移动障碍期权的路径积分定价

（4.46）《国际理论与应用金融杂志》(c)世界科学出版社非高斯分布下移动障碍期权的路径积分定价25∴ ∏（a）→0（ωn，tn）=-rπdBndtn（Bn- ωn）t1/2ne2α（ωn-Bn）e-[（20亿-ω-ωn）-αtn]2tn。（4.47）我们现在计算∏（b）→0（ωn，tn）。In（4.19），p=2，∏（b）→0（ωn，tn）==（Bn- ωn）（Bn- ω） πe2α（ωn-Bn）·dBndtn·tndti（tn- ti）t3/2ie-[（十亿-ω)-αti]2tie-[（十亿-ωn）-α（tn-ti）]（tn-ti）。(4.48)∴ ∏（b）→0（ωn，tn）=2πdBndtn（Bn- ωn）e2α（ωn-Bn）eα（20亿-ω-ωn）-αtn·√2πt1/2ne-（20亿-ω-ωn）2tn- π（Bn- ω） Erfc20亿- ω- ωn√2tn. （4.49）最后，现在计算∏（c）→0（ωn，tn），in（4.45），表示∏（2）→0（ωn，tn），从（4.24），p=q=1：∏（c）→0（ωn，tn）=（Bn- ω） （十亿）- ωn）π√2πdBndtneα（ωn-Bn）eα（Bn-ω） e类-αtn·^tndti（tn- ti）e-（十亿）-ω） 2 IT3/2 I^tntidtje-（十亿）-ωn）（tn-tj）（tj- ti）3/2（tn- tj）1/2。(4.50)∴ ∏（c）→0（ωn，tn）=-rπ（Bn- ωn）t1/2ndBndtne2α（ωn-Bn）e-[（20亿-ω-ωn）-αtn]2tn。（4.51）因此，在本节的假设中，相当于（4.27）国际理论与应用金融杂志(c)世界科学出版公司26 A.Catal~ao&R.Rosenfeld∏mb→0（ωn，tn）=^Bn-∞dω。。。十亿欧元-∞dωn-1Wmb（ω，ω，…，ωn；tn）=∏gm→0（ωn；tn）+∏（a）→0（ωn，tn）+∏（b）→0（ωn，tn）+∏（c）→0（ωn，tn），（4.52），带∏gm→0（ωn；tn），π（a）→0（ωn，tn），π（b）→0（ωn，tn）和∏（b）→0（ωn，tn）分别由（B.22）、（4.47）、（4.49）和（4.51）给出，取ω=0。（4.42）仍然有效，该规范适用于∏mb→0（ωn，tn）。因此，在存在固定或移动势垒的情况下，我们以基于固定势垒高斯分布的累积量展开表示分布。4.3.

具有常数势垒的非高斯分布在非高斯分布中，常数势垒Bn=b=σlnBS意味着势垒的时间导数等于零，在（ST）和绝热势垒假设中：limdBndtn→0limdBndtn→0∏mb→0（ωn，tn）=∏gm→0（ωn；tn），（4.53），其中∏gm→0（ωn；tn）由（B.22）给出。该分布在（4.42）中用于获得∏→0（ω=0，ωn；tn）与这种情况有关。非高斯修正来自与ω和Bn相关的导数。4.4. 线性移动障碍物对移动障碍物的应用取决于导数，其出现∏mb→0（ωn，tn）分量，关于最后时刻tn处的势垒值。我们将考虑势垒tha线性演化的情况，以举例说明符号的使用：Bi=B（ti）=B+ξti。（4.54）我们首先在tn处找到价值：Bn=B+ξtn（4.55）《国际理论与应用金融杂志》(c)世界科学出版社非高斯分布下移动障碍期权的路径积分定价27，并写出衍生品。在我们的例子中，只有一阶取非空值：B（p）n=dpBnd（tn）p=ξp=10 p>1。(4.56)4.5. 无障碍物时的非高斯分布无障碍物是截面（4.1）或（4.2）概率密度的特殊情况。具体而言，在（4.53）中增加一个额外限制，将屏障设置为：limBn→∞limdBndtn公司→0limdBndtn→0∏mb→0（ωn，tn）=∏gm→0（ωn，tn）。（4.57）∏gm→0（ωn，tn）=√2πtneαωn-αtne-ωn2tn。（4.58）秒，在（4.42）中，因为与屏障相关的导数我/箱子A限制操作，可在（4.57）之后应用。根据（4.57），最终，分布收敛于高斯密度，无障碍。因此，导数运算符我/Binnulli fi术语。

