least squares Monte Carlo-partial differential equation (LSMC-PDE) method for pricing Bermudan style options on assets whose volatility is stochastic. The algorithm is formulated for an arbitrary number of assets and volatility processes and we prove the algorithm converges almost surely for a class of models. We also discuss two methods to improve the algorithm\'s computational complexity. Our numerical examples focus on the single ($2d$) and multi-dimensional ($4d$) Heston models and we compare our hybrid algorithm with classical LSMC approaches. In each case, we find that the hybrid algorithm outperforms standard LSMC in terms of estimating prices and optimal exercise boundaries.
---
中文摘要：
我们开发了一种混合最小二乘蒙特卡罗偏微分方程（LSMC-PDE）方法，用于对波动率随机的资产进行百慕大式期权定价。该算法适用于任意数量的资产和波动过程，我们证明了该算法对于一类模型几乎肯定收敛。我们还讨论了两种提高算法计算复杂度的方法。我们的数值例子集中在单个（$2d$）和多维（$4d$）Heston模型上，并将我们的混合算法与经典的LSMC方法进行了比较。在每一种情况下，我们发现混合算法在估计价格和最优行使边界方面都优于标准LSMC。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
--

---
PDF下载：
--> Mixing_LSMC_and_PDE_Methods_to_Price_Bermudan_Options.pdf (2.14 MB)

2022-6-9 19:50:29 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：百慕大期权 期权定价 SMC PDE LSM

混合LSMC和PDE方法为百慕大期权定价Siam J.Financial Mathematics，ForthcomingDavid Farahanyb，Kenneth Jacksona，塞巴斯蒂安·贾蒙加尔巴德计算机科学系，托伦托布大学统计科学系，TorontoAbstracts大学我们开发了一种混合最小二乘蒙特卡罗偏微分方程（LSMC-PDE）方法，用于随机波动下的pricingBermudan式资产期权。该算法适用于任意数量的资产和波动过程，我们证明了该算法对于一类模型几乎肯定收敛。我们还引入了多级蒙特卡罗/多重网格方法来提高算法的计算复杂度。我们的数值例子集中在单个（2d）和多维（4d）Heston模型上，并将我们的混合算法与经典的LSMC方法进行了比较。在每种情况下，我们发现混合算法在估计价格和最佳练习边界方面都优于标准LSMC。1、简介近年来，用于欧式期权的混合蒙特卡罗偏微分方程（MC-PDE）方法的研究活动有所增加。在具有单向耦合的随机波动率（SV）模型中，这些方法围绕着模拟SV过程，通过求解波动率路径上的PDE条件来计算期望值，并对路径进行平均。这种方法已经存在了一段时间，如赫尔和怀特（1987）和刘易斯（2002）的方法，但人们对Ang（2013）、Lippet al.（2013）、Loeper和Pironeau（2009）、Dang et al.（2015）、Dang et al.（2015）重新产生了兴趣。

（2017）和Cozma和Reisinger（2017）。在高维欧式期权定价问题的背景下，在随机波动率下，无法轻易应用差别法，而基础过程之间的相关性往往使系统不适用，从而排除了基于傅立叶的求积法。此外，应用于此类系统的完全蒙特卡罗（MC）方法也受到高方差和计算成本的影响。另一种方法是在这两种方法之间找到一个中间地带，其中一种方法模拟潜在的波动过程，并解决产生的低维条件偏微分方程，这通常可以有效地处理。ThisISJ（RGPIN-2018-05705和RGPAS-2018-522715）和KJ（RGPIN-2016-05637）感谢NSERC为这项工作提供部分资金。作者要感谢三位匿名推荐人的有益评论，这些评论最终改进了这篇论文。本文的第一版于2016年11月16日发布在SSRN上，可供查阅athttps://ssrn.com/abstract=2870962.此版本：2020年6月2日电子邮件地址：dfarahany@gmail.com（大卫·法拉哈尼），krj@cs.utoronto.ca（肯尼思·杰克逊），塞巴斯蒂安。jaimungal@utoronto.ca（Sebastian Jaimungal）混合方法从PDE角度减少了维度，从theMC角度减少了方差。由于之前利用该策略的研究主要集中于欧洲风格期权的定价，并解决了计算相关期望值时的维数和方差减少问题，因此我们分析了百慕大风格期权的混合MC-PDEFramew。百慕大背景要求处理演习日期之间的高维PDE，以及准确定位演习区域的高维网格；后者是从欧洲转移到百慕大期权时出现的一个问题。

