零售能源市场的最优价格管理：一种脉冲控制

第一个条件的值为（4.23），而第二个条件的值为▄V。条件（iii）。我们必须证明每x∈ R we havemax{AV（x）- ρИV（x）+R（x），MV（x）-~V（x）}=0。（4.25）我们使用备注4.6中的表述。在“’x，’x中，’x[声明是真实的，如MV-V<0乘以（4.22）和σОV- ρИV+R=σДA- ρДA+f=0，由ДA的定义。对于R \\]x，\'x[，我们已经通过（4.22）知道-V=0。那么，为了得出结论，我们必须证明σОV（x）- ρV（x）+R（x）≤ 0, x个∈ R \\]x，\'x[。通过对称性，足以证明x的说法∈ [(R)x+∞[.通过定义V（x）和（4.20），在区间[(R)x+∞[我们有▄V≡ ^1A（x*) -c=ДA（(R)x）；因此，不平等的原因-ρДA（(R)x）+R（x）≤ 0, x个∈ [(R)x+∞[.当R在[x]中减小时*, +∞[  [(R)x+∞[，足以证明x=(R)x中的声明：-ρДA（(R)x）+R（(R)x）≤ 自（σ/2）以来- ρДA（\'x）+f（\'x）=0，f（\'x）=R（\'x），我们可以重写为-σДA（(R)x）≤ 0，这是真的，因为“x”是本地最小值∈ C∞（R） 。条件（iv）。给定x∈ R、 根据定义2.1，我们必须证明Xk公司≥1e级-ρτ*k< ∞.按照最优控制u动作时*, 当流程到达“x”或“x”并将流程切换到“x”时，零售商进行干预*∈ ]\'x，\'x[。因此，我们可以分解每个变量τ*kas是从“’x，’x[.给定y]开始的适当退出时间的总和∈ R、 让ζyde注意过程y+σW的存在时间，其中W是一个真正的布朗运动，从区间]\'x，\'x[；然后，我们有τ*= ζx和τ*k=ζx+k-1Xl=1ζx*l、 每k≥ 2，其中变量ζx*lare独立，分布为ζx*.

作为一个序列，我们有Xk公司≥2e类-ρτ*k= 前任Xk公司≥2e类-ρζx+峰值-1l=1ζx*l= 前任e-ρζxXk≥2Yl=1，。。。，k-1e级-ρζx*l.根据Fubini-Tonelli定理和变量的独立性：Exe-ρζxXk≥2Yl=1，。。。，k-1e级-ρζx*l= 前任e-ρζxXk公司≥2Yl=1，。。。，k-1Exhe-ρζx*锂。作为变量ζx*与ζx相同分布的lare*l~ ζx*, 我们可以得出结论：Xk≥2Yl=1，。。。，k-1Exhe公司-ρζx*li=Xk≥2个小时-ρζx*ik-1< ∞,这是一个收敛的几何级数。数值模拟。我们用Wolfram Mathematica获得的一些数值模拟来结束本节。我们考虑以下两组参数，并绘制区间[0，].问题1：ρ=0.03，σ=0.2，b=0.0，c=2.0， = 5.0，问题2：ρ=0.05，σ=0.3，b=3.0，c=0.5， = 5.0.我们还以虚线的形式绘制函数Дa。我们注意到C粘贴在\'x，\'x和x中的最大点*= 十五。此外，如第2节所述，系数b将最大点移向边界. 最后，参数c显然对区间大小有影响]’x，’x[：我们将在下一节中研究此特性。0 1 2 3 4 536.537.037.538.038.5图1：x 7→ 问题1.0 1 2 3 4 513.013.113.213.313.413.513.6的V（x）图2：x 7→ V（x）对于问题2.5关于干预成本的估计，在本节中，我们研究了参数c>0（干预成本）对值函数V和延续区域]’x，’x[]的影响。

