基于Meixner过程的Cliquet期权定价

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英文标题：
《Cliquet option pricing with Meixner processes》
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作者：
Markus Hess
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We investigate the pricing of cliquet options in a geometric Meixner model. The considered option is of monthly sum cap style while the underlying stock price model is driven by a pure-jump Meixner--L\\\'{e}vy process yielding Meixner distributed log-returns. In this setting, we infer semi-analytic expressions for the cliquet option price by using the probability distribution function of the driving Meixner--L\\\'{e}vy process and by an application of Fourier transform techniques. In an introductory section, we compile various facts on the Meixner distribution and the related class of Meixner--L\\\'{e}vy processes. We also propose a customized measure change preserving the Meixner distribution of any Meixner process.
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中文摘要：
我们研究了几何Meixner模型中cliquet期权的定价。所考虑的期权是月度总和上限式的，而基础股票价格模型是由产生Meixner分布对数回报的纯跳跃Meixner-L{e}vy过程驱动的。在这种情况下，我们通过使用驱动Meixner--L \\{e}vy过程的概率分布函数，并通过应用傅立叶变换技术，推导出cliquet期权价格的半解析表达式。在导言部分，我们汇编了有关Meixner分布和Meixner-L{e}vy过程相关类的各种事实。我们还提出了一种定制的度量更改，该更改保留了任何Meixner过程的Meixner分布。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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关键词：期权定价 MEI distribution Quantitative Applications

现代随机：理论与应用5（1）（2018）81–97https://doi.org/10.15559/18-VMSTA96CliquetMeixner Processmarkus HessR+V Lebensversicherung AG，Raiffeisenplatz 2，65189 Wiesbaden，GermanyMarkus期权定价-Hess@gmx.net（M.Hess）收到日期：2017年9月27日，修订日期：2018年1月2日，接受日期：2018年1月21日，在线发布日期：2018年2月12日摘要我们研究了几何Meixner模型中cliquet期权的定价。考虑的期权是月度总和上限式的，而基础股票价格模型是由产生Meixner分布对数回报的纯跳跃Meixner–Lévy过程驱动的。在这种情况下，我们通过使用驱动Meixner–Lévy过程的概率分布函数，并通过应用Fouriertransform技术，推导出cliquet期权价格的半解析表达式。在介绍部分，我们汇编了有关Meixner分布和Meixner-Lévy过程相关类的各种事实。我们还提出了一个定制的度量更改，该更改保留了任何Meixner过程的Meixner分布。Cliquet期权定价、路径依赖型奇异期权、股票指数年金、金融资产对数收益、Meixner分布、Meixner–Lévy过程、随机微分方程、概率测度变化、特征函数、Fourier transform2010 MSC Primary60G51、60H10、60H30；次级91B30、91B70JEL分类G22、D521简介基于Cliquet期权b的合同构成股票指数年金的自定义d子类。常见的基础期权是基于与某些参考股票指数相关的月度封顶利率之和的月度封顶式支付ACR编辑收益率。在这方面，cliquet型投资属于路径依赖型奇异期权。在[15]中，cliquet期权被视为“股票衍生品世界中的最高价”。

在文献中，cliquet期权有不同的定价方法，包括偏微分方程（见[15]）、蒙特卡罗技术（见[2]）、提交给VTeX/Modern Stochastics:Theory and Applications的与inversePreprint相关的数值递归算法。＜2018年3月28日＞www.vmsta。org82 M.HessLaplace变换（见[9]）和分析计算方法（见[3、7、8]）。本文属于最后一类。本文的目的是为具有多重重置时间的全球流动局部封顶cliquet期权提供分析定价公式，其中基础参考股票指数由纯跳跃时间同基因ous Me ixner–Lévy过程驱动。在此设置中，我们在两种不同的方法下推导cliquet期权价格公式：一种是使用驱动Meixner–Lévyprocess的分布函数，另一种是应用傅里叶变换技术（如[8]所述）。总之，本文可以看作是[8]的附文（但在很大程度上是独立的），因为它将[8]中得出的结果具体应用于Meixner–Lévy过程。本文的组织结构如下：在第2节中，我们汇编了关于Meixner分布和随机Meixner-Lévy过程的相关事实。在第3节中，我们引入了一个由Meixner–Lévy过程驱动的几何纯跳跃股价模型。在第3.1节中，我们建立了一个自定义的d结构保留度量，将风险中性度量更改为物理概率度量。第4节专门讨论cliquet期权的定价。我们使用第4.1节中的驱动Meixner–Lévy过程的概率分布函数和第4.2节中的傅里叶变换技术，获得了cliquetoption价格的半解析表达式。

