结构上的Heath Jarrow Morton框架，可实现全天一致，

此外，我们假设所有价格都是标准化的，这意味着我们假设所有价格都是欧元/兆瓦/美元。定义2.8（期货合同价格）。对于0≤ t型≤ τ<τwe callFt（τ，τ）：=τ- τZτft（u）dut从τ到τ连续交付1兆瓦的期货合约在t时的价格。由于我们以欧元/兆瓦时表示所有价格，当购买从τ到τ交付1兆瓦的期货合同时，在时间t支付的价格由（τ）给出- τ） Ft（τ，τ），其中我们假设τ- τ以小时为单位。示例2.9（日前现货价格）。我们将前一天的现货价格计算为期货合约。在d天拍卖- 在a小时1，在d天从h:00到（h+1）：00点交付，即S（d，h）：=Ftad-1.thd，th+1d.这里thdde记录了d天和h小时的时间。下一个定理表明该框架与级联一致。它还表明，在某种意义上，不存在套利机会，例如，一份期货合约交付一年的成本与交付四个季度的成本相同。提议2.10（cas编码的一致性）。让0≤ τ<τ<τ<···<τnbe交货时间，那么我们有（τn- τ） Ft（τ，τn）=nXi=1（τi- τi-1） Ft（τi-1，τi）对于所有t≥ 0.证明。这直接源自定义2.8和勒贝格积分的可数可加性。引理2。11、修复0≤ t<τ。如果u 7→ ft（u）几乎肯定在（τ）上连续- ，τ]对于某些>0，则我们有lims→τ-Ft（s，τ）=Ft（τ）几乎可以肯定。证据我们计算→τ-Ft（s，τ）=lims→τ-Rτsft（u）dulims→τ-τ - s=lims→τ--英尺（s）-1=ft（τ），其中我们使用L\'H^opital规则表示第二个等式。前面的引理表明，仅为一个分期付款交割的期货合约的价格等于远期内核。这支持将数量ft（τ）命名为向前核。引理2.12。

假设价格远期曲线τ7→ f（τ）是连续的。期货价格过程F（τ，τ）：={Ft（τ，τ）；t≥ 0}是鞅。它的预测由eft（τ，τ）=F（τ，τ）=τ给出- 所有0的τZτf（u）du≤ t型≤ τ< τ.证据由于价格远期曲线是连续的，因此它在任何紧集上都有界，特别是在[τ，τ]形式的区间上，因此它是可积的。用Fubini定理直接计算表明，对于0≤ t<sE[Fs（τ，τ）| Ft]=Eτ- τZτfs（u）du | Ft=τ- τZτE[fs（u）| Ft]du，通过级联，我们指的是交割期较长的期货的结算方式。例如，日历年期货合约在开始交割时会级联（或拆分）为三个月期货（1月、2月和3月）和三个季度期货（第二季度、第三季度和第四季度）。这样，这些可以再次独立交易。在德国市场，月度期货不会层叠。然而，交割结束时的结算价格恰好是交割期间前一天现货价格的平均值。这可以解释为，月度期货也会与每小时（前一天）的现货合约级联，因为它们的价格会收敛到这个平均值。后者存在，因此所有积分都存在。与引理2.6的结合现在证明了这个定理。备注2.13（r 6=0）。如果我们假设r 6=0，期货价格取决于结算日期。有两种可能性：在交货期内通过连续付款或在交货期结束时立即进行结算。

如果dt（τ）表示时间τ到较早时间t的未来付款的贴现系数，则期货合约的价格由ft（τ，τ）=Rτdt（u）duZτdt（u）ft（u）du表示连续结算，由ft（τ，τ）=（τ- τ） dt（τ）Zτdt（u）ft（u）du，用于在交付结束时进行结算。2.3期货合约期权在本节中，我们假设市场噪声由无漂移的几何布朗运动（GBM）给出，即dXτt=Xτt∑（t，τ）TDWT，其中∑（t，τ）是确定性的m维波动向量，WT是nm维布朗运动。Xτt=exp给出的Xτtis的强解Zt∑（u，τ）TdWu-Zt∑（u，τ）T∑（u，τ）du.在此情况下，如果∑（u，τ）在u中是平方整数，则Xτt是假设2.2。但这已经是定义随机积分的必要条件。示例2.1 4（船体白噪声市场动力学）。∑的一个可能选择是类似于Kiesel et al.（2009）的双因素远期动态，Fanelli和Schmeck（2018）也在几何环境中讨论了期货期权定价。Latini、Piccirilli和Vargiolu（2018）在加性环境中扩展了这种波动性结构。他们讨论了与利率建模的双因素赫尔-怀特模型（Brigo&Mercur io，2006，第4.2.5节）相比较的2-fa-c-tor挥发性结构。由∑（t，τ）t得出：=（e-κ(τ -t） σ，σ（τ）），其中σ>0是额外的短期波动率，κ>0是短期波动率的衰减率，σ（τ）>0是交付时间τ的长期波动率。σ的一个方便选择是分段常数函数，它在可交易期货合约的交割期上是常数。这种选择的一个优点是，我们可以使用Fanelliand Schmeck（2018）讨论的Xτtas校准方法；Kiesel等人（2009年）；Latini等人。