本节的主要结果是]x，\'x[作为c]的渐近估计→ 0+，见命题5.1。我们从第4.2节简要回顾了值函数的对称表示（我们在这里写V=Vc，\'x=\'x（c），\'x=\'x（c），A=A（c），以强调对c的依赖）：Vc（x）=（ДA（c）（x），x∈ ]\'x（c），\'x（c）[，ДA（c）（十五）- c、 x个∈ R \\]’x（c），’x（c）[，（5.1），其中函数ДA（c）在（4.7）中定义，’x（c），’x（c）由‘x（c）=xv定义- \'y（c），\'x（c）=xv+\'y（c），（5.2）带A（c）∈ ]0，\'A[和\'y（c）>0由方程sg（A（c））=c，ξ（\'y（c））=c，（5.3），g如（4.13）所示，ξ如（4.17）所示。回想一下，我们有ξ>0和g<0，因此A（c）和\'y（c）定义得很好，详情请参阅第4.2节。渐近估计为c→ 0+. 如果干预成本消失，即c→ 0+，干预将无成本，因此我们期望零售商持续干预，以使流程保持在最佳状态。因此，Xx；u*（c） tgets常数，等于x*= xv，值函数vc收敛于toR∞e-ρtR（xv）dt=yv/ρ，yvas在（2.6）中，continuationregion]’x（c），’x（c）[折叠为单态{xv}。请注意，极限最优控制在形式上是不允许的，因为它需要连续时间干预。实际上，由于上一节的结果，我们可以证明一个更强的结果。即，我们研究了]’x（c），’x（c）[作为c→ 0+，证明了'x（c），'x（c）收敛于类似于c的第四根的xV。据我们所知，这是第一次提供脉冲控制问题连续区域的渐近估计。提案5.1。以下渐近估计成立：(R)x（c）~c→0+15- C√c、 \'\'x（c）~c→0+xv+C√c、 （5.4）其中，我们设置了c=p6σ/α，α如（2.6）所示。特别是，我们有LIMC→0+(R)x（c）=极限值→0+(R)x（c）=xv。（5.5）证明。根据（5.2），我们必须将y（c）估计为c→ 0+.

由于y（c）由ξ（\'y（c））=c定义，请参见（5.3），我们从估计函数ξ开始。通过（4.17）回忆ξ（y）=θky（eθy- e-θy）- 2ky（eθy+e-θy- 2.θ（eθy- e-θy），对于每个y>0。通过泰勒级数，我们得到了eθy- e-θy=2θy+θy+oy,eθy+e-θy=2+θy+θy+oy,得出以下近似值：ξ（y）~y→0+θky2θy+θy/3- 2kyθy+θy/122θy=kθy。（5.6）由于ξ（0+）=0乘以（4.17），ξ是一对一映射乘以（4.18），因此从（5.3）中的关系，我们推断出‘y（0+）=0。（5.7）然后根据（5.6）得出ξ（(R)y（c））~c→0+kθ′y（c）。关系ξ（\'y（c））=c，见（5.3），则表示“y（c）”~c→0+rkθ√c、 （5.8）得出结论，因为kθ=2α/σ。备注5.2。系数C增加了w.r.t.σ，减少了w.r.t.α，这是合理的：如果波动率σ增加，则延续区域变大以减少干预的频率，而如果支付的凹度α增加，则延续区域变小以保持过程接近最佳值。最后，我们注意到（5.4）中的渐近估计与贴现因子ρ无关。备注5.3。我们注意到（5.4）适用于一类更一般的问题，即任何具有对称二次支付、恒定干预成本和布朗基础的控制问题。更详细地说，对于形式v（x）=supu中的任何问题∈UxEx公司Z∞e-ρt（Xx；ut- xv）dt-Xk公司∈氖-ρτkc, Xx；ut=x+σWt+xτk≤tδk，延拓区域的形式为]’x（c），’x（c）[并收敛到单态{xv}asc→ 0+，估计值为\'x（c），\'x（c）~c→0+xv±？C√c、 c=√6σ.据我们所知，文献中没有类似估计的参考文献。提案5.4。以下逐点限制适用：limc→0+Vc（x）=Vstatic，limc→0+Xx；u*（c） t=xv，（5.9）每x∈ R和t≥ 0，其中我们设置了Vstatic=yv/ρ，yvas在（2.6）中。证据

