部分条件下基于BSDE的纯禀赋无差异定价

如果存在aeG自适应过程D={Dt，t∈ （i）DT=αGT；（二）{e-αXθt+Dt，t∈ 任意θ的[0，T]}i s a（eG，P）-子鞅∈ A（eG）然后，VGt≥ eDt，每t∈ [0，T]，每年。。如果加上（iii）{e-αXθ*t+Dt，t∈ [0，T]}是某θ的（eG，P）-鞅*∈ A（eG）然后，VGt=eDt，对于每t∈ [0，T]，P-a.s.和θ*是问题3.2的最佳投资策略。证据设D为aeG适应过程，满足条件（i）和（ii）。ThenEhe公司-α（XθT-燃气轮机）eGti=Ehe-αXθT+DTeGti公司≥ e-αXθt+Dt，对于任何θ∈ A（eG），表示Ehe-α（RTtθ乌德苏-燃气轮机）eGti公司≥ eDt，因此VGt≥ EDT适用于everyt∈ [0，T]，每年。。此外，如果{e-αXθ*t+Dt，t∈ [0，T]}是a（eG，P）-鞅f或某θ*∈ 一个（例如），一个-α（RTtθ乌德苏-燃气轮机）eGti公司≥ eDt=Ehe-α（RTtθ*udSuSu公司-燃气轮机）eGti，θ∈ A（例如）。部分信息下通过BSDES的无差异定价15这意味着infθ∈At（eG）Ehe-α（RTtθ乌德苏-燃气轮机）eGti=eDt=Ehe-α（RTtθ*udSuSu公司-燃气轮机）eGti总结了证据。接下来，我们描述了最优策略和对数值过程log VGvia，即具有二次指数驱动的aBSDE的解。定理4.2。Let（UG，γ，γ，γ，γ），其中UGbounded，γi∈ L（W；eG），i=1，2，3，γ∈ L（Mτ），是BSDEUGt=αGT的解-ZTtXi=1γisdWis-ZTtγsdMτs-ZTtef（s，γs，γs，γs，γs）ds，（4.2），其中ef（t，γ，γ，γ）=-（eγ- γ- 1)( 1 -Ht）πt（λ）-((γ)+ (γ)+ (γ))+uS（t，Yt）σS（t，Yt）+γ+uB（t，ut，Yt）+cB（t，ut，Yt）γ+dB（t，ut，Yt）γcB（t，ut，Yt）+dB（t，ut，Yt）。然后，VGt≥ eUGt，每t∈ [0，T]，P-a.s.和（EZ.（eγs- 1） dMτs+Z.Xi=1γisdWis！t、 t型∈ [0，T]）是有界（例如，P）-鞅。符号E代表stocha指数。

此外，如果θ*= (θ1,*t、 θ2，*t）∈ A（eG），θ1，*t=uS（t，Yt）ασS（t，Yt）+γtασS（t，Yt），t∈ [0，T]，（4.3）θ2，*t=uB（t，ut，Yt）+cB（t，ut，Yt）γt+dB（t，ut，Yt）γtα[cB（t，ut，Yt）+dB（t，ut，Yt）]，t∈ [0，T]，（4.4）然后，θ*是A类（eG）中的最佳策略，VGt=eUGt。证据对于任何θ∈ A（eG），我们应用It^oproduct规则来计算e-αXθt+UGt，对于每个t∈ [0，T]。到（4.2），我们得到了e-αXθt+UGt= dMU，θt+e-αXθtnf（t，γteUGt-, γteUGt-, γteUGt-, eUGt-) - fα（t，γteUGt-, γteUGt-, γteUGt-, eUGt-, θt，θt）odt，（4.5）16 C.CECI，K.COLANERI和A.Cretarola，其中函数f由f（t，γteUGt）给出-, γteUGt-, γteUGt-, eUGt-)= eUGt-ef（t，γt，γt，γt，γt，UGt-) +（γt）+（γt）+（γt）+eγt- 1.