零售能源市场的最优价格管理：一种脉冲控制

因此，即时支付≥ 0由R（Xt）给出，其中R（x）=xΦ（x）- bΦ（x）=x个- b、 如果x<0，f（x），如果0≤ x个≤ ,0，如果x>,（2.5）其中x∈ R是过程的当前状态，f是凹抛物线，f（x）=-α（x- xv）+yv，α= + b, 十五=( + 2b）2( + b） ，yv=4( + b） 。（2.6）从经济角度来看，我们注意到Payoff R的以下属性-Payoff从上方以maxx为界∈RR（x）=R（xv）=yv。因此，最佳静态为xv。请注意，相应的市场份额为Φv=Φ（xv）=2( + b） 。（2.7）特别是，如果b=0，则最佳份额为1/2。-收益为正，R（Xt）≥ 0，当且仅当Xt∈ [xz，], 其中xz=2b2( + b） 。（2.8）换句话说，如果我们希望能源销售收入高于运营成本，我们需要批发价格和最终价格之间的价差大于xz。-如果我们考虑b的xv，yv，xz，Φvas函数，我们注意到xv（b）>0，yv（b）<0，xz（b）>0，Φv（b）<0，（2.9）对于每个b≥ 模型的一些直观特性在（2.9）中得到了形式化：随着运营成本的增加，最优价差XV增加，最大瞬时收入Yv减少，收益为正的区域变小，最优份额减少。特别是，我们注意到Φv∈ ]0，1/2[：对于b的任何值，市场份额大于1/2永远不是最优的。总之，我们在这里考虑以下在有限时间内折现率ρ>0的脉冲随机控制问题。定义2.1（容许控制）。

让x∈ R是过程的初始状态，并用X=X条件下的期望值表示。控制是一个序列u={（τk，δk）}k∈N、 其中{τk}k∈停止时间等于0≤ τk≤ τk+1≤ +∞ （干预次数）和{δk}k∈Nare实值fτk-可测随机变量（对应的脉冲）。-A控制u={（τk，δk）}k∈如果限制，Nis允许→+∞τk=+∞ 安第斯山脉Xk公司∈氖-ρτk< ∞. （2.10）我们用ux表示容许控制集。定义2.2（价值函数）。为每个x定义了值函数V∈ R、 byV（x）=supu∈UxJ（x；u），（2.11），其中，对于每个u={（τk，δk）}k∈N∈ Ux，我们有setJ（x；u）=ExZ∞e-ρtR（Xx；ut）dt-Xk公司∈氖-ρτkc, （2.12）带Xx；（2.3）中的uas和（2.5）中的R。我们说u*∈ Ux是最优控制ifV（x）=J（x；u*).我们注意到，（2.12）中的函数J由（2.10）定义。此外，为了简化表示法，我们通常会忽略对控件和初始状态的依赖，写X=Xx；u、 备注2.3。我们模型中的一个关键点是脉冲控制的使用：正如导言中强调的那样，与标准连续时间控制相比，脉冲控制的离散时间性质更好地解决了我们在这里考虑的实际问题。另一方面，脉冲控制在技术上要求更高，获得易于处理的解决方案有时需要对问题的系数进行一些初始简化。我们的目标是提出一个原始模型，提供具有分析结果的易于处理的公式，展示脉冲控制在能源市场问题中的应用潜力。

在模型中加入更多的结构化元素（例如，均值回复St、指数Φ）是正在进行的研究的对象。3验证理论在本节中，我们提供了充分的条件来描述第2节中问题的值函数和最优控制。我们简要回顾了下面验证定理（命题3.2）中涉及的算子和方程背后的启发式方法，请读者参阅[29，Ch.6]，以全面介绍随机脉冲控制理论。给定初始状态X∈ R和（2.11）中的函数V，V（x）表示问题的价值，即零售商可以实现的最大预期收益。现在用MV（x）表示问题的价值，附加条件是零售商立即干预并在事后表现最佳（3.1中的正式定义）。试探性地，我们有MV（x）≤V（x）对于任何状态x∈ R、 在最佳干预的情况下保持平等。然后得到最优控制的特征：当状态为零MV时，零售商应进行干预- V，将过程移动到V的最大点。为了找到V的表达式，我们注意到，在最佳干预区域，V由方程MV=V隐含定义。相反，在干预效果不佳的地区，受控过程实际上是一个标准的非受控微分，因此，通过简单应用it^o公式，值函数满足一个合适的二阶普通微分方程。结合这两个区域的条件，我们得到了（3.2）中的拟变分不等式。定义3.1和命题3.2使这一论点更加严格。定义3.1。设V是一个从R到R的函数，具有sup V∈ R、 函数MV已定义，每x∈ R、 byMV（x）=supδ∈R{V（x+δ）- c} =辅助V- c