在对百慕大期权进行定价时，主要关注的对象是其确定的最优止损政策和行权边界。我们注意到，通过考虑Bouchard和Warin（2012）中讨论的具有大量行使日期的aBermudan期权，可以始终近似于美式期权的价格。为了解决上述问题，我们开发了一种混合方法，将Longstaff和Schwartz（2001）以及Tsitsiklis和Van Roy（2001）的最小二乘蒙特卡罗（LSMC）方法与偏微分方程技术相结合。我们版本的混合LSMC-PDE算法的本质是1。模拟底层SV过程的路径，2。沿每条路径求解条件期望（使用PDE方法），3。将这些条件期望回归到波动率状态空间上的一系列基函数上。该算法可被视为Tsitiklis和Van Roy（2001）的扩展，通过用几个回归系数替换波动性维度，减少了对高维网格的监控。该方法从蒙特卡罗的角度提供方差缩减，从PDE的角度提供维数缩减，并改变在每个时间步解决的回归问题，使其比标准LSMC中的回归问题更简单。我们的方法源于Lipp等人（2013年），在他们那里，我们非常简要地提到了这一方法，但没有对其进行分析。我们的贡献是算法的精确发展、收敛性证明、复杂性讨论和复杂性降低方法，然后是一系列数值示例。当应用于SV问题时，LSMC在确定最佳练习边界时往往相当不准确。在文献中，对LSMC进行了一些直接修改，应用于SV问题，如Gramacy和Ludkovski（2015）以及Ludkovski（2018）中解决了这个问题。

还有其他类型的概率方法，如Ait Sahlia et al.（2010）和Agarwal et al.（2016）。Ait Sahlia等人（2010年）的方法专门适用于Heston模型，似乎不适用于a类以外的模型。Agarwal等人（2016年）为多尺度SV模型开发了一种高效的方法。Gramacy和Ludkovski（2015）的工作，Ludkovski（2018）使用各种实验设计和回归方法将LSMC作为分类问题，并且作为他们的样本之一，考虑一维均值回复SV模型。Jain和Oosterlee（2015）的方法看起来也很有希望，尽管它通常需要选择基函数，人们可以计算（或近似）封闭形式的期望，并且需要逐案开发。还值得注意的是Rambarat和Brockwell（2010）的工作，该工作涉及百慕大期权pricingunder Unobservatable SV的相关问题。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们建立了我们的模型，并提供了算法的基本机制。在第2节和第3节中，我们发展了该算法的理论方面，如将基础概率空间形式化，推导回归系数的表达式，并表明该算法几乎肯定会收敛于纯SV模型。第4节说明了如何将多层蒙特卡罗/多重网格结合起来，并概述了整个算法的复杂性。第5节，我们将该算法应用于赫斯顿和多维赫斯顿模型，并给出价格估计和最佳行使边界。这些结果还与有限差异和标准LSMC方法进行了比较。2、LSMC／PDE混合算法2.1。

模型我们假设概率空间的存在(Ohm, F、 Q）可容纳dS+dvdimensionalstochastic过程（St，vt）=（S（1）t。。。，S（ds）t，v（1）t。。。v（dv）t）t∈[0，T]用强大、唯一的解决方案满足SDE系统。我们首先定义映射uS:[0，T]×Rdv→ RdSσS：[0，T]×Rdv→ RdSuv:[0，T]×Rdv→ Rdvσv:[0，T]×Rdv→ Rdvand a dS+dv维布朗运动，W=（WSt，Wvt）t∈[0，T]，相关矩阵ρ。过程（St，vt）t∈假设[0，T]满足以下SDEsdSt=St的系统uS（t，vt）dt+StσS（t，vt） dWStdvt=uv（t，vt）dt+σv（t，vt） DWV x、y的位置∈ RMAD xy：=（xy，…，xmym）是元素乘积。正如我们将看到的那样，我们的方法允许任意（只要是正半定义的）股票波动率相关性结构。上述SDE分类（St、vt）为纯SV模型，Stein和Stein（1991）、Heston（1993）、Feng等人（2010）和Grasselli（2017）等已开发了此类模型的示例。本文的工作也可以很容易地扩展到多因素纯SV模型，如Christo Offersen等人（2009）。虽然本文讨论的算法可能适用于具有非线性局部波动率（LV）分量的SV模型，但我们的推导、数值示例和收敛性证明仅适用于纯SV模型。（St，vt）的另一个特性是它表现出“单向耦合”：vt的SDE可以独立于St进行模拟。我们将在第2.4.2.2节中更精确地描述这个概念。百慕大期权定价{t，…，tM} [0，T]是一组有序的行使日期tk=tk+1-tkand hti（S）：RdS→ 在每个日期都要进行锻炼。我们经常在t并在上下文清晰时简化注释。