对于一阶导数，limBn→∞limdBndtn公司→0limdBndtn→0∏mb→0（ωn，tn）=limBn→∞limdBndtn公司→0limdBndtn→0limBn公司→∞∏mb→0（ωn，tn）Bn=limBn公司→∞limBn公司→∞limdBndtn公司→0limdBndtn→0∏mb→0（ωn，tn）Bn=limBn公司→∞∏gm→0（ωn，tn）Bn=0；（4.59）等等，对于势垒中的高阶导数。尽管如此，在（4.42）中，仍然存在衍生条款我/ωin，它保证了非高斯展开项的生存。简而言之，通过替换∏mb给出了非高斯分布的无势垒情况→0（ωn，tn）→ ∏gm→0（ωn，tn）in（4.42），不包括分布的边界导数。在本例中，我们重写（4.42）：国际理论与应用金融杂志(c)世界科学出版公司28 A.Catalo&R.Rosenfeld∏inf→0（ω=0，ωn；tn）=∏gm→0（ωn，tn）-3.κωn∏gm→0（ωn，tn）+4！κωn∏gm→0（ωn，tn）-5.κωn∏gm→0（ωn，tn）+”·3.κ+6.κ#ωn∏gm→0（ωn，tn）-3.κ4.κ+7.κωn∏gm→0（ωn，tn）+”·4.κ-3.κ5.κ+8.κ#ωn∏gm→0（ωn，tn）-4.κ5.κ+3.κ6.κ+9!κωn∏gm→0（ωn，tn）+。。。。（4.60）式中∏gm→0（ω，ωn；tn）=√2πtneα（ω-ω)-αtne-(ω-ω） 2tn。（4.61）从现在起，当我们提到非高斯分布下的一般情况时，我们将处理（4.60）和（4.61），即有限势垒情况。4.6. 漂移的鞅条件在风险中性测度Q下，鞅条件建立了无套利漂移条件-r（tn-田纳西州-1） 均衡器序号| Ftn-1.= 序号-1.（4.62）就分布（4.60）而言，S=e-rtn^∞-∞Seσωn∏inf→0（ωn，tn）dωn，∴ 1=e-rtn^∞-∞eσωn∏inf→0（ωn，tn）dωn.（4.63）《国际理论与应用金融杂志》(c)世界科学出版社非高斯分布下移动障碍期权的路径积分定价29当我们在（4.60）中保持衍生品的15阶时，我们得到附录c.4.7中的方程（c.1）。

概率密度∏inf下的分析期权定价普通欧式看涨期权→0（ωn，tn），P（S，K，tn，α，κ，κ，…）=^∞-∞最大[（Seσωn- K） ，0]πinf→0（ωn，tn）dωn，（4.64）障碍期权定价为∏→0（ωn，tn）in（4.42），指定∏mb→0（ωn，tn）表示固定（4.53）或移动屏障，在（ST）或绝热屏障近似中。敲出叫牌的价格由以下公式给出：P=^bk（Seσωn- K） ∏→0（ωn，tn）dωn.（4.65）和爆震和爆震的比亚迪：P=^k-∞（K）- Seσωn）π→0（ωn，tn）dωn.（4.66）5。校准为了给障碍期权定价，参数σ和κ用欧洲普通看涨期权校准，对于每个到期日，意味着一个分段常数集。在我们的示例中，每日数据包括2009年5月至2014年5月期间巴西雷亚尔兑美元的外汇（FX）欧洲看涨期权（BRL/USD）。每天包括24个月{1、2、3、…、24}的五个标准Delta值{10%、25%、50%、75%、90%}对应的隐含波动率。因此，波动率σijkis由日期ti，delta索引jand到期日Tk：σijk=σ（ti，j、 Tk）；i=1。。。，1295; j=1。。。，5.k=1。。。，三角洲以通常的方式转换为走向。D这些积分的求值结果是封闭形式的表达式。然而，如果规范中包含大量的累积量，则数值估值的成本可能会降低。《国际理论与应用金融杂志》(c)世界科学出版公司30 A.Catalo&R.Rosenfeld关于模型规格，普通期权的参数数量取决于满足微笑增量范围的能力。在图1的左侧，最大顺序为κ，而在图的右侧，最大顺序为κ。

