极值分数高斯函数及其应用

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英文标题：
《An extremal fractional Gaussian with a possible application to
  option-pricing with skew and smile》
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作者：
Alexander Jurisch
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We derive an extremal fractional Gaussian by employing the L\\\'evy-Khintchine theorem and L\\\'evian noise. With the fractional Gaussian we then generalize the Black-Scholes-Merton option-pricing formula. We obtain an easily applicable and exponentially convergent option-pricing formula for fractional markets. We also carry out an analysis of the structure of the implied volatility in this system.
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中文摘要：
我们利用L’evy-Khintchine定理和L’evian噪声导出了一个极值分数高斯分布。利用分数阶高斯分布，我们推广了Black-Scholes-Merton期权定价公式。对于分数市场，我们得到了一个易于应用且指数收敛的期权定价公式。我们还对该系统的隐含波动率结构进行了分析。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
--
一级分类：Physics        物理学
二级分类：Statistical Mechanics        统计力学
分类描述：Phase transitions, thermodynamics, field theory, non-equilibrium phenomena, renormalization group and scaling, integrable models, turbulence
相变，热力学，场论，非平衡现象，重整化群和标度，可积模型，湍流
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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PDF下载：
--> An_extremal_fractional_Gaussian_with_a_possible_application_to_option-pricing_wi.pdf (145.75 KB)

2022-6-9 22:05:09 上传

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关键词：Multivariate Quantitative Statistical derivatives Application

极值分数高斯分布及其在偏斜和smileAlexander期权定价中的应用Jurischajurisch@ymail.com，慕尼黑，德国。我们利用L’evy Khintchine定理和L’eviannoise推导出一个分数阶高斯函数。利用分数阶高斯分布，我们推广了Black-Scholes-Merton期权定价公式。对于分数市场，我们得到了一个易于应用且指数收敛的期权定价公式。我们还对该系统的隐含波动率结构进行了分析。PACS编号：2.50-r、 2.50。Ey，2.70。Rr，5.40。Fb，05.40。JcI。引言自Black、Scholes[3]和Merton[15]重新发现Bachelier的衍生品定价理论以来，人们对该定价公式的推广进行了大量研究。Black-ScholesMerton公式基于这样一个假设，即市场的行为符合高斯分布。Thorpe和Kassouf[19]早在1967年就基于观测提出了一种无高斯假设的交替启发式算法。自那以后，Black-Scholes-Merton方法在期权定价或利率结构方面有了有趣的改进，我们仅引用Heston【1】和Dra gulescu【9】，后者通过路径积分计算了Heston模型的可能扩展的闭式解。Heston的模型很有趣，因为它表明，根据Cox-Ingersoll-Ross模型，当定价过程与波动过程耦合时，可以实现非高斯行为[8]。此外，众所周知，赫斯顿的模式L远优于布莱克-斯科尔斯-默顿方法，参见汤普金斯（Tompkins）[20]。

注意，Cox-Ingersoll-Ross模型的分布函数是Skellam分布[21]。Mandelbrot【14】的调查已经在1963年表明，市场的行为不像高斯分布，而是显示了L’evy分布的分形特性，即L’evian在随后的所有方面。Mandelbrot在他的检查中使用了指数截断的evians。Cont.et.al.[7]的工作表明，市场行为可以通过L'evy指数n tα=1.7来描述，这与高斯行为（其中α=2）相比有一个小的转变。然而，纯L’evian的缺点是它们像幂律一样衰减，这不允许Bla-ck-Scholes-Merton公式的简单泛化，只要考虑对数返回。然而，指数截断的L’evian不容易处理，因为为了在数学上存在，必须仔细选择参数的范围，例如[18]。Aguilar等人【1】最近根据完全反对称的L’evian的性质，设计出了一个分析L’evian定价公式。该公式基于高度复杂的数学，尽管可以进行分析，但不便于实现和应用。同样在最近，Kleinert等人【12】、【13】已经制定出基于路径积分和双分数差的定价公式，即时间和空间都表现为分数。Kleineret的推广。通过使用分数阶导数的积分定义，可以轻松实现倾斜行为。想要对分数世界有更多了解的读者可以参考梅茨勒等人的详尽报告【16】。b orland等人[4]、[5]提出了一种不同的安萨茨方案。Borland等人。