因为x（c）和x（c）收敛到xv，对于任何x∈ 我们有x∈R \\]\'x（c），\'x（c）[对于足够小的c（例如c≤ c（x））。因此，通过（5.1），我们得到Vc（x）=ДA（c）（xv）- c、 c类∈ ]0，~c（x）[，x∈ R \\{xv}。（5.10）相反，在x=xv的情况下，自xv起∈]\'x（c），\'x（c）[，由（5.1）我们得到Vc（xv）=ДA（c）（xv），c∈ ]0, +∞[（5.11）乘以（5.10）和（5.11），每x∈ R我们有LIMC→0+Vc（x）=limc→0+ДA（c）（xv）=ДA（0+）（xv）。设A如（4.11）所示。自g（(R)A）起-) = 0乘以（4.13），由于g是一对一映射乘以（4.14），所以（5.3）中的恒等式表示a（0+）＝a。然后，通过定义ИAin（4.7）、定义（4.11）中的a和定义kin（4.3），我们得到了limc→0+Vc（x）=Д？A（xv）=2？A+k=yvρ，这证明了（5.9）中的第一项权利要求。最后，由于x（c）<Xx；u*（x，c）<x（c）由u定义*（c） ，则（5.9）中的第二项权利要求紧接着传递给限制条件c→ 0+.单调性。现在，我们研究了连续区域和值函数相对于c的单调性。当干预成本降低时，Retailerintervene更频繁，因此我们期望问题的连续区域更小，值更大。提案5.5。对于每个c>0和x∈ R我们有\'x（c）<0，\'x（c）>0，ddcVc（x）<0。（5.12）尤其是，值函数总是小于静态最大值：Vc（x）<Vstatic，（5.13），其中Vstatics是命题5.4中定义的常数。证据通过（5.2）和（5.3），我们得到了“x（c）=”y（c）=ξ（\'y（c））>0，其中我们回忆起（4.18）的ξ>0。根据对称性，则'x（c）<0。对于值函数，根据（5.1）和（4.7）中的定义，我们得到了DVCDC（x）=（A（c）eθ（x-xv）+e-θ（x-十五）, x个∈ ]\'x（c），\'x（c）[，2A（c）- 1，x∈ R \\]’x（c），’x（c）[，（5.14），它总结了证明，因为根据（5.3），我们有A（c）=g（A（c））<0，（5.15），其中我们回顾了（4.14）g<0。稳健性。

最后，我们研究了值函数对c在零附近的微小变化的敏感性。首先在【28】中，然后在【30】中，已经证明了形式为c+￠λ|δ|，且￠λ>0的干预成本意味着dVc/dc随着c的变化而变化→ 0+，这在进行数值实验时是非常有问题的。我们的问题不属于[30]中研究的类别，因为我们这里的∧=0。然而，这个属性也存在于我们的案例中。由于前面几节中的估计，我们实际上可以证明一个更强的结果，为导数c提供一个渐近估计→ 0+.提案5.6。对于每x∈ R、 我们有DVCDC（x）~c→0+-^C√c、 式中，^c=σ/(√6ρ). 特别是，我们有LIMC→0+dVcdc（x）=-∞.证据通过（5.15）和（4.16），我们得到A（c）=g（A（c））=-eθ′y（c）（eθ′y（c）- 1） ，对于任何c>0。通过泰勒级数和（5.8），我们得到a（c）~c→0+-θ′y（c）~c→0+-θC√c、 与命题5.1中的c相同。尤其是，A（0+）=-∞, 所以在（5.14）之前，我们有（单独考虑x∈ R \\{xv}和x=xv，回想一下，\'x（c），\'x（c）收敛到xv）dVcdc（x）~c→0+2A（c）~c→0+-θC√c、 数值模拟。最后，我们进行了一些数值模拟，显示了上述结果。图3考虑了问题1的数据（参见第4.3节），并绘制了函数x 7→ Vc（x）表示值（从上到下）c=0+、1、5、10、15。我们这里有'c=16.9，所以所有这些值都是允许的。我们注意到V+≡ V静态，对于任何x，区间“’x，’x[随着c的增加而增加，值Vc（x）随着c的增加而减少∈ R、 图4还提到了问题1，并将continuationregion的边界绘制为c的函数，即c 7→\'x（c），\'x（c）。

