经济泡沫模型及其首次通过时间

（15） 引入ζ（u；u，y）：=eug（u，y）y的函数ζ（u；u，y）=1 + 2αe-2αxyue-u·α（u-x） 是的，然后重新安排（15）我们有经验ug（u，y）-us-1+e2g（u，y）2y·θeg（u，y）y，s= ζ（u；u，y）exp-us-1/y+ζ（u；2，y）·θ（ζ（u；1，y），s）。通过替换u=c得出结论α和s=αt，转化为上述方程。备注3.5函数θ（r，s）与Hartman-Watson分布的研究密切相关【19】。正如H.Matsumoto、M.Yor【29】和其他研究人员【3，23】所注意到的，θ（r，s）是高度振荡的，尤其是对于较小的s。因此，计算密度的准确值并不容易。在实践中，提供概率分布函数比密度函数更有意义。这需要P（Xt）上的额外积分∈ du）。考虑到θ（r，s）中包含的积分，以及θ（r，s）上的积分，我们总共需要计算分布函数P（Xt）的三个积分≤ du）。因此，直接有限差分方案将产生计算效率问题。相反，我们考虑通过蒙特卡罗模拟计算概率。参考等式（13）和命题3.4中的密度函数，我们在开发模拟算法时有两种选择。根据（13），我们可以通过考虑z和g（u，y）之间的相对位置来遵循接受-拒绝方法。然而，在本文中，我们将采用显式密度函数集中于直接采样方案。命题3.6，固定t>0和u∈ R、 定义（z，y）=αζ（z；cα、 y）经验值-ct+1/y+ζ（z；2，y）·^θζ（z；1，y），αt,式中^θ（r，s）：=r2seπ2sEV e-r cosh（V）sinh（V）sincVs公司sinc（w）：=sin（wπ）wπ和V~ N（0，√s） 。然后两个i.i.d。

均匀分布随机变量Uand Y，x的概率分布由p（Xt）给出≤ u） =E“m-U+U+1，Y- 1.UY#。证明：首先我们证明了^θ（r，s）和θ（r，s）之间的恒等式。回想命题3.4，θ（r，s）=r√2πseπ2sZ∞e-v2s-r cosh（v）sinh（v）sinπvsdv。重写得到的函数θ（r，s）=rseπ2sZ∞ve公司-r cosh（v）sinh（v）sincvs公司·√2πse-v2sdv=r2seπ2sEV e-r cosh（V）sinh（V）sincVs公司=:^θ（r，s）。注意，第二个等式成立是因为（v sinh（v））·e-r cosh（v）·sincvs公司是一个偶数函数。现在让m（z，y）如命题3.6所示定义。基于θ（r，s）和^θ（r，s）之间的恒等式，并参考命题3.4，我们可以写出XtasP（Xt）的概率分布≤ u） =Zu-∞Z∞m（z，y）dydz。（16） 更改U=-z- u- 1，Y=1+Y。然后用（16）中的U，Y重新表示z，Y，我们有p（Xt≤ u） =-ZZm公司-U+U+1，Y- 1.杜杜伊。注意到均匀分布具有恒定的概率密度dU=dY=1，我们得出了证明。备注3.7涉及sinc（·）的主要考虑是减少函数sin（·）的振荡影响。从数值计算的角度来看，该函数虽然不能完全解决振荡问题，但可以在一定程度上缓解混沌。t提案3.8↑ +∞, X的平稳分布∞:= 限制↑+∞x由p（x）给出=Zy公司∈Rw（x）w（y）dy-1，其中w（x）=expnαe-2αx+2cxo。证明：考虑t=+∞:p（x）- （e）-2αx- c） p（x）+2αe-2αxp（x）=0。定义命题中的w（x）。求解无边界条件的常微分方程，我们得到p（x）=CRx-∞w（y）dy+Cw（x）。请注意，w（y）↑ +∞ 当y↓ -∞. 同w（y）≥ 0 onR，因此对于x>-∞ 积分不存在：Zx-∞w（y）dy=+∞.因此，为了得到有效的密度函数，我们将C设置为0。

