受交易对手风险和信贷影响的金融衍生品定价

该过程需要反向归纳估值。提案7提供了双边多付款衍生品定价的一般形式。将其应用于我们假设a方和B方不会同时违约且具有独立违约风险的特定情况，即。=0和AB=0，我们得出以下推论。推论7.1：如果甲、乙双方没有同时违约，且有独立的违约风险，则CTM下单一支付衍生工具的双边风险值如下所示：  mitiiDXTtOEtV1），（）（F（24），其中），（iTtOis定义见（19）。根据命题7，通过设置=0andAB=0，取极限ast接近零，并且具有0）（）（2tuhuhABfor非常小.CTM下可违约衍生工具的默认期权为美式期权，而DTM下的默认期权为百慕大式期权。命题8：DTM下多重支付衍生工具的双边风险值由下式给出  mitiijjjDXTTYEtV1101），（）（F（25a），其中0TT和),（1） ，（1），（），（10））（（10））（（111111 jjatvxjjbtvxjjjjjjjtttyttytttyjdjjjdj（25b） )()()(1),(),(),()(),(),()(),(),()(),(),(),(1111111111111111Jabjbjjjjjjjbjjjjbjjjjjjbjjjjbjjjjbjjjjbtttttqttttqtttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttttt（25c） )()()(1),(),(),()(),(),()(),(),()(),(),(),(1111111111111111Jabjbjjjjjjjjjbjjjjajjjbjjjajjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjbjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj（25d）），（），（），（），（），（），（11111jjAjjAjjBjjBjjTTQTTSTTQTTSTT（25e）证明：见附录。命题8下的个人收益是耦合的，不能单独评估。当前值考虑所有未来决策的结果。

估值通过反向引导进行。提案8有一个一般形式，适用于我们假设a方和B方不同时违约且具有独立违约风险的特定情况，即。=0和AB=0、推论8.1：如果甲、乙双方不同时违约且存在独立的违约风险，则DTM下单笔支付衍生工具的双边风险值为 mitiijjjDXTTYEtV1101），（）（F（26）其中），（1JJTTY的定义见（22）。根据命题8，通过设置=0和AB=0.4.   双边风险估值和CVA的实用框架上述风险估值理论可应用于任何可违约衍生品。在本节中，我们开发了一个实用框架，以演示如何进行风险估值以及如何在投资组合层面计算双边CVA。该框架包含净额结算和保证金协议，并捕获对/错方向风险。我们以DTM为例。切换到CTM非常简单，但需要更精细的模拟时间步骤，例如每天。双方分别表示为A和B。所有计算都是从甲方的角度进行的。估值日期为t。风险估值和CVA计算程序包括以下步骤。4.1.  风险中性蒙特卡罗情景生成交易对手信用风险管理系统的一个核心要素是蒙特卡罗情景生成（市场演化）。这必须能够为每个风险因素运行大量场景，并在过程参数化和基础因素之间的相关性处理方面具有灵活性。

信用风险敞口可根据真实概率度量进行计算，而CVA可根据风险中性概率度量进行。由于交易对手信用风险定价的计算强度很大，因此在限制市场场景（路径）数量和模拟日期数量（也称为“时间段”或“时间节点”）方面必然会有一些折衷。时间段通常设计为短端细粒度，远端粗粒度。场景生成的细节超出了本文的范围。4.2.  现金流生成为了便于说明，我们选择了普通利率掉期作为示例。对大多数银行来说，利率掉期占其衍生品业务的一半以上。假设甲方支付固定利率，而乙方支付浮动利率。我们正在考虑固定利率支付和浮动利率支付发生在相同的支付日期和相同的天数惯例，并忽略掉期融资利差。虽然对不同的支付日期、日数惯例和掉期融资利差的概括很简单，但我们更倾向于提供一个简化版本来简化符号。假设每个场景中有M个时间段（MTTT、、、10），样本掉期中有N个现金流。让我们首先考虑场景j。对于swaplet i，有四个重要日期：固定日期Fit、开始日期Sit、结束日期EIT和付款日期Pit，。一般来说，这些日期在模拟时段中并不重合。

swaplet i和模拟时间段之间的时间关系如图1所示。现金流生成包括两个过程：现金流确定和现金流分配。图1:Swaplet和模拟时间Buckets之间的时间关系利率Swaplet的浮动段在固定日期Fit重置，起始日期为，，结束日期为，，付款日期为，。模拟时间段为11，。。。，， 基特。模拟利率曲线从拟合开始，。4.2.1.  现金流确定swaplet i的现金流在固定日期Fit确定，该固定日期假定介于模拟时间Buckets和1之间jT。首先，我们需要通过对模拟的利率曲线进行插值，创建一条利率曲线，即atfit观察到的利率曲线JT通过布朗桥或线性插值。然后，我们可以计算方案j中swaplet i的收益，如下所示 ),(),;（，，，，，，eisieisifiijttRtttFN（27）其中N表示概念，），；（，，eisifitttf表示远期期间（sit，，，eit，，），（，，eisitt）的简单复合远期利率重置atfit表示该期间的应计系数或天数分数（sit、eit），R表示固定利率。4.2.2.  现金流量分配JT1jTkT1kTfit、sit、eit、pit、Termsrates在拟合的利率曲线上，根据（27）计算的现金流量金额在付款日pit支付，。该值应分配到最近的上一个时间段：），（~，，，，，pikijikjtTD（28）式中，（，PikttD表示基于atkT模拟利率曲线的无风险贴现系数。无提前行权准备金的产品的现金流生成非常简单。对于早期行权产品，可以使用Longstaff和Schwartz（2001）提出的方法来获得最佳行权边界，然后获得收益。4.3.