在第5节中，我们得出结论。2 Meixner processesLet综述(Ohm, F、 （Ft）t∈[0，T]，Q）是满足通常假设的过滤概率空间，即Ft=Ft+：=∩s> TFS表示一个右连续过滤，F表示由所有Q-空集增强的西格玛代数（参见[10]第3页）。这里，Q是风险中性概率测度，0<T<∞ de注意到有限的时间范围。在下文中，我们汇编了[1、6、12、13]和[14]中关于Meixner分布和Meixner-Lévy过程的各种事实。一个实值、cádlág、纯跳跃、时间齐次Lévy过程M=（Mt）t∈满足M=0的[0，T]（具有独立的T和固定的增量）称为Meixner（-Lévy）过程，缩放参数α>0，形状/偏度参数β∈ (-π、 π），峰值参数δ>0，位置参数te ru∈ R、 如果mt具有Lévy–It^odecompositionMt=θt+ZtZRzdNQ（s，z）（2.1），其中R：=R \\{0}，漂移参数θ：=u+Δαtan（β/2）（2.2）是实值常数，Q补偿泊松随机测度（PRM）由dNQ（s，z）：=dN（s，z）给出- dνQ（z）ds（2.3）Cliquet期权定价，Meixner过程83，正的和有限的Meixner型Lévy测量νQ（z）：=δeβz/αz sinh（πz/α）dz（2.4）（参见[12，13]，等式（3）]，满足νQ（{0}）=0和Zr1.∧ zdνQ（z）<∞.我们表示Mtby的Lévy三重态（θ，0，νQ）。（请注意，此符号与[6，8]不完全一致。）我们记得mt拥有所有阶的矩（参见[13]第5.3.10节）。显然，mt没有布朗运动部分。SinceZR | z | dνQ（z）=∞工艺MThas in finite variation（参见[13]第5.3.10节）。我们为任何固定的∈ [0，T]公吨~ M（α，β，δt，ut）（参见[1]中的第3.6节），并表示M是在Q下的Meixner分布，参数为α，β，δ和u。从（2.1）和（2.2）中，我们立即得到平均值Eq【Mt】=θt=ut+δtαtan（β/2）（2.5），根据Eq。

