部分条件下基于BSDE的纯禀赋无差异定价

在集合{t<τ<t}上，滤波器求解由πt（f）=f（z）+Zt给出的非线性方程πs（LZf）ds-πs（λf）+πs（λ）πs（f）ds，在时间τ<T时，我们得到πτ（f）=πτ-（f） +πτ-（λf）- πτ-(λ)πτ-（f） πτ-(λ)=πτ-（λf）πτ-(λ).最后，在跳跃之后，即在集合{τ<t上≤ T}，滤波方程是线性的，形式为πT（f）=πτ（f）+Ztτπs（LZf）ds。为了获得滤波器的显式表达式，我们采用了适当的概率测量变化，从而可以获得非正规滤波器的线性方程，在文献中称为Zakai方程。为此，我们引入了过程L={Lt，t∈ [0，T]}byLt：=EZ·1- λ（s，us，Zs-)λ（s，us，Zs-){国土安全部- (1 - Hs公司-)λ（s，us，Zs-)ds}t、 （A.3）对于每t∈ [0，T]，其中E表示Doléans-Dade指数。我们假设L是（G，P）-鞅。例如，条件就暗示了这一点eRT（1-λ（s，us，Zs））λ（s，us，Zs）（1-Hs）ds< ∞,特别是，如果函数λ（t，u，z）从下到上有界，则满足。然后，我们确定概率度量Q等价于P bydQdPGt：=Lt，对于每t∈ [0，T]。根据Girsanov定理，我们得到Ht公司-Zt（1- Hs公司-)ds，t∈ [0，T]是（G，Q）-鞅，且过程{1- Ht公司-, t型∈ [0，T]}提供了H的（G，Q）-可预测强度。我们引入了非正规化滤波器，即有限测度值过程ρ={ρT，T∈ [0，T]}由ρT（f）给出：=EQhL-1tf（Zt）Gti，t∈ [0，T]，对于每个有界可测函数f。通过应用K allianpur Striebel f公式，我们得到πt（f）=Ehf（Zt）eGti=ρt（f）ρt（1），t∈ [0，T]，对于每个有界可测函数f（z），其中ρT（1）：=EQhL-1吨Gti。

通过观察H的（eG，P）-密度是在部分信息33{（1）下通过BSDES的无差异定价给出的，可以很容易地计算过程ρ（1）的动力学- Ht公司-)πt-（λ） ，t∈ H的（eG，Q）-强度为{1- Ht公司-, t型∈ [0，T]}，那么我们得到ρ（1）是一个指数鞅，满足以下随机微分方程dρT（1）=ρT-（1） （πt-(λ) - 1） （dHt- (1 -Ht公司-)dt），ρ（1）=1。然后，通过将乘积规则应用于ρt（f）=πt（f）ρt（1），并使用方程（A.1），我们得到ρt（f）=f（z）+Ztρs（LZf）ds+Ztρs-（f（λ- 1）[国土安全部- (1 - Hs公司-)ds]，每t∈ [0，T]，其中ρT（λ）表示ρT（λ（T，uT，·））。在集合{t<τ<t}上，该方程简化为ρt（f）=f（z）+Zt（ρs（LZf）-ρs（fλ）+ρs（f））ds（A.4），可以显式计算出解，如以下命题所示。提案A.2。设|ρt（f）（ω）：=Ehf（Zt）e-Rt（λ（u，uu（ω），Zu）-1） 酒后驾车，t∈ [0，τ（ω））（A.5）然后，|ρ在{t<τ}上解方程（A.4）。证明任何固定轨迹t→ 工艺u的ut（ω），我们设置γt：=e-Rt（λ（s，us（ω），Zs）-1） ds。根据乘积规则，我们得到d（f（Zt）γt）=γt[LZf（Zt）- f（Zt）（λ（t，ut（ω），Zt）- 1） ]dt+γtdMZt。现在，取期望值[f（Zt）γt]=f（z）+ZtEγs[LZf（Zs）- f（Zs）（λ（s，us（ω），Zs）- 1)]dt。然后，我们得到Ehf（Zt）e-Rt（λ（s，us（ω），Zs）-1） dsisolves方程（A.4）适用于过程u的任何固定轨迹，从而得出的pro。最后，我们给出了命题2.11的证明。让我们注意到，我们不需要（A.3）中给出的假设L是（G，P）-martinga-le。命题2.11的证明。设，对于t<τ<t，eπt（f）：=eρt（f）eρt（1），其中eρ在（A.5）中给出，对于t=τ<Teπτ（f）：=eπτ-（λf）eπτ-（λ） ，对于τ<t≤ T，eπT（f）：=eτ，eπτ[f（Zt）]，34 C.CECI，K.COLANERI和A.Cretarola，其中eτ，eπτ表示给定Z定律的条件期望，时间τ等于eπτ。

