基于Meixner过程的Cliquet期权定价

与（3.3）中提供的结果类似，我们指出，und e r P it holdslnSt公司+St公司~=M+ b ~ Mα, β*, δ,u*+ b由于引理2.1（a）。在这里 > 0是常数t，b如（3.3）所示。因此，如果我们像（3.10）中那样指定Rado n–Nikodym函数h（z），则对数返回sagain的n是Meixner分布在真实概率测度P下。进一步注意，θt+ZtZRzdNQ（s，z）=Mt=θ*t+ZtZRzdNP（s，z）90 M。对于所有t，Hessholds P-分别为Q-几乎可以肯定∈ [0，T]感谢（2.1）和（3.15）。在PVarP【Mt】=δtαcos（β）下，我们得到了Mt的方差、偏斜ss和峰度的以下表达式*/2） ，SP【Mt】=p2/（δt）sinβ*/2.,KP【Mt】=3+2- cos（β*)δt在P下，Mtare的密度和特征函数，如（2.6）和（2.9）中给出的，其中用u和β替换为u*和β*, 分别地3.1.1广义结构保持测度变化在本节中，我们提出了从风险中性到物理概率测度的广义结构保持测度变化。回想一下，上面提出的度量更改仅影响偏度参数β和位置参数u，而标度参数α和泄漏度参数δrem均未触及。从实际角度来看，这一事实可能被视为一个优势，因为当从风险中性变为物理概率度量时，无需重新校准参数α和δ。相反，当在P下进行校准时，所描述的特征可能同样会导致一些困难，因为P参数α和δ的值必须与Q下的值相同，从而产生一定的灵活性损失。为了避免这一缺点，我们现在提出了一种广义测量变化，它会影响Meixner分布的四个参数中的每一个。

为此，我们目前要求P下的Meixner–Lévy测度的形式为dνP（z）=δ*eβ*z/α*z sinh（πz/α*)dz（3.17）[参考等式（2.4）]和新参数α*> 0, β*∈ (-π、 π）和δ*> 0是不同的fr omα、β和δ，之前在Q下引入。按照这种方法，我们得到等式eh（z）=δ*sinh（πz/α）δsinh（πz/α*)经验值β*α*-βαz由于（3.17）、（3.8）和（2.4）。取后一个等式中的对数，我们得到h（z）=β*α*-βαz+lnδ*sinh（πz/α）δsinh（πz/α*)（3.18），对应于上述（3.10）。请注意，（3.18）对于所有z定义良好∈ 如果取α，我们得到的Rand（3.10）*= α和δ*= δin（3.18）。因此，（3.10）是（3.18）的特例。此外，如果我们取α*= α和β*= βin（3.18），那么我们得到h（z）=lnδ*- lnδ是常数，与z无关。我们将我们的发现总结在以下命题中。提案3.1。考虑从风险中性到氡-Nikodym密度过程∧的ph物理概率测量的测量变化，如第3.1节开头所定义的。当且仅当Radon–Nikodym函数h（z）的形式为（3.18）时，新的Lévy测度νPunder P再次为Meixner类型。Cliquet期权定价与Meixner过程91在续集中，我们研究了与Radon–Nikodym函数h（z）相关的P下相应Meixner–Lévy过程的分布性质（3.18）。将（2.2）、（2.4）和（3.18）代入（3.9）得到以下Lévy–It^o分解，PMt=θt+ZtZRzdNP（s，z）（3.19），确定性和实值漂移参数θ：=u+Δαtanβ+ δ*ZReβ*z/α*sinh（πz/α*)dz公司- δZReβz/αsinh（πz/α）dz。（3.19）中给出的Meixner–Lévy过程mt具有Lévy三重态（θ，0，νP），其中νPis su c h如（3.17）中所述。在下一步中，我们要求θ的形式为（2.2），即θ=u+δ*α*棕褐色的β*/2.使用一些新的位置参数ru∈ R