（3.1）命题3.2（验证定理）。让第2节的符号保持不变，并且letV是满足以下条件的从R到R的函数。-V有界且存在x*∈ R使得V（x*) = maxx公司∈RV（x）；-D={MV- V<0}是区间的有限并集；-五、∈ Cb（R\\D）∩ Cb（R）；-V是拟变分不等式MaxnσV的解- ρV+R，MV- Vo=0。（3.2）设x∈ R和let u*= {(τ*k、 δ*k） }k∈Nbe递归定义，对于k≥ 1，by（我们省略对x的依赖，即u*= u*（x） ，τ*k=τ*k（x），δ*k=δ*k（x））τ*k=inft>τ*k-1： （毫伏- 五）Xx；u*k-1吨= 0,δ*k=x*- Xx；u*k-1τ*k、 我们设置τ的位置*= δ*= 0和u*k={（τ*j、 δ*j） }0≤j≤k、 然后，假设u*∈ Ux，u*是最优控制，V（x）=J（x；u*).证据我们在此回顾主要论点，并参考[29，Thm.6.2]了解详细信息。通过近似参数，我们可以假设V∈ Cb（R）。根据跳跃过程的It^o公式和支配收敛定理，对于每个x∈ R和u∈ Uxwe haveV（x）=Ex-Z∞e-ρtσV（Xx；ut）-ρV（Xx；ut）dt+Xk∈氖-ρτkV（Xx；uτk）-V（Xx；u（τk）-).通过（3.1）和（3.2），我们得到v（x）≥ 前任Z∞e-ρtR（Xx；ut）dt+Xk∈氖-ρτkc= J（x；u）。在u=u的情况下*, 相同的参数导致V（x）=J（x；u*), 总结证据。备注3.3。实际上，最优控制包括在状态退出{MV区域时进行干预- V<0}，将进程转移到最佳状态x*= 参数最大值V。请注意，实线被划分为两个互补区域：{MV-V=0}，其中零售商介入（行动区域），和{MV- V<0}，其中零售商不干预（延续区域）。4最优价格策略在本节中，我们利用第3节中的验证定理，描述了第2节中问题的价值函数和最优价格策略。我们的程序如下。

在第4.1节中，我们对值函数进行了有根据的猜测，求解（3.2）并施加正则性条件。我们得到的候选参数包括五个参数，由代数方程组隐式定义。在第4.2节中，我们证明了该系统的解决方案确实存在，因此我们构建的候选者得到了很好的定义。最后，在第4.3节中，我们检查命题3.2的所有假设是否满足，并确定零售商的最优价格政策。4.1值函数的候选者我们在这里对值函数V进行有根据的猜测。拟变分不等式（3.2）给出了▄V的以下表示：▄V（x）=（Д（x），如果x∈ {M▄V-V<0}，MV（x），如果x∈ {M▄V-V=0}，式中Д是方程σД的解- ρИ+R=0，（4.1），其中R为（2.5）中的值，M为（3.1）中的值。我们现在需要解（4.1）中的方程，并猜测{M▄V的表达式-V<0}（连续区域），{M  V-V=0}（actionregion）和M  V。如果流程X过高（这意味着客户数量较低，相应的收入较低）或过低（市场份额较高，但单一收入较低），零售商需要进行干预。因此，我们猜测连续区域的形式为]’x，’x[，可预测值‘’x<’x。此外，我们假设]’x，’x[包含在]0中，[.然后实线被划分为：{MV-V<0}=](R)x，(R)x[ ]0, [，在零售商不干预的情况下，{M▄V-V=0}=R \\](R)x，(R)x[，零售商干预的地方。我们现在研究MV的表达式。启发式地，可以合理地假设候选值函数V具有唯一的最大点x*, 属于连续区域]’x，’x[，其中▄V=Д：最大值∈R{V（y）}=最大值∈]\'\'x，\'\'x[{Д（y）}=Д（x*), 带Д（x*)=0，^1（x*)≤0，(R)x<x*< 因此，通过（3.1），我们得到mV（x）=Д（x*) - c、 最后，回想一下，R=f in]’x，’x[，f如（2.6）所示。

