超越一般均衡的经济物理学：经济周期模型

我们不使用一般均衡框架的初始假设，因此我们的商业周期模型至少可以被视为主流经济学的合理替代方案。我们并没有对市场、价格和消费者决策的状态和演变做出一般均衡假设，而是试图在经济计量观察和风险评估的基础上描述商业周期。我们认为，计量经济学可以为整个经济学所有主体的风险评估提供充足的数据，并将主体风险评级作为其在经济空间上的坐标。两个三个风险的评估定义了维度为2或3的经济空间上的代理风险坐标。风险坐标将经济主体分布在经济空间的各个点上。所有广泛（加性）宏观经济和金融变量定义为经济主体相应变量的总和（不加倍）。代理人变量的演变是通过代理人之间的经济和金融交易进行的。代理之间的事务描述代理相互变量的变化率。基于agent之间交易描述的宏观经济模型考虑了agent在经济空间上的粒度，与物理学中多粒子系统的动力学描述有一定的相似性。我们建议在经济空间上从描述x点和y点之间的交易过渡到描述x点和y点之间的交易。这类似于从考虑物理粒子粒度的动力学近似过渡到将系统描述为物理流体而忽略物理粒子粒度的流体动力学近似[69；70]。

我们强调经济过程和物理过程之间的重要区别，并提醒我们只使用经济学和物理学之间的类比，而不将物理结果应用于经济建模。我们收集x点和y点代理之间的所有交易，并通过概率分布（3.1-3.5.1）对其进行平均。点z=（x，y）处交易的平均值与“交易流体”的含义相似，其演变可以用经济方程（4.1-4.2）来描述。这些交易的经济方程式CL（t，z）描述了左右因素之间的平衡。左侧因素描述了单位体积中由于时间导数和通过单位体积表面的通量而导致的信用交易CL（t，z）的变化。右侧因素描述了其他交易对CL（t，z）的可能作用。“交易流体”的运动分别由x点和y点处代理的平均集合速度以及代理之间相应交易的变化来确定（3.2-3.5）。代理人在经济空间上的速度定义为在时间期限dt内风险评级的变化。整个经济学的代理人在以最小（最安全）和最大（最危险）风险等级（1；A.1）为界限的经济空间（1）中填充经济领域。代理人的运动以及每个“交易流体”的运动导致相应的平均风险X（t）的运动。例如，由信贷脉冲Px（t）描述的总信贷C（t）的运动导致信贷平均风险XC（t）的运动（A.4.2）。信贷的变动意味着风险XC（t）不能在一个方向上稳定地进行，因为它将达到经济领域的安全或风险边界（1）。

因此，信贷意味着风险XC（t）应该波动，这应该伴随着总信贷C（t）的商业周期波动。我们认为，信贷波动意味着风险XC（t）反映了信贷周期波动。为了展示我们的方法的好处，我们提供了一个简单的编辑交易CL（t，z）和贷款偿还交易LR（t，z）之间的交互模型。我们研究了这些交易之间的相互作用模型，并导出了显式和自洽形式的经济方程组（5.1.1-5.1.3；5.2-5.3）。从这些经济方程开始，我们推导出ODE系统（A.4；A.8.4-7；A.10.1-2），该系统描述了总信用C（t）和宏观信用MC（t）的商业周期变化率波动。对于单一风险作用下的业务周期波动的最简单情况，我们推导出总信贷C（t）的解决方案（6.1）。我们概述了ODE系统（A.4；A.8.4-7；A.10.1-2）包含与动能相似的经济因素方程式（A.8.6-8.7；A.9.1-9.2；A.10.1-10.2）。例如，因子ECxi（t）和ECyi（t）（A.8.6）与总积分C（t）和沿风险轴xior-yi的速度的平方成正比，也就是说，看起来像是具有积分质量C（t）和速度的平方的物体的动能。然而，这些平行关系没有进一步发展。非常有趣的是，信贷周期波动的描述需要与信贷“能量”类似的系数（A.8.8-8.9）的方程式（A.9.1-9.2）。我们的方法与投入产出分析有一定的相似之处，因为其宏观经济模型是基于对不同行业之间宏观交易的描述。同时，按部门和行业划分的宏观经济分类并没有定义任何度量空间。

