移动障碍期权的路径积分定价

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英文标题：
《Analytical Path-Integral Pricing of Moving-Barrier Options under
  non-Gaussian Distributions》
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作者：
Andre Catalao and Rogerio Rosenfeld
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In this work we present an analytical model, based on the path-integral formalism of Statistical Mechanics, for pricing options using first-passage time problems involving both fixed and deterministically moving absorbing barriers under possible non-gaussian distributions of the underlying object. We adapt to our problem a model originally proposed to describe the formation of galaxies in the universe of De Simone et al (2011), which uses cumulant expansions in terms of the Gaussian distribution, and we generalize it to take into acount drift and cumulants of orders higher than three. From the probability density function, we obtain an analytical pricing model, not only for vanilla options (thus removing the need of volatility smile inherent to the Black-Scholes model), but also for fixed or deterministically moving barrier options. Market prices of vanilla options are used to calibrate the model, and barrier option pricing arising from the model is compared to the price resulted from the relative entropy model.
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中文摘要：
在这项工作中，我们基于统计力学的路径积分形式，提出了一个分析模型，用于在潜在对象可能的非高斯分布下，使用第一次通过时间问题对期权进行定价，该问题涉及固定和确定性移动吸收屏障。我们采用了一个最初提出的模型来描述De Simone et al（2011）宇宙中星系的形成，该模型使用高斯分布的累积量展开，并将其推广到考虑计数漂移和大于三阶的累积量。从概率密度函数中，我们得到了一个分析定价模型，不仅适用于普通期权（从而消除了Black-Scholes模型固有的波动率微笑的需要），也适用于固定或确定性移动障碍期权。利用普通期权的市场价格对模型进行了标定，并将该模型产生的障碍期权定价与相对熵模型产生的价格进行了比较。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Analytical_Path-Integral_Pricing_of_Moving-Barrier_Options_under_non-Gaussian_Di.pdf (1.96 MB)

2022-6-10 00:38:47 上传

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关键词：障碍期权 distribution Mathematical Quantitative mathematica

国际理论与应用金融杂志(c)世界科学出版社非高斯分布下移动障碍期权的路径积分定价。Bento Teobaldo Ferraz博士，271圣保罗，SP，01140-070，巴西。silvana74@gmail.comROGERIOROSENFELDInstituto de Física Teórica，圣保罗大学-南美洲基础研究所。Bento Teobaldo Ferraz博士，271圣保罗，SP，01140-070，Brazilrosenfel@ift.unesp.brReceived（日-月-年）修订（日-月-年）在这项工作中，我们基于统计力学的路径积分形式，提出了一个分析模型，用于在潜在对象可能的非高斯分布下，使用第一次通过时间问题（涉及固定和确定性移动吸收屏障）对期权进行定价。我们将De Simone et al.（2011）最初提出的描述宇宙中星系形成的模型应用于我们的问题，该模型采用高斯分布的累积量展开，并将其推广到计数漂移和高于三阶的累积量。从概率密度函数中，我们得到了一个分析定价模型，不仅适用于普通期权（从而消除了Black&Scholes（1973）模型固有的波动率微笑需求），还适用于固定或确定性移动障碍期权。

利用普通期权的市场价格对模型进行了校准，并将模型产生的障碍期权定价与相对熵模型产生的价格进行了比较。关键词：非高斯分布；随机过程；第一次通过时间；移动障碍，Black和Scholes模型；累积量展开；路径积分；BreedenLitzenberger定理；相对熵。《国际理论与应用金融杂志》(c)世界科学出版社2 A.Catalo&R.Rosenfeld1。引言在随机过程中，首次通过时间τf，定义为系统首次跨越障碍所需的时间，通常与生存分析相关，出现在多个科学分支中：从生物学、细胞运输现象到经济学、信用违约事件；社会学，群体决策；物理学、不稳定力学、光学、固态；化学，反应和腐蚀；和宇宙学。在后一种情况下，要形成一个星系，质量浓度需要达到一个临界值，这个临界值可以被视为一个屏障，不一定是固定的，可能会受到随机过程的影响。Schr"odinger（1915）首先在物理介质中布朗运动的背景下研究了首次通过时间的概率分布问题，并证明其为逆正态分布。不稳定性，该分布首次由Wald（1947）在似然比试验中获得。