然后，（4.1）的解为Дa，a（x）=Aeθx+Ae-θx- k（x- xv）+k，（4.2）表示x∈ R和常数A、A∈ R、 其中我们设置了（xv，yv，α，如（2.6）中所示）θ=r2ρσ，k=αρ，k=yvρ-2kθ。（4.3）候选变量V取决于五个参数：A、A、\'x、\'x、x*. 必须对这些参数进行调整，以满足验证定理的正则性假设。也就是说，weneed▄V∈ C（R \\{x，\'x}）∩C（R），因此我们必须在'x和'x中施加连续性和差异性，从而在候选参数的五个参数上产生四个方程式（方程式来自x的最优性*).总结前面的参数，我们得到candidatevalue函数▄V的以下表达式。定义4.1。对于每x∈ R、 我们设置▄V（x）=（ДA，A（x），in）▄x，▄x[，ДA，A（x*) - c、 在R \\]x，\'x[，其中，A，Ais如（4.2）所示，以及五个参数（A，A，\'x，\'x，x*) 满意度0<x<x*< \'\'x< （4.4）和以下条件：^1A，A（x*) = 0和ДA，A（x*) < 0，（x的最优性*)ДA，A（(R)x）=0，（C-pasting in'x）ДA，A（'x）=0，（C-pasting in'x）ДA，A（'x）=ДA，A（x*) - c、 （c-pasting in？x）ДA，A（？x）=ДA，A（x*) - c、 （c-pasting in'x）（4.5）4.2系数系统解的存在性和唯一性我们现在证明定义4.1是适定的，即存在（4.4）-（4.5）的唯一解。实际上，唯一性直接来自于值函数的唯一性（不同的解意味着值函数的不同表达式），因此我们可以只关注解的存在性。由于基本过程是布朗运动，且（2.6）中的运行成本f相对于xv是对称的，我们期望函数Дa，Ato相对于xv是对称的，这对应于选择Aeθxv=Ae-θxv。相同的参数建议设置（\'x+\'x）/2=xv。最后，由于对称点总是局部最大点或最小点，我们期望x*= 十五。

