CEV模型的初等函数解类。我

正如所料，解A（S）只不过是解A（S）（方程式（16）），其中r已被r替换- q、 从方程（26）、（29）和（40）中，我们得出结论，当β=0时，很容易得到CEV PDE（方程（25））的以下解V（S，t）=e-λt（gSξ+ζ2σ+hSξ-ζ2σ，（41），其中g，h为任意常数。7科瓦西奇算法据我们所知，科瓦西奇算法尚未应用于经济学领域出现的问题（作者将科瓦西奇算法应用于经济学领域出现的问题的唯一参考文献是[39]但在本参考文献中，作者并未使用科瓦西奇算法推导经济模型的新解，而是对科瓦西奇算法在某些金融模型中的可能应用进行了评论）。这将与连续对称李理论对经济学领域中出现的问题的大量应用并列（参见例如[40]和其中的参考文献）。科瓦西奇的算法是Picard的成果-Vessiot理论，将其应用于具有有理函数系数的线性二阶齐次常微分方程。有趣的是Picard-Vessiot理论和Lie理论起源于同一个理论，Galois多项式理论。在第7.1小节中，我们重点介绍了这些理论的主要结果，以及这些结果与它们起源的主要结果，即伽罗瓦多项式理论的关系。通过这样做，我们突出了微分方程和抽象代数之间的主要联系之一- 一个不常被强调的问题。这种联系与方程的可解性有关。在ab stract代数的情况下，我们得到了多项式方程可由r ad icals解的当且仅当多项式的Galois群是可解群。

微分方程的结果是，如果方程允许一个可解群，那么它可以通过求积来解。7.1伽罗瓦理论、李理论、皮卡尔-Vessiot理论Galois多项式理论背后的思想【41，42，43】是将一个多项式关联到一个群，Galois群，它是保留这些根之间所有代数关系的根的对称性群，并从该群的性质推断出根的性质。例如，一个可解的伽罗瓦群意味着根可以用根的s表示，而对称群Snforn≥ 5是不可解的，因为没有通用公式来提取五次或五次以上多项式方程的根。设p（x）=0是一个不可解的多项式方程，其系数在F域内。p（x）的Galois群的每个元素置换p（x）的根，并保持根满足的所有代数关系不变。这允许将p（x）的伽罗瓦群描述为一组场扩张的自同构：设a为F场扩张的自同构群，F场扩张由F与多项式方程p（x）=0的根邻接而成。Galois群是一个定点离开F元素的s子群。Galois理论推动了微分方程理论的两大发展：微分方程连续对称的李群理论[44，45]，以及Picard-由线性微分方程的解生成的微分场扩展的Vessiot理论【46、47、48】。皮卡德-Vessiot理论在精神上更接近伽罗瓦理论，而非谎言理论。在Picard-Vessiot理论一用不同的领域取代领域：领域与派生D。

正如将多项式方程的根邻接到一个场可以扩展场一样，将微分方程的根邻接到一个场可以扩展微分场。与伽罗瓦理论一样，我们可以形成一个不可约线性齐次常微分方程E的微分伽罗瓦群，其系数在F（x）场中。E的微分伽罗瓦群是微分域F（x）扩张的自同态群，使得F（x）的元素保持不变。Picard的主要成果-Vessiot理论认为，线性齐次微分方程可以通过求积来求解，当且仅当其微分Galois群可解时。皮卡德-Vessiot理论属于微分代数的范畴。李构建其理论的动机是希望将Galois（和Abel[49]）开发的理论扩展到微分方程。

如果可以利用代数方程的离散不变性群生成用根求解代数方程的算法，那么可以利用微分方程的连续不变性群通过求积求解微分方程吗？事实上，Lie在1894年[45]表明，作为一个代数方程，如果它的Galois群是N，则它是可由根解的-阶可解群-阶常微分方程可以通过求积进行积分，如果它允许一个可解的n-参数对称组。有两个关键思想奠定了李氏理论的基础并使其得以发展：第一个关键思想是李氏在替代复杂的非线性不变性条件方面的巨大进步-通过一个非常有用的线性微元条件，参数Lie组变换，并认识到如果分析函数满足微元条件，它也满足有限条件，反之亦然。Lie理论的第二个关键思想是他对微分方程的独特观点：常微分方程和偏微分方程可以视为空间中的局部分析函数其坐标是自变量、依赖变量以及一个变量相对于另一个变量的各种导数。这特别意味着我们可以推导出-参数李群通过应用第一个关键思想保持ODE或PDE不变。事实证明（参见第129页示例[50]）这可以通过两个步骤来实现-步骤过程。在第一步中，我们对向量场进行排序，其积分电流为一的轨道-参数李群保持常微分方程或偏微分方程不变。在第二步中，我们使用这些向量场导出-保持ODE或PDE不变的参数组。这表明谎言理论属于局部微分几何的范畴。