（11） 在[6]中。分别由varq[Mt]=δtαcos（β/2）、SQ[Mt]=p2/（δt）sin（β/2）、KQ[Mt]=3+2给出的马尔的方差、偏度和峰度- cos（β）δt（参见[1]中的表6]）。Fu rthermore，代表所有x∈ R和t∈ [0，T]Mtunder Q的实值概率密度函数（pdf）读取为asfMt（x）：=（2 cos（β/2））2δt2παΓ（2δT）eβ（x-ut）/αΓδt+ix- utα（2.6）（参见[1，12]，式（4）中的[6]），其中Γ（ζ）：=Z∞uζ-1e级-ududenotes the gamma f function，该函数为所有ζ定义∈ C，Re（ζ）>0。考虑到gamma函数和Euler公式的定义，我们得到δt+ix- utα=Z∞+uδt-1e级-ucos公司x个- utαln udu84 M.Hess+iZ∞+uδt-1e级-usin公司x个- utαln uduwhich暗示Γδt+ix- utα=Z∞+uδt-1e级-ucos公司x个- utαln u杜+Z∞+uδt-1e级-usin公司x个- utαln udu！。请注意，后一个对象出现在（2.6）中。MTF的累积分布函数（cdf）不具有封闭形式的表示，但可以用数值计算。此外，由于φMt（u）：=公式eiuMt公司= eψ（u）t（2.7），i=-1，u∈ R、 t型∈ [0，T]和特征指数ψ（u）：=iuu+Δαtanβ+ δZReiuz- 1.- iuzzeβz/αsinh（πz/α）dz。（2.8）此外，让我们定义确定函数q的傅里叶变换，分别为逆Fourie r变换∈ L（R）通过^q（y）：=ZRq（x）eiyxdx，q（x）=2πZR^q（y）e-iyxdy。那么对于所有u∈ R和t∈ [0，T]我们得到了众所周知的关系式φMt（u）=^fMt（u），其中^fMt表示（2.6）中定义的密度函数fMtde的傅立叶变换。傅里叶逆变换yieldsfMt（x）=2πZReψ（u）t的一个应用-iuxduthanks至（2.7）。另一方面，从[6]中的公式（1）中，我们知道φMt（u）=eiuutcos（β/2）cosh（（αu- iβ）/2）2δt（2.9），其中u∈ R和t∈ [0，T]。取（2.7）和（2.9）中的对数，我们最终推导出ψ（u）=iuu+2δln c操作系统β- ln co sh公司αu- iβ.

（2.10）此外，对于M e ixner分布，以下特性是众所周知的（参见【14】、【13】中的第5.3.10节、【1】中的第3.6节、【6】中的推论1）。Meixner过程85Lemma 2.1的Cliquet期权定价。（a） 如果X~ M（α，β，δ，u），然后cX+M~ M（cα，β，δ，cu+M），常数c>0和M∈ R、 （b）如果X~ M（α，β，δ，u）和d X~ M（α，β，δ，u）是独立的随机变量，然后是X+X~ M（α，β，δ+δ，u+u）。（c） Meixner分布随机变量X的特征函数φX（u；α，β，δ，u）~ 对于任意n，M（α，β，δ，u）满足φX（u；α，β，δ，u）=φX（u；α，β，δ/n，u/n）∈ N使得梅克斯纳分布是完全可分的。3由Meixner processLet t驱动的股价模型∈ [0，T]并定义随机股价过程StviaSt：=SeMt+bt（3.1），确定初始值S，常数b∈ R和实值Meixner过程mt=θt+ZtZRzdNQ（s，z），如（2.1）–（2.4）中的介绍。这里，常数b提供了一些额外的自由度，引入d以确保股票价格模型的无套利性。关于这个话题的更多细节将在下面给出。验证（3.1）与[8]中的（2.2）–（2.3）属于相同的模型类别（几何模型）。Wenext介绍历史过滤FT：=σ{Su:0≤ u≤ t} =σ{Mu:0≤ u≤ t} 。利用It^o的公式，我们得到了随机微分方程（SDE）dStSt-=θ+硼+锆ez公司- 1.- zdνQ（z）dt+ZRez公司- 1.Q下的dNQ（t，z）。让我们通过^St:=stbt进一步定义贴现股票价格，其中STI（如（3.1）中定义的）和Bt:=ertis是标准化初始资本B=1且风险减去利率r>0的银行账户的价值。由于（3.1），我们发现^St=SeMt+（b-r） t其公式为Qd^St^St下的以下SDE-=θ+b- r+ZRez公司- 1.- zdνQ（z）dt+ZRez公司- 1.dNQ（t，z）。86米。