在此开始之后，我们推断u=u+Δαtanβ-δ*α*棕褐色的β*+δ*ZReβ*z/α*sinh（πz/α*)dz公司-δZReβz/αsinh（πz/α）dz。因此，如果使用（3.18）中定义的Radon–Nikodym函数h（z）执行从Q到P的测量变化，则相应的Meixner–Lévy过程Mtagain是Meixner分布在P下的参数smt~ Mα*, β*, δ*t、 ut. （3.20）如果我们将（3.20）与（3.16）进行比较，我们可以看到，在与（3.18）相关的广义测度变化中，Meixner–Lévy过程M的四个参数中的每一个都受到影响。4几何Meixner模型中的Cliquet期权定价本节专门讨论第3章中Meixner股价模型中Cliquet期权的定价。由于上述（3.5）中的梅克斯纳过程Y只是【8】中等式（2.3）中定义的更一般的莱维过程X的特例，因此【8】中得出的客户定价结果同时适用于我们目前的梅克斯纳-莱维建模情况。详情将在当前部分的其余部分中解决。与文献[8]和文献[3]中的公式（1.1）平行，我们考虑了一个月和上限式的cliquetoption，其中T是到期时间，K de注意到名义（即初始投资），gis是到期担保利率，c≥ 0是本地cap，RK是返回过程92 M。Hessgiven in（3.4）。回想一下，回报Ht由常数K（1+g）全局确定，由c局部确定。通过案例区分，我们得到Ht=K max（1+g，1+nXk=1min{c，Rk}）=K1+g+max（0，nXk=1Zk）！所有k的位置∈ {1，…，n}出现的对象szk：=min{c，Rk}- g/n（4.1）是独立的同分布（i.i.d.）随机变量。请注意，Rkis Ftk可测量，因此HTis Ftn可测量。自tn起≤ T，它是FtnFTsuch认为Ht构成了FT可测量的索赔。像以前一样，让我们把恒息率降低r>0。

那么时间t的价格≤ 收益率为T的cliquet期权的T由贴现的风险中性条件期望给出，即Ct=e-r（T-t） 当量（HT | Ft）。结合后一个方程，我们得到c=Ke-rT1+g+EQ“max（0，nXk=1Zk）#！（4.2），这表明考虑的带回报Ht的cliquet期权本质上是一个普通的看涨期权，在Pnk=1Zk.Proposition 4.1（cliquet option price）下面的篮子样式上写有执行零。让k∈ {1，…，n}并考虑独立同分布的随机变量Zk=min{c，Rk}-序号，其中C≥ 0是本地cap，RK是（3.4）中给出的返回过程，g是担保到期日。用T表示到期时间，用K表示名义到期时间，用r表示无风险利率。然后，带回报的期权在时间零点的价格可以表示为asC=Ke-rT1+g+nEQ[Z]+πZ∞+1.- Re（φZ（x））xdx！（4.3）其中Re表示实部，特征函数φZ（x）通过φZ（x）定义：=nYk=1φZk（x）=nYk=1EQeixZk公司=φZ（x）n个=均衡器eixZ公司n、 （4.4）证明。见道具证明。[3]中的3.1，分别为支柱。3.1英寸【8】。在随后的章节中，我们推导了定价公式（4.3）中出现的φZ（x）和等式[Z]的显式表达式。如前所述，我们坚持假定即时重置时间，并设置τ=tk- tk公司-1对于所有k∈ 以下为{1，…，n}。带Meixner过程的Cliquet期权定价934.1带分布函数的Cliquet期权定价我们首先应用一种涉及概率分布函数的方法（参见[3]和[8]中的第3.1节）。我们初步研究了（4.4）中定义的φZ（x）的处理方法。提案4。2、让Yτ~ M（α，β，Δτ，（u+b）τ），假设that Zk=min{c，Rk}- g/n，其中k∈ {1，…，n}。

