经济泡沫模型及其首次通过时间

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英文标题：
《An Economic Bubble Model and Its First Passage Time》
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作者：
Angelos Dassios, Luting Li
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We introduce a new diffusion process Xt to describe asset prices within an economic bubble cycle. The main feature of the process, which differs from existing models, is the drift term where a mean-reversion is taken based on an exponential decay of the scaled price. Our study shows the scaling factor on Xt is crucial for modelling economic bubbles as it mitigates the dependence structure between the price and parameters in the model. We prove both the process and its first passage time are well-defined. An efficient calibration scheme, together with the probability density function for the process are given. Moreover, by employing the perturbation technique, we deduce the closed-form density for the downward first passage time, which therefore can be used in estimating the burst time of an economic bubble. The object of this study is to understand the asset price dynamics when a financial bubble is believed to form, and correspondingly provide estimates to the bubble crash time. Calibration examples on the US dot-com bubble and the 2007 Chinese stock market crash verify the effectiveness of the model itself. The example on BitCoin prediction confirms that we can provide meaningful estimate on the downward probability for asset prices.
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中文摘要：
我们引入了一个新的扩散过程Xt来描述经济泡沫周期内的资产价格。与现有模型不同的是，该过程的主要特征是漂移项，其中均值回归基于标度价格的指数衰减。我们的研究表明，Xt上的比例因子对于建模经济泡沫至关重要，因为它可以缓解模型中价格和参数之间的依赖结构。我们证明了这个过程及其第一次通过时间都是明确定义的。给出了一种有效的校准方案，以及该过程的概率密度函数。此外，通过采用微扰技术，我们推导出了向下首次通过时间的闭合形式密度，因此可用于估计经济泡沫的破裂时间。本研究的目的是了解金融泡沫形成时的资产价格动态，并相应地估计泡沫破灭的时间。美国网络泡沫和2007年中国股市崩盘的校准示例验证了模型本身的有效性。比特币预测的例子证实，我们可以对资产价格的下降概率提供有意义的估计。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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关键词：经济泡沫 Mathematical Quantitative Perturbation Probability

经济泡沫模型及其首次通过时间Angelos Dassios*和Luting Li+伦敦经济学院统计系2018年3月23日摘要我们引入了一个新的差异过程{Xt}t≥0描述经济泡沫周期内的资产价格。与现有模型不同，该过程的主要特征是漂移项，其中均值回归基于标度价格的指数衰减。我们的研究显示了{Xt}t上的比例因子≥0对于经济泡沫建模至关重要，因为它缓解了模型中价格和参数之间的依赖结构。我们证明了该过程及其初始消息时间都是明确的。给出了一种有效的校准方案，以及该过程的概率密度函数。此外，通过采用微扰技术，我们推导出了向下第一次通过时间的封闭形式密度，因此可用于估计经济泡沫的破裂时间。本研究的目的是了解金融泡沫形成时的资产价格动态，并相应地估计泡沫的崩溃时间。美国网络泡沫和2007年中国股市崩盘的校准示例验证了模型本身的有效性。比特币预测的例子证明，我们可以对资产价格的下降概率提供有意义的估计。关键词：经济泡沫、扩散过程、首次通过时间、扰动、加密货币1简介经济泡沫通常指资产价格与其基本价值极度偏离的经济现象[38]。历史上最著名的泡沫之一，被称为荷兰Tulipbuble[12，18]，可以追溯到16世纪30年代。根据P.M.Garber【18】，从1636年11月到1637年2月，郁金香球茎的价格上涨了约20倍。

在泡沫的顶峰，通过出售一些灯泡，人们甚至可以在阿姆斯特丹买一栋豪华的房子。然而，仅仅三个月后，这些灯泡就一文不值了。资产价格的快速上涨和突然下跌是泡沫周期反映的一个共同特征。更多现代的例子可以在[44、25、22]中找到。经济泡沫的破裂有时伴随着金融危机，甚至经济萧条。在现代历史上，最具毁灭性的危机将是2007-2009年的金融危机，在这场危机中*A.Dassios@lse.ac.uk+L。Li27@lse.ac.ukbelieve美国房地产市场的崩盘是原因之一。而此次崩盘本身，通常被称为美国房地产泡沫的破裂。虽然人们认为泡沫在形成之前无法预测，但通过提前知道破裂时间，ZF和市场参与者可以相应地管理潜在风险。因此，在坠机前进行有效评估将有助于预防系统性风险。本研究的目的是了解经济泡沫周期内的资产价格动态，并对崩溃时间的概率分布进行估计。计量经济学和统计学对金融泡沫进行了广泛研究。作为非决定性的回顾，我们参考了文献[35]及其提及的计量经济学方法的文献；基于agent的模型统计和文献综述见【16】。在金融数学中，期权定价问题考虑了局部鞅模型。A、 考克斯和D.G.霍布森（D.G.Hobson）[10]在他们的工作中包括了一个广泛的随机分歧分支。S、 Heston等人【20】通过引入GCIR过程和Heston随机波动率模型丰富了讨论。在突发时间预测方面，C.Brooks和A。