简而言之，我们的猜测是isA=Ae-θxv，A=Aeθxv，（\'x+\'x）/2=xv，x*= xv，（4.6）带∈ R、 特别是，函数ДA，Ain（4.2）现在写入ДA（x）=Aeθ（x-xv）+Ae-θ（x-十五）- k（x- xv）+k，（4.7），其中A∈ R和系数已在（4.3）中定义。简单的检查表明x*= xvi是当地的最大值，因此当且仅当a>0时，满足（4.5）中的第一个条件。此外，剩下的四个方程中有两个现在是多余的。然后，根据我们的猜测（4.6），我们可以等效地将（4.5）重写为（ДA（(R)x）=0，ДA（(R)x）=ДA（xv）- c、 大于0时。对于订单条件（4.4），（4.6）下的读数为0<x- 十五< - xv（回想一下xv∈ [/2.[）。为了简化符号，让“y=”x- 十五。然后，如果系统存在解决方案（a，’y），则V是明确的Aθeθ′y- Aθe-θ′y- 2k’y=0，（4.8a）Aeθ’y+Ae-θ′y- k年- 2A+c=0，（4.8b）A>0，\'y>0，（4.8c）在附加条件\'y< - 十五。（4.9）在引理4.2中，我们关注（4.8），而在引理4.3中，我们证明（4.8）的解也满足（4.9）。引理4.2。对于（4.8），存在唯一的解决方案（a，’y）。证据我们首先考虑方程（4.8a）。如果x A>0，我们将寻找由ha（y）=Aθeθy定义的函数的严格正零- Aθe-θy- 2ky，（4.10）对于每个y>0。因为ha（y）=Aθeθy+Aθe-θy- 2k=Aθ（eθy）- 2k（eθy）+Aθeθy，我们分别考虑A≥\'A和0<A<\'A，其中\'A=kθ=σ( + b） 2ρ. （4.11）如果≥\'A，我们在]0中有hA>0，∞[.因此，由于hA（0）=0，方程（4.8a）在]0中没有任何解+∞[.相反，如果0<A<A，我们有hA<0 in]0、~y[和hA>0 in]~y，∞[，对于一个合适的y>0。因此，由于hA（0）=0和hA(+∞) = +∞,方程式（4.8a）正好有一个解“y>~y>0”。我们已经证明，对于a fixeda>0，方程（4.8a）允许解y∈]0, ∞[当且仅当∈]0，\'A[；在这种情况下，解是唯一的，我们用\'y=\'y（A）表示它。

最后，我们指出利马→0±y（A）=+∞, 利马→\'\'A-y（A）=0。（4.12）我们现在考虑方程（4.8b）。对于每个A∈]0，\'A[，we setg（A）=-Aeθ′y（A）- Ae-θ′y（A）+k′y（A）+2A，（4.13），其中“y（A）”由第一步明确定义。我们要证明利马→0+克（A）=+∞, 利马→\'\'A-g（A）=0，g<0。（4.14）这就是证明的结论：如果（4.14）成立，那么方程（4.8b），即g（A）=c，只有一个解A∈]0，\'A[，因此对（A，\'y（A））是（4.8）的唯一解。通过（4.8a），我们可以重写g（A）asg（A）=k'y（A）-2kθ（eθ′y（A）- 1） （eθ′y（A））- 1年（A），（4.15），我们在（4.12）之前获得了（4.14）中的第一项索赔。（4.14）中的第二项权利要求由（4.13）和（4.12）直接提出。最后，区分（4.13）和回忆（4.8a）中的表达，我们得到g（A）=-（eθ′y（A）- 1） eθ′y（A）-Aθeθ′y- Aθe-θ′y- 2千年\'\'y（A）=-（eθ′y（A）- 1） eθ′y（A）<0，（4.16）证明了（4.14）中的第三项权利要求。引理4.3。设xvbe如（2.6）所示，并设'c=ξ( - xv），其中函数ξ由ξ（y）=ky定义，对于y>0-2kθ（eθy- 1） （eθy）- 1y=ky-2kθeθy+e-θy- 2eθy- e-θyy。（4.17）那么，（4.8）的解（A，’y）满足（4.9）中的顺序条件，当且仅当c<c证明。设（A，\'y）=（A，\'y（A））与引理4.2的证明相同。通过（4.15）和恒等式g（A）=c，我们得到ξ（(R)y）=c，其中ξ如（4.17）所示。现在注意ξ（y）=2kθeθy+e-θy- 2（eθy- e-θy）C（y），（4.18），其中我们有setC（y）=θy（eθy+e-θy）- （eθy- e-θy）。请注意，由于C（0+）=0且C（y）>0，因此每个y都有C（y）>0。因此，函数ξ严格递增。因此，（4.9）中的不等式成立，即“y< - xv，当且仅当ξ（(R)y）<ξ( - xv），即当且仅当c<c，其中我们使用了关系ξ（\'y）=c和定义\'c。下一个命题总结了本节中证明的结果。提案4.4。假设c<c，其中c如引理4.3所示。