他根据无套利理论，贴现股票价格必须在风险中性概率测度Q下形成鞅。因此，我们要求赎回限制B=r- θ -锆ez公司- 1.- zdνQ（z）。（3.2）通过选择系数b，我们推断出-= rdt+ZRez公司- 1.dNQ（t，z）在Q.组合（3.1）和（3.2）下，我们接收=Sertexp（ZtZRzdNQ（s，z）-ZtZR公司ez公司- 1.- zdνQ（z）ds），其中右侧的最后一个因子构成一个Doléans Dade指数，它再次显示了贴现股价过程的Q鞅性质^St=Ste-rt.此外，考虑到（2.2）、（2.4）、（2.8）和（2.10），等式（3.2）可表示为b=r- ψ(-i） =r- u - 2δlncos（β/2）cos（（α+β）/2）. （3.3）除非另有说明，从现在起，我们假设常数b∈ （3.1）中的R是（3.3）中给出的suc h。尽管构成了一个可接受的选择，但在实际应用中，取b=0in（3.1）–（3.3）可能过于严格。在下文中，我们调查了与我们的模型（3.1）相关的日志检索。对于任意时间步长 > 0和t≤ T-  我们获得St公司+St公司~=M+ b ~ Mα, β, δ, （u+b）引理2.1（a）。这里是符号~=表示分布均匀。因此，在我们的股价模型（3.1）中，对数回报率是Meixner分布的。我们强调，在【12】中，梅克斯纳分布证明了经验财务日志的良好回报。此外，对于n∈ N我们引入了时间分割P：={0<t<t<···<tn≤ 定义与该期间相关的收益/收入流程-1，tk]viaRk：=Stk- Stk公司-1Stk公司-1其中k∈ {1，…，n}。将（3.1）代入后一个方程yieldsRk=eYtk-Ytk公司-1.- 1（3.4），其中YT：=Mt+bt~ Mα、 β，δt，（u+b）t采用Meixner流程87的Cliquet期权定价是Meixner-Lévy流程。

考虑到（2.1）–（2.4）和（3.3），我们得到y=γt+ZtZRzdN（s，z）（3.5），其中γ：=r+δα-棕褐色β- 2英寸cos（β/2）cos（（α+β）/2）-ZReβz/αsinh（πz/α）dz是实值常量。回想一下，上文（3.5）中给出的Me ixner–Lévy过程Y只是[8]中等式（2.3）中定义的更一般的Lévy过程ss X的特例。因此，[8]中导出的cliquet期权定价结果同时应用于我们当前的Meixner模型。下面的第4节提供了有关此主题的更多详细信息。还要注意，R，rAre Q-独立随机变量和Rk>-1 Q——几乎可以肯定的是，对于所有k来说，Y是一个Lévy过程，在Q下，我们观察Ytk- Ytk公司-1.~=Yτ（平稳增量），其中τ：=tk- tk公司-1（等距分割）。这里是符号~=表示分布均匀。为了符号的简单性，除非另有说明，否则我们总是在以下等距时间点的假设下工作。将（3.4）考虑进去，我们得到了Rk和YτQ（Rk）的累积分布函数之间的子序列关系≤ ξ） =QYτ≤ ln（1+ξ）（3.6）式中ξ>- 1是任意实值常量。3.1对物理概率度量的结构保持度量更改称我们在前几节中的风险中性概率度量Q下工作。由于金融资产的对数收益通常在物理指标P下观察到（而不是在Q下），因此我们在续集中确定了从Q到P的指标变化。在这种情况下，我们必须特别注意度量值更改的所谓结构保持属性，因为P下的日志返回s将再次遵循Meixner分布。换言之，Q下（2.1）中介绍的Meixner过程也应是P下的Meixner过程。