然后，通过直接计算，我们可以证明eπ解方程（a.1），通过强唯一性（seeProposition a.1），我们可以得到eπ=π。特别是，定义自适应过程bπ：={bπt，t∈ [0，T]}由（2.12）给出，我们得到{T<τ}上的滤波器π与过程bπ一致。附录B.长寿债券价格我们从过滤概率空间开始(Ohm,eF，eF，Q），其中Q是一个与P等价的风险中性度量。本节的目标是描述度量Q下长寿bo nd的公平价格，并通过度量的变化获得P-价格动态。设W1，Q={W1，Q，t∈ [0，T]}，W2，Q={W2，Q，T∈ [0，T]}，W3，Q={W3，Q，T∈ [0，T]}是Q独立的布朗运动，并定义密度过程LP={LPt，T∈ P的[0，T]}关于Q byLPt：=dPdQeFt=EZ、 uS（u，Yu）σS（u，Yu）dW1，Qu-Z、 αu（u，uu，Yu）dW2，Qu-Z、 αY（u，uu，Yu）dW3，Qut、 每t∈ [0，T]，其中函数uS（T，y）、σS（T，y）、αu（T，u，y）和αy（T，u，y）是可测量的，并且LPis是（eF，Q）-鞅。通过应用Girsanov定理，我们得到了processesW={W，t∈ [0，T]}，W={W，T∈ [0，T]}，W={W，T∈ [0，T]}分别由WT定义：=W1，Qt-ZtuS（u，Yu）σS（u，Yu）du，t∈ [0，T]，重量：=W2，Qt+Ztαu（u，uu，Yu）du，T∈ [0，T]，Wt：=W3，Qt+ZtαY（u，uu，Yu）du，T∈ [0，T]是P-独立的f-布朗运动。继Cairns等人【13】之后，长寿债券被定义为零息票债券，用于支付时间T的幸存者或长寿指数的价值。然后，其折扣价格过程在任意时间t由t=等式ut给出eFti=EQ“exp-ZTusdseFt#=e-RtusdsEQ经验值-ZTtusdseFt公司,（B.1）对于每t∈ [0，T]。