我们的宏观经济模型描述了计量经济学空间x点和y点之间的宏观交易。这种“小”变化允许将宏观变量和宏观交易定义为时间函数，并在经济空间上协调x和y。这种方法揭示了宏观经济和金融过程隐藏的复杂性，当然需要使用数学物理方法和方程。将我们的模型与观察到的商业周期进行比较需要大量的计量经济学数据，这些数据可以指定经济主体、其经济和金融变量、主体之间的经济和金融交易的风险评级。目前，由于缺乏足够的计量经济数据，我们的经济周期模型纯粹是理论上的。对我们的理论进行计量经济评估需要开发风险评估方法，以评估连续风险等级的风险评级。在经济空间上使用宏观经济建模需要能够估计特定风险对经济演化的影响的方法，以及构成经济空间代表的n个主要风险的选择。然而，不存在任何主要障碍可以阻止计量经济学的发展，使其足以在经济空间中建模商业周期。我们认为，我们的理论可以帮助金融当局、中央银行和企业界预测和管理商业周期。附录经济交易和经济周期方程莱特研究了n维e-空间Rn上代理人之间的交易。我们使用标准符号：粗体字母，如P、Д、x、y、z定义向量，罗马字母C、CL、x、…-标量。向量z=（x，y）定义在2n维e-空间R2n上。

标量积：             散度等于：              整体符号：    为了推导一个关于总信贷速度C（t）和贷款偿还速度LR（t）变化的ODE系统，让我们从方程（5.1.1）开始。因此，信贷交易CL（t，z=（x，y））在2n维e空间上确定，经济域（1）定义2n维经济区域z=（x，y）：              （A.1）让我们提醒一下，类似于（1）的Xican值可以设置为Xi=1。为了推导C（t）（5.4.1）上的方程，让我们通过方程（5.1.1）的dz=dxdy进行积分：     （A.2.1）右边的第一个积分（A.2.1）等于2n维e空间上的散度积分，根据散度定理[76]，等于通过表面通量的积分。因此，它等于零，因为在远离经济领域边界的地方不存在任何经济或金融流量（A.1）。         （A.2.2）让我们将Pz（t）和Lz（t）定义为：  （A.3.1）  （A.3.2）由于（5.1.1；5.1.2；5.4.1；A.2.1）关于C（t）和LR（t）的方程式如下：  （A.4）方程式（5.1.1）允许推导信贷平均风险XC（t）和贷款平均风险XL（t）（3.7.3-3.7.5）的方程式。让我们用z乘以（5.1.1），然后用dz=dxdy进行积分          （A.4.1）关于平均风险的完整方程的推导，我们参考【71】。

从（A.4.1）可以获得：         （A.4.2）         （A.4.3）           关于因子XDx（t）、XDy（t）、XDx（t）、XDy（t）的方程可以类似于[71]导出，为简洁起见，我们在这里省略它。在a=0没有任何相互作用的情况下，方程式（a.4.2；a.4.3）表明C（t）XC（t）和L（t）XL（t）的动力学取决于Px（t）和Py（t）    （A.4.4）因此，方程（A.6.6-6.8）描述了脉冲Px（t）和Py（t）的波动引起C（t）XC（t）和L（t）XL（t）的波动。交易之间的相互作用（A.4.2；A.4.3）≠0使这些波动更加复杂。为了避免过多的复杂性，我们不在C（t）XC（t）和L（t）XL（t）上派生完整的ODE系统。为了推导Pz（t）和Dz（t）的方程，让我们使用脉冲P（t），D（t）的方程。让我们从（5.3；5.4）开始。

为了简化方程的推导，让我们以最简单的对角线形式（i=1，…n）采用方程（5.3；5.4）中的矩阵运算符：          （A.5.1）         （A.5.2）              （A.5.3）              （A.5.4）   （A.5.5）        （A.5.6）因此，方程式（5.3；5.4）的形式为（i=1，…n）：      （A.6.1）          （A.6.2）推导聚合脉冲P（t）和D（t）（5.4.2；5.4.3）及其组件Pxi、Pyi、Dxi、Dyilet的方程，通过方程（A.5.3）的dz=dxdy进行积分：  （A.6.3）由于关系式（3.4；3.5）和类似关系，涉及脉冲Dxi、Dyiobtain  （A.6.3.1）  （A.6.3.2）由于与（A.2.1）相同的原因，右侧的第一个积分（A.6.3）等于零，方程式（A.6.1；A.6.2）的形式为（i=1，…n）：          （A.6.4）  （A.6.5）由于（A.1）沿每个风险轴的脉冲Pxi（t）、Pyi（t）、Dxi（t）、Dyi（t）无法保持明确标志，因为在这种情况下，它们将达到最大或最小边界（A.1）。