索菲斯·李（Sophus Lie）本质上是一位几何学家，正是通过这个镜头，他看到了自己的大部分作品。另一方面，皮卡德-Vessiottheory属于微分代数领域。李理论适用于任何微分方程，而Picard-Vessiot理论仅适用于N阶线性非齐次常微分方程。人们期望，在n阶线性齐次常微分方程的情况下，这两种理论应该相互关联，因为这两种理论的一个主要结果是，如果n阶线性常微分方程允许一个可解群，那么它可以通过求积来解。然而，谎言理论和皮卡德之间的联系-Vessiot理论被隐藏了很长一段时间，主要是因为分隔局部微分几何和微分代数数学学科的明显墙壁。事实上，有证据支持这两种理论互不相关的共同观点。当Nibragimov在Lie对称性和Galois群之间找到一个平衡点时，他感到惊讶：他通过首先计算几个简单代数方程的Lie对称性，然后将对称群限制在所讨论方程的根上，从而构建了几个简单代数方程的Galois群。此后，出现了更多的研究微分伽罗瓦群和n阶线性齐次常微分方程李对称之间相互作用和联系的论文。我们已经强调了Picard的主要结果-Vessiot理论认为，如果一个n阶线性齐次常微分方程是一个可解群，那么它可以通过平方来解。

事实上，Picard和Vessiot进行了更深入的研究[46、47、48]，提出了N阶线性齐次常微分方程Liouvillian解存在的充分必要条件。粗略地说，刘维尔解是可以用指数、积分和代数函数表示的求积解；第7.2小节给出了刘维尔解的更精确定义。科尔钦（Kolchin）[54，55]给出了皮卡德（Picard）和维西奥（Vessiot）给出的关于刘维尔解存在性的标准的正式现代证明。这些结果导致了几个算法[56，57]来确定n阶线性非齐次常微分方程是否有刘维尔解。皮卡德-威少特-Kolchin理论和随后确定ifa n阶线性齐次常微分方程的算法承认，由于[58]中总结的几个事实（第4.3.4章），可以简化2阶线性齐次常微分方程的Liouvillian解。由此产生的算法本质上是Kovacic在[22]中提出的算法。Kovacic的算法[22]早于并推动了许多关于n阶一般线性齐次常微分方程Liouvillian解的工作。皮卡德的美丽描述-威少特-柯尔钦理论和科瓦西奇算法在辛格的讲座中给出【59】。7.2二阶方程的Liouvillian解科瓦奇算法[22]发现“闭合-形式“微分方程的解′+ay′+by=0（42），其中a和b是复变量x的有理函数，提供了“闭合-表单“解决方案存在。算法的安排方式是，如果没有找到解，那么就不可能存在解。“已关闭”-形式“解”指刘维尔解，即可以用代数函数、指数和不定积分表示的解。

（考虑到复变量的函数，无需明确提及三角函数，因为它们可以用指数表示。对数是不定积分，因此是允许的）。更具体地说，Liouvillian函数是一个复变量的函数，它是有限个算术运算（+，-, ×、÷）、指数、常数、代数方程的解和反导数。直接从定义可以看出，Liouvillian函数集在算术运算、组合和积分下是闭合的。它也是封闭和差异的。它不是封闭的基础和有限金额。所有初等函数都是刘维尔函数。油井示例-已知的刘维尔函数（但不是初等函数）是非元素积分，例如：误差函数、菲涅耳积分。所有刘维尔解都是代数微分方程的解，但并非相反。作为代数微分方程解但不是刘维尔函数的函数示例包括：贝塞尔函数（特殊情况除外）和超几何函数（特殊情况除外）。这种特殊情况是截断的反超几何函数，它在本研究中将具有特别重要的意义。更一般地，所有表示为幂级数（未截断）的函数都不是刘维尔函数。更精确的定义涉及到刘维尔油田的定义【22】，此处将不予以给出。设η为a（n开-零）微分方程（42）的刘维尔解。因此，这个微分方程的每个解都是刘维尔解。实际上，降阶方法产生了第二个解，即ηZe-Raη。（43）第二个解显然是Liouvillian解，两个解是线性独立的。