在随机演算中，该问题可以根据福克-普朗克方程（Gardiner（2004），Risken（1989））边界条件产生的状态之间的转移概率分布来研究，从中导出了给定常数T后第一次通过时间发生的累积概率分布，即P（τf>T）。首次通过时间的研究取决于假定的基础过程的分布。在星系形成的情况下，Maggiore&Riotto（2010a）和Maggiore&Riotto（2010b）讨论了高斯分布的处理，而Maggiore&Riotto（2010c）和De Simone et al.（2011）处理非高斯扩散，后者包括移动障碍的情况。通常，非高斯分布（non-Gaussianapproach）是基于基准分布（通常被视为高斯分布）展开的。在金融领域，当时间相关变量ptthr通过屏障B：τf=min{t | Pt>B}时，建立失活或激活条件的衍生工具合同可能会出现首次通过时间问题。（1.1）在Black&Scholes（1973）模型假设的背景下，金融领域最常用的分布是价格的对数正态分布。单障碍敲出式欧式看涨期权（KUO european call）是一种合同，使其持有人能够在到期日T购买特定资产ST，即标的资产，并支付合同履约价格K，只要标的资产未跨越B级合同障碍。

从数学上讲，这种合同的报酬是Callkuo（T）=1St<B，t型∈[0，T]最大值（ST- K、 0），（1.2）《国际理论与应用金融杂志》(c)世界科学出版社非高斯分布下移动障碍期权的路径积分定价3及其在Black&Scholes（1973）假设下的任何时间的价值具有封闭形式的解析解，如Shreve（2004）所示。然而，尽管对数正态分布需要一个单一的波动性参数，但有证据表明，鉴于市场价格，不同罢工的普通（无障碍）期权需要不同的隐含波动性。这种依赖于履约价值的波动性结构被称为波动性微笑，随着时间的推移，它会生成波动性表面。另一个问题与合同中的障碍条款有关：我们应该根据罢工、障碍或两者来选择波动率？此外，在移动障碍期权的特殊情况下，Kunitomo&Ikeda（1992）提供了定价问题的分析解决方案，但在Black-Scholes单波动设置中。已经提出了几种方法来解释波动率，并随后允许奇异期权的定价，如障碍期权。其中，我们可以引用局部波动模型（Dupire（1994））、随机波动模型（Heston（1993））、跳跃模型（Merton（1976））、相对熵模型（Avellanda et al.（2001））；以及基于一次展开的非高斯分布模型，其中一个例子是Edgeworth展开（Rubinstein（1998）和Balieiro&Rosenfeld（2004））。

虽然其中一些与需要一套完整的市场价格来构建波动率面有关，但其他依赖数值或模拟实现的方法需要仔细关注障碍区域周围过程的行为。在本文中，我们将De Simone et al.（2011）开发的基于累积展开的非高斯星系形成模型应用于固定和确定性上移和移出障碍期权的定价。这样，在有限势垒值的有限情况下，我们还可以获得非高斯香草pricingmodel。我们的适应包括在扩展中引入漂移项，并将其扩展到任意数量的累积量。此外，我们还推导了风险中性定价的启动条件。该方法采用了统计力学的路径积分形式（Risken（1989）），并得出了vanillas、固定和确定性移动障碍选项的闭合表达式。开发还考虑了屏障八个边界的扩展行为。模型参数（即累积量）使用vanillaoptions进行校准，然后用于为障碍期权定价。只要障碍期权的数据几乎总是参考市场对模型的报价，我们就将我们的结果与相对熵模型得出的结果进行比较（Avellanda et al.（2001））。关于论文的组织，我们首先描述了理论框架，其中包括Maggiore&Riotto（2010a）到De Simone et al.（2011）的发展。我们首先根据路径积分给出了累积量展开的一般公式，并恢复了高斯函数和固定势垒的结果。然后我们推广到非高斯函数和移动势垒的情况。