然而，在展开过程中使用更高导数阶获得的高阶修正是以向模型中添加更多参数为代价的。在pricingbarrier选项中，在障碍区域附近有必要进行此类改进。此外，如果不考虑参数的组合，仅仅包括高阶导数是不够的（我们讨论了二阶组合，κiκj，i+j=n，n=项中导数校正的阶数）。例如，在图2中的上图中，我们使用18阶导数表示不同的屏障值，但不包括二阶组合。当我们包括参数的二阶组合时，15阶足以提高势垒区域的精度，如下图所示。图1：。vanillas的微笑校准。第一个图形最多使用第7个累积量，而第二个图形最多使用第15个累积量。《国际理论与应用金融杂志》(c)世界科学出版社非高斯分布下移动障碍期权的路径积分定价31图2。包含二阶参数组合时势垒区非高斯分布的行为。框中显示了屏障的不同值。《国际理论与应用金融杂志》(c)世界科学出版公司32 A.Catalo&R.Rosenfeldths，为了给敲出和敲出的通知定价，根据定价方程（4.65）中的积分限制，应保证在区间[k，b]内有良好的分布。

因此，尽管价格校准是可能的，但由于定价公式中有大量的条款，我们通过拟合从Breeden&Litzenberger（1978）定理中检索到的概率密度，并考虑微笑，校准了模型密度（4.60）的参数，如Shimko（1993）：inf→0（ωn=k，tn≡ T）=erTKσdCdK。（5.1）使用三次样条插值的参数，通过数值和分析计算总导数dC/dk，两者产生相同的结果。图3给出了校准示例。图3：。表示（i）路径积分中非高斯密度的图（“非高斯（PI）”）；（ii）根据Breeden&Litzenberger（1978）定理的分布，其中导数用三次样条（红色）和数值（绿色）计算；（iii）高斯密度用于货币波动率。第85个样本点的1个月到期日数据。模型价格PModel至300普通看涨期权市场价格pmarketin国际理论与应用金融杂志(c)世界科学出版社非高斯分布下移动障碍期权的解析路径积分定价33可通过线性回归（e为残差）进行总结：PModel=ap·Pmarket+bp+e，（5.2）我们希望得到ap=1和bp=0。结果如图4所示，其中显示~ 1，且ap=1，bp=-4 × 10-图4。价格回归：因变量为模型价格，自变量为普通看涨期权的市场价格。6.

障碍期权价格为了以标准化的方式分析吸收障碍对看涨期权价格的影响，根据其与初始基础价格或打击的接近程度，我们设置了由一组乘法因子＝{1.1；1.2；1.3；1.5}定义的固定障碍水平，以应用于数据库打击，其中涵盖了《国际理论与应用金融杂志》（International Journal of Theory and Application Finance）(c)世界科学出版公司（World Scientic Publishing Company）34 A.Catalo&R.Rosenfeldto 90各到期日的Delta。为了确保价格不会开始被障碍物停用，当乘法导致障碍物低于初始基础未来价格时，我们改变规则，将固定障碍物设置为考虑未来价格的乘法因子，给定到期日。因此，对于每个走向i和成熟度j，边界Bk被定义，导致价格Pijk=Pijk（Bk，Ki，Tj）；黑色=Θk·Ki，Θk·Ki>FjΘk·Fj，Θk·Ki≤ Fj（6.1），其中k=1。。。，4.Fjis是与到期日Tj相关的未来价值。通常，障碍期权价格的数据提供者依赖于市场模型价值。因此，我们选择将我们的结果与Avellanda et al.（2001）的相对熵模型进行比较。当吸收障碍接近看涨期权的走向或初始基础价值时，即当Θk=1.1时，价格接近于零。在这种情况下，在较长期限内，我们发现与路径积分法、对数正态模型（Black-Scholes，具有打击相关波动率）和相对熵模型相比，差异更大，如图5所示。