使用学生t分布的分形特性，即Tsallis分布。与对称L’evian一样，Tsallis的分布也有一个优势，即它仅由一个明确定义的参数q控制，市场分析的数值为q=1.5。我们的ansatz he重新追求一个不同的目标。我们不是从微分方程开始，而是从L'evy KhintchineThermore开始。这使我们有可能尽可能靠近埃维昂构造。我们使用L’evy-Khintchine定理的性质，例如Feller[10]的教科书、马尔可夫不等式和L’evian-nois来推导分数分布函数，该分布函数遵循累积量函数的极值条件。结果是分数高斯分布，取决于L'evy指数α，因此具有仅输入一个明确定义参数的优势。Nadarajah【17】也计算出了广义高斯分布。然而，我们的结果在其形式结构以及与埃维昂的密切关系上完全不同。根据我们的结果，我们用Black-Scholes-Mer-ton公式计算了期权定价曲线。我们发现，分数市场中期权的公平价格应高于理想高斯市场中的公平价格。然而，这是可以预料的，因为分布函数的数据越丰富，市场的波动就越大，因此交易者应该为这个机会付出更多。然而，一旦买入，如果基本走向正确，期权的价格演变也应该高于理想的高斯市场。高斯价格和分数价格之间的差异可以通过隐含效用的概念来理解。

我们从理论上分析了如果市场价格近似表现为分数高斯微分，隐含波动率将如何表现。由于分数高斯分布的普遍性，它当然也可以应用于期权定价以外的其他问题。二、极值分数高斯的推导在本节中，我们推导出一个分布函数，该分布函数具有与L'evy分布相同的性质，但衰减指数。实现这一目标的方法类似于消除概率界。结果概率界，具有适当的归一化，但当然可以解释为分布函数。这个分布函数是外型的，因为它是变分过程的结果。首先，我们将讨论L'evy-Khintchine定理的反问题，参见例[10]。这将是推导极值概率分布的关键因素。我们假设出于某种原因我们知道分布函数P（x）。然后我们也知道了累积量函数ψ（k）。然后通过计算噪声特性给出了反问题（x） ψ（k）外。这种联系是由列维·钦钦定理建立的。作为第一步，我们写下L'evy-Khintchine定理ψ（k）=Z∞-∞dx公司ei k xx-x个- i ksin[x]x（x） ，并观察以下等式是否成立- kψ（k）=（k）<-> xψ（x）=（x） 。（2） 因此，累积量函数ψ（k）由动量空间中的泊松型方程控制。在坐标空间中，这种关系是代数关系。埃维昂案例中的噪声特性如下所示：（x） =σα| x | 2-α. （3） 对于走向极值分布的下一步，我们需要一个马尔可夫不等式。马尔可夫不等式给出了随机变量X大于或小于某个值X的概率。

