混合LSMC和PDE方法为百慕大期权定价

应用概率年鉴15（2），1396–1432。Farahany，D.（2018年）。随机波动下多维最优停止问题的混合蒙特卡罗和偏微分方程方法。多伦多大学博士论文。Feng，J.、M.Forde和J.-P.Fouque（2010年）。快速均值回复Hestonstochastic波动率模型的短期渐近性。暹罗金融数学杂志1（1），126–141。Folland，G.B.（1999年）。真实分析：现代技术及其应用。威利。Giles，M.B.（2015）。多层蒙特卡罗方法。数字学报24259–328。Glasserman，P.，B.Yu等人（2004年）。美国期权定价中的路径数与基函数数。应用概率年鉴14（4），2090–2119。Gramacy，R.B.和M.Ludkovski（2015年）。最优停车问题的顺序设计。《暹罗金融数学杂志》6（1），748–775。Grasselli，M.（2017）。4/2随机波动率模型：赫斯顿和3/2模型的统一方法。数学金融27（4），1013–1034。Haugh，M.B.和L.Kogan（2004年）。美式期权定价：双重方法。运筹学52（2），258–270。Heston，S.L.（1993年）。随机波动期权的闭式解及其在债券和货币期权中的应用。金融研究回顾6（2），327–343。Hull，J.和A.White（1987年）。具有随机波动性资产的期权定价。《金融杂志》42（2），281–300。Ikonen，S.和J.Toivanen（2008年）。随机波动率下美式期权定价的有效数值方法。偏微分方程的数值方法24（1），104–126。Jackson，K.R.、S.Jaimungal和V.Surkov（2008年）。L'evy模型期权定价的傅里叶时空步进法。计算金融杂志12（2），1–29。Jain，S.和C.W.Oosterlee（2015年）。

随机网格捆绑法：百慕大期权及其希腊期权的有效定价。应用数学与计算269412–431。Lewis，A.L.（2002年）。随机波动率和跳跃模型的混合方法。威尔莫特。Lipp，T.、G.Loeper和O.Pironeau（2013年）。混合蒙特卡罗和部分微分方程进行期权定价。《中国数学年鉴》，B辑34（2），255–276。Loeper，G.和O.Pironneau（2009年）。随机波动率模型的混合偏微分方程/蒙特卡罗方法。Comptes Rendus Mathematique 347（9），559–563。Longstaff，F.A.和E.S.Schwartz（2001年）。通过模拟评估美式期权：一种简单的最小二乘法。财务研究回顾14（1），113–147。Ludkovski，M.（2018）。百慕大期权定价的克里格元模型和实验设计。《计算金融杂志》22（1），37–77。Munkres，J.R.（2000年）。拓扑结构。普伦蒂斯大厅。Rambarat，B.R.和A.E.Brockwell（2010年）。随机波动率模型下美式期权的序贯蒙特卡罗定价。《应用统计年鉴》4（1），222–265。Rogers，L.C.（2002年）。美式期权的蒙特卡罗估值。数学金融12（3），271–286。Ruijter，M.J.和C.W.Oosterlee（2012年）。金融期权定价的二维傅立叶-余弦级数展开法。暹罗科学计算杂志34（5），B642–B671。Stein，E.M.和J.C.Stein（1991年）。随机波动的股票价格分布：一种分析方法。财务研究回顾4（4），727–752。Stentoft，L.（2004年）。美式期权估值的最小二乘蒙特卡罗方法的收敛性。《管理科学》50（9），1193–1203。Tsitiklis，J.N.和B.Van Roy（2001年）。复杂美式期权定价的回归方法。IEEE神经网络学报12（4），694–703。Wang，Y.和R.Ca flisch（2010年）。

美式期权定价与套期保值：一种简单的基于模拟的方法。《计算金融杂志》13（4），95。附录A.形式算法描述附录A.1。LSMC-PDE算法算法1 LSMC-PDE：练习边界和直接估计器1：模拟vt2的N条路径：对于N=M：2 do3：如果N==M，则4：设置Vn（si，v）=hn（si） 对于i=1。。。，NdSs5：结束if 初始化PDE解算器的边界6：对于j=1：N do7：计算EVn（Sn，vjn）| Sn-1=si，[vj]nn-1. 对于i=1。。。，NdSs8：结束9：对于i=1：NdSsdo10：回归{e-rtE公司Vn（Sn，vjn）| Sn-1=si，[vj]nn-1.}Nj=1至{φm（v）}dBm=1 获得[安-1（si）]NdSsi=111：设置Cn-1（si，v）=an-1（si）·φ（v）12：结束 获取维数为NdSs×dB13的矩阵：Set Vn-1（si，v）=最大值（hn-1（si），中国-1（si，v）） 对于i=1。。。，NdSs14：结束15：对于j=1：N do16：计算e-rtEhV（S，vj）| S=si，[vj]i 对于i=1。。。，NdSs17：结束18：设置Vh，0（si，v）=最大值h（si），NPNi=1e-rtE公司V（S，vi）| S=si，[vi] 对于i=1。。。，NdSs公司 时间零点价格的高估计值19：对于i=1，…，返回Vh，0（si，v）。。。，NDS附录A.2。MLMC/多重网格我们提供了在时间间隔【tn，tn+1】上计算an（S）的指南，以保持插值数量最小。