聚合和净额结算协议在为每笔交易生成现金流后，我们需要在每个场景和每个时间段的交易对手portfoliolevel对其进行聚合。现金流根据净额结算协议通过净额结算或非净额结算进行汇总。净额结算协议是允许抵销两个交易对手之间所有合同的结算付款和收款的条款。净额结算的另一个重要用途是结算净额结算，它允许抵消结算值。对于净额结算，我们在同一场景中，同时将所有现金流相加，以确认抵销。情景j和时段k的净额结算下的总现金流如下所示：iikjkj~~（29a）对于非净额结算，我们将现金流分为正组和负组，并分别相加。换言之，无法识别抵销。情景jand时段k非净额结算下的总现金流如下所示：0 ~ 0 ~，，，，，，，，，mkjmmkjlkjkjifif（29b）4.4。保证金（或抵押品）协议根据保证金协议，一旦交易对手风险敞口超过给定的抵押品阈值H，或更准确地说，超过阈值（TH）加上最低可转让金额（MTA），即调用抵押品。这将导致持有的抵押品金额减少风险敞口.因此，如果催缴、过账、清算和平仓之间没有时间延迟，则不会有高于阈值的风险敞口。然而，这些滞后实际上是风险的边缘期，在实践中确实存在。在此期间，抵押品可以贬值或升值。这些滞后使银行面临高于阈值的额外风险敞口，这通常被称为抵押风险敞口。

显然，风险的保证金期限越长，抵押贷款头寸就越大。假设抵押保证金风险期为. 抵押品方法包括以下步骤：首先，对于任何时间bucketkT，我们引入一个额外的抵押品时间节点千吨级。其次，我们计算投资组合价值）(kFjTVat场景j和并行时间节点(kT）。然后，我们计算减少风险敞口所需的抵押品(kT）组件Akfjakfjbkfjabkfjbkfjkjhjhtvifhtvhhifhtvifhtvt）（（）（，0）（，）（）(（30）其中BBBMtathh是乙方的抵押门槛和）（AAAMTATHH是甲方的负抵押阈值。每家银行都有自己的抵押模拟方法，模拟抵押价值的演变）(kjTto）（kjT风险保证金期内. 抵押品模拟的细节超出了本文的范围。假设抵押品价值）（kjT已计算。接下来，我们计算抵押品在1和1之间的变化量KTA（）（）（：1，KJKJKJTT（31）由于我们的CVA方法基于现金流，我们将抵押品建模为反向现金流，atkT。最后，总现金流由KJKJKJ给出~(32)4.5.  错误或正确的方式风险当对交易对手的敞口与该交易对手的信用质量负相关时，会出现错误的方式风险，而当对交易对手的敞口与该交易对手的信用质量正相关时，会出现正确的方式风险。例如，在错误方式风险中，当交易对手信用质量恶化时，风险敞口往往会增加；而在正确方式风险中，当交易对手信用质量下降时，风险敞口往往会减少。

作为风险的另一个来源，错误/正确的方式风险正受到银行和监管机构的关注。为了捕获错误/正确的方式风险，我们需要在场景生成中将信贷质量（信贷利差或风险率）与其他市场风险因素（如股票、商品等）关联起来。4.6.   CVA计算通过净额结算和保证金协议汇总所有现金流后，可以用与单笔交易定价相同的方式对投资组合进行定价。我们假设读者熟悉Longstaff和Schwartz（2001）提出的基于回归的Monte Carlo估值模型，因此为了简洁起见，不会重复一些众所周知的程序。4.6.1.  无风险估值我们首先计算交易对手投资组合的无风险现值。场景j的无风险值由下式给出mkkkjFjTtDtV1，），（）(（33a）最终无风险投资组合价值是以下所有情景的平均值（预期值）： mkkkkjfjftdtetvev1，），（）（）(（33b）4.6.2。风险评估风险评估程序以迭代方式执行，从最后一个有效时间bucketmT开始，然后向后进行。我们知道投资组合在最终有效时间段的价值，该时间段等于最后的现金流，即mjmDjTV，）(.根据（mDjTVand命题8的符号，我们可以选择适当的风险调整贴现因子。贴现现金流为1Mjmmjmmdjmmjttytvtty，111，），（）（），给出了MTI(（34a）其中),（1） ，（1），（），（1,0）（1,0）（11 mmajtvmmbjtvmmjtmjtttyttytttymdjmdj（34b），其中），（1，mmBjTTy和），（1，mmAjTTy定义见（25）。让我们转到倒数第二个有效时间bucket1mT.风险调整贴现因子具有切换类型，取决于符号1,1）(mjmDjTV, 其中）（1mDjTVis投资组合的价值，不包括当前现金流1，mj公司在场景j和时间段1mT。

