移动障碍期权的路径积分定价

罗森菲尔德我≡ /ωi=dηdωiη（B.57）dηdωi=-√2.（B.58）thenlim→0limω→ω-cω∏gm（ω，ω；tn）=-vπ1/2ωc- ωt3/2ne-αtneα（ωc-ω） e类-2tn（ωc-ω） eα（ωn-ωc）。（B.59）没有术语uη+。。。在导数之后，因为我们取了极限ω→ ω-cand，在这种情况下，η→ 0，废除本条款。返回（B.54），也返回（B.42），tn替换为tn- ti，和（B.30）：I=n-1Xi=1-vπ1/2ωc- ωt3/2ie-αtneα（ωc-ω） e类-2tn（ωc-ω） eα（ωn-ωc）·√√πeα（ωn-ωc）ωc- ωn（tn- ti）3/2e-[（ωc-ωn）-α（tn-ti）]（tn-ti）！=-n-1Xi=1v√π√ωc- ωt3/2iωc- ωn（tn- ti）3/2e-[（ωc-ω)-αti]2tie-[（ωc-ωn）-α（tn-ti）]（tn-ti）e2α（ωn-ωc）！=> -v√π√（ωc- ω） （ωc- ωn）e2α（ωn-ωc）tn^dtie-[（ωc-ω)-αti]2tie-[（ωc-ωn）-α（tn-ti）]（tn-ti）t3/2i（tn- ti）3/2。（B.60）∴ I=-2伏√π√（2ωc- ωn- ω） t3/2ne-[（2ωc-ωn-ω)-αtn]2tne2α（ωn-ωc）。（B.61）因此，Idiverge与1/√. 现在，我们分析了B.52《国际理论与应用金融杂志》(c)世界科学出版社的第一期非高斯分布下移动障碍期权的路径积分定价59I≡n-2Xi=1n-1Xj=i+1∏gm（ω，ωc；ti）πgm（ωc，ωc；tj- ti）∏gm（ωc，ωn；tn- tj）。（B.62）根据（B.41），（B.48）和（B.42），我们写下-2Xi=1∏gm（ω，ωc；ti）n-1Xj=i+1∏gm（ωc，ωc；tj- ti）∏gm（ωc，ωn；tn- tj）=n-2Xi=1√√πeα（ωn-ωc）ωc- ωt3/2ie-[（ωc-ω)-αti]2ti·n-1Xj=i+1√2π（tj- ti）3/2e-α（tj-ti）√√πeα（ωn-ωc）ωc- ωn（tn- tj）3/2e-[（ωc-ωn）-α（tn-tj）]（tn-tj）。（B.63）在（B.63）中，不可能使用n-1Pj=i+1='tntidtj，因为只有当和和和积分为有限时，它才有效 → 这里不会发生这种情况，因为被积函数intn^tidtj（tj- ti）3/2（tn- tj）3/2e-[（ωc-ωn）-α（tn-tj）]（tn-tj）e-α（tj-ti）（B.64）因（tj）的取消而偏离- ti）3/2当总和开始时，即当j=ti时。

我们在β中加入指数项, 将表达式切为tj=ti:n-1Xj=i+1（tj- ti）3/2（tn- tj）3/2e-[（ωc-ωn）-α（tn-tj）]（tn-tj）e-α（tj-ti）==tn^tidtje-β（tj-ti）（tj- ti）3/2（tn- tj）3/2e-[（ωc-ωn）-α（tn-tj）]（tn-tj）e-α（tj-ti）。（B.65）该系数仍然保持1的单数部分/√β 最后一部分。要知道1中有一个单数部分/√, 我们可以在发散模式中打开积分（B.64），从tito ti+, 另一个来自ti+2 至tn（固定期限）。为了简化计算，《国际理论与应用金融杂志》(c)世界科学出版公司60 A.Catalo&R.Rosenfeld，我们注意到积分以tj=ti为主，可以从表达式中取出来。I=（tn- ti）3/2e-[（ωc-ωn）-α（tn-ti）]（tn-ti）ti+^tidtje-α（tj-ti）（tj- ti）3/2+tn^ti+2dtje公司-[（ωc-ωn）-α（tn-tj）]（tn-tj）e-α（tj-ti）（tj- ti）3/2（tn- tj）3/2。（B.66）术语-α（tj-ti）在积分的第一行收敛到1。继续，I=√（tn- ti）3/2e-[（ωc-ωn）-α（tn-ti）]（tn-ti）+有限项。（B.67）返回（B.65）并使用（B.38），-[（ωc- ωn）- α（tn- tj）]2（tn- tj）-α（tj- ti）=-（ωc- ωn）2（tn- tj）+（ωc- ωn）α-α（tn- ti）。I=tn^tidtje-β（tj-ti）（tj- ti）3/2（tn- tj）3/2e-[（ωc-ωn）-α（tn-tj）]（tn-tj）e-α（tj-ti）=tn^tidtje-β（tj-ti）（tj- ti）3/2（tn- tj）3/2e-（ωc-ωn）（tn-tj）+（ωc-ωn）α-α（tn-ti）=√2π√β+ωc- ωn（tn- ti）3/2e-[（ωc-ωn）+√β]（tn-ti）e（ωc-ωn）αe-α（tn-ti）。（B.68）《国际理论与应用金融杂志》(c)世界科学出版社非高斯分布下移动障碍期权的路径积分定价61我们采用Ito（B.63）来评估I:I=π（ωc- ω） （ωc- ωn）n-2Xi=1t3/2ie-[（ωc-ω)-αti]2tie2α（ωn-ωc）·√β+ωc- ωn（tn- ti）3/2e-[（ωc-ωn）+√β]（tn-ti）e（ωc-ωn）αe-α（tn-ti）。（B.69）现在我们使用-2Pi=1→'tndtiand（B.38），再生项：I=π（ωc- ω） （ωc- ωn）√β+ωc- ωneα（ωn-ωc）·tn^dtit3/2i（tn- ti）3/2e-[（ωc-ωn）+√β]（tn-ti）e-[（ωc-ω)-αti]2tie-α（tn-ti）。

