零售能源市场的最优价格管理：一种脉冲控制

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英文标题：
《Optimal price management in retail energy markets: an impulse control
  problem with asymptotic estimates》
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作者：
Matteo Basei
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We consider a retailer who buys energy in the wholesale market and resells it to final consumers. The retailer has to decide when to intervene to change the price he asks to his customers, in order to maximize his income. We model the problem as an infinite-horizon stochastic impulse control problem. We characterize an optimal price strategy and provide analytical existence results for the equations involved. We then investigate the dependence on the intervention cost. In particular, we prove that the measure of the continuation region is asymptotic to the fourth root of the cost. Finally, we provide some numerical results and consider a suitable extension of the model.
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中文摘要：
我们考虑在批发市场购买能源并将其转售给最终消费者的零售商。零售商必须决定何时进行干预，以改变其向客户提出的价格，从而实现收入最大化。我们将该问题建模为一个无限时域随机脉冲控制问题。我们刻画了一个最优价格策略，并给出了相关方程的存在性分析结果。然后，我们调查对干预成本的依赖性。特别地，我们证明了连续区域的测度渐近于代价的第四根。最后，我们给出了一些数值结果，并考虑了模型的适当扩展。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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关键词：价格管理 intervention Optimization Continuation Differential

零售能源市场的最优价格管理：基于渐近估计的脉冲控制问题*2019年4月2日摘要我们考虑在批发市场购买能源并转售给最终消费者的零售商。零售商必须决定何时进行干预，以改变向客户提出的价格，从而实现收入最大化。我们将该问题建模为一个无限期随机脉冲控制问题。我们描述了一个最优价格策略，并给出了相关方程的分析存在性结果。然后，我们调查对干预成本的依赖性。特别地，我们证明了连续区域的测度渐近于代价的第四根。最后，我们给出了一些数值结果，并考虑了模型的适当扩展。理学硕士分类：93E20、91B70、91B24。关键词：脉冲控制，拟变分不等式，渐近估计，价格管理，能源市场。1简介在能源市场，零售商首先在批发市场购买能源，然后再将其转售给最终消费者。在决定价格策略时，零售商必须考虑几个因素。事实上，高价格对应于来自少数客户的高单一收入，而低价格则导致来自更大市场份额的低单一收入。此外，运营成本可以抵消能源销售收入。最后，调整价格意味着成本，因此必须仔细评估干预时间。在本文中，我们提出了一个基于连续时间随机过程的离散时间干预的原始模型，并确定代表性零售商应该何时以及如何进行干预，以实现其收益最大化。由于能源几乎是瞬时交易的，因此能源批发价格可以建模为一个连续时间随机过程。

相反，通过分段常数过程来表示能源的最终价格是合理的，因为由于合同中的特殊条款，在每次价格调整之前必须确定所有客户。因此，零售商只能通过离散时间干预（脉冲控制）来调整价格。更详细地说，X是商品的最终价格和批发商价格之间的差价，即销售一单位能源时的净收入。零售商的*加州大学伯克利分校IEOR系，伯克利教育部basei。市场份额由Φ（Xt）建模，以获得合适的函数Φ∈ [0, 1]. 零售商的收益包括能源销售收入和运营成本，此处假设其与市场份额Φ（Xt）呈二次曲线关系。最后，我们假设一个恒常保留惩罚，即c>0。因此，如果u={（τk，δk）}k≥1根据零售商的保留政策，即价格过程中的干预时间和相应变化，我们处理以下脉冲控制问题：V（x）=supu∈UxEx公司Z∞e-ρtXtΦ（Xt）- bΦ（Xt）dt公司-Xk公司∈氖-ρτkc, （1.1）其中Ux是容许控制的类别，Xt是跳跃δkat乘以τk的标度布朗运动。关于模型的精确定义和备注，请参阅第2节。为了研究（1.1）中的问题，我们使用验证方法：如果一个函数足够正则并且满足一个合适的拟变分不等式，它与问题的值函数一致，并且可以用来描述最优控制。以下程序包括三个步骤。首先，我们通过启发式求解拟变分不等式，对值函数V进行有根据的猜测。候选人依赖于五个参数，解决合适的代数方程组（平滑条件）。