-γtπt（λ）（1- Ht）=eUGt-uS（t，Yt）σS（t，Yt）+γt+eUGt-uB（t，ut，Yt）+cB（t，ut，Yt）γt+dB（t，ut，Yt）γtcB（t，ut，Yt）+dB（t，ut，Yt），函数fα由fα（t，r，r，r，v，θ，θ）=αvθtuS（t，Yt）+θtuB（t，ut，Yt）+ αrθtσS（t，Yt）+rθtcB（t，ut，Yt）+rθtdB（t，ut，Yt）-αv（θtσS（t，Yt））+（θt）cB（t，ut，Yt）+dB（t，ut，Yt）,而过程MU，θ={MU，θt，t∈ [0，T]}定义为asMU，θT：=中兴通讯-αXθu+UGuγu- αθuσS（u，Yu）dWu+中兴通讯-αXθu+UGuγu- αθucB（u，uu，Yu）dWu+中兴通讯-αXθu+UGuγu- αθudB（u，uu，Yu）dWu+中兴通讯-αXθu+UGu（eγu- 1） dMτu，（4.6）对于每t∈ [0，T]，它是一个（eG，P）-局部鞅。让我们观察一下，对于任何θ∈ A（eG）、f（t、γteUGt）-, γteUGt-, γteUGt-, eUGt-)=ess supθ∈A（eG）fα（t，γteUGt-, γteUGt-, γteUGt-, eUGt-, θt，θt）≥ fα（t，γteUGt-, γteUGt-, γteUGt-, eUGt-, θt，θt）。因此，dAθt：=e-αXθtnf（t，γteUGt-, γteUGt-, γteUGt-, eUGt-) - fα（t，γteUGt-, γteUGt-, γteUGt-, eUGt-, θt，θt）是一个递增过程，通过（4.5），我们得到-αXθt+UGt=e-αx+UG+MU，θt+At，t∈ [0，T]。（4.7）由于UGis有界且MU，在（4.6）中给出的θ是（eG，P）-局部鞅，通过{τn}局部化序列表示，并使用（4.7），我们得到AθT∧τn≤ CEhe公司-αXθT∧τni+1,对于某些正常数C。

最后，由于族（3.3）是P-一致可积的，我们得到了EAθT< ∞ 对于每个θ，MU，θ是一个（例如，P）-鞅∈ A（例如）。因此{e-αXθt+UGt，t∈在部分信息17[0，T]}下，通过BSDES对任何θ进行无差异定价∈\'A（eG），是（eG，P）-子鞅，根据命题4.1，我们得到VGt≥ eUGt，每t∈ [0，T]，每年。。根据Doléans Dade公式Z、 （eγs- 1） dMτst=eRtγsdMτs-Rt（eγs-1.-γs）（1-Hs）πs（λ）ds，andeUGt-UG=EZ。（eγs- 1） dMτs+Z.Xi=1γisdWis！特尔特uS（S，Ys）σS（S，Ys）+γSdseRt（uB（s，us，Ys））+（cB（s，us，Ys）γs+dB（s，us，Ys）γs）cB（s，us，Ys）+dB（s，us，Ys）ds。（4.8）然后，随机指数线R、 （eγs- 1） dMτs+R.Pi=1γisdWist、 t型∈ 自UGis有界以来，[0，T]是a（eG，P）有界鞅。最后，如果θ*∈ 一个（例如）得到{e-αXθ*t+UGt，t∈ [0，T]}是一个（eG，P）-鞅。因此，再次通过命题4.1，我们得到VGt=Eugt和θ*是一个n最优控制。提案4.3。策略θ*= (θ1,*t、 θ2，*t）定义（4.3）-（4.4）满足定义3.1的可积性条件（3.1）和（3.2）。此外，如果函数uS（t，y）σS（t，y）和uB（t，u，y）p（cB（t，u，y））+（dB（t，u，y））是有界的，则定义3.1中的族（3.3）是p-uniforml y integrable和θ*∈ A（例如）。证据在证明的第一部分，我们证明了ZT(θ1,*tσS（t，Yt））+（θ2，*t） （cB（t，ut，Yt）+dB（t，ut，Yt））dt<∞, P- a、 s。。通过假设2.9，我们得到Rt（θ1，*sσs（s，Ys））ds<∞, P-a.s.，自γ起∈ L（W；eG）和zt（θ2，*s）cB（s，us，Ys）+dB（s，us，Ys）ds公司≤αZTuB（s，us，Ys）+cB（s，us，Ys）γs+dB（s，us，Ys）γscB（s，us，Ys）+dB（s，us，Ys）！ds公司≤αZTuB（s，us，Ys）ds+ZTcB（s，us，Ys）cB（s，us，Ys）+dB（s，us，Ys）（γs）ds+ZTdB（s，us，Ys）cB（s，us，Ys）+dB（s，us，Ys）（γs）ds≤αZTuB（s，us，Ys）ds+ZT（γs）ds+ZT（γs）ds< ∞, P- a、 s，18 C.CECI，K.COLANERI和a.Cretarola，其中自γ，γ以来的最后一个不等式成立∈ L（W；eG）。