那么Q下的特征函数Zk可以表示为φZk（x）=e-ix（1+g/n）eix（1+c）Z∞1+cfYτ（u）du+Z-∞fYτ（u）du+Z1+ceixufYτ（u）du！（4.5）式中fyτ（u）=（2 cos（β/2））2Δτ2παΓ（2Δτ）eβ（u-（u+b）τ）/αΓΔτ+iu- （u+b）τα（4.6）构成（3.5）中给出的Meixner–Lévy过程Y的概率密度函数，b是（3.3）中声称的实值常数。证据在证明Prop时，使用了类似的参数。3.2在[8]中，我们得到φZk（x）=e-九（1+g/n）eix（1+c）- ixZ1+ceixwQ（Rk≤ w- 1） dw！。（4.7）利用（3.6）和分布函数的定义，我们得到（4.7）Z1+ceixwQ（Rk）中的最后一个积分≤ w- 1） dw=Z1+cZln（w）-∞eixwfYτ（u）dudwwhere Yτ~ M（α，β，Δτ，（u+b）τ）是（3.5）中给出的Meixner–Lévy过程，fyτ（u）构成（4.6）中Q下Yτ的概率密度函数。应用Fubini定理，然后分解得到的外积分，w ededuceZ1+ceixwQ（Rk≤ w- 1） dw=Z-∞Z1+ceixwfYτ（u）dwdu+Z1+cZ1+cueixwfYτ（u）dwdu。接下来，我们计算emergin g dw积分，并最终将得到的表达式替换为（4.7），得到（4.5）。如果我们在（4.4）中插入（4.5），我们会得到特征函数φZ（x）的重新表示。让我们继续计算等式[Zk]。94 M.赫斯建议4.3。假设Zk=min{c，Rk}- g/n，其中k∈ {1，…，n}。然后，Q下Zk的第一个力矩由公式[Zk]=-1.-gn+（1+c）Z∞1+cfYτ（u）du+Z1+cufYτ（u）du（4.8），其中fYτ（u）是（4.6）中Q下Yτ的概率密度函数。证据根据道具。2.4在【4】中，我们有eq【Zk】=ix个φZk（x）x=0。（4.9）将（4.5）替换为（4.9）立即产生（4.8）。如第2节所述，我们将Meixner-Lévy过程的累积分布函数（cdf）称为Yt，即FYt（x）：=Zx-∞fYt（u）DU不具有封闭形式的r e表示，但可以使用数值方法有效计算。

还要注意，（4.5）和（4.8）中出现的所有积分都是有限的，因为fYτ（·）构成概率密度函数，而Meixner–Lévyprocess Yτ拥有所有阶矩（参见[13]）。4.2采用傅立叶变换技术的Cliquet期权定价推导公式[Zk]、φZ（x）和Cinvolving傅立叶变换的表达式以及Lévy–Khinchin公式的另一种方法。在下文中，我们介绍了该方法，该方法已在cliquet option pricingcontext的[8]中首次提出。提案4.4。让Yt~ M（α，β，δt，（u+b）t）是（3.5）中考虑的Meixner–Lévy过程。假设that Zk=min{c，Rk}- g/n，其中k∈ {1，…，n}且设θ>0为有限实值阻尼参数。那么，Q下的第一时刻Zk可以表示为Q[Zk]=c-gn公司-2πZR（c+1）1+θ+iy（θ+iy）（1+θ+iy）φYτ（iθ）- y） dy（4.10），其中特征函数φyτ由φyτ（iθ）给出- y） =e-（θ+iy）（u+b）τcos（β/2）cosh（（i（αθ- β) - αy）/2）2δτ. （4.11）证明。p屋顶遵循sam e线作为支柱的证明。3.4英寸[8]。从（4.1）和等式min{c，Rk}=c- [c]- Rk]+we dedu ceEQ【Zk】=c- 总工程师- 均衡器（c）- Rk）+.Cliquet期权定价与Meixner过程95考虑到（3.4），我们下一步接收eq[Zk]=c- 总工程师- 均衡器c+1- eYτ+式中，τ=tk- tk公司-1和Y是（3.5）中给出的实值Meixner–Lévy过程。当有限和实值阻尼参数θ>0时，我们定义函数Д（u）：=eθuc+1- 欧盟+.自^1起∈ L（R），其傅里叶变换存在，读数为^Д（y）=（c+1）1+θ+iy（θ+iy）（1+θ+iy）。利用傅里叶逆变换和富比尼定理，我们得到c+1- eYτ+= 均衡器e-θYτИ（Yτ）=2πZR^И（y）等式e-（θ+iy）YτDY，这意味着（4.10）。

（4.11）中给出的特征函数φYτ的表达式可通过（2.9）直接获得。我们在命题4.4证明中的论证激发了以下考虑。提案4.5。让Yt~ M（α，β，δt，（u+b）t）是（3.5）中提出的Meixner–Lévy过程。假设Zk=min{c，Rk}-g/n带k∈ {1，…，n}和c≥ 那么Q下Zk的特征函数为φZk（x）=e-ixg/neixc+Zln（1+c）-∞eix（欧盟-1)- eixc公司fYτ（u）du！（4.12）式中，Q下Yτ的概率密度函数fYτ如（4.6）所示。证据类似于支柱证明中的计算。3.5英寸[8]产量（4.12）。有一种涉及（4.9）的替代方法来推导等式[Zk]的表达式，如下所示。推论4.6。在命题4.5的设置中，我们得到了表示eq[Zk]=c-gn+Zln（1+c）-∞欧盟- 1.- cfYτ（u）du。（4.13）证明。所要求的陈述紧随【8】中的等式（3.16）。受命题4.4证明中应用的傅立叶变换技术的启发，我们现在将重点放在推导（4.2）中的cliquetoption price Cgiven的替代表示f上。相应的结果如下所示。96 M.HessTheorem 4.7（傅里叶变换cliquet期权价格）。让k∈ {1，…，n}并考虑独立同分布的随机变量s Zk=min{c，Rk}-序号，其中c≥ 0是loca l cap，g是到期担保利率，RK是（3.4）中定义的回报过程。对于n∈ N我们设置:= 北卡罗来纳州- g，用T表示到期时间，用K表示名义利率，用r.LetYt表示无风险利率~ M（α，β，δt，（u+b）t）b e（3.5）中给出的Meixner–Lévy过程。