我们还假设无风险率是一个常数，r>0。评估百慕大期权需要开发一种算法来评估Vt=supτ∈TtEQ[e-rτhτ（Sτ）| Ft]，其中Ft=FSt∨Fvtand tti是以{tk:k为单位取值的F停止时间集∈ {1，…，M}和tk>t}。根据马尔可夫性质，vt仅依赖于（t，St，vt），我们可以为某些函数V写vt=V（t，St，vt）：R+×RdS×Rdv7→ R、 在时间T=tM时，我们有V（tM，StM，vtM）=htM（StM）。然后，我们定义了一个新函数C（t，S，v），表示连续值，时间tkbyC（tk，S，v）=e-rtkEQ公司V（tk+1，Stk+1，vtk+1）| Stk=S，vtk=V.根据离散动态规划原理（DPP），对于k<M，我们可以将V（tk，Stk，vtk）表示为tk处连续值和即时运动值的最大值：vtk=max（htk（Stk），C（tk，Stk，vtk））。从这一点开始，为了简化符号，我们压缩了符号，并用simplyk替换了tksubscripts。我们还用下标替换依赖于时间的参数。0.20.250.30.350.40.45567891000.010.020.030.040.05库存预处理-表面粗糙度连续值56789100.20.250.30.350.400.010.020.030.040.05完整表面粗糙度连续值图1：预处理和完成的连续表面。通过沿每个variancepath求解PDE生成预曲面。沿S轴平滑，沿v轴嘈杂。通过沿V轴回归生成完成的曲面。2.3. 算法概述我们现在描述了一种计算Vk（S，v）的混合方法，该方法基于Tsitsiklis和Van Roy（2001）方法，但使用条件偏微分方程来合并维数和方差减少。我们首先给出一个直观的解释，并在附录a中提供一个基于伪代码的正式描述。我们从初始值v开始模拟v的N条路径。vtover[tk，tk+1]的每条路径都表示为[v]k+1k。

给定产品集S RdS，我们计算域S×Rdv上的Vkover。集合S是我们计算的条件期望的域；实际上，它是我们的数值PDE解算器的网格。我们假设S的离散形式在每个维度上都有N个点，因此总共有N个点。给定tk+1时期权的值Vk+1（Sk+1，Vk+1），我们继续计算tk处的连续值。算法从时间tM=T开始，其中VM（SM，VM）=hM（SM）。2.3.1. 沿S求解以获得每个模拟路径j的预曲面∈ N（N={1，…，N}），我们计算（从k=M开始- 1） Cjk（si）：=e-rtEQ公司Vk+1（Sk+1，Vk+1）| Sk=si，[vj]k+1k（1） 对于所有si∈ S、 可以使用数值PDE解算器在每个路径的S上同时计算这些值。该步骤的详细信息见下文第2.4节。2.3.2. 对v进行回归，以获得每个sj的完整表面∈ S、 从上一步开始，我们沿着每个可用性路径有N个连续值的实现，即{Cjk（si）}j∈N、 接下来，应用最小二乘回归将其投影到波动率空间上的一系列{φm（·）}dBm=1的线性独立基本函数上。这导致了长度为dB的系数a（si）向量，并为波动率空间中的任何点提供了Stk=Sif的连续值，如下所示：Ck（si，v）=dBXm=1am，k（si）φm（v）=ak（si）·φ（v）。2.3.3. 获得期权价格期权价格由Vk（si，v）=max（hk（si），Ck（si，v））给出。从2.3.1和2.3.2开始，在k=M的所有时间tkw重复这些步骤- 1.1.2.3.4. 对时间零点价格的直接估计因为在时间零点，v只有一个值，我们得到了时间零点价格的估计值byVd，0（si，v）=maxh（si），NNXj=1e-rtEQ公司V（S，V）| S=si，[vj]这通常是偏高的。继Jain和Oosterlee（2015）之后，我们将其称为直接估计量。2.3.5.