Katsaris[7，6]使用三区域模型预测了标准普尔500指数投机泡沫的破灭。据我们所知，通过纯时间齐次扩散过程对经济泡沫动力学建模的研究有限。关于确定气泡碰撞时间的显式概率密度的研究更少。A.Kiselev和L.Ryzhik[27]发表了一篇与我们的工作相关的论文，其中考虑了具有外源功能漂移的均值回归过程。本文介绍了一种新的时间齐次扩散模型。我们的动机是提供另一种方法，在这种方法中，数学形式尽可能简单易懂，以概率描述经济泡沫周期内的资产价格动态。新模型与A.N.Shiryaev在序列分析中得出的Shiryaev过程密切相关。我们的模型包括三个独立的参数，其中两个参数提供了平均回归效应，如奥斯汀-乌伦贝克（OU）过程。作为我们模型的关键变量，第三个参数控制漂移项中指数衰减的速度。因此，收益率、资产价格、均衡水平和平均回归率之间的依赖结构得到了缓解。在不引入超函数的情况下，我们的模型为校准提供了足够的自由度，而另一方面，避免了过度拟合。由于模型结构简单，我们能够显示气泡碰撞时间的闭合形式密度函数。本文的主要贡献在于，我们提供了一种用于模拟气泡动力学和预测其破裂时间的自包含材料。在理论方面，我们已经证明了新模型是一个定义良好的扩散过程，并且其第一通过时间（FPT）是存在的。

更具体地说，该过程是一个具有强唯一解的半鞅。作为一个循环的强马尔可夫过程，该模型嵌入了一个a.s.有限FPT；并用一个简洁的函数形式找到了它的平稳分布。在实用方面，考虑了基于经济特征的校准算法。我们给出了固定时间内流程分布的明确解决方案。此外，还发现了FPT的Laplacetransform（LT），并基于微扰技术求解了向下FPT的闭式密度。最后，通过三个数值例子验证了模型的有效性及其FPT密度（FPTD）。论文的其余部分组织如下：第2节介绍了我们新模型的SDE及其背后的动机；第3节讨论了新流程本身的理论结果；第4节给出了FPTD的闭合形式解；在第5节中，我们演示了校准算法，并通过三个示例说明了模型的应用，其中给出了比特币崩塌时间的预测；第6节结束。2随机动态和动机考虑过滤概率空间{Ohm, F、 P}，其中F={Ft}t≥0是由标准布朗运动{Wt}t生成的自然过滤≥我们引入以下三个参数SDEdXt=e-2αXt- cdt+dWt，X=X∈ R、 （1）参数, α限制在正实数线上，0≤ c≤ 动力学描述了一个具有指数衰减平均回复漂移的过程。作为新模型中最重要的参数，α控制漂移项中的速度、曲率和高阶信息。图1说明了e的函数-2αxtoα的不同选择。我们可以看到，作为Xt的函数，小α在漂移中产生轻微的线性衰减。

这扩大了维持正回报的过程的范围。另一方面，大α产生明显的指数衰减。在这种情况下，漂移符号对Xt值敏感，正漂移范围被压缩。图1:e的functoid图-2αx，α=0.1、0.5、1、2。绿色区域：正向漂移；红色区域：负漂移。图2:Xtin 4年时间的样本路径。参数选择为α=1， = 0.1，c=0.5，X=0，dt=。为了以更直观的方式说明新的过程，我们绘制了4年时间内α=1的XT模拟路径（图1中的绿色曲线）。其他参数选择如下 = 0.1，c=0.5，X=0。绿色、黑色和红色的三个阈值（从下到上）表示该过程的不同状态：I）根据SDE，当XT为负值或接近0（绿线）时（1）该过程嵌入了巨大的正趋势；二） 黑线绘制了平衡水平，其中e-2αXt=c，长期来看，Xt围绕该位置振荡；三） 红线显示XTE的级别，其中e-2αXt=0.1c，由于强烈的负趋势，过程被迫回落。此外，样本路径显示，从初始点访问平衡水平的时间比从对称高位返回的时间要少。考虑图1中的绿色曲线，这种不对称特征是对从XT水平到瞬时回报的指数变换的自然反映。因此，当XTingeral低于平衡水平时，它应该会快速增长，但是，即使XT超过平衡水平到更高的位置，也没有必要让XTingeral立即下降。这种行为本质上不同于我们的新模型和OU型均值回归过程。该模型特征与经济泡沫的观察结果一致。参考H.P.Minsky和H。