感兴趣情况下的马尔可夫质量由p（X）给出≥ x） =Pes X公司≥ es x公司≤ e-s x公司es X公司. （4） 事实上，该表达式将ponds与拉普拉斯变换相关联，拉普拉斯变换建立了与characteristicfunction的连接。至少是N次可除的随机过程的特征函数如下所示：es X公司=NYn=1es Xn=NYn=1∞Xν=0sνν！hXνnic，（5）其中我们使用了众所周知的累积量展开式的连接。正如我们对上述逆问题m的处理所知，公式（2），累积量函数保留了零和一阶矩free，因此累积量函数的一般形式为nyn=1∞Xν=0sνν！hXνnic=NYn=11+s hXnic+sXnψ（sXn）. （6） 寻找列维分布概率界的方法如下。我们必须从characteristicfunction开始es Xn= 1+s hXni+sXnψ（s Xn）. （7） -3-2-1 0 1 2 3x00.10.20.30.40.50.60.7PHxLFIG。1： 公式（17）对指数α依赖关系的图示。分配是标准化的。bl ack图（α=2）是阿高斯图。红色图（α=2.5）表示亚高斯区域，而蓝色图（α=1.5）表示超高斯区域。我们选择σα=0.5。当我们直接使用上述结果（公式（2））时，我们发现es Xn= 1+s hXni+sh（s Xn）i。（8） 边界的结构是通过重指数化引入的es Xn≤ 经验值s hXni+sh（s Xn）i, （9） 因此es X公司≤ exp“s hXi+sNXn=1h（s Xn）i#。（10） 现在我们可以近似指数中的最后一项，即nxn=1h（sXn）i≈ σαs2-α. （11） 我们的最后一个方程对应于随机m过程的方差，并描述了闭合形式中的所有高阶矩。指数α仍然保证有一条肥胖但呈指数衰减的尾巴。把所有这些放在一起，我们就可以es X公司≤ exphs hXi+σαs4-αi.（12）当我们现在使用马尔可夫不等式公式时。

（4） 并对概率界指数进行极值化，以找到s的最佳可能值，我们得到=（2 | x |/（σα（4- α))1/(3-α） ，（13）其中，我们将hXi设置为0。通过将概率界解释为一个外分布函数，并通过插入s，我们得到p（x；α）=N（σα，α）exp“- |x个|2 | x |σα（4- α)3.-α#exp“2 | x |σα（4- α)4.-α3-ασα#. （14） 对我们的结果最好的解释是分数高斯分布。可以解析地计算归一化，N（σα，α）=3- α4 - ασα(4 - α)3.-α!3.-α4-αΓ2 α - 7α - 4.-1.（15）0.5 1 1.5 2S00.250.50.7511.251.5调用，1.5，ΑL0 0.5 1 1.5 2S00.20.40.60.811.21.4调用，1。，ΑL0 0.5 1 1.5 2S00.20.40.60.811.2 Callhs，0.5，ΑL0 0.5 1 1.5 2S00.20.40.60.81CallHS，0.1，ΑLFIG。2： Black-Scholes-Merton价格（r ed曲线）与分数高斯价格（蓝色曲线）之间的比较，t={1.5，1，05，0.1}。我们选择了α=1.7和σα=0.25。选择执行价格K作为统一价格。黑线表示成熟度曲线。如图（1）所示，极值概率分布等式（14）包括物理意义上的所有可能的输运区域。对于α=2，高斯区域是正确再现的，这是必须的。对于α<2，给出了超高斯区域，因为它应该是有意义的。此外，我们发现，分布函数公式（14）也涵盖了次高斯区域。亚高斯区域描述了一种极为局部化的传输，因此几乎不受波动的干扰。这种情况也可以解释为欧姆传输。因此，我们成功地导出了依赖于指数衰减的L'evy指数α的分布函数，该分布函数可以理解为广义分数高斯分布。