（B.70）=π（ωc- ω） （ωc- ωn）√β+ωc- ωneα（ωn-ωc）eα（ωc-ω） e类-αtn·tn^dtit3/2i（tn- ti）3/2e-[（ωc-ωn）+√β]（tn-ti）e-（ωc-ω） 2ti。（B.71）∴ I=rπ（ωc- ω） （ωc- ωn）√β+ωc- ωneα（ωn-ωc）eα（ωc-ω） e类-αtn·e-[（2ωc-ω-ωn）+√β]2tnt3/2n（2ωc- ω- ωn）+√β（ωc- ω)2ωc- ωn+√β. （B.72）扩展指数√β 零点附近：e-[（2ωc-ω-ωn）+√β]2tn’e-（2ωc-ω-ωn）2tn-tn（2ωc- ω- ωn）pβe-（2ωc-ω-ωn）2tn+。。。（B.73）《国际理论与应用金融杂志》(c)世界科学出版社62 A.Catalo&R.RosenfeldI=Rπ（2ωc- ω- ωn）+√βt3/2n（ωc- ωn）eα（ωn-ωc）eα（ωc-ω） e类-αtn·e-（2ωc-ω-ωn）2tn1.-√βtn（2ωc- ω- ωn）ωc- ωn+√βωc- ωn+√β（ωc- ωn）√β=rπ（2ωc- ω- ωn）√β+ 1.t3/2ne-[（2ωc-ω-ωn）-αtn]2tne2α（ωn-ωc）·1.-√βtn（2ωc- ω- ωn）=rπ“（2ωc- ω- ωn）√β-（2ωc- ω- ωn）tn+1-√βtn（2ωc- ω- ωn）#·t3/2ne-[（2ωc-ω-ωn）-αtn]2tne2α（ωn-ωc）。（B.74）括号中的最后一项变为零，如下所示： → 0∴ I=rπ“（2ωc- ω- ωn）√β+1.-（2ωc- ω- ωn）tn#·t3/2ne-[（2ωc-ω-ωn）-αtn]2tne2α（ωn-ωc）。（B.75）因此，在（B.49）中：n-1Xi，j=1我j=(√√β- v√rπ（2ωc- ωn- ω） t3/2ne-[（2ωc-ωn-ω)-αtn]2tne2α（ωn-ωc）+rπ“1-（2ωc- ω- ωn）tn#t3/2ne-[（2ωc-ωn-ω)-αtn]2tne2α（ωn-ωc））。（B.76）《国际理论与应用金融杂志》(c)世界科学出版社非高斯分布下移动障碍期权的路径积分定价63根据（4.17），LHS（B.49）适用于Wgm（ω，ω，…，ωn；tn）。在（A.13）中，我们看到∏gmωc（ω=0，ωn；tn）=n-1Xi=1^ωc-∞dω。。。d^ωi。。。dωn-1Wgm（ω，ω，…，ωi=ωc，…，ωn-1，ωn；tn）。