因此，任何解，作为这两者的线性组合，都是刘维尔解。一口井-因变量的已知变化可用于从微分方程（42）中消除涉及y′的项。Letz=eRay。（44）然后方程（42）yieldsz′\'+b-一-a′z=0。（45）方程（45）仍然具有有理函数系数，显然（见方程（44））y是刘维尔当且仅当z是刘维尔时。因此，假设微分方程（42）中缺少涉及y′的项，则失去了n根性。在给出科瓦西奇[22]得出的主要结果之前，我们首先介绍一些符号和术语。C表示复数，C（x）表示C上的有理函数。当ω解不可约代数方程∏（ω，x）=kXi=0Pi（x）（k）时，x的函数ω称为k次代数函数，其中k为正整数- i） 哦！ωi=0（46），其中Pi（x）是x的有理函数。Letν∈ C（x）（为了避免干扰，ν∈| C） 。那么下面的公式就成立了（[22]）定理1方程z′=νz，ν∈ C（x）（47）有一个李奥维尔解，当且仅当i t有一个形式为z=eRωdx（48）的解，其中ω是x的1、2、4、6或12次代数函数。科瓦西奇∏（ω，x）算法的研究基于ν极点的知识，包括构造和测试∏（ω，x）的有限个可能候选。如果没有发现∏（ω，x），则微分方程（47）没有刘维尔解。如果找到s uch a∏（ω，x），ω是方程（46）的解，那么函数η=eRωdx是（47）的Liouvillian解。如果ν（x）=s（x）t（x），（49）带s，t∈ C[x]，（C[x]表示C上的多项式），相对素数，则ν的极点是t（x）的零点，极点的阶数是t的零点的倍数。

νat的阶数∞ , o(∞), 定义为aso(∞) = 最大（0，4+dos- dot）（50），其中dos和dot分别表示科学和技术的领先程度（关于该定义的正确性，请参见第10页【60】；科瓦西奇最初给出了不同的定义，请参见第8页【22】）。在附录中，我们概述了科瓦西奇算法。这是Duval和Loday给出的算法改进版本的概要-理查德（Richaud）[60]。现在，除了该算法的原始公式[22]，我们还有几个版本和改进[60]、[61]、[62]以及对高阶方程的扩展[63]、[64]、[65]。[62]中给出的科瓦奇算法的公式可替代其原始形式[22]和之前提出的形式。它似乎更便于计算机实现，并已在Maple中实现。然而，对于奇点结构简单的微分方程，根据参数的不同，前面的算法形式，即[60]中给出的形式，似乎非常适合。此外，算法的原始公式【22】实际上由三个独立的算法组成，每个算法都重复相似的步骤。在【60】中，我们可以找到对原始公式的修改，将这三种算法统一并改进为一体。此表格非常方便申请，也是此处使用的表格。8 Kovacic算法的应用我们将Kovacic算法应用于CEV ODE（方程（27））αS2β+2dCdS+（r- q） SDCD- （r）- q+λ）C=0将方程式（27）的两侧除以CDSw的系数，得到方程式（42）dCdS+2（r- q） αS2β+1dCdS-2（右- q+λ）αS2β+2C=0。（51）一口井-因变量的已知变化（方程（44））可用于从微分方程（51）中消除涉及DCD的术语。LetC=eR2（r-q） αS2β+1dSC。

（52）然后方程（51）Yieldsdcs- νC=0，（53），其中ν=（q- r） +α（（2β- 1） （q）- r） +2λ）S2βαS2+4β≡s（s）t（s）。（54）我们注意到，等式（52）imp表明C是刘维尔的当且仅当C是刘维尔的。因此，有必要将Kovacic算法应用于等式（53）。关于等式（53）：1，现在有两条注释。如果ν是相对素数多项式s（s）和s的t（s）的比率，则可将科瓦西奇算法应用于方程（53）。这特别意味着2β必须是整数。科瓦西奇的算法首先为ν的极点赋值，即t（s）的零点，极点的阶数是t（s）零点的重数。它还将订单分配给∞. νat的阶数∞, o(∞),定义为（方程式（50））o(∞) = 最大（0，4+dos-dos）wher e dos和dot表示s和t的领先程度。这与∞ 作为ν的零。判定方程（53）所需考虑的情况承认，Liouvillian解在很大程度上取决于与ν和的极点相关的理论∞.第一句话限制β取一半-仅限整数值。经济标志的重要性在于，如果不同的一半-βresu lt的整数值，以ν、d的极点的不同为单位∞, 那么这一半-必须单独考虑β的整数值。在方程（53）的情况下，ν有一个单极，即数字0。设o（0）表示0的阶数。给出so（0）o的一个简单计算(∞)2 β = 2,3,... 2 + 4|β| 02 β = 1 4 12 β = 0 2 22 β = -1 1 42 β = -2.-3.0 2+4 |β| Kovacic算法的结构是这样的，情况2β=2，3。。。AND 2β=-2.-3.可以一起考虑。