此外，由于假设2.9和γ，γ，γ∈ L（W；eG），很容易检查可积条件rt{|θ1，*tuS（t，Yt）|+|θ2，*tuB（t，ut，Yt）|}dt<∞, P-a.s.对声明的第二部分感到满意，通过直接计算，我们得到-αXθ*t=e-αxe-（UGt-UG）EZ。（eγs- 1） dMτs-Z、 Xi=1ΓisdWis！t、 对于所有t∈ [0，T]，其中我们设置ΓT=uS（T，Yt）σS（T，Yt），ΓT=uB（T，uT，Yt）cB（T，uT，Yt）（cB（T，uT，Yt））+（dB（T，uT，Yt））+dB（T，uT，Yt）（cB（T，uT，Yt）γT- dB（t，ut，Yt）γt）（cB（t，ut，Yt）+（dB（t，ut，Yt）），Γt=uB（t，ut，Yt）dB（t，ut，Yt）（cB（t，ut，Yt））+（dB（t，ut，Yt））+cB（t，ut，Yt）（dB（t，ut，Yt）γt- cB（t，ut，Yt）γt）（cB（t，ut，Yt））+（dB（t，ut，Yt））。假设uS（t，y）σS（t，y）和uB（t，u，y）p（cB（t，u，y））+（dB（t，u，y））有界。通过mula的Doléans Dade，我们获得了thatEZ。（eγs- 1） dMτs-Z、 Xi=1ΓisdWis！t=EZ、 （eγs- 1） dMτstE公司-Z、 ΓsdWstE公司-Z、 ΓsdWs-Z、 ΓsdWst、 （4.9）方程（4.9）右侧的前两个随机指数是一致可积（例如，P）-鞅。我们现在证明了第三个随机指数也是一个统一整数（eG，P）-鞅。LetfWi，i=1，2是dfWs=cB（s，us，Ys）pcB（s，us，Ys）+dB（s，us，Ys）dWs+dB（s，us，Ys）pcB（s，us，Ys）+dB（s，us，Ys）dWs，dfWs给出的（例如，P）-布朗运动=-dB（s，us，Ys）pcB（s，us，Ys）+dB（s，us，Ys）dWs+cB（s，us，Ys）pcB（s，us，Ys）+dB（s，us，Ys）dWs。部分信息下基于BSDES的无差异定价-Z、 ΓsdWs-Z、 ΓsdWst=E-Z、 uB（s，us，Ys）pcB（s，us，Ys）+dB（s，us，Ys）dfWs！t×eRtdB（s，us，Ys）cB（s，us，Ys）cB（s，us，Ys）+dB（s，us，Ys）γsγsds×E-Z、 γsdB（s，us，Ys）pcB（s，us，Ys）+dB（s，us，Ys）dfWs！t×EZ。γscB（s，us，Ys）pcB（s，us，Ys）+dB（s，us，Ys）dfWs！t、 （4.10）等式（4.10）右侧的随机指数是（例如，P）-一致可积鞅。

此外，通过等式（4.8）和sinceeRtdB（s，us，Ys）cB（s，us，Ys）cB（s，us，Ys）+dB（s，us，Ys）γsγsds≤ eRt（cB（s，us，Ys）γs+dB（s，us，Ys）γs）cB（s，us，Ys）+dB（s，us，Ys）ds≤ eUGt-乌格斯。（eγs- 1） dMτs+Z.Xi=1γisdWis！-1t，我们有那个“sups”∈[0，T]eRtdB（s，us，Ys）cB（s，us，Ys）cB（s，us，Ys）+dB（s，us，Ys）γsγsds#<∞,这就是证明。根据定理4.2，提供BSDE（4.2）解的存在性和唯一性至关重要。