(2018).期货合约的持续结算使其更像是一个在前进内核上的掉期合约。在本小节的其余部分，我们假设结构组件的条件预期分解为一个完整的结构：定义2.15（完整的结构组件分解）。我们说，如果存在确定性函数（t，τ）7，结构成分（g，Yt）允许有效的结构成分分解→ Aτt∈ Rn×nand（t，τ）7→Bτt∈ Rn这样，对于所有τ，以下分解保持se【g（Yτ）| Ft】=g（AτtYt+Bτt）（2.2）A.s≥ t型≥ 0、我们在时间t对市场状态Yτ在时间τ的最佳猜测是市场当前状态Yt的一个有效转换，这一事实可以推动这种分解。例如，这也是卡尔曼滤波背后的主要思想。如果这种分解成立，那么这只是说明在将市场状态转换为价格的转换下，这种最佳猜测应该成立。因此，当满足有效的结构成分构成假设时，前向核由ft（τ）=Xτtg（AτtYt+Bτt），（2.3）决定。此外，定义2.8的期货价格可以重写为ft（τ，τ）=τ- τZτXutg（AutYt+But）du，所有0≤ t型≤ τ< τ. 作为直接结果，我们得到：引理2.16。如果（g，Yt）允许有效的结构成分分解，则E[g（Yτ）| Ft]=E[g（Yτ）| Yt]。引理2.17。在定义2.15分解的假设下，以Ytis对数正态分布为条件的正向核，即（ft（τ）| Yt=y）~ 液态氮ln[g（Aτty+Bτt）]，Zt∑（u，τ）t∑（u，τ）du.证据利用方程（2.3），我们计算tep（ft（τ）≤ x | Yt=y）=P（xτtg（Aτty+Bτt）≤ x） ，显示xτt之后的结果~ 液态氮0，Rt∑（u，τ）T∑（u，τ）du.定理2.18。

如果（g，Yt）允许一个有效的结构成分分解，则期货价格Ft（τ，τ）的前两个矩存在，并由[Ft（τ，τ）| Yt=y]=τ给出- τZτg（Auty+But）duandE[英尺（τ，τ）| Yt=y]=（τ- τ） ZττZττwXt（u，s）wYt（u，s，y）du ds，其中wXt（u，s）：=expZt公司∑（v，u）T∑（v，s）+∑（v，s）T∑（v，u）dv（2.4）andwYt（u、s、y）：=g（Auty+But）g（Asty+Bst）。（2.5）证明。我们看到，期望值紧接着一个富比尼论证，结合所有τ的EXτt=1这一事实≥ 0、两次使用Fubini，我们的指数【Ft（τ，τ）| Yt=y】=RττRτE【XutXst】E【YuYs | Yt=y】du ds（τ- τ） ，其中很容易通过等式（2.2）验证期望值是否等于E[XutXst]=wXt（u，s）和E[YuYs | Yt=y]=wYt（u，s，y）。推论2.19。如果（g，Yt）允许进行有效的结构成分分解，则给出期货价格的条件方差Ft（τ，τ）【Ft（τ，τ）| Yt=y】=（τ- τ） ZττZττwXt（美国）- 1.wYt（u，s，y）du ds，其中Wx和Wy分别由方程（2.4）和方程（2.5）给出。证据我们直接计算Var[Ft（τ，τ）| Yt=y]=E[Ft（τ，τ）| Yt=y]- E【Ft（τ，τ）| Yt=y】。使用定理2.18，第一项立即给出，第二项可以使用Fubini的定理[Ft（τ，τ）| Yt=y]=τ- τZτg（Auty+But）du=(τ- τ） ZττZτg（Auty+But）g（Asty+Bst）du ds，结果如下。备注2.20（对数正态近似）。与Kiesel等人（2009）使用的离散方法类似，我们发现期货价格是对数正态分布变量的积分，可以用具有相同平均值和标准偏差的对数正态随机变量来近似。由于对数正态分布的卷积没有简单的表达式，对数正态随机变量的积分（或和）的这种近似在金融中被广泛使用，例如在Brigo和Mercurio（200 6）的L I BOR市场模型中。

