结构上的Heath Jarrow Morton框架，可实现全天一致，

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英文标题：
《A structural Heath-Jarrow-Morton framework for consistent intraday,
  spot, and futures electricity prices》
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作者：
Wieger Hinderks, Andreas Wagner, Ralf Korn
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  In this paper we introduce a flexible HJM-type framework that allows for consistent modelling of intraday, spot, futures, and option prices. This framework is based on stochastic processes with economic interpretations and consistent with the initial term structure given in the form of a price forward curve. Furthermore, the framework allows for existing day-ahead spot price models to be used in an HJM setting. We include several explicit examples of classical spot price models but also show how structural models and factor models can be formulated within the framework.
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中文摘要：
在本文中，我们介绍了一个灵活的HJM类型框架，该框架允许对日内、现货、期货和期权价格进行一致建模。该框架基于具有经济解释的随机过程，并与以价格远期曲线形式给出的初始期限结构一致。此外，该框架允许在HJM设置中使用现有的日前现货价格模型。我们包括几个经典现货价格模型的明确示例，但也展示了如何在框架内建立结构模型和因素模型。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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关键词：Jarrow Morton arrow HEATH Heat

一个结构化的Heath Jarrow Morton框架，用于一致的日内、现货和期货电价。J、 Hidderks公司* 1,2，A.Wagner和R.Korn1,2 Fraunhofer ITWM，Fraunhofer Platz 1，67663 Kaiserslautern，GermanyTU Kaiserslautern，Erwin Schr¨odinger Strasse 1，67663 Kaiserslautern，Germany2019年1月21日摘要本文介绍了一个灵活的HJM型框架，该框架允许对日内、现货、期货和期权价格进行一致的建模。该框架基于具有经济解释的随机过程，与以价格远期曲线形式给出的初始期限结构一致。此外，该框架允许在HJM设置中使用现有的日aheadsp ot价格模型。我们包括几个经典现货价格模型的明确示例，但也展示了如何在框架内制定结构模型和因子模型。关键词：Heath Jarrow Morton框架、电力市场、日内价格、日前现货价格、期货价格、期权价格、struct uralmod el、factor model1简介近年来，电力日内市场越来越受欢迎：2016年5月至2018年5月，德国/奥地利日内市场的交易量增长了30.3%（EPEX，2017，2018）。由于不同的电信市场合约表现出不同的价格行为，如日前现货价格出现峰值，但期货价格没有出现峰值，因此，能源金融面临的挑战越来越大，如何定义一个单一的模型，允许对交易日、现货和期货市场的电价进行联合模拟。在本文中，我们提出了一个Heath-Jarrow-Morton电价模型框架。fra mework与当前远期期限结构（即价格远期曲线）一致，我们通过经济解释激励每个数学组成部分。

此外，我们在此框架内讨论了日内、现货和期货价格的计算，并展示了如何对期货合约的期权定价。一种新的方法是使用*通讯作者：威格。hinderks@itwm.fraunhofer.destructuralHeath Jarrowmoton框架内的日前现货价格建模模型。Heath Jarrow Morton（HJM）电价方法的起点是实际远期价格或远期核心。前向核ft（τ），t≤ τ、 是指在时间τ即时交付电力的远期合同在时间t的价格。因此，从τ到τ的期货合约的t价格是交割期间的平均远期内核，即Ft（τ，τ）=τ- τZτft（u）du，t≤ τ. （1.1）在HJM利率框架中，远期利率被建模，而不是短期利率（参见Brigo和Mercurio（20 06））。因此，对正向内核进行建模而不是对日前现货价格进行建模，使其成为电价的HJ M方法。此外，就像HJM利率框架一样，远期内核本身不是市场上的交易产品，但其（集成）衍生产品是。Benthand Koekebakker（2008）介绍了几种前向核ft（τ）模型；Clewlow和Strickland（1999）；Hinz、von Grafenstein、Verschuere和Wilhelm（2005）；Kiesel、Schindlmayr和B¨orger（2009年）；Koekebakker和Ollmar（2005年）。他们定义了由布朗运动驱动的前向核动力学。然而，由于前一天现货价格出现飙升，这些模型存在缺陷。因此，需要一种forwardkernel模型，该模型允许在相对较短的交付期（提前一天的现货合同）内出现峰值，但可以在较长的交付期（未来的合同）内消除峰值。