根据完全可积条件确定cb，我们给出了证明。备注3.9由于双指数函数的发散速度远远快于指数函数，平稳分布是右偏的。在固定收益模型中，双指数函数也用于期限结构校准（参见Nelson-Siegel模型[21]）。3.3首次通过时间的存在在下一节中，我们将推导{Xt}t的FPT概率密度函数≥0.在进行计算之前，我们证明了FPT存在于任何常数水平a∈ R、 命题3.10{Xt}t≥0是R上的一个循环过程。证明：考虑zt=e的替换-2αXt，Z=e-2αx.（17）应用Ito引理，我们得到dzt=2αZt(-Zt+c + α） dt公司- 2αZtdWt。（18） 根据命题3.1，我们知道{Zt}t≥0是一个具有独特和强大解决方案的分散过程；此外，强马尔可夫性质也成立。我们的构造表明{Zt}t≥0仅在正半平面上取值。此外，通过检查（18），我们可以看到Zt=0是一个吸收界。So considerI=（0+∞)作为{Zt}t的域≥我们显示{Zt}t≥0是使用[26]中讨论的比例函数在I上重复出现的。对于任何固定参数A∈ 一、 我们定义（z）：=ZzAexp(-ZξA(-ζ+c + α） αζdζ）dξ，z∈ 一、 （19）事实上，人们甚至可以通过参考[43]中的随机Verhulst方程找到Zt的显式解。请注意，对于任何z∈ I非退化条件4αz>0成立。此外，对于固定的z∈ 一、 考虑δ>0足够小，以至于z- δ ∈ 一、 然后通过显示ZZ+δz来满足局部可懂性条件-δ1 + 2αζ |(-ζ+c + α） | 4αζdζ≤δ2α（z- δ)+αδ+c + α2αlnz+δz- δ< +∞.因此，很好地定义了比例函数（19）。现在，我们计算I边界处标度函数的极限值。将s（z）改写为（19）ass（z）=A1+cαe-A.αZzAeαξξ1+cαdξ。（20） 设l+：=0+和r-:= ∞-.

将边界值代入（20），我们得到（l+）=-A1+cαe-A.αZAeαξξ1+cαdξ=-∞,ands（r-) = A1+cαe-A.αZ∞-Aeαξξ1+cαdξ=+∞.因此，根据[26]中的命题5.22，我们得出结论{Zt}t≥0在I上循环。{Xt}t的循环≥R上的0后跟（17）。推论3.11对于任何a，X=X∈ R、 {Xt}t的第一次命中时间≥0从x到a存在。证明：这直接来自命题3.10。备注3.12注意推论3.11中对FPT的方向没有限制。更具体地说，定义τax↑:= inf{t≥ 0:Xt=a | x<a}，τax↓:= inf{t≥ 0：Xt=a | x>a}分别为从下方和从上方的FPT。然后τax↑< +∞X=X）=1和Pτax↓< +∞|X=X= 1.4{Xt}t向下第一次通过时间≥0根据我们之前的分析{Xt}t≥0是一个明确的扩散过程。因此，存在相应的微型发电机。用Ct表示R上定义的两次可微分和连续函数的集合。对于f∈ C、 {Xt}t的最小生成元≥0由AF（x）=（e）-2αx- c） f（x）+f（x）。（21）4.1 Dirichlet问题根据我们的设置，过滤F在两侧都是连续的。因此，将FPTto视为开集或闭集是等价的。W、 l.o.g.，用于∈ R我们定义u：={x∈ R:x>a}，Dl：={x∈ R:x<a}是a的上下区域的域。为了便于记法，我们用D表示du或Dl。允许D是D的边界集。然后Du：={a+∞}, Dl：={a，-∞}.{Xt}t的FPT≥0，X=X∈ D可以相应地定义为τax：=inf{t≥ 0:Xt∈ D} 。对于短符号，我们抑制x，a并写入τ：=τax。τ的存在性由推论3.11给出。在这一节中，我们遵循G.Peskir和A.N.Shiryaev【34】推导出τ的拉普拉斯变换的Dirichlet型边值问题。考虑确定的停车时间{σn}1的任意序列≤n≤+∞.