例如，Dufresne（2004）对这一近似值进行了分析，也对亚洲期权进行了分析（这可能与有交割期的期货期权相比较）。假设2.21（对数正态近似）。假设期货价格Ft（τ，τ）的前两个时刻存在。根据备注2.20，我们假设（Ft（τ，τ）| Yt=y）≈ （￠Ft（τ，τ）| Yt=y）~ 液态氮uF（y），σF（y）,i、 e.期货价格近似对数正态分布。如Remar k 2.20所述，我们需要F和Fmatch的前两个矩，这由以下le-mma解决：引理2.22。如果（g，Yt）考虑到一个有效的结构成分分解，假设2.21成立，则对数正态分布的平均值和标准偏差由uF（y）给出：=lnZττg（Auty+But）du- ln（τ- τ) -σF（y）和σF（y）：=ln1+RττRτwXt（美国）- 1.wYt（u，s，y）du dsRττRττwYt（u，s，y）du ds！，式中，Wx和Wy分别由方程式（2.4）和方程式（2.5）给出。证据对数正态随机变量Z~ LN（m，s），由EZ=exp（m+s/2）和Var Z=（EZ）（exp（s）给出的期望和方差- 1).利用定理2.18和协罗拉方程2.19，通过对这些方程进行反演得到结果。利用这个引理，我们可以通过Black-Scholes公式计算期货合约上买入（和卖出）期权的价格（以Yt为条件）。履约价格为K且到期日为T<τ的看涨期权的支付效果等于（τ- τ） （FT（τ，τ）- K） +。（2.6）回想一下，如第2.2节所述，未来合同在同等时间（τ）必须支付的价格- τ） FT（τ，τ），因为我们考虑标准化价格。建议2.23（有条件看涨期权价格）。假设（g，Yt）允许进行一个有效的结构组件分解，并让假设2.21保持不变。用F表示到期日y的期货价格：=FT（τ，τ）。设uFandσFbe givenby引理2.22。

在t=0且（2.6）给出了支付函数的条件下，买入期权的价格为y=y等式c（t，K，τ，τ；y）=Φ（δ（y））Zττg（AuTy+BuT）du- (τ- τ） KΦ（δ（y）），其中Φ是标准正态分布的累积分布函数，δ（y）：=uF（y）- ln KσF（y）和δ（y）：=δ（y）+σF（y）。证据使用（2.6）yieldsC（T，K，τ，τ；y）τ中给出的贴现条件预期- τ=E（F）- K） +| YT=y= E[F 1{F≥K} | YT=y]- K P（F≥ K | YT=y），其中注意到我们有（F | YT=y）~ LN（uF（y），σF（y））通过直接计算得出结果。作为直接结果，我们有：推论2.24（看涨期权价格）。假设（g，Yt）允许a ffinestructural component分解，假设2.21成立。设uFandσFbe由引理2.22给出。t=0时的看涨期权价格，由（2.6）等式C（t，K，τ，τ）=EC（t，K，τ，τ；YT），（2.7）给出，其中有条件看涨期权价格C（t，K，τ，τ；y）在命题2.23中给出。当YTis的分布规定时，方程（2.7）给出的认购期权的价格可以通过分析、数值或模拟方法（如蒙特卡罗估计）进行评估。或者，通过对YT分布的进一步假设，也可以对该期望值进行不同的近似。2.4交易所交易产品的模型表示在本节中，我们概述了HJM框架中几种不同电力合同的价格。

虽然没有一个唯一的报价连续电价，但我们认为Ft（τ，τ）是任何交易时间t从τ到τ的交付期的真实公平价格。期货价格t从τ到τ连续交付1兆瓦的期货合同的价格由定义2.8给出，并由Ft（τ，τ）表示。期货期权在第2.3节的设定中，期货合约的看涨期权和看跌期权的价格可以通过命题2.23或推论2.24给出的Black-Scholes公式计算。日前现货价格日前现货价格等于此框架内的期货价格，如示例2所述。9.IDand IDprice德国日内市场的IDand IDprice指数为交割前allintraday交易的1小时和3小时交易量加权平均值。因此，我们建议交付周期的IDnprice从τ到τ等于DN（τ，τ）：=2n- 1Zτ-0.5τ-nFu（τ，τ）du，其中n=1或n=3，τ的减法以小时为单位。结构组件的3个示例首先，我们展示了两个经典的日前现货价格模型如何在该HJM框架中使用。然后，我们还介绍了一种结构模型方法以及一种多因素模型方法。为了在该框架中更容易定义模型，我们引入了相对结构组件，该组件可用于将初始价格前向曲线（PFC）设置为现有的价格前向曲线：定义3.1（相对结构组件）。g（Yτ）Iaτ的加性平均归一化版本：=g（Yτ）- Eg（Yτ）称为加性相对结构分量，其乘法平均归一化版本mτ：=g（Yτ）Eg（Yτ）称为乘法相对结构分量。我们直接从这些定义中获得：推论3.2。