在结束本节时，我们将注意到分馏高加索福尔林α→3P（x，α）=θ[1- |x |]，（16）向阶跃函数收敛。因此，我们的结果公式（14）也可以理解为一般意义上的分布函数。与指数截断的L'evy-flight相比，我们的方法的优点是它适用于L'evy参数的任何数值。相反，指数截短的L'evy flights仅存在于其参数共维的某些特定数值，如[18]。三、 期权定价欧式看涨期权的Black-Scholes-Merton公式很容易推广，只需在定价公式中插入分数高斯公式（14），其中函数G表示分布函数P，C（x，T）的格林函数- t；α） =Z∞dy（ey- 1） G（x- y、 σα（T- t） ；α) . （17） 时间相关性作为方差σα的乘积输入。时间T是到期时间。我们还没有成功推导出分数高斯的微分方程，但可以安全地假设时间依赖性具有与高斯情况相同的结构。这是因为我们假设时间依赖性不是分数的，而是像普通的差异一样存在的。这一假设得到了以下事实的支持：分馏高加索式（14）是系统的列维昂结构的直接结果。在图（2）中，我们将价格表示为x=ln[S]的函数。蓝色曲线表示部分价格，而红色曲线表示0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6S0.480.50.520.540.560.580.6∑impHS，tLFIG。3： α=1.7和σα=0.4的隐含挥发性。这些曲线是针对到期的不同时间单位计算的。黑色(t=0.5），红色(t=0.6），蓝色(t=0.7），绿色(t=0.8）和紫色(t=0.9）。微笑和歪斜清晰可见。布莱克·斯科尔斯·默顿·普莱斯。

选择α=1.7是由于Cont等人[7]的结果。对于执行价格K，我们选择了unity。很容易推断，分数价格比布莱克-斯科尔斯-默顿价格大得多。这是应该的，因为更胖的分布函数应该会产生更高的价格。对买家来说，这意味着他应该支付更多，因为更胖的尾巴可以带来更高的收益。然而，对于持有人来说，如果基础资产朝着正确的方向发展，也应该有可能获得更高的收益。对于发行人来说，与布莱克-斯科尔斯-梅顿价格相比，期权的更高价格当然是一个初始收益，然而，也存在回购价格更高的风险。因此，交易者可以期待比高斯市场更好的机会。在市场情况下，分数价格和高斯价格之间的差异通常由隐含波动率而不是L'evy指数来解释。然后，隐含波动率由方差的数值给出，该数值必须插入Bla-ck-Scholes-Merton公式中，以便近似匹配分馏价格。我们目前方法中隐含波动率行为的纯理论分析可以通过分数高斯P（x；α）模拟价格波动来进行，并计算波动率，应输入B-lack-Scholes-Merton公式。这种分析可以由theo-rem对隐函数进行。当我们要求Black-Scholes-Merton价格等于fr行动价格时，我们必须设置C（S，σimp（S，t），t，2）- C（S，σα，t，α）=0，（18），其中σimp（S，t）是作为时间t和价格S的函数的隐含波动率。现在可以通过求解dσimp（S，t）的等式（18）来计算波动率σα的一阶修正。

利用隐函数定理得到σimp（S，t）dS= C（S，σα，t，2）S- C（S，σα，t，α）S C（S，σα，t，2）σα-1.（19）一阶隐含波动率可用σimp（S，t）近似≈ σα+dσimp（S，t）。（20） 从图（3）可以推断，隐含波动率表现出微笑和扭曲行为。紫色和绿色的曲线显示了典型的微笑，然而，最小值并不在金钱S=1时，而是在某种程度上金钱不足。这是现实的，因为一个已经移到货币下方不久的期权肯定会有进入货币的预期，因此在这种情况下，它可能会付出等待的代价。等待意味着交易量下降，这解释了波动性下降的原因。在货币方面，由于交易者可能会为了套现而卖出，或者因为他们有积极的预期而买入更多，因此交易再次变得更加激烈，流动性也随之增加。随着到期日的临近，货币的流动性增加，而在货币点的流动性转变为鞍点。高流动性缺钱是现实的，因为即使接近到期，缺钱期权也可以在货币中到期。货币体系中波动的下降是可以理解的，因为所有交易员都会自然持有期权，等待期权到期。这将导致市场放缓。我们把我们所描述的行为称为滚过。对于不同的挥发度σα，这种影响发生得更早或更晚。对于较小的σα，翻滚发生的时间较早，而对于较高的σα，翻滚发生的时间较晚。更晚意味着更接近成熟。这似乎也是现实的，因为在一个高流动性的市场中，即使接近成熟期，情况仍然不明朗，而在低流动性的市场中，情况似乎很清楚，即使是从成熟期开始。