CEV模型的初等函数解类。我

emp-loying光谱理论（例如，见[29]和[30]）的定价（奇异）期权也采用了幂级数表示的函数，也属于这一类。在第二类中，（奇异）期权的定价是通过CEV过程的离散近似来实现的：通过使用二项式树方法【31】、三项式树方法【33】、蒙特卡罗方法【32】对CEV过程进行离散近似。毋庸置疑，上述文献回顾远未详尽无遗，仅强调了当前CEV差异下pr结冰方案研究的两个主要趋势。4关于“封闭”的概念-表格“解决方案”此时，宜就“已关闭”一词的含义发表评论-表格“有关期权定价的文献中使用的解决方案”，无论是BSM模型还是CEV模型。这一术语并不意味着，正如人们可能预期的那样，在不实施某种近似方案的情况下，解决方案会给出期权定价的答案。相反，正如我们在下文所述，在BSM模型和C EV模型的情况下，我们必须求助于某种近似值，以便使用定价公式对期权进行估值。Black和Scholes发现了著名的欧式普通电话定价公式，并将BSM PDE转化为“热量方程”。这种偏微分方程以热在连续介质中的传播为特征，在物理学中得到了广泛的研究。根据适当的边界条件，其基本解是高斯密度函数（如[34]，第81页）。

Black和Scholes通过将此解转换回BSM PDE中出现的初始依赖和独立变量，找到了期权定价公式。Black和Scholes推导出的期权定价公式在文献中被描述为“封闭式-表格“解决方案”。然而，我们必须记住，为了从中提取任何具体信息，我们需要计算积分N（di）=√2πRdi-∞e-sds，其中diare适用于适当的限值，数值上采用正交ru-les，如Simson\'s Rule或Gauss-ian ru-le。此外，在CEV模型的情况下，Cox[6]推导出的β<0的定价公式，Emanuel和MacBeth[8]推导出的β>0的定价公式，以及Schroder[9]推导出的定价公式，仅在实施某种近似方案后才给出期权定价的答案。例如，正如我们在第3小节中所指出的，在薛定谔定价公式的情况下，其表示为-中央Chi-平方分布函数（squaredistribution Function），有一个完整的正在进行的文献（[13]、[14]、[15]、[16]、[17]、[18]，仅提及其中很小的一部分）对近似值进行了有效和快速的评估。当2β属于integers时，这些解类将与本文推导的CEV模型的解类并列。我们在本文中得出的各类解不涉及任何以级数表示的积分或函数，我们也不需要任何中间近似方案来使用这些解对各种金融工具进行定价。

因此，我们在本文中得出的解决方案补充了第3小节中描述的第一类解决方案，用于CEV差异下的期权定价。5 BSM PDE和BSM ODEBlack、S choles和Merton的推导得出了基本的观察结果[1、2、3]，即如果一个人能够完美地对冲期权，那么他也可以对其定价。原因是一个完全对冲的投资组合没有不确定性，因此存在风险-由即期利率r给出的自由收益率。总之，其推导如下：考虑一个包含一个期权和- 标的资产单位。投资组合的价值为∏=V-  · St，（1）其中 要确定，Sti是时间t的资产价值，V=V（S，t）是期权的价值。假设资产价值具有对数正态动力学，即满足SDEdSt=rStdt+σStdWt，（2）其中dSt=St+dt-Sti是资产价值从t到t+dt的变化，σ是标的资产价值每单位时间（波动率）的标准偏差，WT是维纳过程。方程式（2）表示，从t到t+dt的资产价值变化百分比通常随平均udt和方差σdt分布。我们假设V∈ C2,1（R×[0，T]），所以通过应用Ito引理，我们得到了投资组合价值的变化由：d∏=dV给出-  · dSt公司=五、tdt公司+五、SdSt公司+五、S（dSt）- · dSt公司=五、t+σS五、Sdt公司+五、S- dSt。（3） 如果我们选择 =五、投资组合∏价值的变化d∏对基础资产价值的随机变化不再敏感，我们得到：d∏=五、t+σS五、Sdt。（4） 因此，选择 =五、Syields是一个完全对冲的投资组合，即没有不确定性的投资组合。由于投资组合中不存在不确定性，根据无套利原则，其价值必须与银行账户中的风险相同-自由利率r。

