CEV模型的初等函数解类。我

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英文标题：
《Classes of elementary function solutions to the CEV model. I》
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作者：
Evangelos Melas
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  The CEV model subsumes some of the previous option pricing models. An important parameter in the model is the parameter b, the elasticity of volatility. For b=0, b=-1/2, and b=-1 the CEV model reduces respectively to the BSM model, the square-root model of Cox and Ross, and the Bachelier model. Both in the case of the BSM model and in the case of the CEV model it has become traditional to begin a discussion of option pricing by starting with the vanilla European calls and puts. In the case of BSM model simpler solutions are the log and power solutions. These contracts, despite the simplicity of their mathematical description, are attracting increasing attention as a trading instrument. Similar simple solutions have not been studied so far in a systematic fashion for the CEV model. We use Kovacic\'s algorithm to derive, for all half-integer values of b, all solutions \"in quadratures\" of the CEV ordinary differential equation. These solutions give rise, by separation of variables, to simple solutions to the CEV partial differential equation. In particular, when b=...,-5/2,-2,-3/2,-1, 1, 3/2, 2, 5/2,..., we obtain four classes of denumerably infinite elementary function solutions, when b=-1/2 and b=1/2 we obtain two classes of denumerably infinite elementary function solutions, whereas, when b=0 we find two elementary function solutions. In the derived solutions we have also dispensed with the unnecessary assumption made in the the BSM model asserting that the underlying asset pays no dividends during the life of the option.
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中文摘要：
CEV模型包含了一些以前的期权定价模型。模型中的一个重要参数是参数b，即波动弹性。当b=0、b=-1/2和b=-1时，CEV模型分别简化为BSM模型、Cox和Ross的平方根模型和Bachelier模型。无论是BSM模型还是CEV模型，从普通的欧洲看涨期权和看跌期权开始讨论期权定价已成为传统。对于BSM模型，更简单的解决方案是日志和电源解决方案。尽管这些合约的数学描述很简单，但作为一种交易工具，正吸引着越来越多的关注。迄今为止，还没有系统地研究CEV模型的类似简单解。我们使用Kovacic算法推导出，对于b的所有半整数值，CEV常微分方程的所有“正交”解。通过分离变量，这些解产生CEV偏微分方程的简单解。特别是，当b=-5/2,-2,-3/2,-1, 1, 3/2, 2, 5/2,..., 我们得到了四类可数无穷的初等函数解，当b=-1/2和b=1/2时，我们得到了两类可数无穷的初等函数解，而当b=0时，我们得到了两类可数无穷的初等函数解。在导出的解决方案中，我们还免除了BSM模型中不必要的假设，即标的资产在期权有效期内不支付股息。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Classes_of_elementary_function_solutions_to_the_CEV_model._I.pdf (379.8 KB)

2022-6-10 00:20:58 上传

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关键词：cev Mathematical Differential respectively Quantitative

迄今为止，尚未系统地研究EV模型的类似简化解。我们使用Kovacic算法推导出-β的积分值，CEV或二元微分方程的所有“正交”解。这些解决方案通过分离变量，emelas@econ.uoa.grtoCEV偏微分方程的简单解。特别是，当β=。。。，-, -2.-, -1, 1,, 2,, ..., 当β=-和β=我们得到了两类可数有限元函数解，而当β=0时，我们得到了两类基本函数解。在衍生解决方案中，我们还通过做出一些关键假设，免除了BSM模型中的不必要假设，即标的资产在期权n.1引入期间不支付股息，大约45年前，Black和Scholes[1，2]，以及独立的Merton[3]（另见[4]），开发了金融期权定价中使用最广泛的模型（以下简称“BSMmodel”）。BSM模型指出，通过不断调整投资组合中股票和期权的比例，投资者可以创建一个无风险的对冲投资组合，消除所有市场风险。他们被带到一个PDE，黑色-斯科尔斯-默顿偏微分方程（PDE）（以下简称“BSM PDE”），该方程控制期权价格随时间的变化。Black和Scholes，以及随后的Merton，通过将BSM PDE转换为“热方程”，为欧洲看涨期权和看跌期权制定了定价公式。

“热方程”是一个著名的抛物型偏微分方程，物理学家对其进行了广泛的研究，它描述了在给定初始和边界条件下，空间某一区域的热分布随时间的演化。Black和Scholes以及随后的Lymerton推导的定价公式包含高斯概率密度函数（参见例[5]），因此，需要某种近似方案，以便从该公式中提取期权定价的任何具体信息。该模型还假设，波动率（对期权合同下资产未来可变性的估计）在期权寿命期间保持不变，但事实并非如此，因为波动率随供求水平而变化。BS M模型中的常波动假设经常导致与市场数据不一致的结果。为了改善这种差异，在[6]中提出了恒方差弹性模型差异过程（以下简称“CEV模型”）（在[7]中，模型中加入了各种不同的累积过程），以模拟普通股的异方差和杠杆效应。模型中的一个重要参数是波动率β的弹性，它控制着波动率和价格之间的关系。[6]中给出了欧洲期权在CEV差异下的定价公式，其中β<0，β>0在[8]中给出。总之，CEV定价公式由伽玛密度和生存函数的一对有限总和组成，其推导取决于风险-中性定价理论[6，8]。Schroder在[9]中取得了突破，他表达了β的所有值的pricingformula，以非-中央Chi-平方分布，这大大方便了计算。