在程序的第二步中，我们分析性地证明了参数系统允许唯一解，因此▄V得到了很好的定义。最后一步是改善验证定理的所有假设都得到满足。然后，我们得到最优控制的特征：当状态变量退出区域]’x，’x[（延续区域）时，零售商应进行干预，将过程移动到合适的最优状态x*, 其中x*是明确已知的，阈值'x，'x由代数方程系统定义。在本文的第二部分中，我们研究了最优控制和价值函数关于干预成本c>0的性质。当c减小时，干预成本降低，因此连续区域]’x（c），’x（c）[（我们这里指定对c的依赖）变小，最终退化为单态{x*} 作为c→ 0+.此外，该问题在零的右邻域中不是鲁棒的，在这个意义上，dv/dc作为c发散→ 0+，V如（1.1）所示。至于延拓区域]’x（c），’x（c）[，我们实际上可以更进一步，证明这种收敛的渐近估计。即，延拓区域收敛到其极限，作为干预成本的第四根：’x（c）~c→0+x*- C√c、 \'\'x（c）~c→0+x*+ C√c、 （1.2）其中c>0。特别是，我们根据问题的参数为C提供了一个显式表达式。据我们所知，这是脉冲控制问题连续区域的第一个明确渐近估计示例。最后，我们通过在基础过程中添加漂移项和在干预成本中添加状态依赖项来推广我们的模型。我们相应地调整了验证程序，并提供了充分的条件来描述最优控制。

在这个扩展的框架中，方程组的分析结果是不可能的，我们提出了两组参数的数值解。过去，公司为产品或服务设定的价格在一段时间内是相对固定的。在过去几十年中，新技术的出现使得价格调整更快，更好地了解客户的需求，从而形成了动态的定价体系。相应地，大量文献出现了关于选择收益最大化的价格策略的策略（收益管理问题）。我们引用了具有开创性的论文Belobaba【7】、McGill和van Ryzin【25】，并让读者参考Elmaghraby和Keskinocak【16】的综合调查。Aid[1，第4.4节]考虑了能源行业合同的定价问题，并对该主题进行了详细的文献回顾。令人惊讶的是，现有的论文主要关注大型工业客户，而零售商向小型最终消费者销售能源的案例尚未得到深入研究：据我们所知，这是对该主题的第一个贡献。我们方法中的一个关键点是使用脉冲控制。在脉冲控制理论中，控制器通过离散时间移位进行干预，将过程从当前状态移动到更方便的状态。相反，在标准控制理论中，基本过程受到持续时间干预的影响。在许多应用中，脉冲控制相对于经典控制提供了更真实的模型，因为控制器通常只能对过程进行离散次数的干预。例如，考虑到最优收获问题、最优股利政策或本文所述的定价问题，连续时间控制无法满足问题的实际性质，而脉冲控制更接近实际情况。

除了广泛的已知应用之外，脉冲控制理论在理论上也是具有挑战性的，因为这里描述标准控制理论的Hamilton-Jacobi-Bellman方程被要求更高的拟变分不等式所取代。由于这些原因，无论是从理论角度还是在实际应用方面，脉冲控制理论在最近几年都成为了一个丰富的研究课题。关于冲动问题的一般介绍，请读者参阅Oksendal and Sulem【29，第6章】。关于表征脉冲问题值函数的拟变分不等式的粘性方法，请参见Davis等人【15】，Guo和Wu【19】。Oksendal[28]，Oksendal等人[30]研究了一类脉冲问题相对于干预成本的稳健性。科索（Cosso）[14]在零和情况下研究了脉冲控制理论对多个参与者存在的情况的扩展，最近Aid等人（2）、Basei等人（6）、法拉利（Ferrari）和科赫（Koch）[18]在非零和情况下研究了脉冲控制理论。Federico等人【17】提出了一种处理静态一维脉冲控制问题的替代方法。脉冲控制已被用于模拟汇率和利率的优化问题，见Cadenilas和Zapatero【13】、Jeanblanc Picqu'e【21】、Mitchell等人【26】、Mundaca和Oksendal【27】。对于分割政策优化，我们参考了Alvarez和Lempa【5】、Cadenilas等人【10】、Cadenilas等人【12】、Jeanblanc Picqu'e和Shiryaev【22】。至于库存问题，wecite Bensoussan等人【8】，Cadenilas等人【11】，Harrison等人【20】。脉冲控制也是最佳收获中的模型问题：我们让读者参考Alvarez【4】，Willassen【31】。最后，关于投资组合优化，请参见，例如，Korn【23】，Korn【24】。本文的贡献有两个方面：财务和数学。

一方面，从财务角度出发，我们为零售商制定价格政策向客户出售他在批发市场购买的能源所面临的优化问题提出了一个易于处理的模型。这样做的目的是填补上述文献中的空白。我们的方法的关键点是脉冲控制的使用和半显式公式的分析存在性结果的存在性。特别是，我们想了解脉冲控制应用于能源市场问题的潜力：虽然技术上比标准控制要求更高，但它们更好地结合了市场的一些特征。另一方面，从数学角度来看，我们的主要贡献在于（1.2）。据我们所知，脉冲控制问题连续区域的显式渐近估计以前从未被研究和证明过。特别是，在备注5.3中，我们将（1.2）扩展到具有恒定干预成本、布朗基础、二次对称支付的任何脉冲问题，即formsupu中的任何问题∈UxEx公司Z∞e-ρt（Xt- xv）dt-Xk公司∈氖-ρτkc, （1.3）对于上述Xtas和合适的常数σ，c>0，xv∈ R、 这为脉冲问题的性质提供了更好的认识，并为进一步研究留下了空间，如形式（1.3）中的问题在脉冲控制理论中很常见，请参见Oksendal和Sulem【29，第7章】及其参考文献。本文的结构如下。在第2节中，我们提供了问题的精确公式及其数学框架。第3节提供了验证定理，即描述值函数和最优控制的充分条件。