如果∏的回报率大于r，那么人们只会冒着风险接受贷款-自由利率r并购买投资组合∏以获得有担保的收益。相反，如果∏的回报率小于r，则只需做空投资组合并将其投资于银行。然而，这是由无套利原则决定的，因此我们必须有：d∏=r∏dt=r（V-  · St）dt。（5） 通过组合方程式（4）和（5），我们得出五、t+σS五、S+rS五、S- rV=0。（6） 这是BSM PDE。对于BSM PDE，这是一个后向抛物方程，我们必须指定最终和边界条件，否则PDE没有唯一的解。例如，对于行使价格为E且到期日为t的普通欧洲看涨期权c（S，t），最终条件是在Tc（S，t）=max（S- E、 0），对于所有S≥ 0.（7）资产-p莱斯边界条件应用于零资产价格，S=0，和S→ +∞. 在S=0时，我们有c（0，t）=0，f或所有t≥ 0。（8）第二个边界条件，如S→ +∞, 读SC（S，t）~ S-Ee公司-r（T-t） ，作为S→ +∞, 对于所有t≥ 0。（9）此外，对于普通欧洲看跌期权p（S，t），最终条件是Tp（S，t）=max（E）时的支付- S、 0），对于所有S≥ 0.（10）资产-价格边界条件在资产价格为零、S=0和S时再次应用→ +∞. 在S=0时，假设利率不变，我们得到p（0，t）=Ee-rt，对于所有t≥ 0.（11）作为S→ +∞, 期权不太可能行使，因此对于t>0，我们有p（S，t）→ 0，作为S→ +∞, 对于所有t≥ 0.（12）这些最终条件和资产-价格边界条件Blackand Scholes[1，2]和Merton[3]分别推导了欧洲看涨期权和看跌期权的定价公式。这些公式基本上就是所谓的热方程的基本解（见e.g.[34]，p。

81），这是高斯密度函数。我们注意到，美式期权的数学分析比欧式期权更为复杂。对于任何给定的自由边界问题，几乎总是不可能找到一个有用的显式解，因此，主要目的是构造高效的robus t数值方法进行计算。与ODE相比，PDE没有统一的理论。有些方程有自己的理论，而另一些方程则根本没有理论。偏微分方程形式的解通常是有限的-维空间，有各种各样的方法来探索这个解空间。这也适用于BS M PDE（6）。这是第二次-阶线性非齐次可分后向抛物型偏微分方程。解线性非齐次可分偏微分方程的一种方法是分离变量法。在这种方法中，这种包含n个自变量的偏微分方程被转换为n个常微分方程。尤其是分离变量sv（S，t）=A（S）B（t）（13）的BSM PDE（6）被简化为以下一对常微分方程σsdad+rSdAdS-（r+λ）A=0，（14）dBdt+λB=0，（15），其中λ是任意常数。我们将ODE（14）命名为BSM ODE。

常微分方程（14）和（15）的通解分别由a（S）=αSξ+ζ2σ+βSξ给出-ζ2σ，（16）式中，ξ=σ- 2r，ζ=p（σ- 2r）+8σ（r+λ），（17）和，B（t）=γe-λt，（18），其中α、β和γ为任意常数。从方程式（13）、（16）和（18）可以很容易地得到BSMPDE（方程式（6））的以下解v（S，t）=e-λt（aSξ+ζ2σ+bSξ-ζ2σ），（19），其中a，b任意常数和ξ，ζ在方程式（17）中规定。值得注意的是，产生Black、Scholes和Merton定价公式的热方程的基本解和本文推导的CEV模型的解都是通过利用对称性获得的，尽管是不同对象的对称性；我们在第7节中详细阐述了这个问题。热方程的基本解是所有数学中最基本的公式之一。它是著名的高斯或正态密度概率论。它描述了给定位置处的初始热量。它可以通过多种不同的方式导出。也就是说，它可以通过傅里叶变换推导（参见[35]p.98，p.99），也可以通过使用热方程的李对称性推导。

事实上，利用热方程的liesymmetrics，可以用两种不同的方式导出基本解。一个推导是由热方程在一个-参数是一组扩张（[34]p.91，p.92和[36]p.119）。另一个推论（【36】p.119，p.120）来自热方程的对称性，这是从基本物理原理无法预测的，只能通过将对称性李理论应用于热方程来获得。值得注意的是，最后一个推导是三个推导中最简单的。BSM PDE的简单对数和幂解，不仅不缺乏财务利益，而且作为一种交易工具吸引了越来越多的关注，都是通过分离变量得出的（见[35]，第127页，第132页）。不需要诉诸对称原则。为了推导本文中CEV模型的简单解类，我们采用了一种混合方法：我们将对称性原则应用于C EV ODE，而不是CEV PDE本身，这是通过分离变量从CEVPDE获得的，因此我们首先获得了CEV ODE的s impler解类。然后，CEVODE的简单解类很容易将简单解类引入CEV PDE。CE V ODE和CEV PDE的推导类似于BSM ODE和BSM PDE的推导，第6.1.6小节对CEV PDE和CEV ODECox的推导进行了概述[6]，认为当Q=0dSt=（r- q） Stdt+αSβ+1tdWt，（20），其中q是股息收益率参数，瞬时波动率被指定为基础现货价格的幂函数，σ（S）=αSβ，α是波动率尺度参数。