接下来，我们介绍校准程序，然后介绍障碍期权定价。最后，我们将介绍《国际理论与应用金融杂志》(c)世界科学出版公司4 A.Catalo&R.Rosenfeld的结论。我们在附录中收集了文本中使用的一些结果。2、累积量展开和路径积分形式在本节中，我们介绍了累积量展开，并将其与路径积分形式联系起来。设ω=ω（t）=ωtb为我们想要模拟其分布的随机变量。在我们的例子中，ω=σlnStS，其中σ是波动性参数，分别在t=0和t时对基础值进行沙化和凝视。路径从t=0开始，ω=0，直到时间tn的最后一刻，其中ωn=ω（tn）=ω（t）。我们假设时间离散化t=, tk=k时. Aprice路径是一个集合{ω，…，ωn}，这样ω（tk）=ωk。如果没有吸收屏障，ωt∈ (-∞, ∞). 轨迹空间中的概率密度可以用狄拉克δ函数乘积的期望值来描述：Wn=W（ω，ω，…，ωn；tn）≡ hδ（ω（t）- ω) ...δ（ω（tn）- ωn）i，（2.1），从hδ（x）开始- (R)x）δ（x- \'\'x）。。。δ（xn- (R)xn）i=^∞-∞...^∞-∞p（x，x，…，xn）δ（x- (R)x）δ（x- \'\'x）。。。δ（xn- (R)xn）dxdx。。。dxn=p（\'x，\'x，…，\'xn），（2.2），这是概率密度。对于W，变量在不超过ωc的轨迹中，从ω开始，在t=0时，在瞬间tn取ω的概率，由下式给出∏（ω，ωn；tn）=^ωc-∞dω。。。^ωc-∞dωn-1W（ω，ω，…，ωn；tn）。（2.3）对于所有低于tn的瞬间，路径保持在ω<ωc区域的概率为：∏（ω；tn）=^ωc-∞dωn∏（ω，ωn；tn）。

（2.4）aSee Risken（1989），第2.4节。《国际理论与应用金融杂志》(c)世界科学出版社非高斯分布下移动障碍期权的路径积分定价5该方程表示所有可能路径的总和，从而表示计算概率函数的路径积分。我们将用分布的累积量来表示它。特征函数是分布b的fourier变换：Cn（u，…，un）=eiuω+····+iunωn=^. . .^eiuω+···+iunωnW（ω，ω，…，ωn；tn）dω。。。dωn.（2.5）关节力矩函数定义为mm，。。。，mn=hωm。ωmnni= （国际单位）m、 。 （iun）mnCn（u，…，un）| u==un=0。（2.6）关节力矩是特征函数的泰勒展开系数：Cn（u，…，un）=Xm，。。。，mnMm，。。。，mn（iu）mm···（iun）mnmn！。（2.7）联合累积量κm，。。。，分布的mn与特征函数cN（u，…，un）=exp有关∞Xm，。。。，mnκm，。。。，mn（iu）mm···（iun）mnmn！！（2.8）κm，。。。，明尼苏达州= （国际单位）m、 。 （iun）mnln[Cn（u，…，un）| u=…=un=0. (2.9)Π（ω，ωn；tn）可以用累积量表示。为了了解这一点，我们使用狄拉克δ函数δ（ω）=^的以下表示形式∞-∞du2π·e-iuω。（2.10）bSee Risken（1989），第2.3节。国际理论与应用金融杂志(c)世界科学出版公司6 A.Catal~ao&R.Rosenfeldin（2.1），W（ω，ω，…，ωn；tn）=*∞-∞du2π···dun2π··e-inPj=1uj（ω（tj）-ωj）+=^∞-∞du2π···dun2π·einPj=1ujωj*e-inPj=1ujω（tj）+。（2.11）我们定义了集成度量^∞-∞杜邦≡^∞-∞du2π···dun2π。（2.12）因此，使用（2.11）中的定义（2.5），我们可以写出（ω，ω，…，ωn；tn）=^∞-∞Du··expinXj=1ujωj+∞Xm，。。。，mnκm，。。。，明尼苏达州(-iu）嗯···(-iun）mnmn！.