考夫曼[30]。泡沫周期由五个步骤组成：流离失所、繁荣、欢欣、获利、恐慌。在第一步中，资产价格保持在较低水平，这一过程通常是一个“主动”增长的过程。这与我们模型中的制度I相对应。在繁荣阶段，价格对积极的市场消息变得敏感，并迅速上涨。虽然有时由于市场预期价格可能下跌，但在波动之后，资产价格将继续上涨。制度II对此进行了描述。在区域III中，显示出峰值，并累积了较大的负位移。这描述了资产价格达到历史高位的欢欣阶段；然而，由于市场资本的限制或风险规避，市场预期变得消极。在盈利阶段，资产价格对负面市场消息变得敏感，过程从制度III转移到制度II。最后，这个过程会回落到平均逆转水平，甚至继续下降到状态I。这描述了泡沫的最后一步。从校准角度来看，α缓解了瞬时收益对价格、均衡水平和平均回归率的依赖结构。考虑漂移函数，其中α被抑制，u（Xt）：=（e）-Xt公司- c） 。在该模型中，一旦确定c，平衡水平Xt=-ln（c）成为固定数字。如果校准了较大的c，那么我们同时有一个较小的平衡水平-ln（c）。因此，当Xt很小时，其中e-Xt公司-c接近0，为了获得较大的瞬时回报，平均回归率 也应该进行高度调整。但我们知道，泡沫通常会花费数年时间来完成其整个周期；因此，对于泡沫模型来说，不需要大的反转率。分析表明，α抑制模型不能标定气泡动力学。

作为补充，需要额外的功能术语（参见[27]）。然而，在不引入额外功能的情况下，三参数模型扩展了模型校准的自由度。结合之前的讨论，wesee SDE（1）是描述经济泡沫的一个很好的候选者。否则，该过程将需要很长时间才能访问制度III），其中e-Xt公司≈ 0和-c成为主导。3理论合理性3.1存在性、唯一性和强马尔可夫性建议3.1存在唯一的强解{Xt}t≥0到SDE（1），其显式形式如下xt=x+Wt- ct+2αln1 + 2αe-2αxZte-2α（Ws-cs） ds公司;此外{Xt}t≥0是一个强马尔可夫过程。证明：我们考虑x上的指数变换，使得Y=e2αx，Y=e2αx。通过应用Ito引理，我们证明了Y的系数满足全局Lipschitz连续性和线性增长条件：dYt=2α[ + (α - c)Yt]dt+2αYtdWt。（2） 根据[26]中的定理2.9，我们得出结论，存在唯一的强解{Yt}t≥0至SDE（2）。因此{Xt}t≥0是SDE（1）的唯一且强大的解决方案。另一方面，参考【43，第4.4节】Y，其明确形式如下：Yt=e2α（Wt-ct）Y+2α中兴通讯-2α（Ws-cs） ds公司.然后，将Yt=e2αXt代入上述方程，我们解出Xt。现在我们考虑强马尔可夫性质。注意，SDE（2）中的系数是连续的，因此有界于R的紧子集上。结合上面的适定证明，并参考[26，定理4.20]，我们显示{Yt}t≥0是一个强马尔可夫过程。因此{Xt}t的强马尔可夫性质成立≥0备注3.2证明描述了{Xt}t≥0从另一个方面。SDE（2）显示{Yt}t≥0是具有平均反向漂移的几何布朗运动。参考【40，等式（9）】，这确实是一个Shiryaev过程。