我们还以虚线的形式绘制了最优状态x*= xvand渐近估计c 7→ xv±C√c、 与命题5.1中的c相同。我们注意到了c的单调性和极限→ 0+，当continuationregion退化为单态{xv}。0 1 2 3 4 5202530354045图3：x 7→ 问题1的Vc（x）和c.2的增加值4 6 8 101234图4：c 7→ 对于问题1.6模型的扩展，在本节中，我们扩展了第2节中的模型，并对之前的结果进行了适当的调整。我们考虑以下扩展。-我们在批发价格中添加了一个漂移项：对于常数u，St=s+ut+σWt∈ R、 因此，给定u={（τk，δk）}k∈N、 受控过程为nowXx；ut=Pt- St=x- ut- σWt+Xτk≤tδk.（6.1）-在第2节中，干预成本是一个固定常数c。我们现在添加了一个与市场份额Φ（Xx；ut）成比例的状态相关项。也就是说，我们假设成本由K（Xx；ut）给出，其中Xx；utas在（6.1）中，其中k（x）=c+λΦ（x）=λ+c，如果x<0，-λ（十）- ) + c、 如果0≤ x个≤ ,c、 如果x>,（6.2）其中x∈ R是干预前的过程状态，c>0，λ≥ 0是固定常数。对于λ=0，我们检索第2节的恒定成本。相应地，（2.12）中的函数J现在读取（与（2.5）中的R相同）J（x；u）=ExZ∞e-ρtR（Xx；ut）dt-Xk公司∈氖-ρτkKXx；u（τk）-. （6.3）-（6.2）中的成本函数不是光滑的，我们无法应用验证定理。但是，如果受控进程X从未退出间隔]0，[，惩罚函数的奇异性不再属于定义值函数的集合，并且可以应用验证定理。然后，我们需要进一步的条件来允许控制u∈ Ux，除定义2.1中的定义外：ExXk公司∈氖-ρτkKXx；u（τk）-< ∞, Xx；美国犹他州∈ ]0, [, t型≥ 0