考虑到L级的系数矩阵an+1（S），我们将执行以下操作。算法2 LSMC-PDE：下估计器1：模拟Nv，vt2的2路径：对于j=1。。。，Nv，2do3：对于n=M：2 do4：如果n==M，则5：设置Vjn（si，vjM）=hn（si） 对于i=1。。。，NdSs6：结束if7：计算Ujn-1（si）=e-rtE[Vn（Sn，vjn）| Sn-1=si，[vi]nn-1] 8：设置Vjn-1（si）=Ujn-1（si）IΓn（si，vjn-1） +h（si）IΓcn（si，vjn-1)  对于i=1。。。，NdSs9：结束10：设置Vjl，0（si）=e-rtE[V（S，vj）| S=si，[vi]nn-1]  对于i=1。。。，NdSs11：结束12：设置Vl，0（si）=Nv，2PNv，2j=1Vjl，0（si） 对于i=1。。。，NdSs13：对于i=1，…，返回Vl，0（si，v）。。。，NdSsAlgorithm 3用于an 1的MLMC/多重网格：对于l=0：l- 1 do2：将+1（S）从分辨率级别L内插到级别L。3：结束4：对于L=L- 1：0 do5：对于j=1：Nvldo6：为要在分辨率l和l+1下求解的PDE生成边界条件。 需要在网格级别l，l+1.7使用an（S）计算矩阵an（S）·φ（vjn）：通过数值PDE技术计算Pj，ln（S）和Pj，l+1n（S）。8： 结束9：计算VLPNVLJ=1φ（vj，ln）Pj，ln（S）和NVLPNVLJ=1φ（vj，ln）Pj，l+1n（S）10：将两者插值到网格级别L11：计算VLPNVLJ=1φ（vj，ln）Pj，l+1n（S）- Pj，ln（S）12： end for对标高0重复上述步骤，并计算在网格标高L上定义的an，如（22）所示。附录B.最佳练习边界图B.2：通过有限差分获得的参考边界。黑色区域表示练习区，白色区域表示等待区。图B.3：对应于N（2）S=2的LSMC-PDE算法的差异边界。黄色区域表示概率1的正确性，蓝色区域表示概率1的不正确性。图B.4:LSMC算法的差异边界。

黄色区域表示概率1的正确性，蓝色区域表示概率1的不正确性。图B.5：v=θ，v=θ时的边界切片。黄色区域表示持有概率为1，蓝色区域表示行使概率为1。上图和下图分别对应于LSMC-PDE和LSMC。LSMC-PDE的解决方案为N（2）S=2。图B.6：v=0.5·θ，v=θ时的边界切片。黄色区域表示持有概率为1，蓝色区域表示行使概率为1。上图和下图分别对应于LSMC-PDE和LSMC。LSMC-PDE的分辨率为N（2）S=2。图B.7：v=θ，v=1.5·θ时的边界切片。黄色区域表示持有概率为1，蓝色区域表示行使概率为1。上图和下图分别对应于LSMC-PDE和LSMC。LSMC-PDE的分辨率为N（2）S=2。附录C.MLMC-FST测试图5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9分辨率级别-15-14-13-12-11-10-9-8-7-6-5log2 | E[Pl-P]|图C.8：每个分辨率级别的偏差。曲线图的斜率表示为α。6.5 7 7.5 8.5 9分辨率级别-30-28-26-24-22-20-18-16log2 V【Pl-Pl-1】图C.9：每个分辨率级别的差异。曲线图的斜率表示为β。6 6.5 7 7.5 8 8.5 9分辨率级别-12.8-12.6-12.4-12.2-12-11.8-11.6log2 E【Cl】图C.10：每个分辨率级别的预期成本。曲线图的斜率为γ。图C.11：赫斯顿模型各层级的偏差、差异和预期成本。蓝点代表估计值，红线代表最佳分辨率线。5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9分辨率水平-14-13-12-11-10-9-8-7-6-5log2 | E【Pl-P】|图C.12：每个分辨率水平的偏差。

曲线图的斜率表示为α。6.5 7 7.5 8.5 9分辨率级别-27-26-25-24-23-22-21-20-19-18log2 V【Pl-Pl-1】图C.13：每个分辨率级别的差异。曲线图的斜率表示为β6 6.5 7 7.5 8 8.5 9分辨率级别-11-10-9-8-7-6-5-4log2 E【Cl】图C.14：每个分辨率级别的预期成本。曲线图的斜率为γ。图C.15：多维赫斯顿模型各层面的偏差、方差和预期成本。蓝点代表估计值，红线代表最佳效果线。