因此，我们通过讨论示例2.5和2.6来结束本节，对于示例2.5和2.6，BSDEH是一种更简单的形式，可以通过应用文献中的已知结果来导出解的存在性和唯一性，请参见，例如[4，定理3.5]和[23，定理11.1.1]。首先，我们研究了示例2.5的设置，其中风险资产价格过程和长期债券价格过程不受随机因素Y的影响。在这种情况下，方程式（4.2）ReduceTougt=αGT-ZTtXi=1γisdWis-ZTtγsdMτs-ZTth（s，γs，γs，γs）ds，（4.11），其中h（t，γ，γ，γ）=-（eγ- γ- 1)(1 -Ht）πt（λ）+(uS（t）σS（t）+uB（t，ut）cB（t，ut）+ 2uS（t）σS（t）γ+2uB（t，ut）cB（t，ut）γ）。20 C.CECI、K.COLANERI和A.CRETAROLAHere，在假设函数uS（t，y）σS（t，y）和uB（t，u）cB（t，u）有界的情况下，解（UG，γ，γ，γ）的存在性和唯一性∈ L（W；eG），i=1，2，γ∈ L（Mτ）在Becher[4，定理4.1]中得到了证明。具体来说，根据定理4.2和命题4.3，我们得到θ*= (θ1,*t、 θ2，*t）=uS（t）ασS（t）+γtασS（t），uB（t，ut）αcB（t，ut）+γtαcB（t，ut）,每t∈ [0，T]属于A（eG），是一种最优投资策略。请注意，要求函数uS（t，y）σS（t，y）和uB（t，u）cB（t，u）有界对应于有界的风险市场价格。其次，我们在示例2.6的框架中研究了最优值和最优策略。

这里，对数值过程是BSDEUGt=αGT的解-ZTtγsdWs-ZTtγsdWs-ZTtγsdMτs-ZTteh（s，γs，γs，γs）ds，其中eh（t，γ，γ，γ）=-（eγ- γ- 1)(1 -Ht）πt（λ）+(uS（t，Yt）σS（t，Yt）+uB（t，Yt）dB（t，Yt）+ 2uS（t，Yt）σS（t，Yt）γ+2uB（t，Yt）cB（t，Yt）γ）和最优策略θ*= (θ1,*t、 θ2，*t）∈ A（eG）是θ1，*t=uS（t，Yt）ασS（t，Yt）+γtασS（t，Yt），t∈ [0，T]，θ2，*t=uB（t，Yt）αdB（t，Yt）+γtαdB（t，Yt），t∈ [0，T]。在假设风险的市场价格uSσ和uBdBare有界的情况下，我们仍然存在解（UG，γ，γ）的存在唯一性，其中UGbounded，γi∈ L（W；eG），i=1，3，γ∈ L（Mτ）。4.2. 纯粹的投资问题。首先，请注意，问题3.5对应于问题3.2的特殊情况，选择GT=0和EF给出的可用信息级别。因此，我们通过应用与前一小节中给出的技术类似的技术来解决问题3.5，并根据另一个BSDE的解决方案来描述log值过程日志和最优投资策略，在这种情况下，BSDE具有二次驱动力。部分信息21定理4.4下通过BSDES的无差异定价。Let（U，φ，φ，φ），带Ubounded，φi∈ L（W；eF），i=1，2，3，是BSDEUt=-ZTtXi=1φisdWis-ZTtef（s，φs，φs，φs）ds，（4.12），其中ef（t，ψ，ψ，ψ）=-(ψ)+ (ψ)+ (ψ)+uS（t，Yt）σS（t，Yt）+ψ+uB（t，ut，Yt）+cB（t，ut，Yt）ψ+dB（t，ut，Yt）ψ（cB（t，ut，Yt））+（dB（t，ut，Yt））。（4.13）然后，Vt≥ eUt，每t∈ [0，T]，P-a.s.和（EZ.Xi=1φisdWis！T，T∈ [0，T]）是有界（例如，P）-鞅。

