部分条件下基于BSDE的纯禀赋无差异定价

相关的F危险过程由NRTλ（s，us，Zs）ds，t给出∈ [0，T]o.注意，通过对Θ的P独立性假设和Tλ（s，us，Zs）ds的Ft可测性，我们得到P（τ>T | Ft）=PZtλ（s，us，Zs）ds<Θ英尺= e-Rtλ（s，us，Zs）ds，t∈ [0，T]，以及剩余寿命τholdsP（τ≤ t | Ft）=P（τ≤ t | FT），t∈ [0，T]，例如，参见Bielecki和Rutkowski[6，第8.2.1节]。备注2.4。直觉上很清楚，一般来说，被保险人的死亡率λ与其年龄组的死亡率u不同。在我们的模型中，λ是u的函数，因为我们将其作为不可观测的过程z。可能的选择是λ（t，ut，Zt）=ut∧（Zt），t∈ [0，T]，其中∧（Zt）是每个T的环境因子Zt的严格正函数，意味着当∧（z）<1时，投保人的风险小于参考人群的风险，如果∧（z）>1，则风险更大。由于随机时间τ不是过滤F的停止时间，我们引入了一个使τ成为停止时间的大过滤。首先，我们确定死亡指标过程h={Ht，t∈ [0，T]}与τa s followsHt相关：=1{τ≤t} ，t∈ [0，T]，部分信息7下通过BSDES的无差异定价，并设置FHt：=σ{Hu，0≤ u≤ t} ，每t∈ [0，T]。设G={Gt，t∈ [0，T]}是GT给出的放大过滤：=Ft∨ FHt，t∈ [0，T]。那么，G是包含F的最小过滤，因此τ是G停止时间。过滤扮演着市场完整信息的角色：它包含关于保险和市场订单的所有知识。作为剩余寿命τ的正则构造的直接结果，我们得到，过滤F和G之间所谓的鞅e不变性性质成立，即每个（F，P）（局部）鞅也是（G，P）-（局部）鞅，参见Brémaud和Yor【11】。

此外，该过程{Ht-Rt公司∧τλ（s，us，Zs）ds，t∈ [0，T]}是一个（G，P）-鞅，τ是一个完全不可接近的停止时间。2.2. 综合金融保险市场模型。我们在过滤概率空间上定义了一个组合金融保险市场(Ohm, G、 G，P），G=GT，其中可交易证券由无风险资产、风险资产和长期债券给出。我们假设无风险资产的价格过程在任何时候都等于1，并且风险资产具有折扣价格过程S={St，t∈ [0，T]}由以下几何微分得出，系数由经济和环境因素YdSt=St影响uS（t，Yt）dt+σS（t，Yt）dWt, S=S∈ R+。（2.5）长寿债券具有贴现价格过程S={St，t∈ [0，T]}满足以下随机微分方程，系数取决于等效年龄组死亡率强度u和

我们考虑一级市场独立于可观测因子Y的情况。这意味着，如例2.2所述的死亡率强度ui以及风险资产和寿命债券的动态分别由8 C.CECI、K.COLANERI和A.CRETAROLAdSt=StuS（t）dt+σS（t）dWt, S=S∈ R+，dSt=StuB（t，ut）dt+cB（t，ut）dWt, S=S∈ R+。可以看到，在这种情况下，初级市场是完整的。示例2.6。现在，我们考虑一个市场模型，其中死亡率强度u作为样本2.3给出。在这种情况下，风险资产的价格动态如方程式（2.5）所示，长期债券的价格遵循DST=StuB（t，Yt）dt+dB（t，Yt）dWt, S=S∈ R+。我们注意到，尽管风险资产和长期债券价格动力之间仍然存在相互依赖关系，但初级金融保险市场是完整的。我们假设保险公司发行一份与单位挂钩的人寿保险单。这是投保人和保险公司之间的长期保险合同，保险公司的资产与金融资产挂钩。特别是，我们考虑到期日为T年的纯捐赠合同，其定义如下。定义2.7。到期日为T的纯养老合同是一种人寿保险单，如果被保险人仍然活着，则在T时支付被保险人的总金额。相关最终值由随机变量gt给出：=ξ1{τ>T}，（2.7），其中ξ∈ L（eFT，P）表示到期日为T的欧式或有权益的支付。从现在起，我们对保单的支付做出以下有界假设。假设2.8。（2.7）中的随机变量ξ是有界的，即ξ≤ k P公司- a、 k为正常数。例如，这种类型的合同是具有封顶收益的单位关联保单，对于某些有界KT>0，其收益由ξ=min{ST，KT}给出。