（B.77）现在，∏gmωc（ω=0，ωn；tn）=n-1Xi，j=1^ωc-∞dω。。。d^ωi。。。d^ωj。。。dωn-1Wgm（ω，ω，…，ωi=ωc，…，ωj=ωc，…，ωn-1，ωn；tn）使用（B.49）、（A.6）和（A.9）：∏gmωc（ω=0，ωn；tn）=2n-2Xi=1n-1Xj=i+1^ωc-∞dω。。。d^ωi。。。d^ωj。。。dωn-1Wgm（ω，ω，…，ωi=ωc，…，ωj=ωc，…，ωn-1，ωn；tn）+n-1Xi=1^ωc-∞dω。。。d^ωi。。。dωn-1.ωcWgm（ω，ω，…，ωi=ωc，…，ωn-1，ωn；tn）=2n-2Xi=1n-1Xj=i+1^ωc-∞dω。。。dωn-1.我jWgm（ω，ω，…ωn-1，ωn；tn）+n-1Xi=1^ωc-∞dω。。。dωn-1.iWgm（ω，ω，…ωn-1，ωn；tn）《国际理论与应用金融杂志》(c)世界科学出版社64 A.Catalo&R.Rosenfeld=n-1Xi，j=1^ωc-∞dω。。。dωn-1.我jWgm（ω，ω，…ωn-1，ωn；tn）。（B.78）然后，与LHS（B.49）相对应的RHS（B.78）可以通过（B.78）的LHS进行评估。在连续体中， → 0，ω6=0，我们计算∏gm的二阶导数→0（ω，ωn，tn）相对于ωc，通过（B.22）。第一个导数的计算见（B.32）。因此∏gm→0（ω，ωn，tn）ωc=ωc∏gm→0ωc（ω，ωn；tn）=ωcπ1/2（2ωc- ωn- ω） t3/2ne2α（ωn-ω-ωc）e-（2ωc-ωn-ω-αtn）2tn=π1/2t3/2ne2α（ωn-ω-ωc）e-（2ωc-ωn-ω-αtn）2tn-2（2ωc- ωn- ω） t5/2n[（2ωc- ωn- ω) - αtn]e2α（ωn-ω-ωc）e-（2ωc-ωn-ω-αtn）2tn-2αtn（2ωc- ωn- ω） t5/2ne2α（ωn-ω-ωc）e-（2ωc-ωn-ω-αtn）2tn.∴∏gm→0（ω，ωn，tn）ωc=π1/2\"1 -（2ωc- ωn- ω） tn#t3/2ne-（2ωc-ωn-ω-αtn）2tne2α（ωn-ω-ωc）。（B.79）现在我们将（B.79）等同于（B.76）。这个方程的第二项，即（B.76）的项，正好等于（B.79）。因此，取消双方，我们得出结论，RHS（B.76）的第一项必须为空。为了使其无效，我们必须√β- v√= 0

（B.80）这意味着I（ν中的项），它发散（1/√, 用I的分词（1中的词）取消/√β） ，当《指数国际理论与应用金融杂志》(c)世界科学出版公司分析非高斯分布下移动障碍期权的路径积分定价65项β时，这两种方法被分离 介绍了。它仍然是RHS第一个条款的非分歧部分（B.49）。总结，总结n-1Xi，j=1我jhas是两个不同的术语，其影响相互抵消。因此，在RHS（B.49）的第一次求和中存在非发散项，我们可以将求和转换为积分：n-2Xi=1n-1Xj=i+1→ 2.tn^dtitn^tidtj（B.81）附录C。非高斯分布的漂移：在概率密度（4.60）扩展到15阶导数的情况下，我们评估积分（4.63）。α=tnσ（r）- 射频）-tnσ+{1, 307, 674, 368, 000 · [1, 307, 674, 368, 000+σ217, 945, 728, 000κ+ 1, 816, 214, 400 ·10κ+ κσ+259, 459, 200 · (35κκ+ κ) σ+32, 432, 400 ·35κ+ 56κκ+ κσ+ 3, 603, 600 · (126κκ+ 84κκ+ κ) σ+360, 360 ·κ+ 6 ·21κ+ 35κκ+ 20κκσ+32.760·（κ+33·（14κ+10κ+5κ））σ国际理论与应用金融杂志(c)世界科学出版公司66 A.Catal~ao&R.Rosenfeld+2730·κ+ 11 ·42κ+ 72κκ+ 45κκ+ 20κκσ+210 · (κ+ 143 · (2κκ+ 12κκ+ 9κκ+ 5κκ)) σ+15 ·κ+ 13 ·28κκ+ 11 ·7κκ+ 12κ+ 21κκ+ 14κκσ+ (κ+ 13 · (35κκ+ 105κκ+ 231κκ+ 495κκ+ 385κκ)) σ+ 10, 897, 286, 400 · σ · (5κ+ κσ)]]-1oo。（C.1）参考文献M。Avellanda，R.Buff，C.Friedman，N.Grandchamp，L.Kruk&J.Newman（2001）《加权蒙特卡罗：校准资产定价模型的新技术》，国际理论与应用金融杂志4（01），91-119。R、 Balieiro&R.Rosenfeld（2004）《Edgworth扩展测试期权定价》，Physica A 344484-490。F、 黑色和M。

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