定义σ：=limn↑+∞σn.注意{Xt}t≥0是一个连续的过程。因此{Xt}t≥0在所有停止时间内都是连续的，即limn↑+∞Xσn=Xσ。此外，根据命题3.1{Xt}t≥0是一个强马尔可夫过程。对于固定β≥ 0，定义（x）=Exe-βτ, x个∈ D、 （22）式中，Ex[·]：=E[·| X=X]=E[·| F]。那么参考[34]f（x，β）是以下方程的唯一解af（x）=βf（x，x∈ D（23）具有Dirichlet型边界条件f(D） =（1，0）T.（24）备注4.1上述结果来自于电势理论的终止版本。请注意，强马尔可夫性和所有停止时间的连续性对于通过（22）表示Dirichlet问题的唯一解至关重要。备注4.2边界条件（24）暗示f中的有界性，尽管集合Cdoes不明确要求有界性。因此，通过构造一个适当的鞅，我们可以使用费曼-卡克定理来推导类似的结论。然而，为了采用最优抽样定理，应进一步证明τ中与边界相关的性质。4.2 Dirichlet问题的直接解法m：=√c+2β-c2α，n：=√c+2β+αα,ψ :=e-2αxα，λ：=x(c-pc机+ 2β).（25）参考[2]。通过将（21）代入，得到（23）的解为f（x）=CeλM（M，n，ψ）+CeλU（M，n，ψ），（26），其中M（M，n，ψ）和U（M，n，ψ）是Kummer方程【11】ψU（ψ）+（n）的解- ψ） u（ψ）=au（ψ）。现在确定常数C和C。考虑从下面的情况下撞击，即边界istaken在Dl。替换x=-∞ 我们看到ψ=+∞和λ=+∞像c-pc机+ 2β < 0. 参考文献[28]，大ψ的U（m，n，ψ）的渐近式由U（m，n，ψ）给出~ ψ-m、 ψ↑ +∞.虽然m>0，U（m，n，ψ）对于大ψ收敛到0，但eλU（m，n，ψ）在λ↑ +∞.

另一方面，再次参考[28]，我们有m（m，n，ψ）~eψψm-nΓ（m），ψ↑ +∞.因此，x处的极限值=-∞ 不存在eλM（M，n，ψ）或eλU（M，n，ψ）。从下方击球的唯一解决方案是F（x）≡ 0。这表明向上FPT的LT实际上不存在。另一方面，从上面考虑FPT的解决方案，即边界的向下撞击时间杜。通过替换x=+∞ 我们得到ψ=0和λ=-∞.参考【28，第13.2（iii）节】，根据β的选择，ψ=0+时U（m，n，ψ）的极限有不同的版本。为了保证解的唯一性，我们将C设置为0。对于m（m，n，ψ）的极限，我们得到m（m，n，ψ）=1+O（ψ），ψ↓ 0.LT中涉及参数β。我们需要一个在函数形式上与所有β唯一的解f（x）的函数≥ 因此+∞ 边界给出了解f（x）=CeλM（M，n，ψ）。考虑x=a的边界条件^ψ :=e-2αaα，^λ：=a(c-pc机+ 2β).那么f（a）=1给定sf（x）=eλM（M，n，ψ）e^λMm、 n，^ψ. （27）备注4.3根据我们的分析，目前的问题只存在向下的LT。实际上，我们更感兴趣的是经济泡沫的破裂时间，而不是预测泡沫将达到多高的历史记录。因此，向上LT中缺少的解决方案将是一个小问题。方程式（27）显示了第一次下击时间的LT。由于函数的特殊性，很难找到显式逆变换。对于数值反演格式，我们参考文献[1]，其中提供了三种有效算法。

