受交易对手风险和信贷影响的金融衍生品定价

离散时间风险估值模型，或简称为离散时间模型（DTM），假设可违约衍生工具只能在付款日期违约。命题2：DTM下单一支付衍生工具的单边风险值由下式给出 tFTBDXTtGEtV），（）（）（9a）其中  )（1） ，（11），（），（0TTQTTDTTGBBXBT（9b）证明：见附录。这里我们可以考虑），（TTG是风险调整贴现因子。命题2指出，单一支付衍生工具的单边风险估值依赖于支付符号。如果支付为正，风险值等于无风险值减去贴现潜在损失。否则，风险值等于无风险值。相应的单边CVAf DTM下的单一付款衍生工具可以表示为     ttbbxttbttdfuxtqttdextgextdtetvtcvtatfff），（）（1），（），（），（）（）（）（0（10） 方程式（10）表明，如果回报是金钱，则CVA是一种信贷费用，等于扣除的潜在损失。如果收益超出资金，则CVA为零。命题2有一个一般形式，适用于我们假设付款轴为非负的特定情况。推论2.1：如果支付轴为非负，则在TDM下的单一支付衍生工具的风险值如下所示： tFTBDXTtGEtV），（）（）（11a）其中   ),（），（），（），（）（1），，（），（ttqttsttttqttdttgbbbbbb（11b）根据命题2，通过设置0，这个推论的证明很简单TX.方程式（11）与方程式（3）一致。2.2.    多重支付案例的前提是，可违约衍生工具的现金流为m。这些现金流中的任何一个都可能是正的或负的。让m现金流表示为1X，…，MX，付款日期为1T，…，mT。

衍生工具的无风险价格如下所示： mitiiFXTtDEtV1），（）（F（12）我们划分任何付款日期期限（1iT，iT）进入非常小的时间间隔（t) 并假设违约可能只在每个非常小的期限结束时发生。命题3：多重支付衍生工具的单边风险值由下式得出  mitiiBDXTtCEtV1），（）（F（13a），其中IKKNJBITTJTCTTC110）（exp），（（13b） )（1） （1）（（0））1（（tjttjthtjtrtjtcBBtjtVBD（13c）证明：见附录。命题3指出，多付款衍生工具的定价过程具有滞后性，因为在不了解未来价值的情况下，无法知道应该使用哪种风险调整贴现率。换句话说，现值考虑了所有未来决策的结果。在最终付款日，衍生品的价值和决策策略是明确的。因此，评估必须以落后的方式进行，从最终付款日期到现在。

这种类型的估价过程称为反向归纳法。如果我们在连续时间设置中建模默认值，则命题3可以进一步表示如下。推论3.1:CTM下多重支付衍生工具的单边风险值如下所示：  mitiiBDXTtCEtV1），（）（F（14），其中ittbibbduucttc）（exp），（（14b））（1）（（1）（（0）（uhurucbbuvbd（14c）根据命题3，通过取极限ast，很容易得到这个推论的证明接近零。命题3有一个一般形式，适用于我们假设所有收益均为非负的特定情况。推论3.2：如果所有收益均为非负，则CTM下的多重支付衍生工具的风险值如下所示：  mitiiBDXTtCEtV1），（）（F（15a）其中iTtBiBduucTtC）（exp）(（15b）））（1）（（）（）（Uuhurucbbbb（15c）根据（14），这个推论的证明很简单，通过设置0（uVD。这是市场上可违约债券的定价公式。推论3.2说，如果所有的收益都是正的，我们可以分别评估每个收益，并对相应的结果求和。换句话说，这种情况下的收益可以被视为独立的。如果我们假设违约可能只发生在付款日期，则结果是在离散时间设置中出现以下命题。命题4：DTM下多付款衍生品的单边风险值由下式给出  Mitiijjjbdxtgetv1101），（）（F（16a），其中0TT和 )（1） ，（11），（），（110））（（1111jbjjbtvxjjjjjbtttqttdttgjdj（16b）证明：见附录。与提案3类似，提案4下的个人支付不能单独评估。当前风险值取决于未来风险值。

这类问题通常使用反向归纳算法来解决。命题4有一个一般形式，适用于我们假设所有收益均为非负的特定情况。推论4.1：如果所有收益均为非负，则DTM下的多重支付衍生工具的风险值如下所示：  Mitiijjjbdxtgetv1101），（）（F（17a），其中0tt和  )(1),(1),(),(1111 JBJJBJJJJBTTTQTDTTG（17b）根据命题4，通过设置 0)(11 jDjTVX。3、双边可违约衍生工具估值和双边CVAA双边可违约衍生工具定价的关键因素是违约结算规则。市场上有两条规则。《早期国际掉期交易商协会（ISDA）主协议》规定了单向支付规则。如果衍生工具的剩余市场价值对违约方有利，则非违约方无权向违约方进行赔偿。双向支付规则基于当前ISDA文档。如果违约，如果合同对非违约方具有正价值，违约方应向非违约方支付衍生工具市场价值的一部分。如果合同对违约方具有正价值，非违约方将向违约方支付衍生品的全部市场价值。在风险估值的背景下，应将可违约衍生工具的市场价值视为风险价值。默认指示器J对于参与方j（j=A，B）是一个具有伯努利分布的随机变量，其默认概率jq取值1，生存概率js取值0。