Benth、P iccirilli和Vargiolu（2017）的HJM理论框架引入了由布朗运动和纯跳跃L'evy过程驱动的s向前核动力学。然而，Benth et al.（2017）假设ahea dspot和期货合约在两种不同的衡量标准下定价。在经济论证的推动下，我们的方法避免了这种模糊性。在文献中，使用多个概率度量也受到了质疑：Caldana et al.（2017）；例如，Ly le和Elliott（2009）假设了一个单一的概率度量。这一点得到了一个事实的支持，即不清楚哪一个等效度量应该是定价度量Q。由于电力是一种不可存储的商品，买入并持有策略的论点是无效的，因此不清楚电力合同价格与货币市场账户之间的关系（Bessembinder&Lemmon，2002）。这也意味着市场是不完整的，并且（可能）存在完全等效的鞅测度。同样，这使得定价措施的选择变得不明确。我们遵循Caldana et al.（2017）的观点，即日前现货和期货合约的价格均应通过方程式（1.1）计算。这实际上很直观，因为例如在德国市场，日前现货合约至少在交割前12小时进行交易。在美国等其他国家，术语有所不同：日前现货价格通常被称为远期价格（Longstaff&Wang，2004）。即使在欧洲，也可以参见Heath、Jarrow和Mor ton（1992）的原始论文，该论文介绍了利率建模的框架。Forward kernel是Caldana、Fusai和Roncoroni（2017）使用的名称。日前现货价格建模是一种常见的方法，为此已开发了几种不同的方法，参见。

Weron（2014）。d- 1dd+1EPEX day aheadEPEX intrayτtEEX futuresObservation结构ft（τ）图1：德国电力市场的ft（τ）观测结构和固定交付时间τ。红色标记线和时间点是（间接）观测时刻。带d的线条- 1和d代表d天的开始- 1和d.随着日内市场的日益流行，我们观察到了一种转变间歇：Weron（2014）指出，现货一词在实时或日内市场中的使用越来越频繁。我们将始终明确说明我们所指的现货市场。在本文中，我们甚至建议将方程（1.1）扩展到日内市场。图1给出了远期核心ft（τ）的发展示例，以及它如何在德国/奥地利市场上变得可见。通过EEX期货合约，只能（部分）观察到Fir前移核ft（τ）。然后，举行了奥地利EXAA和两次德国EPEX日前的pot拍卖，之后E PEX日内现货市场开放。此外，我们还展示了Lucia和Schwartz（200 2）所描述的经典模型；Schwartz和Smith（2000）将其纳入我们的框架。我们还展示了如何使用其他更通用的日前现货价格模型来构建我们的模型。我们在本文中介绍的一个新示例是在HJM框架的上下文中使用结构模型。我们还将我们的框架应用于多因素模型的设置。本文的结构如下：第2节介绍了一个基于经济直觉的向前核模型，即向前核背后有两个驱动因素。第一个因素是交货时的供需平衡，第二个因素是来自部分知情交易者或交易时流动性不足的一般噪音。

随后，在第2.2节和第2.3节中，分别计算了期货和期权价格。第3节包含上述明确提到的市场均衡过程的例子，而第4节则得出结论。2 Heath Jarrow Morton框架在第2.1节中，我们将定义一个由经济解释驱动的远期核心模型。在第2.2节和第2.3节中，我们使用该模型分别推导了期货合约和期货合约期权的价格。第2.4节以德国市场为例，概述了不同电力合同的价格。当然，在宣布市场划分后，EXAA和EPEX将各自扮演什么角色尚不清楚。新闻稿：https://www.bundesnetzagentur.de/SharedDocs/Pressemitteilungen/EN/2017/15052017DE澳大利亚。html（2018年3月26日访问）。2.1远期内核远期内核ft（τ）是指在时间τ即时交付1 MW的远期合同在时间t的价格。在本文中，我们将t解释为交易时间，τ解释为交货时间。对于τ≥ 0设Xτ={Xτt；t≥ 0}和Y={Yt；t≥ 0}是完全概率空间上两个独立的a.s.c` adl` ag随机过程(Ohm, F、 P）分别以R和Rn为单位取数值。此外，假设e achτ的过程Xτ≥ 0和Y适用于过滤{Ft；t≥ 0}，满足通常条件，即{Ft；t≥ 0}是右连续的，Fcontains allP-null集。Y和Xτ加上所有P-null集生成的过滤自动满足这些条件。

最后，让g:Rn→ R是一个函数，使得g（Yt）是真值随机过程。对于这两个随机过程，我们有两个强有力的经济解释：我们将n维过程YT解释为随机性或市场状态，其中YT的每个组成部分代表市场的一个（随机）方面，例如需求、负荷或天气预测。函数g将市场状态yt映射到相应的价格。结合我们的灵感来自于日前现货价格建模的结构化模式ls类，以及它为远期内核提供了基本结构的事实，我们将这对（g，Yt）称为结构组件。通常，我们也只将YT称为结构构件。这个过程被称为市场噪音，因为它反映了所有市场参与者的市场信息不完整和市场流动性不足。不完全市场信息的一个例子是天气预测的不确定性：没有人能够完全确定未来的天气温度。通过这些解释，我们定义了正向内核：定义2.1（正向内核）。我们定义了交易时间和交割时间的远期内核τasft（τ）：=XτtE[g（Yτ）| Ft]，其中Xτ是交割时间τ在交易时间t的市场噪声，而（g，Yτ）是交割时间τ的结构分量。我们使用符号Xτ强调市场噪声在交易时间t内是一个随机过程，但可以（决定性地）取决于交付时间τ，而结构分量Yτ仅取决于交付时间。从经济上讲，这是有道理的，因为交付时间τ的供需不平衡决定了价格，而与我们预测这种不平衡的交易时间t无关。