此外，i fθ*= (θ1,*t、 θ2，*t）∈ A（eF），带θ1，*t=uS（t，Yt）ασS（t，Yt）+φtασS（t，Yt），θ2，*t=uB（t，ut，Yt）+cB（t，ut，Yt）φt+dB（t，ut，Yt）φtα[（cB（t，ut，Yt））+（dB（t，ut，Yt））]，对于每t∈ [0，T]，然后Vt=EUT和θ*是一种最佳策略。证明遵循与定理4.2相同的路线。类似于命题4。3，在假定函数uS（t，y）σS（t，y）和uB（t，u，y）p（cB（t，u，y））+（dB（t，u，y））是未知的情况下，我们得到*= (θ1,*t、 θ2，*t）∈ A（eF）。我们还观察到，方程（4.12）是由（4.13）给出的具有二次生成器的BSDE。在这种情况下，解的存在性和唯一性在Zhang【42，定理7.3.3】中给出，而BSDE（4.2）解的存在性和唯一性将在下一节中研究。5、纯禀赋的无差别价格我们记得，与投资问题相对应的价值过程V和V，无论有无导数，都与所有T>T>τ一致。这反过来又意味着，为了计算（3.6）中给出的差异价格，我们只需要研究BSDE（4.2）在随机变量J0，τ上的解∧T K.由于GT=ξ1{τ>T}，参见定义2.7，这对应于考虑以下随机时间hor izonUGt=αξ1{τ>T}的BSDE-ZT公司∧τt∧τXi=1γisdWis-ZT公司∧τt∧τγsdMτs-ZT公司∧τt∧τef（s，γs，γs，γs，γs）ds，（5.1）22 C.CECI，K.COLANERI，和A.Cretarola，对于每个t∈ [0，T]，相当于随机时间间隔J0，τ上的方程（4.2）∧T K.根据Kharroubi等人【32，定理4.3】和Jeanblanc等人【31，命题4.1】，Weintroduced a BSDE in the Brownian filtrationef，stopped atτ，and building a equivalence resulttwith the BSDE（5.1）的解在下面的引理5.1中给出。我们记得在时间间隔{t<τ∧ T}过程π（λ）与（2.12）给出的f适应过程bπ（λ）一致。引理5.1。

Let（bU，bγ，bγ，bγ），其中b是自适应和有界的，a和bγi∈ L（W；eF），i=1，2，3，是BSF=αξ的解-ZTtXi=1bγisdWis-ZTt公司uS（S，Ys）σS（S，Ys）+uS（S，Ys）σS（S，Ys）bγS！ds公司-ZTt（uB（s，us，Ys））+uB（s，us，Ys）cB（s，us，Ys）bγs+dB（s，us，Ys）bγscB（s，us，Ys）+dB（s，us，Ys）ds，+ZTte-公共汽车- 1.bπs（λ）+（dB（s，us，Ys）bγs- cB（s，us，Ys）bγs）2[cB（s，us，Ys）+dB（s，us，Ys）]每t的ds（5.2）∈ [0，T]，其中bπ（λ）是gi-venby（2.1 2）。然后，（UG，γ，γ，γ，γ）定义为asUGt=但{t<τ}，γit=bγit{t<τ}，i=1，2，3γt=-但是-{t≤τ} ，是BS DE（5.1）的溶液，其中γi∈ L（W；eG），i=1，2，3，UGiseG适应并有界，和γ∈ L（Mτ）。证据为了得到结果，我们将It^oproduct规则t应用于UGt=bUt{t<τ}=bUt（1-Ht）和观察UGT∧τ=αξ1{τ>T}。通过引理5.1，很明显，BSDE（5.1）解的存在性和唯一性源自方程（5.2）解的存在性和唯一性，这是一个二次指数BSDE，仅由布朗运动驱动。使用此参数，我们得到以下结果。提案5.2。假设函数uS（t，y）σS（t，y）和uB（t，u，y）p（cB（t，u，y））+（dB（t，u，y））有界。然后，当γi∈L（W；eG），i=1，2，3，UGiseG适应并有界，γ∈ L（Mτ），使得ztxi=1γ等于Zt（eγs- 1） dMτ是BMO（eG）-鞅。证据解（bU，bγ，bγ，bγ）的存在唯一性∈ L（W；eF）有界，且bγi∈ L（W；eF），i=1，2，3，到等式（5.2），与Jeanblanc et a L的证明中使用的相同参数[31，定理4.1]。准确地说，根据附录C中的引理C.1和部分信息23λ下通过BSDE的差价定价的有界性，Jeanblanc等人【31，第2.2节】中的假设（H1）和（H2）成立。