然后，由于存在唯一的解决方案（a、a、\'x、\'x、x*)至（4.4）-（4.5）中的系统，由A=Ae给出-θxv，A=Aeθxv，x*= xv，(R)x=xv- y，\'x=xv+\'y，xvas在（2.6）中，θ在（4.3）中，且（A，\'y）是（4.8）-（4.9）的唯一解。备注4.5。注意引理4.3和命题4.4中的常数“c”由“c=ξ”给出( - xv）=ξ(/(2 + 2b）），其中函数ξ在（4.17）中定义，xvas在（2.6）中定义。特别是，阈值“c”相对于 并根据b.备注4.6减少。从本节的证明中，我们注意到，函数V也可以表示为V（x）=（ДA（x），in](R)x，(R)x[，ДA（x*) - c、 在R \\]x，\'x[，（4.19）中，其中（4.7）中定义了ДAis，x*= xv，xvas在（2.6）中，\'x+\'x=2xv，（A，\'x）唯一解决方案为（ДA（\'x）=0，ДA（\'x）=ДA（xv）- c、 （4.20）更详细地说，A∈ ]0，\'A[是g（A）=c的唯一解，g如（4.13）和\'A asin（4.11）所示，\'x=xv+\'y，其中\'y是ξ（\'y）=c的唯一解，ξ如（4.17）所示。4.3验证理论的应用我们现在检查第4.1节中的候选人，以及第4.2节中定义的候选人，实际证明了验证定理的所有假设。即使x*在我们的候选人x中是明确的*= xv，我们宁愿保留符号x*在本节的证明中，为了强调这种状态的最优性。引理4.7。假设c<c，其中c如引理4.3所示，V如定义4.1所示。然后，对于每个x∈ R我们有mV（x）=ДA（x*) - c、 （4.21）命题4.4中的A和（4.7）中的ДAas。特别是，我们有{M▄V-V<0}=](R)x，(R)x[，{M  V-V=0}=R \\](R)x，(R)x[（4.22）证明。我们使用备注4.6中的表示。

请注意：￠V在]x中严格递减*, \'x[（因为我们有▄V=ДAby定义和ДA<0英寸]x*, \'x[根据引理4.2的证明）；~V在【\'x】中是常数+∞[定义为▄V，带▄V≡ ^1A（x*) - c、 因为V相对于x是对称的*, 我们推断Maxy∈R▄V（y）=▄V（x*) = ^1A（x*), 米尼∈RV（y）=ДA（x*) - c、 （4.23）以使（4.21）在定义3.1中保持不变。此外，在（4.19）中，它遵循mV（x）-V（x）=0，单位为R \\]’x，’x[。最后，单位为ДA（’x）=ДA（x*) - c乘以（4.20）和ДA（(R)x）=min[(R)x，(R)x]ДAby根据前面的参数，我们有m￠V（x）-V（x）=ДA（x*) - c- ДA（x）=ДA（(R)x）- νA（x）<0，in]\'x，\'x[，这是证明的结论。命题4.8。假设c<\'c，其中\'c如引理4.3所示，并且对于每一个x，V如定义4.1所示∈ R、 第2节中问题的最优控制由u给出*={(τ*k、 δ*k） }k∈N、 其中变量（τ*k、 δ*k） 递归定义，对于k≥ 1，按τ*k=影响>τ*k-1： Xx；u*k-1吨/∈ ]\'x，\'x[o，δ*k=x*- Xx；u*k-1τ*k、 （4.24）其中我们设置了τ*= δ*= 0和u*k={（τ*j、 δ*j） }0≤j≤k、 此外，V与值函数一致：对于每个x∈ R我们有V（x）=V（x）=J（x；u*).备注4.9。实际上，零售商的最优价格政策包括在X退出]\'X、\'X[]时进行干预。发生这种情况时，零售商将流程转移到statex*= 十五。参数‘x，’x由代数方程组定义，第4.2节提供了其存在性和唯一性结果。证据我们必须检查候选人是否满足命题3.2的所有假设。为方便读者，我们简要报告了要检查的条件：（i）~V有界且maxx∈RV（x）存在；（二）五∈ Cb（R \\{x，\'x}）∩ Cb（R）；（iii）V最大满意度{A▄V- ρИV+R，MV-V}=0；（iv）最优控制是允许的，即u*∈ 每x一次∈ R、 条件（i）和（ii）。