然而，市场噪音是这种预测的干扰，来自市场信息不完整的市场参与者，这直接取决于他们试图预测的交易时间t和交付时间τ。虽然我们将Xτt称为市场噪声，但它也可以解释为一种计量变换（或Radon-Nikodym导数，见备注2.7）或在建模过程中引入附加自由度的一般附加组件。假设2.2（市场噪音）。过程Xτ={Xτt；t≥ 0}其解释为交付时间的市场噪音τ被定义为乘法，这也是市场噪音中季节性波动的所有低点。随机噪声。我们假设它是一个a.s.正c\'adl\'ag marting ale，期望值为1，即所有τ的EXτt=1≥ t型≥ 特别是，我们假设所有τ的初始值Xτ=1 a.s≥ 假设2.3（结构组件）。我们假设t Y={Yt；t≥ 0}是一个随机过程。特别地，我们假设初始值等于Y=Y∈ Rna。s、 因此，g（y）=f（0），其中f（τ）是交货时间τ的价格远期曲线（PFC），我们假设这是已知的（参见备注2.4）。此外，作为技术假设，我们需要E | g（Yt）|<∞ 对于所有t≥ 最后，虽然我们假设g（Yt）可以得到R中的所有值，包括负值，但我们假设它的期望Eg（Yt）>0是严格正的。这一假设背后的经济解释是，我们并不预期会出现负远期价格。在这些假设下，正向核的符号由结构组件Y唯一确定，过程Xτ不能影响它。此外，预期Eft（τ）完全由结构成分τ决定，与交易时间t无关（参见L e mma 2.6）。备注2.4（价格远期曲线f（τ））。

在该框架中，以f（τ）表示的价格前向曲线（PFC）起着重要作用：它决定了对前向核ft（τ）的预期。有许多研究描述了如何从市场价格构建PFC，如Caldana et al.（2017）；例如，Kiesel、Paraschiv和Saethero（2018）。在实践中，每个energyutility都有一个内部PFC。因此，在下文中，我们将假设PFC是已知的。定理2.5。对于固定τ≥ 0前向核过程f（τ）：={ft（τ）；t≥ 0}是一个自适应随机过程。此外，f（τ）是a.s.c\'adl\'ag。证据根据定义，f（τ）是一个随机过程。此外，由于我们假设dxτt是Ft可测的，并且由于条件期望Zτt：=E[g（Yτ）| Ft]始终是Ft可测的，因此Ft（τ）的Ft可测性紧随其后。由于过滤满足通常的条件，Zτthas是一个c\'adl\'ag修正（Karatzas&Shreve，1998，第1章，定理3.13）。由于条件预期Zτ唯一定义为零集，我们可以选择此修改，并且其结果遵循以下假设：Xτtis c\'adl\'ag。由于我们假设Xτ和Y都是从一个确定的值开始的，因此我们可以在不损失一般性的情况下使用FisOhm 和所有P-null集。这尤其意味着Eg（Yτ）=E[g（Yτ）| F]，这是我们将在下一篇文章中探讨的事实。引理2.6。对于固定τ≥ 0前向核过程f（τ）：={ft（τ）；t≥ 0}是一个mart-ingale。此外，对于所有0，其期望值由eft（τ）=Eg（Yτ）=f（τ）给出≤ t型≤ τ.证据

两个独立鞅的乘积显然是一个鞅。此外，它紧随假设2.2和2。3通过Xτ和Yt的独立性，得出eft（τ）=E[Xτt]E[E[g（Yτ）| Ft]]=Eg（Yτ）=XτE[g（Yτ）| F]=F（τ）。引理2.6还为结构构件的膨胀Eg（Yτ）设定了一个条件，该条件可用于在确定PFC f（τ）后校准结构构件和函数g。如果要获得与n个现有PFC f（τ）一致的模型，需要选择并校准g和Y，使Eg（Yτ）=f（τ）。备注2.7（措施变更）。在前面的讨论中，我们考虑了测量空间(Ohm, F、 P）配备了真实测量值P。然而，在免税市场上，有一种定价方法，根据该方法对衍生品进行估价。τ-由其Radon-Nikodym导数Pdqτ定义的前向测度QτFt=Xτt（2.1）可用于此目的。使用条件经验的τ-正向测度和Bayes理论，我们可以重写定义2.1ft（τ）=XτtEP[g（Yτ）| Ft]=等式τ[Xτg（Yτ）| Ft]。后一个术语可以定义为st：=Xttg（Yt），这产生了一个通用的现货价格模型。根据方程（2.1），随机过程Xτt的选择可视为定价度量Qτ的选择。如果噪声Xt：=Xτ被选择为独立于传递时间τ，则向前测量Q：=Qτ。2.2期货合约如第1节所述，远期内核可用于计算期货合约的价格。在下文中，为了便于注释，我们假设利率等于r=0。当然，当我们假设r 6=0时，需要考虑折扣。在备注2.13中，我们有一些关于如何更改我们的框架以包括disco unting的注释。