CEV模型在[10,11,12]中得到了进一步研究。有大量文献使用不同的近似方案（例如，参见[13]、[14]、[15]、[16]、[17]和[18]）来有效评估互补非对称性- 中央Chi-平方分布函数，并且只有在应用这种近似方案后，才能从Cox【6】和Emanueland MacBeth【8】的定价公式中获得具体信息，用于CEV差异下的欧式期权定价。1.1在BSM模型和C EV模型中，更简单的解决方案已经变得相当传统，从普通的欧洲看涨期权和看跌期权开始讨论期权定价。其他仪器通常被标记为“外来”。然而，对于这两个模型，有比标准调用和put更简单的解决方案。从数学上讲，这使得有必要首先调查更简单的案例。我们可以了解期权的行为，而无需引入任何中间近似方案。更重要的是，我们不允许自己过早地将注意力集中在那些案例上，从而被卷入任何草率的泛化或普通欧洲案例的影响之中。对于BSM模型，更简单的解决方案是日志和电源解决方案。尽管这些合同的数学描述很简单，但它们肯定不会缺乏财务利益【19、20、21】。相反，此类合同作为一种交易工具正日益受到关注。例如，我们顺便注意到，1994年，安东尼·纽伯格（AnthonyNeuberger）通过使用日志解决方案，推出了一种简单但非常独特的产品，日志合同。

该合约将永远改变我们对波动性的看法，并为20世纪90年代末引入方差掉期和2003年CBOE推出的新波动性指数VIX奠定基础。虽然纽伯格当时可能还没有意识到这一点，但他所做的是启动一个过程，通过这个过程，波动性将不再是一个数学上的抽象概念，而是成为一种有形资产。迄今为止，还没有系统地研究CEV模型的类似简化解。这是我们在本文中承担的任务。我们为CEV模型找到了更简单的解决方案。在下一小节中，我们定义了更简单的解决方案的含义以及如何获得它们。1.2贡献，CEV模型的更简单解通过使用g Kovacic的算法[22]，我们发现了CEV模型的更简单解的类别，共有一半-β的整数值。这里的简单解是指用初等函数表示的解。最重要的是，我们不需要任何中间近似方案来从这些解决方案中获得具体信息，以便在适当的初始和边界条件下对金融工具进行定价。这与第3节所述的欧式看涨期权和看跌期权的定价公式相反，欧式看涨期权和看跌期权的定价公式仅在采用适当的近似方法后提供期权定价信息。特别是通过使用Kovacic算法[22]，我们获得了CEV ODE的Liouvillian解类，并且我们通过分离变量，从初等函数的角度给出了CEV PDE的全部一半解-β的整数值。Kovacic的算法将找到具有复杂有理函数系数的线性二阶齐次常微分方程的所有可能的Liouvillian解（即，本质上，所有关于质量的解）。

此后，可解性指数意味着，当我们只剩下评估一个反作用力时，我们考虑求解一个微分方程。给出了我们在CEV ODE中找到的Liouvillian解的全部一半-第9节中β的整数值，本质上是多项式的乘积，是第一类非对称超几何函数，具有指数函数和自变量的幂。通过分离变量，这些针对CEV ODE行业的刘维尔解，针对CEV PDE的初等函数的解。CEV PDE的这些更简单的解决方案易于分析操作和使用，因此，可以与CEV PDE的解决方案并列，这些解决方案是根据CEV模型下期权定价的现有文献第一类第3节中描述的幂率给出的。本文的组织结构如下：第2节给出了CEV模型的基本要素，并将CEV模型与BSM模型进行了比较。第3节简要回顾了有关CEV差异下期权定价的文献。第4节对“关闭”一词的含义进行了说明-表格“期权定价文献中使用的解决方案”，无论是BSM模型还是CEV模型。第5节推导了BSM PDE和相关ODE。第6节推导了CEV PDE和相关ODE。在第7节中，我们解释了Kovacic算法是Picard的一个应用-Vessiottheory到线性二阶齐次常微分方程并追踪Picard的起源-Vessiot理论到Galois多项式理论。在第8节中，科瓦西奇的算法应用于CEV ODE。在第9节中，获得了CE V方程的Louvillian解类，并给出了CE V偏微分方程的相关解-β的整数值。