因此，沿各轴的脉冲必须波动，方程（A.6.4；A.6.5）描述了频率ωi，νi的最简单谐波振荡：            （A.6.6）            （A.6.7）            （A.6.8）方程（A.6.6-A.6.8）描述了脉冲Pxi（t）、Pyi（t）、Dxi（t）、Dyi（t）沿各风险轴以不同频率ωi，νifor i=1，。。n、 频率ωi，i=1，。。n描述与债权人交易波动相关的可能波动，坐标x=（x，…xn）。频率νi，i=1，。。n描述借款人在坐标y=（y，…yn）上引起的振荡。（A.6.7-8）的溶液具有以下形式：        （A.6.9）     （A.6.10）因此，债权人和借款人在电子空间上的运动会引起宏观交易脉冲的振荡（A.6.9-10），这些脉冲具有不同的频率ωi和νialong风险轴xior yi。为了推导由（A.3.1；A.3.2）确定的Pz（t）和Dz（t）的方程式，让我们定义它们的组件pzxi（t）；Pzyi（t）；Dzxi（t）；Dzyi（t）as：（A.7.1）（A.7.2）关系（A.3.1；A.3.2）可以表示为：（A.7.3）（A.7.4）要定义Pzxi（t）、Pzyi（t）、Dzxi（t）、Dzyi（t）上的方程式，请使用方程式（A.6.1；A.6.2）。

由xind得到的Let\'smultiply方程（A.6.1）由dxdy得到积分    第二个积分等于零，原因与（A.2.1）相同。让我们按部分进行第一次积分：  右边的第一个积分等于零，我们得到：     （A8.1）让我们表示为 （A.8.2） （A.8.3）因此，关于Pzxi（t）、Pzyi（t）、Dzxi（t）、Dzyi（t）的方程式如下：        根据上述关系式（A.6.6），Pzxi（t）、Pzyi（t）、Dzxi（t）、Dzyi（t）可表示为： （A.8.4） （A.8.5）           （A.8.6） （A.8.7）要关闭ODE系统（A.4；A.8.4-7），让我们推导关于ECxi（t）、ECyi（t）、ERxi（t）、ERyi（t）的方程。让我们概括一下，关系式（A.8.2；A.8.3）与速度平方的乘积成正比，速度的平方与流动能量的平方和速度的乘积是一样的  （A.8.8）  （A.8.9）让我们把ECxi（t）和ECyi（t）看作沿每个轴xind yi的EC（t）的组件。关系式（A.8.8-9）类似于质量为C（t）和平方速度为ν（t）的粒子的动能，为了方便起见，我们进一步称EC（t）和ER（t）为相应流动的能量。

由于不存在关于因子EB（t）和ER（t）的守恒定律，因此这些相似性没有进一步的类比。关于ECxi（t，z）和ECyi（t，z）的方程式的形式类似于（4.1）：      （A.9.1）    （A.9.2）我们建议系数QECxitake对角线矩阵的形式为：   （A.9.3）         （A.9.4）          （F.9.5）          （A.9.6）            （A.9.7）与推导脉冲Pxi（t）、Pyi（t）、Dxi（t）、Dyi（t）（A.6.4-A.6.8）方程类似，方程（A.9.1-7）给出了关于ECxi（t）、ECyi（t）、ERxi（t）、ERyi（t）的方程：            （A.10.1）            （A.10.2）（A.9.1-A.9.7）的经济含义如下：“能量”ECxi（t）、ECyi（t）、ERxi（t）、ERyi（t）通过指数exp（γxit）和exp（γyit）在时间上增长或衰减，每个风险轴i=1，。。n、 这里，γxid定义了由信贷人沿xian和γyi轴的运动引起的ECxi（t）在时间上的指数增长或衰减，同时描述了借款人沿yi轴的运动引起的ECxi（t）在时间上的指数增长或下降。二溪（t）、二一（t）分别有效。