然而，考虑到复杂的函数形式，可以想象，数值反演的速度和精度可能并不理想。4.3微扰FPTD微扰技术最早和最成功的应用可以追溯到为中等复杂度的哈密顿量找到薛定谔方程的解[37，42]。在数学金融领域，微扰理论得到了广泛的研究；参见【17、14、15】。灵感来自A。Dassios和S.Wu【14】，J.Fouque等人【17】，我们对平均回归参数应用扰动 并找到{Xt}t向下FPT的闭合形式密度≥0.W.l.o.g.我们假设a=0，FPT问题在Du上定义。考虑函数f∈ C、 假设存在一系列C函数{fi}i≥0，这样F=∞Xi=0ifi。（28）将（28）替换为（23）：∞Xi=0iAfi=∞Xi=0iβfi。（29）对于任何f∈ C、 简介gf（x）：=f（x）。重新安排（29）中的条款我们有GF- βf+∞Xi=1我Gfi公司- βfi+（e-2αx- c） 金融机构-1.= 通过指定适当的边界条件，我们将原始Dirichlet问题（23）和（24）分解为递归表示：o（1）：Gf- βf=0，f(D） =（1，0）T，（30）和i≥ 1个(i） ：Gfi- βfi+（e-2αx- c） 金融机构-1=0，fi(D） =（0，0）T.（31）备注4.4 o（1）问题实际上是布朗运动向下FPT的相应边值问题。引入τW：=inf{t≥ 0：Wt=0 | Wt=x>0}。那么f（x）=Exe-βτW. 此外，对于我≥ 1该函数包含以下表达式[34]fi（x）=ExZτWe-βse-2αWs- c金融机构-1（Ws）ds.根据【34】o（1）和o(i） ，我≥ 1，是唯一的。因此{fi}i的存在≥1保证，扰动表示（28）有效。在本文中，我们求解了i=1的递归系统，并给出了o()-准确的FPTDestimation。参考文献[5]，对于o（1），我们有f（x）=e-γx，（32），其中γ：=√2β. 进一步设f=fg。

然后求解o() we getg（x）=γe-2αx- 1.2α（γ+α）+cx。（33）命题4.5 Letτ*是τ的一阶近似值。那么τ的FPTD*由px（τ）给出*∈ dt）=1+cx公司+1.- e-2αx（αt- x） 2αx！！p（t）-α1.- e-2αxeαx（αt2x+1）Erfcx√2t+αrt！，其中Px（·）=P（·| X=X）=P（·| F），P（t）是布朗运动P（t）=X的向下FPTD√2πt-e-x2t。Erfc（·）是Erfc（z）给出的互补误差函数=√πZ∞ze公司-伊迪。证明：参考（28）、（32）和（33）。向下FPT的一阶扰动LT由f（x）=f（x）（1+cx）+f（x）γe-2αx- 1.2α(α + γ). （34）注意γ=√2β. 因此f（x）也是β的函数。为了强调变换参数，我们分别用f（β）和f（β）表示。如备注4.4所述，f（β）只是布朗运动向下FPT的LTT。根据[4]这一给定sp（t）：=L-1{f（β）}（t）=x√2πt-e-x2t。现在考虑（34）中第二项的逆变换。定义l（β）：=√βe-√βαx+√β. （35）那么第二项可以重写为asf（β）γe-2αx- 1.2α（α+γ）=e-2αx- 12α·l（2xβ）。（36）参考【4】。（35）的倒数由l给出-1nl（β）o（t）=αxeαx（αxt+1）Erfc√t+αx√t型-2αxt- 1.√πt-e-4吨。（37）根据拉普拉斯逆变换的性质[31]，对于常数cL-1.clβc（t） =L-1nl（β）o（ct）。所以让c=2xwe haveL-1n▄l（2xβ）o（t）=2xL-1nl（β）ot2x型. （38）总结（36）、（37）、（38）给出了（34）中第二项的逆变换。到此结束。备注4.6作为近似值，一阶扰动提供了一个连续函数，但不一定是有效的概率密度函数。实际上，Ex[τ*] = limβ↓0f（β）=1+cx。在c>0的情况下，一阶扰动将提供极小的概率cx。我们将在后面的命题中讨论准确性问题。直接遵循第4.5条建议。