注意）（1mDjTVis不是贴现现金流，而是根据市场状态对贴现现金流的预期。我们可以使用Longstaff和Schwartz（2001）提出的著名回归方法来估计（1mDjTVfrom采用最小二乘法在仿真中提取横截面信息。后评估）（1mDjTV，我们可以将贴现现金流表示为2mTas1,121122，），（），（）(MJMMJMMJMMJMJttytty（35a）其中),（1） ，（1），（），（12,0））（12,0））（（121211,11，mmajtvmmbjtvmmjmmjtttyttdyttymdjmmdjmj（35b）其中），（12， mmBjTTyand），（12， MMAjtty的定义见（25）。假设在前一步中，我们估计了投资组合价值）（iDjTV。现在，我们进行1它折扣开关类型取决于JIDJTV的符号，）(. 贴现现金流为1iTis提供人 mikkjkillljijTTY，1111，）(（36）我们进行反向归纳过程，从最终有效时间BucketMTA跨时间节点反复回滚一系列长跳跃，直到我们到达估值日期。那么，方案j的现值为 MKKJKIIJJTTY11010，）(（37a）最终真实/风险投资组合价值是所有情景的平均值（预期值），由   MKKJKIIJJDTTYETV11010，），（）(（37b）根据定义，CVA是无风险投资组合价值与真实（或有风险或可预测）投资组合价值之间的差额，由     mkkjkiijkjkiijdfbttyttdetvtvtcva101101），（），（）（）((38)5.    数值结果在本节中，我们基于上述理论和实践框架，给出了风险估值和CVA计算的一些数值结果。5.1.  CTM和DTM的比较本文的理论研究是在CTM和DTM下进行的。

CTM认为违约可能随时发生，而DTM认为违约可能只发生在离散的付款日期。这里我们以单边信用风险为例。假设乙方评级为“A”，持续违约恢复率为70%。甲方无违约。所有计算都是从甲方的角度进行的。让我们先考虑单一支付衍生工具。我们使用6个月零息债券和1年零息债券模拟单一支付工具。根据CTM，衍生品可以持续违约，而根据DTM，衍生品只能在6个月或1年内违约。主体是一个单位，风险率是从CDS利差中引导出来的。根据推论1.2和推论2.1计算无风险值、风险值和CVA，如表2和表3所示。结果表明，CTM和DTM下的CVA非常接近（相对差异<0.3%）。然后，我们使用10年期半年期固定利率息票债券模拟多重支付工具。假设本金是一个单位，固定利率耦合债券的年票面利率为4%。根据推论3.2和推论4.1计算无风险值和风险值以及CVA，如表4所示。结果证实，DTM和CTM产生的结果非常接近。表2：。6个月到期单次支付衍生工具的数值结果此表显示了当前的无风险和单边风险值，以及在CTM和DTM下计算的6个月到期单次支付衍生工具的单边CVA。该衍生工具在6个月到期时只有一个收益和一个单位本金。

CVA的差值=1–DTM-CVA/CTM-CVA。无风险值Ctmdtm CVARisky值CVARisky值CVa0.9981680.9970260.0011420.9970280.0011400.1334%的差异见表3。1年期单次支付衍生工具的数值结果该表显示了当前的无风险和单边风险值，以及在CTM和DTM下计算的1年期单次支付衍生工具的单边CVA。该衍生工具在1年到期时只有一个收益和一个单位本金。CVA的差值=1–DTM-CVA/CTM-CVA。无风险值Ctmdtm CVARisky值CVARisky值Cva0.9956930.9934220.002710.9934280.00226550.2658%的差异表4 10年期多付款衍生工具的数值结果该表显示了当前的无风险和单边风险值，以及在CTM和DTM下计算的10年期多付款衍生工具的单边CVA。该衍生工具有本金和半年期付款，年息票率为4%。CVA的差值=1–DTM-CVA/CTM-CVA。无风险价值Ctmdtm与CVARisky价值CVARisky价值Cva1.1228921.0323440.0905471.0329010.089990.6153%的差异5.2。保证金协议的影响在本节中，我们使用投资组合来研究保证金协议的影响。投资组合包括许多利率、股权和外汇衍生品。在现实世界中，投资组合在所有情况下都是积极的是非常罕见的。模拟场景（或路径）的数量为20000。时间段每周设置一次。如果计算需求超过系统限制，可以减少场景数量和时间段数量。