在本合同中，保险公司要求设定受益金额上限，以将风险敞口限制在标的资产价格大幅上涨的范围内。另一个例子是带有封顶福利的保单和担保，其中在T时应付的福利由ξ=min{max{ST，GT}，KT}规定，KT>GT>0。在这种情况下，被保险人的下行风险和上行潜力都有限，保险公司也面临着有限的财务风险。在本文的其余部分中，我们在以下可积条件下工作。根据部分信息9假设2.9，通过BSDES进行无差异定价。我们假设函数λ（t，u，z）>0是有界且连续的w.r.t.z∈ Z和thatZTuS（t，Yt）+σS（t，Yt）dt<∞, P- a、 s.，ZTuB（t，ut，Yt）+cB（t，ut，Yt）+dB（t，ut，Yt）dt<∞ , P- a、 s.，ZT(uS（t，Yt）σS（t，Yt）+uB（t，ut，Yt）cB（t，ut，Yt）+dB（t，ut，Yt））dt<∞, P- a、 s。。注意，贴现资产价格过程是连续的（F，P）-半鞅和（G，P）-半鞅。因此，基本金融保险市场模型是无风险的。2.3. 可用信息和过滤。我们假设保险公司观察市场上谈判的资产价格，以及被保险人的死亡时间τ，但它没有关于死亡强度λ的完整信息，死亡强度λ取决于Z。因此，保险公司可用的信息由eg={eGt，t给出∈ [0，T]}其中egt：=eFt∨ FHt，t∈ [0，T]，（2.8），其中EF在（2.1）中定义。不是那样的 G=F∨FH=eF∨ FZ公司∨ FH，我们将toeG作为保险公司的可用信息。我们假设所有过滤都满足完整性和正确连续性的通常假设。死亡过程H相对于信息流的强度可以通过过滤方法来表征。

用LZ表示Z的马尔可夫发生器，用D表示 Cb（Z）生成器的域，即对于每个函数f∈ D Cb（Z）f（Zt）=f（Z）+ZtLZf（Zs）ds+MZt，t∈ [0，T]，（2.9）对于某些（FZ，P）-鞅MZ={MZt，T∈ [0，T]}，带z∈ Z、 在本文的其余部分中，我们假设以下条件成立。假设2.10。（i） 任意初值z的算子LZ鞅问题∈ Z、 在cádlág轨迹空间上适定，Z，DZ[0，T]中的值；（二）LZf∈ Cb（Z）表示任何f∈ D（iii）D是Cb（Z）中的稠密代数。10 C.CECI、K.COLANERI和A.CRETAROLAWe通过设置πt（f）：=Ehf（Zt）来定义过滤过程eGti，t∈ [0，T]，对于每个可测函数f，E[| f（Zt）|]<∞ , 对于每个t∈ [0，T]。众所周知，π（f）是一个具有cádlág轨迹的概率测度值过程（见Kurtz和Ocone[33]），它提供了给定信息流的Z的条件定律。然后，H的EG可预测强度由（1）给出- Ht公司-)πt-（λ） ，t∈ [0，T]，（2.10），其中πT-表示πtandπt（λ）的左边版本是πt（λ（t，ut，·））的缩写。这意味着补偿过程Mτ={Mτt，t∈ [0，T]}定义的asMτT：=Ht-Zt公司∧τπs-（λ） ds=Ht-Zt（1- Hs公司-)πs-（λ） ds，t∈ [0，T]，（2.11）证明是a（eG，P）-鞅。众所周知，只有在少数情况下（例如，线性高斯情况），才能定义滤波器的精确计算，通常必须采用数值近似来求解滤波方程。然而，在我们的环境中，我们可以通过给出以下代表来明确描述过滤器的特性（证据在附录A中详细讨论）。提案2.11。滤波器π={πt，t∈ {T<T上的[0，T]}coinc i des∧ τ} theeF自适应过程bπ={bπt，t∈ [0，T]}bπT（f）（ω）=Ehf（Zt）e-Rtλ（s，us（ω），Zs）dsiEhe-Rtλ（s，us（ω），Zs）dsi。