明确给出了runningminimum的尾部渐近性和概率分布。推论4.7 Px（τ）的尾部渐近*∈ dt）由px（τ）给出*∈ dt）~1 + cx公司-1.- e-2αx2αp（t）~ p（t），t↓ 0+，（左尾渐近）和px（τ*∈ dt）~1 + cx+（1- αx）1.- e-2αx2αx！！p（t）~ p（t），t↑ +∞. （右尾渐近）证明：左尾渐近由参考[9]Erfcx的计算给出√2t+αrt！~ 经验值-x个√2t+αrt！, t型↓ 0+. （39）考虑右尾。注意，如果我们重复使用（39），Px（τ）的第二项*∈ dt）将在第一项消失时保持不变。这导致t的尾部渐近为常数↑ +∞, 然而，Px（τ*∈ dt）↓ 确实是0。请参阅另一个事实，即：~e-yy年√π1.-2年, y↑ +∞. （40）还要注意Px（τ）的第一项*∈ dt）可重新表示为1+cx公司+1.- e-2αx（αt- x） 2αx！！p（t）=1+cx公司-1.- e-2αx2α!!p（t）+1.- e-2αxt2xp（t）。（41）然后将（40）和（41）代入Px（τ∈ dt），我们发现为t↑ +∞,Px（τ*∈ dt）~1 + cx公司-1.- e-2αx2α!!p（t）+1.- e-2αxe-x2t型√2πt- α1.- e-2αx·√2e类-x2t型√πtα+α1.- e-2αx·√2e类-x2t型√παt=1+cx公司-1.- e-2αx2α!!p（t）+0+1.- e-2αx2xαp（t）。这就完成了证明。备注4.8推论4.7表示τ的FPTD*具有与布朗运动的FPTD相同的尾部。我们知道布朗运动是一个零递归马尔可夫过程。因此，我们可以推断Ex[τ*] =+∞. 事实上，根据一阶矩规则和（34），我们可以检查*] = -f（β）ββ=0= +∞.固定t的推论4.9≥ 0和a<x，表示运行最小byX*t： =最小0≤u≤t{Xu}。同时写入Px（τ*∈ dt）带参数, x、 α，c asp（t|, x、 α，c）。然后，X的一阶扰动分布*由px（X）给出*t型≤ a） =Ztpu型|e-2αa，x- a、 α，ce2αa杜。证明：引入{Yt}t≥0使YT=Xt- 一t型≥ 0.Ytis的SDE由DYT=e给出-2αae-2αYt- ce2αadt+dWt，Y=Y=x- a、 （42）类似定义*t： =最小0≤u≤t{Yu}。

然后px（X*t型≤ a） =Py（Y*t型≤ 0) . （43）另一方面，设τ为y到0的y的FPT。请注意py（Y*t型≤ 0）=Py（τ≤ t） 。（44）将（42）中的参数代入命题4.5，考虑到（44）和（43）之间的等价性，我们证明了结果。现在我们考虑扰动估计的精度。表示τbyPx（τ）的实际FPTD∈ dt）。将绝对误差表示为qτ（t）：=Px（τ∈ dt）- Px（τ*∈ dt）。（45）然后我们证明qτ（t）是o()-精确的命题4.10对于任何t>0，存在一个常数M>0，使得| qτ（t）|≤ M.此外，qτ（t）的概率表示由qτ（t）=前任Zt公司∧τe-2αXu- cη（t- u、 徐）杜,式中η（t，x）=-αcosh（αx）M（t，x）+1- e-2αx√2παM（t，x）+e-2αx√2πM（t，x）+c2.-xt公司p（t）带M（t，x）=Erfcx个√2t+αqteαtM（t，x）=e-x2t型αt- （αx+1）t+xt型-M（t，x）=e-x2t（αt- x） t型-.证明：为了强调x，β的函数的双重作用，用f（β，x）表示：=f（x）=f（β）。设η（t，x）：=L-1.xf（β，x）（t） 是f（x）的逆变换。考虑在命题4.5的证明中使用相同的技巧。经过标准计算，我们发现η（t，x）嵌入了上述显式形式。现在我们证明了概率表示和一致有界性。设h（x）：=（e-2αx- c） 。由η（t，x）的解可知↑+∞|h（x）η（t，x）|=0，x个∈ 杜。另一方面，根据推论3.11，Px（τ<+∞) = 1、限制↑+∞Zt公司∧τ| h（Xu）η（t- u、 Xu）| du=Zτlimt↑+∞|h（Xu）η（t- u、 Xu）| du=0。SinceRt公司∧τ| h（Xu）η（t- u、 Xu）| du在t和limt上连续↓0Zt∧τ| h（Xu）η（t- u、 Xu）| du=0，因此存在M>0，使得zt∧τ| h（Xu）η（t- u、 徐）|杜≤ Mt型≥ 0和{Xu}0≤u≤t型∈ 杜。（46）设qτ（t）由qτ（t）=前任Zt公司∧τh（Xu）η（t- u、 徐）杜.通过（46），我们立即得到了|▄qτ（t）|≤ M.