在图6中，在18个月的情况下，我们注意到，虽然路径积分模型中的平均基础价格较高，但Black-Scholes模型呈现出更大的离散度，这意味着障碍区域有更大的机会被达到，因此在障碍接近初始基础价值的情况下，显示出更低的价格。在期限较短的情况下，如1个月，基础流程的实现时间越短，障碍越近；因此，模型比较中的价格更接近。因此，预计路径积分和熵模型之间存在差异，因为第一种方法包括屏障附近的密度行为。《国际理论与应用金融杂志》(c)世界科学出版社非高斯分布下移动障碍期权的路径积分定价35《国际理论与应用金融杂志》(c)世界科学出版社36 A.Catal~ao&R.Rosenfeld图5。18个月模型比较：路径积分、相对熵和Black-Scholes。《国际理论与应用金融杂志》(c)世界科学出版社非高斯分布下移动障碍期权的路径积分定价37图6。具有吸收势垒的非高斯（路径积分模型）和高斯（Black-Scholesmodel）密度之间的比较。国际理论与应用金融杂志(c)世界科学出版公司38 A.Catalo&R.Rosenfeld国际理论与应用金融杂志(c)世界科学出版公司非高斯分布下移动障碍期权的路径积分定价39图7。

1个月模型比较：路径积分、相对熵和Black-Scholes。与普通定价一样，我们通过拟合一个线性回归来总结路径积分和相对熵模型之间的定价差异：PP ath积分=ap·PEntropy+bp+e，（6.2）在图8中，我们看到，长期低壁垒水平的较高差异对应于图中低价格区域的分散度（目标<0.05，产出<0.05）。《国际理论与应用金融杂志》(c)世界科学出版公司40 A.Catalo&R.Rosenfeld图8。障碍期权定价的相对熵模型（自变量）和路径积分模型（因变量）之间的线性回归。结论在本文中，我们提出了一个基于累积量展开的非高斯概率分布模型，该模型采用了著名的统计力学路径积分形式，包括吸收的、确定性移动的势垒。这一想法源于De Simone et al.（2011）在宇宙学中关于星系形成的工作，我们将其扩展到包括漂移和比原作者更多的累积量。将该模型应用于金融学中的期权定价，我们发现了风险中性漂移的条件，并提出了一种确定移动吸收障碍期权定价的分析方法。该发展包括对屏障附近分布行为的分析。通常，这类产品的定价采用的是一般分销模型，即需求数值法和模拟法；Kunitomo和Ikeda（1992）的工作是封闭形式解的一个例子，但在Black和Scholes（1973）的对数正态分布假设下。在障碍不变的情况下，我们得到了一个解析的非高斯定价模型来定价标准敲出障碍看涨期权。

并且，在《国际理论与应用金融杂志》(c)世界科学出版社的限制下，非高斯分布下移动障碍期权的路径积分定价41in有限障碍，它成为非高斯概率分布模型来定价普通期权。由于模型参数，波动率和累积量，属于模型的屏障和普通版本，我们使用普通optiondata对其进行校准，然后使用价格常数屏障KUO调用。鉴于障碍期权价格贡献者通常提供市场到模型的价值，我们将路径积分模型的恒常巴利期权价格与从相对熵模型获得的恒常巴利期权价格进行比较。我们采用了Avellaneda等人（2001）的方法来分析常数障碍期权定价。结果表明，我们的模型再现了熵模型得到的结果。KUO barrier看涨期权定价存在较大差异，在长期合约中，当障碍设定在接近初始基础价格的位置，且delta接近90%（低罢工率）时。然而，在这种情况下，基本流程有足够的时间达到障碍，从而使合同失效，因此，预计在这种组合中价格会很低，如果存在额外的条件，即催缴罢工很高，价格会更高。因此，模型之间的这些较大差异指的是较小的价格；例如，当短期到期合同中的障碍接近初始基础价格时，这种情况不会发生，因为没有足够的时间达到障碍。