通过这些条件，在第4节中，我们对值函数进行了有根据的猜测，证明其定义良好（定义涉及代数方程组），并应用验证定理来描述最优控制。第5节收集了关于干预成本c>0的几个样本，特别是连续区域c的渐近估计→ 0+. 第6节提出了模型的扩展。最后，第7节得出结论。2问题的表述我们考虑在批发商市场购买能源（如电力、天然气、汽油）并转售给最终消费者的零售商。我们通过标度布朗运动对商品的批发价格（即零售商为一单位能源支付的价格）进行建模：St=s+σWt，（2.1）对于t≥ 0，其中s>0是初始批发价格，σ>0是固定常数，W是在过滤概率空间上定义的实布朗运动(Ohm, F、 {Ft}t≥0，P），其中{Ft}t≥0是W的自然过滤。关于作为电价格模型的布朗运动，请参见Benth和Koekebakker【9】以及下面的备注2.3。此外，我们参考第6节了解（2.1）的推广，包括漂移项。请注意，零售商无法控制批发价格：在大多数情况下，即当公司规模不太大时，这是一个合理的假设。零售商将其购买的能源转售给最终消费者。根据能源市场上最常见的合同，零售商只有在与客户进行书面沟通后才能改变价格。因此，我们通过分段恒常过程P对商品的最终价格（即消费者在其账单中实际发现的一单位能源）进行建模。

即，我们考虑初始价格p＞0，序列{τk}k≥1增加随机次数，对应于零售商调整价格的干预，以及序列{δk}k≥1实值脉冲，对应于过程的跳跃（零售商可以增加和降低价格）。每t≥ 0，则有pt=p+Xτk≤tδk.（2.2）在下面的定义2.1中，我们提供了变量τkandδk的精确条件。我们还认为零售商在干预调整价格pt时面临固定成本c>0。我们参考第6节的概括，在干预成本中包括一个依赖于国家的术语。让我们用XT表示最终价格P和批发价格t之间的差异≥ 换言之，XT代表零售商从能源销售中获得的单一净收入。通过（2.1）和（2.2），我们得到xt=Pt- St=x- σWt+Xτk≤tδk，（2.3）对于每个t≥ 0，其中我们设置了x=p- s、 可以合理地假设零售商在t时的市场份额≥ 0是扩展Xt的函数，用Φ（Xt）表示。这里，Φ是一个合适的函数，其值在[0，1]中，其中Φ（Xt）=0表示零售商没有客户，Φ（Xt）=1对应于垄断地位。我们强调将市场份额与展品文本相联系，而不是与最终价格Pt相联系的重要性。事实上，假设市场份额仅依赖于PTS是有误导性的：如果批发价格仍然很高，市场上的所有零售商都会要求很高的最终价格，因此从消费者的角度来看，PTS的高价值非常接近STS仍然是有利的。现在我们对函数Φ进行建模。首先，我们注意到，如果差价X增加，零售商在能源销售上有更大的利润，这可能会导致一些客户流失；因此，函数Φ必须减小。

此外，如果XT接近于零，也就是说，如果零售商以尽可能低的价格出售能源，市场份额将接近1；因此，我们期望Φ（0）=1。最后，可以合理地假设，如果利差太大，比如Xt≥ , 零售商失去了所有客户；因此，我们假设Φ() = 0，其中 > 0是固定常数。Φ（x）给出了一个具有此性质的简单函数（alsosee备注2.3）=1，x≤ 0,-（十）- ), 0<x<,0，x≥ ,（2.4）每x∈ R、 换句话说，这里的市场份额是Xt的截断线性函数，有两个阈值：if Xt≤ 0所有客户都从零售商处购买能源，如果Xt≥  这家零售商失去了所有的顾客。管理客户意味着零售商面临的一些连续时间运营成本（客户服务、技术结构等）。相对于市场份额Φ（Xt），此类成本明显增加：零售商拥有的客户越多，运营成本越高。事实上，随着客户数量的增加，需要越来越多的投资（管理客户服务的更大结构，…），与市场份额的增长不成比例。因此，我们考虑规模收益递增，并假设运营成本与市场份额呈二次曲线关系，即给定bΦ（Xt），其中b≥ 0是固定常数。特别是，我们强调b=0的情况是可能的，并且与模型一致。零售商在时间t的现金流≥ 0包括出售energyXtΦ（Xt）（单位收入乘以市场份额）的收入和运营成本BΦ（Xt）。