（6.4）实际上，（6.4）迫使零售商（至少）在其市场份额达到0或1时进行干预；换句话说，我们不承认零售商没有客户或垄断市场的情况，从实际角度来看，这一假设是温和和合理的。命题3.2中的验证定理在这个新的框架中仍然有效，只是有一些小的变化。特别是，拟变分不等式（3.2）现在写的是MaxnσV- uV- ρV+R，MV- Vo=0。（6.5）（σ/2）V的解- uV- ρV+f=0由ДA给出，A（x）=Aemx+Aemx- kx+kx-k，（6.6），其中A，A∈ 我们设置了m1，2=u±pu+2ρσσ，k=αρ，k=2αxvρ+2αxvρ，k=αxv- yvρ+α（σ+2uxv）ρ+2αuρ，（6.7），α，xv，yvas在（2.6）中。根据（6.5）中的公式，与第4.1节中的参数相同的参数可以得到以下候选值函数。定义6.1。对于每个x∈ ]0, [，我们设置▄V（x）=（ДA，A（x），in）▄x，▄x[，ДA，A（x*) - c+λ/（十）- ), 在]0中，[\\](R)x，(R)x[，式中为（6.6）中的ДA，Ais和五个参数（A，A，(R)x，(R)x，x*) 满意度0<x<x*< \'\'x< （6.8）和以下条件：^1A，A（x*) = 0和ДA，A（x*) < 0，（x的最优性*)ДA，A（(R)x）=λ/, （C-粘贴在'x）ДA，A（'x）=λ/, （C-pasting in？x）ДA，A（？x）=ДA，A（x*) - c+λ/（(R)x- ), （C-pasting in？x）ДA，A（？x）=ДA，A（x*) - c+λ/（(R)x- ). （C-pasting in'x）（6.9）问题的新结构不允许轻松适应第4.2节中的技术，我们需要依靠数值模拟来验证（6.8）-（6.9）的解的存在性。如果存在这样的解决方案，验证理论将适用，我们将得到最优控制的以下特征。提案6.2。假设存在（6.8）-（6.9）的解决方案。此外，假设存在▄x，▄x，其中▄x<▄x<▄x*< x<x，使得ДA，A<0英寸]￠x，￠x[和ДA，A>0英寸](R)x，￠x[∪]x，(R)x[。

最后，假设“x<^x<”x，其中我们设置了^x=xv-(ρλ)/(2α).然后，对于每个x∈]0, [最优控制u*本节所述的问题存在，由（4.24）给出。此外，Vin定义6.1给出了问题的值函数。证据第4.3节中的证明易于改编。备注6.3。第4.3节中的实际解释仍然适用：当状态变量退出区域时，零售商应进入]’x，’x[，将过程转移到最佳状态x*. 不同之处在于，该系统的特征为“x、”x、x*在分析上不再容易处理。数值模拟。这里我们考虑以下参数集，并绘制相应的值函数。问题3：ρ=0.03，u=0.2，σ=0.25，b=0.4，c=1.5，λ=0.0， = 5.0，问题4：ρ=0.05，u=0.1，σ=0.3，b=0.5，c=1.0，λ=0.5， = 5.0.我们还以虚线的形式绘制了函数Дa，a：注意在‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘‘’。0 1 2 3 4 530.030.531.031.5图5：x 7→ 问题3.0 1 2 3 4 518.418.618.819.019.219.419.619.8的V（x）图6：x 7→ V（x）问题4.7结论在本文中，我们寻求零售商向最终消费者销售能源的最优价格政策。零售商在批发市场购买能源，只能通过离散时间干预来调整其要求的最终价格。他的市场份额取决于最终价格和批发价格之间的差价，每次干预对应的固定成本c>0。

我们将该问题建模为一个无限期脉冲控制问题。通过验证程序，我们描述了价值函数和最优价格政策：当状态变量退出固定区间时，零售商需要进行干预]’x，’x[，将过程移动到最方便的状态x*. x的值*是显式的，而'x，'x由代数方程组表征。我们提供了该系统解的存在性和唯一性的分析结果。然后，我们关注干预成本c>0在最优控制中的作用。特别地，我们提供了连续区域]’x，’x[作为c]收敛的渐近估计→ 0+. 即间隔](R)x，\'\'x[收敛到单态{xv}，且其长度收敛为零，作为成本c的第四根。最后，我们提出了该问题的一些扩展，包括漂移项和可变干预成本。数值结果验证了我们所证明的性质。据我们所知，我们提出的方法是原创的，以前从未提供过脉冲控制问题的渐近估计。特别是，我们想强调针对能源市场优化问题的脉冲控制的范围和潜力。有几个方向可以进一步发展本文给出的结果。例如，可以考虑批发价格的更结构化模型（例如，St的均值回复模型），以及市场份额函数的不同模型。在这些情况下，需要仔细分析以研究最优控制的特性，因为分析一致性结果和半显式公式将不再可能。