对于所有τ，相对结构分量Ia和Imare随机过程具有常数期望EIaτ=0和EImτ=1≥ 推论3.3（算术PFC分解）。对于给定的初始价格远期曲线f（τ），远期核方程Ft（τ）=Xτt（f（τ）+E[Iaτ| Ft]），其中Iaτ是定义3.1中给出的算术相对结构分量。证据定义一个扩展的结构组件Yτ=（Yτ，f（τ））∈ Rn+1，其中f（τ）是构造的PFC，另一个函数▄g（y，x）=x+g（y）-Eg（y）。很明显，Y和g满足假设2.3。紧接着是▄g（▄Y（τ））=f（τ）+Iaτ，这证明了结果。推论3.4（几何PFC分解）。对于给定的初始价格远期曲线f（τ），远期核方程Ft（τ）=f（τ）XτtE[Imτ| Ft]，其中Imτ是定义3.1中给出的几何相对结构分量。证据结果与推论3.3的证明一致。对这些分解的解释是，今天的价格远期曲线是远期内核的预期，它受到市场噪声Xτtin交易时间t和交付时间τ的结构成分的干扰。根据结构成分（g，Yτ）的选择，在几何PFC分解的情况下，该扰动可以选择为乘法扰动，在算术PFC分解的情况下，可以选择为加法扰动。3.1经典现货模型我们可以通过选择g（Yt）=St，在我们的框架中使用经典的日前s现货价格模型ls，其中St表示时间t的现货价格。我们在本节中明确计算的两个现货价格模型示例是s现货价格模型，分别是Schwartz和Smith（2000）以及Lucia和Schwartz（2002）。对于这两个示例，我们需要相同的结构组件，因此我们在本小节中假设它由Yt=（Yt，Yt）给出∈ R

第一个过程是Ornstein-Uhlenbeck过程，即dyt=-κytdt+σdWt，y=0，（3.1），第二个yt=ut+σρWt+σp1- ρWt（3.2）是一个具有漂移的（相关）布朗运动。假定标准一维布朗运动是独立的。参数κ>0，σ，σ>0，-1.≤ ρ ≤ 1，以及∈ 假设R为真值。示例3.5（Schwartz和Smith）。Schwartz和Smith（2000）使用函数g（y，y）=ey+y确定了日前现货价格，即他们选择的价格等于St：=g（Yt）=exp（yτ+yτ）。在HJM框架中，这将转换为以下正向kernelft（τ）=XτtE[eyτ+yτ| Ft]，其中除了假设2.2外，我们不会对Xτ附加任何额外条件。在此设置中，我们可以显式计算条件期望ong（Yτ），并确定E[eyτ+Yτ| Ft]=E-κ(τ -t） yt+yt+u+σ(τ - t） +σ4κ1.- e-2κ(τ -t）+ρ σσκ1.- e-κ(τ -t）.这意味着该g和Yτ模型满足定义2.15的精细结构成分分解。分解系数Aτtof由Aτt给出=e-κ(τ -t） 0 1（3.3）和Bτt可以选择为Rsuch thatln g（Bτt）中的任何向量=u+σ(τ - t） +σ4κ1.- e-2κ(τ -t）+ρ σσκ1.- e-κ(τ -t）持有。由于函数g本质上是乘法的，因此g几何PFC分解（推论3.4）特别适用于该模型。乘法相对结构分量的条件期望值由n E【Imτ| Ft】=lng（AτtYt+Bτt）Eg（Yτ）=E给出-κ(τ -t） yt+yt-u+σt+σe-2κτ4κ1.- e2κt+ρσe-κτκ1.- eκt,前向核分解toft（τ）=f（τ）Xτtee-κ(τ-t） yt+yt-u+σ!t+σe-2κτ4κ(1-e2κt）+ρσe-κτκ(1-eκt），其中可以使用沃德曲线f（τ）的任何初始价格。示例3.6（Lucia和Schwartz）。Lucia和Schwartz（2002）讨论了四种不同的模型。这里，我们重点介绍了现货价格的算术双因素模型。