在第10节中，我们概述了未来研究的前景。最后，在附录中，我们给出了科瓦西奇算法的概要。2 CEV和CEV与BSM构建Black、Scholesand Merton[1、2、3]设想的投资组合的能力取决于资产价格的连续交易假设和连续样本路径。BSM模型推导中的其他假设为：o资产价格遵循对数正态随机游走标的资产的波动性在期权合同期限内保持不变风险-自由利率r为常数且已知未折旧资产在期权有效期内不支付股息没有套利机会允许卖空（允许充分利用卖方的资金）。o可交易标的资产的部分份额。BSM模型也适用于任何目前还不确定未来的金融工具。基本上，这与期权的价格有关，但任何与之模糊相关的东西，如公司债务，对其工厂来说都是同样危险的。波动率，衡量一只股票在近-术语可能是任何期权定价模型中最重要的单一输入。在BSM模型中，假设波动率是一个常数超时。这意味着在期权合约的整个生命周期内，回报的方差是恒定的，市场参与者都知道这一点。2.1 CEV模型虽然波动率在短期内可能相对恒定，但在长期内却不恒定。在此之前，BlackScholes的这一缺点得到了补救-需要默顿模型。考克斯（Cox）[6]提出的CEV模型就是这种补救方法的一个例子。CE V的pot价格模型是-瞬时波动率被指定为基础现货价格的幂函数，σ（S）=作为β的指数扩散模型。

Cox将其作为BSM模型中假设的几何布朗运动的早期替代方法之一引入资产价格建模（另见[7]，其中引入了资产价格的替代随机过程）。CEV随机过程与贝塞尔过程密切相关，具有分析可处理性。事实上，CEV差异存在期权定价公式的分析形式；对于β<0，由Cox给出[6]，对于β>0，由MacBeth and Merville给出[8]。随后，Schroder[9]在这两种情况下都表示了期权定价公式的互补性-中央Chi-方形分布函数。对于β=0，CEV模型简化为Black、Scholes和Merton模型中采用的恒定波动几何布朗运动过程。当β=-1、波动率规格为Bachelier（资产价格具有恒定的差异系数，而资产价格的对数具有a/S波动率）。我们顺便提到，巴赫·埃利尔（Bach elier）[23]的工作已经被遗忘了很长一段时间，至少在金融界是如此，并在20世纪60年代被保罗·萨缪尔森（Paul Samuelsoni）等数学经济学家重新发现。最近，由于它假设利率可能为负，因此再次流行起来。对于β=-1/2模型缩小到方形-Cox和Ross的根模型[7]。因此，考克斯没有假设波动率不变，而是将波动率表示为标的资产价格的函数。这正是CEV模型的主要优势：基础资产的波动率与其价格水平相关联，从而表现出隐含波动率微笑（或隐含波动率偏斜），这是一个凸的、单调递减的行使价格函数，类似于在实践中观察到的波动率微笑曲线（例如，参见[24]）。

CEV框架也与so一致-如实例[25]所述，被称为杠杆效应（即股票回报率与已实现股票波动率之间存在负相关）。2.2 CEV与BSMIn【26】、MacBeth和Merville通过仿真和实例比较了BSMand CEV模型的性能。他们的结果表明，CEV模型具有更好的性能，这低于-这个-货币看涨期权和定价过高-属于-货币看涨期权。在[27]中，Dias和Nunes指出，使用标准几何布朗运动假设的公司面临着严重的分析错误，这可能导致-最佳投资和撤资决策。鉴于在对数正态假设下，波动率不变并不能反映在广泛的市场和基础资产中观察到的隐含波动率微笑效应，Dias和Nunes使用了CEV差异过程，并给出了永久美国-CEV差异下的s型看涨期权和看跌期权。他们的研究结果强烈强调了超越基于对数正态假设的模拟实物期权模型，转而采用更现实的模型，并结合波动率微笑效应。3文献回顾CEV差异过程已被广泛用于解决几个金融期权定价问题。特别是，对于β<0，Cox【6】和Emanuel和MacBeth【8】分别用标准互补gamma分布函数和标准互补gamma分布函数表示了eCEV看涨期权定价公式。

随后，Schroder[9]h as扩展了CEV模型，用互补非对称性表示相应的公式-centralChi公司-方形分布函数。有大量文献致力于有效计算互补非-中央Chi-平方分布函数，具有几种可选表示（例如，请参见[9]、[13]、[14]、[15]、[16]、[17]和[18]）。在回溯和障碍选项等奇异选项的情况下，情况更加复杂。Dav y dov和Linetsky【28】利用基于期权p rice拉普拉斯变换数值反演的模型，评估了CEV过程下的欧洲回溯期权。为了评估ookback选项，Linetsky[29]使用了光谱理论。在[30]中，Davydov和Linetsky，定价单一-屏障和双-再次使用光谱理论，在CEVdi扩散过程下选择屏障。在[31]中，Costabile使用二项式过程来模拟CEV过程和定价回溯选项。Boyle、Tian和Imai【32】利用蒙特卡罗模拟解决了同样的问题。在[33]中，Boyle和T ian定价为单曲-屏障和双-数值三项式晶格框架中CEV微分过程下的势垒选项。因此，到目前为止，在CEV差异下的期权定价工作可以方便地分为两类：1。在第一类中，定价公式以闭合形式给出-形式【6，8，28】，在薛定谔的工作【9】之后，用补足非-中央空调-平方分布函数。有大量文献（[13]、[14]、[15]、[16]、[17]和[18]）致力于有效计算互补非- centralChi公司-平方分布函数，具有多种可选表示和相关的近似方案。