考虑一系列随机变量（A,B) 如表1所示，其具有双变量伯努利分布。表1：。二元伯努利分布该表显示了andB.每个随机变量（j）=A.,B)  遵循一个单变量伯努利分布，该分布取默认概率为jqa的值1和生存概率为js的值0。BBAASQSQ哪里是A的相关系数andB.联合分配边际分配1A.0A.联合分配1BABQQ公司ABSQBQ0BABQ公司Abssbsma边缘分布Qas3.1。单笔付款案例包括一种可违约的衍生工具，承诺在到期日T时从乙方向甲方支付X，而在到期日T之前不支付任何款项。支付可能是对各方的资产或负债。我们将时间段（t，t）划分为n个非常小的时间间隔（t) 并假设违约可能只发生在每个非常小的时期结束时。命题5：单一支付衍生工具的双边风险值由以下公式得出 tTDXTtOEtVF），（）（）（18a）其中 蒂托托尼10） （exp），（（18b））（1）（1）（（0））1（（0））1（（titptpttittotitvbtitv（18c）      ttithtithttithttithtitttitttitttitttitttitttitttitttitttitttitttitpabbabaabbbbbbb)()()(1)(1)()()()()(1)()(1)()(1)(（18天）      ttithtithttithttithtitttitttitttitttitttitttitttitttitttitttitpabababaaaa)()()(1)(1)()()()()(1)()(1)()(1)(（18e）证明：见附录。我们可以认为，（TTO是双边风险调整贴现因子，UO是双边风险调整短期利率；j（j=A，B）代表j方的违约恢复率，即。

当市场价值为负时，违约方j支付的市场价值的分数；Jh代表j方的危险率；j代表j方的非违约恢复率，即当j.j的市场价值为负值时，非违约方j支付的市场价值的分数=0表示单向结算规则，whilej=1表示双向结算规则。表示A和B的默认相关系数。AB表示甲、乙双方同时违约时的共同回收率。对于任何时间间隔（u，tu), 双边风险调整短期利率）（UO具有转换类型依赖于未来价值的符号）（tuVD.

与命题1类似，命题5给出的估值过程以向后递归的方式建立在自身的基础上，需要向后归纳估值。提案5提供了双边风险单一支付衍生工具定价的一般形式。将其应用于我们假设a方和B方不会同时违约且具有独立违约风险的特定情况，即。=0和AB=0，我们得出以下推论。推论5.1：如果甲、乙双方没有同时违约，且有独立的违约风险，则CTM下单一支付衍生工具的双边风险值如下所示： tTDXTtOEtVF），（）（）（19a）其中Duuotottt）（实验），（（19b））（1）（1）（（0）（0）（UPUPUROUOAUVDD（19c）  )（）（1）（（）（1）（Uhuhuupabbb）（19天）  )（）（1）（（）（1）（Uhuhuupbaaaa）（19e）根据命题5，通过设置=0andAB=0，取极限ast接近零，并且具有0）（）（2tuhuhABfor非常小.推论5.1与Duffie和Huang（1996）中的方程式（2.5’）相同，但它们的推导是抽象的，而不是严格的。在这种情况下，单笔支付衍生工具的相应双边CVA可以表示为  TTTTDFBXTTOEXTTDETTVTVTCVAFF），（），（）（）（）（）（20） 由于，（TTO总是小于），（TtD），双边CVA可能是正的，也可能是负的，这取决于回报的迹象。换句话说，CVA可能是信用费用或信用福利。

作为违约损失价值的信贷费用来自于当一个人有钱时对方违约的情景，而信贷收益是当一个人缺钱时自己违约的情景中违约收益的价值。如果我们假设违约可能只发生在付款日期，则默认期权为欧洲期权或百慕大期权。命题6：DTM下单一支付衍生工具的双边风险值由下式给出 TFTDXTYETV），（）（）（21a）其中 ),（1） ，（1），（），（00TtyTtyTtDTtYAXBXTT（21b） )（）（）（1），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（TTTTTTTTQTTSTTTTTTTTTTTSTTTTTTTTTTYABBBABBBBABB（21c） )（）（）（1），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（TTTTTTTTQTTSTTTTTTTTTTTTTTTSTTTTYABBBABABABABAABAABA（21d）），（），（），（），（），（），（TTQTTSTTTTAABB（21e）证明：见附录。我们可以认为，（t）是风险调整后的贴现因子。

命题6告诉我们，单一支付衍生工具的双边风险价格可以表示为通过风险调整贴现因子贴现的支付现值，该贴现因子具有对支付符号的切换类型依赖性。提案6的一般形式适用于我们假设a方和B方不会同时违约且具有独立违约风险的特定情况，即。=0和AB=0、推论6.1：如果甲、乙双方不同时违约且存在独立的违约风险，则DTM下单笔支付衍生工具的双边风险值为 tTDXTtYEtVF），（）（）（22a）其中 ),（1） ，（1），（），（00TtyTtyTtDTtYAXBXTT（22b）），（），（），（），（），（），（），（），（），（TTQTTSTTTSTTQTTSTTYABBBBABB（22c）），（），（），（），（），（），（），（），（），（TTQTTSTTTTTTTSTTYBABAABAABA（22d）根据命题6，通过设置=0和AB=0.3.2.  多重支付案例的前提是，可违约衍生工具的现金流为m。让m现金流表示为1X，…，MX，付款日期为1T，…，mT。

每个现金流可能是正的，也可能是负的。我们划分任何付款日期期限（1iT，iT）进入非常小的时间间隔（t) 并假设违约可能只在每个非常小的期限结束时发生。命题7：多重支付衍生工具的双边风险值由下式给出：  mitiiDXTtOEtV1），（）（F（23a），其中Ikknjittjto110）（exp），（（23b））（1）（1）（（0））1（（0））1（（tjttptjttrtjtoatjttvbtjtv（23c）      TTJTHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHtt)()()(1)(1)()()()()(1)()(1)()(1)(（23天）      TTJTHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttHttH)()()(1)(1)()()()()(1)()(1)()(1)(（23e）证明：见附录。与命题3类似，命题7下的个人收益是耦合的，不能单独评估。