时间零价格的较低估计鉴于我们估计的回归系数，我们得到了{t，…，tM上定义的次优行使政策τ（t，S，v）-1} ×S×Rdv。因此，我们可以通过expectationEQ确定较低的估计值e-rτh（Sτ）| S，v. （2） 在传统的LSMC中，模拟一组新的独立路径（St，vt）以近似（2）。在我们研究的这类模型中，模拟两个林分VT会破坏算法获得的方差减少，我们使用混合方法。为此，我们分别用ΓkandΓck表示tkholding和运动区域。然后我们模拟了vton[0，T]的新独立路径，computeqe-rτh（Sτ）| S，[vj]T（3） 通过针对j的PDE方法∈ N、 取平均值。计算（3），对于每个j∈ N、 第一组VjM（S，v）=hM（S）。接下来，computeUjM-1（S）=e-rtEQhVjM（SM、vM）| StM-1=S，[vj]MM-1通过PDE方法为所有∈ S、 t=tM时的期权价格-1然后由VJM给出-1（S）=UjM-1（S）·I（S，vjM-1)∈ΓM-1+hM-1（S）·I（S，vjM）-1)∈ΓcM-1在重复此步骤k=M次后- 2.1我们得到下估计值Vl，0（S）=NNXj=1e-rtEQhVj（S，v）| St=S，[vj]i（4）适用于所有S∈ S、 2.4。条件期望的数值计算在本节中，我们详细介绍了如何使用偏微分方程的数值解数值计算公式qhh（Stn+1，vtn+1）| Stn=S，[v]tn+1的表达式。我们对条件偏微分方程的推导遵循Danget等人（2017）的方法，而我们求解条件偏微分方程的数值方法是Jackson等人（2008）提出的傅立叶时空步进（FST）。2.4.1. 变量的变化我们首先将资产价格SDE转换为对数坐标Xt：=对数坐标系dxt=（uS（t，vt）-σS（t，vt））dt+σS（t，vt） dWStdvt=uv（t，vt）dt+σv（t，vt） dwv其中σS（t，v）：=σS（t，v） σS（t，v）。

接下来，将Cholesky分解应用于矩阵ρ=【ρij】，我们发现一个上三角矩阵A=【aij】和布朗运动fw：=（fWS，fWv），使得W=A·fWandfW具有独立分量。接下来，我们将A分解为块形式asA=阿萨斯瓦夫萨夫式中，o[ASS]i，j=Ai，j1≤ 我≤ dS，1≤ j≤ dSo[ASv]i，j=Ai，j+DS1≤ 我≤ dS，1≤ j≤ dvo[AvS]i，j=Ai+dS，j1≤ 我≤ dv，1≤ j≤ dSo[Avv]i，j=Ai+dS，j+DS1≤ 我≤ dv，1≤ j≤ dv。然后，我们将系统重写为：dXt=（uS（t，vt）-σS（t，vt））dt+dSXj=1σS（t，vt） [助理]j dfWS，jt+dvXj=1σS（t，vt） 【ASv】j dfWv，jtdvt=uv（t，vt）dt+dvXj=1σv（t，vt） [平均]j dfWv，jt其中，[Aαβ]是Aαβ的第i列。在这种形式下，可以先模拟VT，然后将其插入Xt。为此，定义两种新工艺Yt，Zton【tn，tn+1】Yt=Xtn+Zttn（uS（t，vs）-σS（t，vt）ds+dSXj=1ZttnσS（S，vs） [助理]j dfWS，jsZt=dvXj=1ZttnσS（t，vs） 【ASv】j dfWv，JS，注意Xtn=Yt和Xt=Yt+Zt。接下来，定义函数g（X，v）：=h（exp（X），v），以便h（Sn+1，vn+1）| Sn=S，[v]n+1n= 均衡器g（Xn+1，vn+1）| Xn=x，[v]n+1n= 均衡器g（Yn+1+Zn+1，vn+1）| Yn=y，[v]n+1n.2.4.2. 条件偏微分方程和傅立叶解最后，我们用函数u（tn，y）u（tn，y）=EQhg（Ytn+1+Ztn+1，vtn+1）| Ytn=y，[v]tn+1将函数u（tn，y）=EQhg（Ytn+1+1，vtn+1）| Ytn=y，[v]tn+1创建[v]tn+1作为y的确定路径∈ 日志S、t∈ [总氮，总氮+1]。根据费曼-卡克定理，函数u（tn，y）可以写成以下偏微分方程的解tu（t，y）+dSXi=1ai（t）yiu（t，y）+dSXi=1dSXj=1bi，j（t）yi，yju（t，y）=0，u（tn+1，y）=g（y+Ztn+1，vtn+1）（5），其中a（t）=uS（t，vt）-σS（t，vt）和bi，j（t）=PdSj=i[σS（t，vt）]j[ASS]i，j。将傅里叶变换应用于RdSwe上的（5）可以得到tbu（t，ω）+idSXj=1aj（t）ωj-dSXi=1dSXj=1bi，j（t）ωiωjbu（t，y）=0，bu（tn+1，ω）=eiω·Ztn+1bg（ω，vtn+1），（6），其中ω·Ztn+1表示RdS上的内积。