此外，驱动程序的格式为（e-u- 1） bπ（λ）- bg（t，bγ，bγ，bγ），其中g是从[0，t]×R×R到R定义的asg（t，bγ，bγ）=（dB（t，ut，Yt）bγ的映射- cB（t，ut，Yt）bγ）2[cB（t，ut，Yt）+dB（t，ut，Yt）]+uS（t，Yt）σS（t，Yt）+uS（t，Yt）σS（t，Yt）bγ+（ub（t，ut，Yt））+ub（t，ut，Yt）cB（t，ut，Yt）bγ+dB（t，ut，Yt）bγtcB（t，ut，Yt）+dB（t，ut，Yt）。对于每个（bγ，bγ，bγ）∈ R×R×R，g（·，bγ，bγ，bγ）iseF可逐步测量。对于每t，也很容易检查（bγ，bγ，bγ）=（0，0，0），g（t，0，0，0）=0∈ [0，T]，并且g是关于bγ、bγ和bγ的Lipschitz，这意味着假设4。1 Jeanblanc等人【31】持有。然后，通过引理5.1，我们得到了BSDE（5.1）解的存在性，Jeanblanc等人[31，引理4.1]得出了唯一性。最后，通过收集结果，我们对（2.7）中介绍的纯禀赋的差异价格过程进行了以下描述。提案5.3。假设函数uS（t，y）σS（t，y）和uB（t，u，y）p（cB（t，u，y））+（dB（t，u，y））有界。让Ube为方程（4.12）的唯一有界andeF自适应解，letbU为方程（5.2）的唯一有界andeF自适应解。然后，纯捐赠的间接价格pα由pαt=α给出但是- 美国犹他州{τ>t}t∈ [0，T]。5.1. 示例2.5市场模型中的差异价格和效用差异策略。在本段中，我们考虑示例2.5的设置。我们记得，风险资产价格过程和长寿债券价格过程的动力学分别由DST=St描述uS（t）dt+σS（t）dWt, S=S∈ R+，dSt=StuB（t，ut）dt+cB（t，ut）dWt, S=S∈ R+和过程u遵循方程式（2.2）。这里，过滤系数对应于布朗运动的自然过滤。

我们旨在为纯捐赠政策的差别价格提供更明确的表示，在这种特殊情况下，其支付由（2.7）给出。我们还假设函数uS（t，y）σS（t，y）和uB（t，u）cB（t，u）是有界的。24 C.CECI、K.COLANERI和A.CRETAROLAWe定义了一个相当于P ONegt的概率度量，使得过程W={Wt，t∈[0，T]}，W={Wt，T∈ [0，T]}由Wt：=Wt+ZtuS（u）σS（u）du给出，Wt：=Wt+ZtuB（u，uu）cB（u，uu）du，对于每T∈ [0，T]是（eG，P）-布朗运动，（eG，P）-morta强度仍然由π（λ）（1）给出-H） 。请注意，特别是在Wand Ware（eF，P）中，布朗运动和P ONEFT限制代表了货币市场账户、股票和长寿债券给出的完整初级金融保险市场上的唯一鞅测度。现在，回想一下日志值过程ugsolved等式（4.11）。然后，根据我们得到的UGI是以下BSDEUGt=αGT的解-ZTtXi=1γisdWis-ZTtγsdMτs-ZTth（s，γs）ds，每t∈ [0，T]，其中函数h（T，γ）由h（T，γ）=-（eγ- γ- 1)(1 -Ht）πt（λ）+uS（t）σS（t）+uB（t，ut）cB（t，ut）.正如引理5.1中所述，我们可以通过引入processbU来限制布朗过滤，processbU满足以下bs处子秀=αξ-ZTtXi=1bγisdWis-ZTt“uS（S）σS（S）+uB（s，us）cB（s，us）#ds+ZTte-公共汽车- 1.bπs（λ）ds，（5.3）对于每t∈ [0，T]。此外，纯投资案例中的对数值过程Usatis FIESUT=-ZTtXi=1φisdWis-ZTt“uS（S）σS（S）+uB（s，us）cB（s，us）#ds，（5.4）每t∈ [0，T]然后由ut=-EP“ZTt”uS（S）σS（S）+uB（s，us）cB（s，us）#ds公司eFt#，其中Ep表示对toP的期望。提案5.4。