因此{Xt}t≥0是Shiryaev过程的对数。从命题3.1中的显式解可以看出{Xt}t≥0是一个半鞅，其中boundedvariation（BV）部分由严格递减函数和严格递增函数组成。依赖于指数积分中的布朗运动路径，当差值t>0时，BV部分可能是正的或负的。然而，通过观察，当c=0时，很明显，只给出了递增函数。这表示在特殊情况下{Xt}t≥0应该是子鞅。推论3.3如果c=0，则{Xt}t≥0是严格的子鞅。证明：当c被抑制时{Xt}t的解≥0 Becomesxt=x+Wt+2αln1 + 2αe-2αxZte-2αWSD. （3） 从定义上看，其熟练程度是显而易见的。我们考虑了Xt的L-可积性。注意，通过对凹函数ln（·）应用Jensen不等式，我们得到自然对数1 + 2αe-2αxZte-2αWSD≤ 自然对数E1 + 2αe-2αxZte-2αWSD.通过改变积分和期望值，E中兴通讯-2αWSD=2αe2αt- 1.. （4） 另一方面，当α， ∈ (0, +∞)1 + 2αe-2αxZte-2αWSD≥ 1.t型≥ 0.（5）因此自然对数1 + 2αe-2αxZte-2αWSD= 自然对数1 + 2αe-2αxZte-2αWSD. （6） 结合（4）和（6），我们有2αE自然对数1 + 2αe-2αxZte-2αWSD≤2αln1 +αe-2αxe2αt- 1.. （7） 最后，请注意e[| Wt |]=r2tπ。（8） 因此，应用三角形不等式并结合（7）和（8），我们展示了XtbyE[| Xt |]的L-可积性≤ x+r2tπ+2αln1 +αe-2αxe2αt- 1.< +∞.最后，E的非递减条件期望Xt公司Fs公司, 对于0≤ s<t<+∞, 由againsing（5）给出，thatln1 + 2αe-2αxZte-2αWSD> 我们的证明到此结束。3.2{Xt}t的概率分布≥0我们考虑找出{Xt}t的分布≥通过命题3.1，我们可以看到XtinvolvesBrownian运动及其指数积分的解。A.Dassios和J也回答了类似的问题。

Nagaradjasarma【13】表示平方根过程。G、 Peskir[33]在一种特殊情况下推导了Shiryaev过程的固定时间分布。但对于一般情况，只有拉普拉斯变换是有效的。这里，我们参考H.Matsumoto和M.Yor[29，45]中关于布朗运动及其指数积分的结果，并有以下命题。命题3.4固定t>0和u∈ R、 Xt的概率密度由P（Xt）给出∈ du）=αdu·Z∞ζ（u；cα、 y）经验值-ct+1/y+ζ（u；2，y）θζ（u；1，y），αtdy公司,式中θ（r，s）=r√2πseπ2sZ∞e-v2s-r cosh（v）sinh（v）sinπvsdvandζ（u；u，y）=1 + 2αe-2αxyue-u·α（u-x） y.证明：设s=αt，那么对于另一个标准布朗运动Bs，概率为1，下面的方程保持trueBs+cαs=-α（重量- ct） 。用u表示：=cα、 B（u）s：=Bs+us，A（u）s：=Zse2B（u）vdv。（9） 然后参考[29，45]，我们有A（u）s∈ dy，B（u）s∈ dz公司=yexp是的uz-us-1+e2z2y· θezy，sdydz，（10），其中θ（r，ξ）=rp2πξeπ2ξZ∞e-v2ξ-r cosh（v）sinh（v）sinπvξdv。另一方面，用B（u）砂A（u）s重新表示。注意A（u）s=Zαtexp-2αWvα- cvαdv。通过改变变量w=vα，我们得到（u）s=αZte-2α（Ww-cw） 数据仓库。（11） 重写{Xt}t≥0在命题3.1中，使用（9）和（11），我们得到xtp=x-B（u）sα+2αln1 + 2αe-2αxA（u）s. （12） 现在我们考虑Xt的密度函数。请注意，对于固定u∈ R和Xt≤ u、 （12）表示α（x- u） +项次1 + 2αe-2αxA（u）s≤ B（u）s.用g表示u、 A（u）s:= α（x- u） +项次1 + 2αe-2αxA（u）s.考虑到（10），我们有p（Xt≤ u） =Zy∈(0,∞)Zz公司≥g（u，y）PA（u）s∈ dy，B（u）s∈ dz公司. （13） 取u上的导数，我们进一步得到p（Xt∈ du）=-Zy公司∈(0,∞)yexp是的ug（u，y）-us-1+e2g（u，y）2y· θeg（u，y）y，sdy·gu（u，y）du（14）=αZy∈(0,∞)yexp是的ug（u，y）-us-1+e2g（u，y）2y· θeg（u，y）y，sdydu。