简单的计算表明，β是波动率σ（S）的弹性。弹性参数β是模型的核心特征，控制着基础资产的波动性和价格之间的关系。引入d ividend收益率参数q，以免除BSM模型中的必要假设，即标的资产在期权有效期内不支付股息。第5节规定了dSt、r、WTR。CEV差异模型似乎是BSMmodel的自然延伸。事实上，正如第6小节所指出的那样，CEV模型包含了之前的期权定价模型。对于β=0，β=-1/2和β=-1 CEV模型分别简化为BSM模型[1，2，3]，正方形-Cox和Ross的根模型[7]，以及Bachelier模型[23]。第2.2小节明确指出，CEV模型的性能优于BSM模型【26，27】。此外，在[37]中，Beckers在实证研究的基础上考虑了CEV模型及其对期权定价的影响，并得出结论，CEV类可以比传统使用的对数正态模型更好地描述实际股价。6.1 CEV PDE和CEV ODE CE V ODE和CEV PDE的推导类似于BS M ODE和BSM PDE的推导。为了澄清这两个派生词之间的异同，我们给出了所需的详细信息。考虑一个包含一个选项和- 基础资产的单位。投资组合的价值为∏=V-  · St，（21）其中 要确定，Sti是时间t的资产价值，V=V（S，t）是期权的价值。

假设资产价值满足De（方程式（20））dSt=（r- q） Stdt+αSβ+1t。我们假设V∈ C2,1（R×[0，T]），所以通过应用Ito引理，我们得到了投资组合价值的变化由：d∏=dV给出-  · dSt公司=五、tdt公司+五、SdSt公司+五、S（dSt）-  · dSt公司=五、t+αS2β+2五、Sdt公司+五、S- dSt。（22）选择 =五、Syields是一个完全对冲的投资组合，即没有不确定性的投资组合。通过此选择，手册∏值中的变化d∏由以下公式给出：d∏=五、t+αS2β+2五、Sdt。（23）由于投资组合中没有不确定性，其价值的变化d∏必须等于tod∏=（r- q） ∏dt=（r- q） （五）-  · St）dt，（24），其中r是风险-自由利率和q是股息收益率参数。通过组合方程式（23）和（24），我们得出五、t+αS2β+2五、S+（r- q） S五、S- （r）- q） V=0。（25）这是CEV PDE。对于CEV PDE，这是一个后向抛物方程，我们必须指定最终和边界条件，否则PDE没有唯一解。例如，对于行使价格为E且到期日为T的普通欧洲看涨期权和看跌期权，最终条件和边界条件如第5节所述。求解线性齐次可分离偏微分方程的一种方法是分离变量法。特别地，分离变量sv（S，t）=C（S）D（t）（26）的CE V PDE（25）被减少为以下一对常微分方程αS2β+2dCdS+（r- q） SDCD- （r）- q+λ）C=0，（27）dDdt+λD=0，（28），其中λ是任意常数。我们将颂歌（27）命名为CEV颂歌。ODE（28）的通解为byD（t）=δe-λt，（29），其中δ为任意常数。

例如，ODE（27）的一般解在[28]中给出，其读数为sc（S）=εC（S）+ζC（S），（30），其中ε，ζ是任意常数，C（S），C（S）分别由C（S）给出=Sβ+exMk，m（x），β<0Sβ+exWk，m（x），β>0（31）和，C（S）=Sβ+exWk，m（x），β<0Sβ+exMk，m（x），β>0（32），其中Mk，m（x）和Wk，m（x）是Whittaker函数（参见例如[38]，第13章，p.505），和，x=| r- q |α|β| S-2β，=符号（（r- q） β），（33）k=+4|β|-r- q+λ2 |（r- q） β|，m=4 |β|。（34）惠塔克函数Mk，m（x）和Wk，m（x）分别用第一类和第二类F和U的流动几何函数的s来定义（见e.g.[38]，第13章，第504页）-505）如下Mk，m（x）=e-xxm+Fm级- 钾离子，1+2m；x个, （35）周，m（x）=e-xxm+Um级- 钾离子，1+2m；x个. （36）从方程式（26）、（29）、（30）、（31）和（32）中，很容易得到CEV PDE（方程式（25））的以下解V（S，t）=e-λt（cC（S）+dC（S）），（37），其中c，d是任意常数。我们注意到，当β=0时，CEV ODE的解空间（方程（27））由Liouvillian解Sξ+ζ2σ和Sξ跨越-ζ2σ，其中，（38）ξ=σ- 2（右- q） ，ζ=p（σ- 2（右- q） ）+8σ（r- q+λ）。（39）因此，在这种情况下，CEV ODE的通解为Liouvillian，由a（S）=eSξ+ζ2σ+f Sξ给出-ζ2σ，（40），其中e，f是任意常数。