（2.12）此外，对于t=τ<t，πτ（f）=bπτ-（λf）bπτ-（λ） ，对于τ<t≤ T，πT（f）：=Eτ，πτ[f（Zt）]，其中Eτ，πτ表示给定Z定律的条件期望，时间τ等于πτ。3、定价问题本文的目标是在部分可观察的环境下，对纯捐赠政策进行定价，其中保险公司无法获得过滤G提供的全部信息。特别是，不允许保险公司观察随机因素Z的演变，因此，这意味着其决策基于观察过滤EG。此外，我们还记得，我们的总体设置考虑了金融和保险框架之间可能存在的相互依赖关系，这是处理死亡率衍生品时的一个可取特征。事实上，如今人们普遍认为，从长期来看，部分信息11人口变化下通过BSDE进行的无差别定价可能会影响经济，反之亦然。之前，Ceci等人[18，19]根据部分信息研究了与单位挂钩的人寿保险合同，其目标是通过局部风险最小化来解决不完全市场中的套期保值问题。确切地说，inCeci等人[18]假设了金融市场和保险组合之间的独立性，而在Ceci等人[19]中，作者考虑了更一般的情况，即允许金融和保险环境之间的相互依赖。由于死亡率事件通常不可对冲，保险金融市场模型通常不完整。这意味着保险合同可能具有不同的风险中性价格。

可用于计算公平价格的标准之一对应于通过特定的效用函数确定保险公司对风险的偏好，并最大化其是否持有保险索赔的预期效用。换言之，描述效用差异价格，即使保险公司在不出售保单和现在以p价出售保单以及在到期时支付福利之间存在差异的价格p。在本文中，我们遵循效用差异定价法，假设保险公司被赋予指数效用函数，公式（x）=-e-αx，x∈ R、 其中α>0是一个给定常数，表示绝对风险规避系数。文献中经常假设这种形式的效用函数，并允许更明确地计算价格。假设保险公司拥有初始财富x，并按照自我融资策略将该金额投资于货币市场账户、风险资产和长寿债券。集合S=（S，S）设θ=（θ，θ）= {（θt，θt）, t型∈ [0，T]}分别是投资于风险资产和寿命资产的财富金额。获得初始财富x∈ R+portfoliovalue Xθ={Xθt，t∈ [0，T]}满足度dxθT=θtdStSt公司=θtuS（t，Yt）+θtuB（t，ut，Yt）dt+θtσS（t，Yt）dWt+θtcB（t，ut，Yt）dWt+dB（t，ut，Yt）dWt,Xθ=X时∈ R+。在出售保险合同的情况下，其可支配的信息由（2.8）中定义的公司提供，而在纯投资的情况下，由（2.1）中定义的公司提供。可接受的策略集定义如下。定义3.1。

可接受策略是一种自我定义的投资组合，由一个F可预测（或eve neG可预测），R值过程θ=（θ，θ）确定以至于ZtnθtσS（t，Yt）+ |θtuS（t，Yt）| odt<∞, P- a、 s.，（3.1）ZT（θt）cB（t，ut，Yt）+dB（t，ut，Yt）+ |θtuB（t，ut，Yt）|dt<∞, P- a、 s.（3.2）12 C.CECI、K.COLANERI和a.Cretarola以及{e-αXθη，对于alleF- 停车次数η≤ T}（oreG- 停止时间）（3.3）是P-一致可积的。我们分别用A（eF）和A（eG）这两组可接受的eF可预测和eG可预测策略来描述差异价格。为了刻画差异价格，我们引入了有无保险衍生产品的最优投资问题。首先，支持在时间t，保险公司出售一份纯养老合同，支付方式为（2.7）。那么，保险公司的目标如下。问题3.2。最大化其终端财富的预期效用，即solvesupθ∈A（eG）Eh-e-α（XθT-GT）i.对于每个（t，x）∈ [0，T]×R+，动态框架中的值过程由evt（x）：=ess infθ给出∈At（eG）Ehe-α（x+RTtθ乌德苏-燃气轮机）eGti=e-αxVGt，其中At（eG）表示区间[t，t]上的可容许eG可预测控制类，且过程VG={VGt，t∈ [0，T]}由vgt给出：=ess infθ∈At（eG）Ehe-α（RTtθ乌德苏-燃气轮机）eGti，t∈ [0，T]。（3.4）因此，问题3.2可以用过程VGsupθ来写∈A（eG）Eh-e-α（XθT-GT）i=-e-αxVG。备注3.3。S i nceθ=（θ，θ）= (0, 0)是一个可接受的策略，对于每个t∈ [0，T]，VGt≤ EheαGT | eGtiP-a.s.，这意味着通过假设2.8，VGt≤ eαk，P- a、 每个都是s∈ [0，T]。显然，VGt≥ 0 P-a.s.，如果存在最优策略，则VGt>0 P-a.s。。备注3.4。