（2.13）这是给定路径概率在联合累积量方面的扩展。仅保留Mi等于0或1的项，即m=0，1；m=0，1。。。mn=0，1（我们将很快证明这一点）导致：W（ω，ω，…，ωn；tn）=^∞-∞Du·exp公司inXj=1ujωj- inXi=1uiκi-nXi，j=1iujκij+(-i） 3个！nXi，j，k=1iujukκijk+(-i） 4个！nXi，j，k，l=1 Iujukulκijkl+。。。. （2.14）在本符号中，κ≡ κm=1，m=0。。。，mn=0，κ≡ κm=0，m=1，m=0，。。。，mn=0，κ≡κm=1，m=1，m=0，。。。，mn=0，κ≡ κm=1，m=0，m=1，m=0，。。。，mn=0，依此类推。（2.14）将是我们将使用的方程式（2.13）的版本。如果我们考虑到m、m等的其他值，不同于0和1，我们将包括广义矩，超出了两个变量之间通常的协方差。例如，《国际理论与应用金融杂志》（International Journal of Theory and Applied Finance）(c)世界科学出版社（World Scientic Publishing Company）变量的四次方在非高斯分布7下的移动障碍期权的路径积分定价与另一个变量j的立方之间的协方差，在mi=2和mj=3等情况下，它们在更高阶上起作用。在我们试图校准市场数据的情况下，只考虑通常的矩（方差、峰度等）就足够了，因此，我们不会考虑协方差及其在几个变量阶数组合中的推广。在这种表示法中，例如，在κij中，当i=j时，我们有与方差相关的累积量；在κijk中，当i=j=k时，与不对称等相关的累积量。使用（2.3）中的展开式，可以得到∏（ω，ωn；tn）=^ωc-∞dω。。。^ωc-∞dωn-1^∞-∞Du·exp公司inXj=1ujωj- inXi=1uiκi-nXi，j=1iujκij+(-i） 3个！nXi，j，k=1iujukκijk+(-i） 4个！nXi，j，k，l=1 Iujukulκijkl+。。。. （2.15）该方程是累积量的概率分布的路径积分表示。3.

高斯波动在本节中，我们展示了我们的形式主义再现了众所周知的高斯波动障碍期权价格公式，作为一种理智检查。在高斯函数的情况下，除了满足m+m+…+的累积量外，累积量为零先生≤ 2c：*einPj=1(-uj）ω（tj）+=exp-inXi=1uiκi-nXi，j=1iujκij. （3.1）在这种情况下，方程式（2.14）和（2.15）的形式为（我们用上标“g”表示高斯）Wg（ω，ω，…，ωn；tn）=^∞-∞Du·exp公司inXj=1ujωj- inXi=1uiκi-nXi，j=1iujκij;（3.2）cRisken（1989），第2.3.3节。国际理论与应用金融杂志(c)世界科学出版公司8 A.Catalo&R.Rosenfeld∏g（ω，ωn；tn）=^ωc-∞dω。。。^ωc-∞dωn-1^∞-∞Du·exp公司inXi=1uiωi- inXi=1uiκi-nXi，j=1iujκij. （3.3）此外，κij=σij，其中σij是i和j之间的协方差。考虑马尔可夫过程的情况，其中变量的前一状态影响当前状态：∏（ω（tn）≤ ωn |ω（tn-1) , ..., ω（t））=π（ω（tn）≤ ωn |ω（tn-1)) . （3.4）我们将表示∏gm在马尔可夫假设下，即粒子执行马尔可夫-高斯布朗运动时，高斯概率和概率密度。在平稳随机过程中，矩随时间是常数，其值仅取决于周期之间的最小瞬间。如果变量ω是标准高斯函数，如在维纳过程中，σij=<ωiωj>=最小值（i，j）≡ 哎呀。（3.5）概率密度（3.2）变为：Wgm（ω，ω，…，ωn；tn）=^∞-∞Du·exp公司inXi=1uiωi- inXi=1uiκi-nXi，j=1iujaij=^∞-∞Du·exp公司inXi=1ui（ωi- κi）-nXi，j=1iujaij. （3.6）为了说明，考虑一个变量ωi=ω。