首先，对于t∈ [0，T]我们定义了氡-尼古丁密度过程∧T：=dPdQFt：=exp（ZtZRh（z）dNQ（s，z）-ZtZR公司eh（z）-1.-h（z）dνQ（z）ds），其中Q补偿的PRMnqa和相应的Lévy度量νQaresuch分别如（2.3）中所定义（2.4），而h（z）是R上的时间无关确定性函数。回想一下，我们可以用局部Q鞅过程lt=ZtZRh（z）dNQ（s，z）88 M来写∧t=eLtEQ[eLt]。Hessuch认为密度过程∧是Esscher变换类型。注意∧是一个不连续的Doléans-Dade指数，它在满足SDEd∧t=∧t的Q下构成局部鞅-锆eh（z）- 1.dNQ（t，z）。根据[5]中的定理12.21，我们进一步施加Novikov条件eq“exp（ZtZR1.- eh（z）+h（z）eh（z）dνQ（z）ds）#<∞对于所有t∈ [0，T]。然后它保持等式∧t≡ 所有t均为1∈ [0，T]使得∧构成一个Q-鞅。因此，我们可以将Girsanov定理应用于dNP（s，z）：=dN（s，z）- dνP（z）ds（3.7）构成P补偿泊松随机测度，Lévy测量的νP（z）：=eh（z）dνQ（z）。（3.8）注意，Novikov条件等同于要求thatZR1.- eh（z）+h（z）eh（z）dνQ（z）<∞因为h和νq都是终结论的。（2.1）、（2.3）、（3.7）和（3.8）的组合产生以下Lévy–It^odecompositionMt=θ+ZRzeh（z）- 1.dνQ（z）P下的t+ZtZRzd▄NP（s，z）（3.9），其中θ、νQand▄NP分别为（2.2）、（2.4）和（3.7）中定义的su c h。剩下的挑战在于找到一个合适的函数h（z），该函数首先完全满足Novikov条件，其次，保证νPin（3.8）构成Me ixner类型的Lévy度量，第三，确保Mtin（3.9）是Meixner–Lévy过程。在这方面，我们建议使用规范h（z）：=β*- 从现在起，βαz（3.10）。

其中，恒定偏斜度参数β*∈ (-π、 π）满意度β*6=β，而α>0是上述标度参数。注意，取β*= β表示h（z）≡ 0，因此P=Q。将（3.8）与（2.4）和（3.10）结合，得出νP（z）=δeβ*z/αz sinh（πz/α）dz（3.11），它与参数α，β共同构成一个Me ixner型Lévy测量*和δ[recallEq.（2.4）]。此外，对于（3.8）和（3.10），我们得到了Zr1.- eh（z）+h（z）eh（z）dνQ（z）=νQ（R）- νP（R）+β*- βαZRzdνP（z）Cliquet期权定价，Meixner过程89，这是有限的，因为Lévy度量νQandνparefinite。因此，（3.10）中定义的函数h（z）确实符合Novikov条件。进一步，我们将（2.2），（2.4），（3.9）和（3.10）加入到ac计数中，并接收EP【Mt】=θ*带漂移参数θ的t（3.12）*:= u*+ δαtanβ*以及常量和实值位置参数u*:= u + δα-棕褐色β- α-棕褐色β*+ZReβ*z/α- eβz/αsinh（πz/α）dz. （3.13）顺便注意，（3.12）具有与（2.5）相同的结构。同时验证θ*- θ=δZReβ*z/α- eβz/αsinh（πz/α）dz=ZRzdνP（z）- dνQ（z）（3.14）由于（2.2）、（2.4）、（3.11）、（3.12）和（3.13）。总之，结合（3.9）与（2.4）、（3.10）和（3.14），我们得出de thatMt=θ*t+ZtZRzdNP（s，z）（3.15），在P下构成一个Meixner-Lévy过程，分布为t~ Mα, β*, δt，u*t型. （3.16）因此，我们称最近引入的度量变化结构保持。回想一下，在Q下的第2节中，我们观察到Mt~ 另一方面，M（α，β，δt，ut）。因此，提议的度量变化既不影响缩放参数α，也不影响峰值参数δ，而偏度参数β和位置参数u都发生了变化。此外，在（3.15）中声称的过程M的Lévy trip le t由（θ）给出*, 0，νP）。