我们在此指出，由于GT=ξ1{τ>T}，死亡率强度λ（T，uT，Zt-)(1 - Ht公司-) 保险公司无法观察到，我们正在部分信息框架中处理效用最大化问题。其想法是考虑在完全信息下的等效控制问题，其中τ的不可观测强度由其过滤估计值代替，见（2.10）。现在，我们考虑这样一种情况，即保险公司只是将其财富投资于市场，而没有编写保险衍生品。然后，目标如下。问题3.5。最大化其终端财富的预期效用，即solvesupθ∈A（eF）Eh-e-αXθTi。部分信息下通过BSDES的无差异定价13每（t，x）∈ [0，T]×R+，关联值过程由evt（x）：=ess infθ给出∈At（eF）Ehe-α（x+RTtθ乌德苏）eFti=e-αxVt，其中At（eF）是区间[t，t]上的可容许eF可预测控制集，V={Vt，t∈[0，T]}定义为VT：=ess infθ∈At（eF）Ehe-αRTtθ乌德苏eFtit公司∈ [0，T]。（3.5）定义3.6。与纯捐赠合同相关的保险公司的公用事业差异价格或保留价格pα在任何时候确定∈ [0，T]eVt（x+pαT）=eVt（x）方程的自适应过程隐式解。这意味着，从时间t开始，保险公司在时间t的pαt出售保险产品，并在不写合同的情况下单独在（t，t）上交易，从而获得最大的可用性。如果VGt>0且Vt>0，则p-a.s.，对于每t∈ [0，T]，我们得到pα不依赖于初始资本x，它由pαT给出：=αlogVGtVt, t型∈ [0，T]。注意，由于如果τ<T，则GT=0，因此vgt{τ≤t} =Vt{τ≤t} t型∈ [0，T]。因此，差异价格pα由pαt=α决定日志（VGt）- 日志（Vt）{τ>t}t∈ [0，T]，（3.6）假设{τ>T}上的VGt，Vt>0。4.

通过BSDE的优化问题本节的目标是通过使用基于BSDE的方法，动态描述（3.4）和（3.5）中分别给出的值过程VGand V，并对应于有无保险导数的随机控制问题。BSDE方法适用于非马尔可夫环境，其中基于Hamilton-Ja-cobiBellman方程的经典随机控制方法不适用。有几篇论文（见El Karoui等人【26】、Ceci和Gerardi【17】、Lim和Quenez【36】以及其中的参考文献）通过BSDE处理金融中的随机优化问题。此外，这种方法也非常适合解决在有限维滤波过程存在的部分信息下的随机控制问题，这就是我们论文中的情况，参见例如Ceci【15，14】，Papanicolaou【41】，其中部分观察到的电力效用最大化问题通过应用这种方法得到解决。14 C.CECI、K.COLANERI和A.Cretarola首先，我们定义了一些在续集中使用的空间t：oL（W；eG）（分别为Lloc（W；eG））是R-valuedeG-可预测过程u={ut，t∈ [0，T]}这样ZT | us | ds< ∞分别为ZT | us | ds<∞ P-a、 s。. （4.1）此外，L（W；eF）（分别为Lloc（W；eF））是R-valuedeF-可预测过程集su={ut，t∈ [0，T]}满足（4.1）。oLp（Mτ）（分别为Lploc（Mτ）），对于p=1，2是所有R-valuedeG-可预测过程η={ηt，t的集合∈ [0，T]}这样ZT |ηs | p（1- Hs）πs（λ）ds< ∞分别为zt |ηs | p（1- Hs）πs（λ）ds<∞, P- a、 s。.4.1. 人寿保险责任的问题。我们的首要目标是对价值过程进行分类（3.4）。以下命题是一般验证结果。提案4.1。