然后，cliqu et option payingHT=K1+g+max（0，nXk=1Zk）在时间零点的价格！到期时可表示为asC=Ke-rT“1+g+Z∞+1+iy - 艾伊2πy×1+Zln（1+c）-∞eiy（欧盟-1.-c）- 1.fYτ（u）du！ndy#（4.14），其中fYτ（u）构成（4.6）中所述的概率密度函数。证据如果我们用fYτ替换其中的fXτ，那么[8]中的T heorem 3.7的证明同样适用。5结论在本文中，我们研究了基于几何纯跳跃Meixner–Lévy过程的股票价格的月和c a p型cliquet期权的定价。在第2节中，我们收集了关于Meixner分布和相关的随机Meixner-Lévy过程的各种事实。在第3节中，我们引入了由Meixner–Lévy过程驱动的astock价格模型，并建立了从风险中性到物理概率度量的定制结构服务前度量变化。此外，我们在第4.1节中使用驱动Meixner–Lévy过程的概率分布函数，并在第4.2节中应用傅立叶变换技术，获得了cliquet optionprice的半解析表达式。要阅读更多关于jum p-diffusion Lévy模型中cliquet期权定价的信息，读者请参阅accomp anying文章[8]。参考文献【1】Albrecher，H.、Ladoucette，S.、Schoutens，W.：合成CDO定价的通用单因素Lévy模型。《数学金融的进展》，第259-277页。Bir kh"auser，（2007年）。MR2359372。10.1007/978-0-8176-4545-8\\u 14【2】伯纳德，C.，博伊尔，P.，戈纳尔，W.：本地上限合约和散户投资者。《衍生工具杂志》18（4），72–88（2011）。10.3905/jod。2011.18.4.072 Meixner流程的Liquet期权定价97[3]Bernard，C.，Li，W.：Cliquet期权和本地封顶合同的定价和对冲。

《暹罗金融数学杂志》4353–371（2013）。MR3038023.10.1137/100818157【4】Cont，R.，Tankov，P.：带跳跃过程的金融建模，第1版edn。查普曼和霍尔/CRC（2004年）。MR2042661【5】Di Nunno，G.、Oksendal，B.、Proske，F.：Lévy过程的Malliavin演算及其在金融中的应用，第1版。斯普林格（2009）。MR246054【6】Grigelionis，B.：Meixner型工艺。立陶宛数学杂志39（1），33–41（1999）。MR1711971【7】海峰，Y.，健奇，Y.，李敏，L.：跳跃扩散模型中的Cliquet期权定价。随机模型21，875–884（2005）。MR2179304。10.1080/[8]赫斯，M.：《跳跃扩散莱维模型中的克利特期权定价》（2017）。SSRN工作文件。https://ssrn.com/abstract=2979296[9] Iseger P.，den Oldenkamp，E.：《Cliquet期权：确定性和随机波动率模型中的定价和希腊人》（2005）。S SRN工作文件。https://ssrn.com/abstract=[10] Protter，P.：《随机积分与微分方程》，第二版。斯普林格（2005）。MR2273672【11】Sato，K.：莱维过程和不完全可分分布。《剑桥高级数学研究》，第68卷（1999年）。MR1739520【12】Schoutens，W.《梅克斯纳过程：金融理论与应用》，EurandomReport 2001-004，Eindhoven，pp.1–24（2002）[13】Schoutens，W.《金融中的莱维过程：金融衍生品定价》。John Wiley&Sons，Ltd.（2003）[14]Schoutens，W.，Teugels，J.：Lévy过程，多项式和鞅。随机模型14（1-2），335-349（1998）。MR1617536[15]Wilmott，P.：Cliquet期权和波动率模型，Wilmott杂志，2002年12月