我们写出关于Q asdut=（bu（t，ut，Yt）+αu（t，ut，Yt））dt+σu（t，ut，Yt）dW2，Qt，u的对（u，Y）的动力学∈ R+，dYt=（bY（t，Yt）+αY（t，ut，Yt））dt+σY（t，Yt）dW3，Qt，Y=Y∈ R、 由于对（u，Y）是一个（eF，Q）-马尔可夫过程，具有最小生成器Lu，Yunder Q，settingF（t，u，Y）：=等式经验值-ZTtusdsut=u，Yt=y, （B.2）部分信息下通过BSDES的无差异定价35我们得到的关系（B.1）可以写成asSt=e-RtusdsF（t，ut，Yt），t∈ [0，T]。（B.3）函数F（t，u，y）是严格正的，并且以1为上界。如果函数F（t，u，y）是充分正则的，即F∈ C1,2,2b（[0，T]×R+×R），则可通过theFeynman-Kac公式将其描述为边界问题的解Ft（t，u，y）+Lu，YF（t，u，y）-uF（t，u，y）=0，（t，u，y）∈ [0，T）×R+×R，F（T，u，y）=1，（u，y）∈ R+×R.（B.4）为确保费曼-卡克公式（B.2）适用，我们做出以下一组假设。假设B.1。函数bu（t，u，y）、bY（t，y）、αu（t，u，y）、αy（t，y）、σu（t，u，y）、σy（t，y）在所有变量中都是连续的，并且满足（u，y）上的次线性生长条件∈ R+×R，一致int∈ [0，T]。此外，bu（t，u，y）、bY（t，y）、αu（t，u，y）、αy（t，y）和（σu（t，u，y）），（σy（t，y））在（u，y）上是连续的∈ R+×R，在t中均匀∈ [0，T]和∑u（T，u，y），σy（T，y）从下方界定。下面的结果显示了边界问题（B.4）解的存在性和唯一性。提案B.2。在假设B.1下，边界问题（B.4）存在唯一的经典解F，Feynman-Kac表示（B.2）成立。证据结果遵循f r om Heath和Schweizer【27，定理1】。

事实上，inHeath和Schweizer[27，定理1]中的条件（A2）是次线性增长条件和系数的Lipschitz连续性的结果，Heath和Schweizer[27，引理2]，在（B.2）中给出的F（t，u，y）在[0，t]×R+×R中是连续的。现在，我们可以将It^o的公式应用于（B.3）中的Sgiven，因为F是（B.4）的解，所以我们得到了solvesdst=StcB（t，ut，Yt）dW2，Qt+dB（t，ut，Yt）dW3，Qt, S=S∈ R+，其中我们设置Cb（t，u，y）：=σu（t，u，y）F（t，u，y）Fu（t，u，y），dB（t，u，y）：=σy（t，y）F（t，u，y）Fy（t，u，y），对于每个（t，u，y）∈ [0，T]×R+×R。最后，过程的P动力学由（2.6）给出，其中我们设置了uB（T，uT，Yt）：=cB（T，uT，Yt）αu（T，uT，Yt）+dB（T，uT，Yt）αY（T，uT，Yt）。36 C.CECI、K.COLANERI和A.Cretarola附录C.A技术成果备忘录C.1。在第2节概述的建模框架中，所谓的密度假设与filtrationef有关。准确地说，对于每个人来说∈ [0，T]，存在一个函数eβ（T，·）：R+→ R+，使得（t，u）7→eβ（t，u）iseFt B（0，∞)-可测量且p（τ>s | eFt）=Z∞seβ（t，u）du，s∈ R+，andeβ（t，u）1{t≥u} =eβ（u，u）1{t≥u} 。证据首先，请注意，描述投保人剩余寿命的随机时间τ的Cox构造确保了密度假设完全符合过滤条件，见Jeanblanc和Le Cam【29，第5节】。也就是说，存在一个映射β（t，·）：R+→ R+，例如（t，u）7→ β（t，u）为Ft B（0，∞)-可测量且p（τ>s | Ft）=Z∞sβ（t，u）du，s∈ R+，（C.1）和β（t，u）1{t≥u} =β（u，u）1{t≥u} 。精确地说，在我们的设置中，β（t，u）=Ehλ（u，uu，Zu）e-Ruλ（r，ur，Zr）dr | Fti。（C.1）中关于toeFt的调节 f并应用富比尼定理yieldP（τ>s | eFt）=EZ∞sβ（t，u）dueFt公司=Z∞sEhλ（u，uu，Zu）e-Ruλ（r，ur，Zr）dreFtidu=Z∞seβ（t，u）du，其中Eβ（t，u）：=Eλ（u，uu，Zu）e-Ruλ（r，ur，Zr）dreFti。

注意，由于uiseF已适应，且过程Z独立于EF，因此对于任何t≥ ueβ（u，u）（ω）=Ehλ（u，uu（ω），Zu）e-Ruλ（r，ur（ω），Zr）dri=eβ（t，u）（ω），ω ∈ Ohm.证据到此结束。