价格影响下的最优投资、需求与套利

对于给定的Q，我们用V（Q）={Vt（Q）}t表示≤t投资者的收益过程，即Vt（Q）是投资者出售累积订单时将收到的现金金额（见【10，方程式（4.19）】）。与静态情况类似，在终端时间vt（Q）=-QTψ- XT（Q）。6 MICHAIL ANTHROPELOS、SCOTT ROBERTSON和KONSTANTINOS Spiliopoulos为了精确识别V（Q），我们需要引入一些符号。根据假设2.2，对于所有q∈ RKT过程（q）：=Ehe-γΣ-γqψFti；t型≤ T、 是严格正鞅，因此通过可预测表示，我们可以写出（2.1）Nt（q）N（q）=EZ·Hs（q）dBst；t型≤ T、 对于一些可预测的过程H（q）。映射（t，ω，q）→ Ht（q）（ω）是P（F） B（Rk）可测，其中P（F）是F-可预测的西格玛代数，事实上，H（q）在q中是正则的，如[8，引理5.5]和[44]所述。接下来，定义流程类别AP I：=Q∈ P（F）| ZT | Ht（Qt）| dt<∞ a、 s。.利用[8，定理3.2，第5.2节]，[10，定理4.9]，我们得到了V（Q）关于H（Q）的以下表示。引理2.3的证明见附录A。引理2.3。假设2.2成立。然后，对于Q∈ AP I，V（Q）用vt（Q）=γZt（Hs（Qs）很好地定义- Hs（0））（dBs- Hs（0）ds）-2γZt | Hs（Qs）- Hs（0）| ds；t型≤ T、 （2.2）2.2。价格影响和受限投资。我们现在展示财富是如何将V（Q）转化为Q的∈ AP与财富过程X（π）直接相关，财富过程X（π）是在没有价格影响的实际模型中获得的，但交易受到限制。这一事实（针对单一资产）在博士论文中首次得到证明【51】。随后在博士论文[50]和未发表的论文[24]中观察到了这一点（也针对一项资产）。最近的[25]（c.f.条件3.7）中也含蓄地提到了这一点，尽管是在一个更抽象的环境中。在这里，我们通过考虑证券向量，使观察更具形式性和一般性。

我们强调对约束集的讨论，并利用此表示来分析价格影响下的未定权益定价和混合问题。考虑一个货币市场账户设置为1的活跃市场。存在d个可交易资产，其外部给定的价格过程S根据（2.3）dStSt=λtdt+dBt演变；t型≤ T、 对于（待确定）可预测的d维过程λ，使得rt |λT | dt<∞, a、 s。。在必要的可积性条件下，λ是风险的唯一市场价格，通过构造，有一个唯一的度量Qon-fts，其中S是真鞅。Qhas密度（2.4）dQdPFT=E-Z·λtdBtT、 自我融资交易策略用π表示，其中π是在Siat投资的财富比例，i=1。。。，d、 我们假设π∈ P（F）是Rt |πt | dt<∞ a、 s。。π诱导的价格影响7下的财富过程最优投资、需求和套利具有动态性Xt（π）Xt（π）=πt（λtdt+dBt）；t型≤ T、 因此，当初始财富X=eγX时，对数财富过程为（2.5）log（Xt（π））=γX+ZtπT（dBt+λtdt）-Zt |πt | dt；t型≤ T、 现在，如果我们定义λ：=-H（0），假设π=H（Q）- H（0），并将（2.5）与（2.2）进行比较，我们发现，作为过程，（2.6）x+V（Q）=γlog（x（π））。换言之，活跃市场（2.3）中的财富过程（由π引起）与价格影响市场中的收益过程（由Q引起）之间存在直接联系。要求πt=Ht（Qt）- Ht（0）类似于【25，条件3.7】、【24，第4节】中的可逆性条件以及【50，命题3.5】中的有界性条件。很明显，对于Q∈ AP-Iwe可以构造π。

要想往相反的方向走，我们必须让forLeb[0，T]几乎每T≤ P几乎肯定πT位于随机约束集Kot中，其中kt：=nHt（q）| q∈ Rko；Kot：=nHt（q）- Ht（0）| q∈ Rko公司。（2.7）因此，我们确定了可接受的战略：=π ∈ P（F）| ZT |πt | dt<∞, π ∈ Ko，Leb【0，T】×P a.s。.在[8，引理5.5]中，映射q→ H（q）被证明是连续的（事实上，该图更规则：见[44]）。因此，根据Kuratowski Ryll-Nardzewski关于任何θ的可测选择定理∈ P（F）使得θt∈ Kta。s、 对于t≤ T，我们可以选择Q∈ P（F）使得H（Q）=θ，Leb[0，T]×Pa.s。。因此，我们有等价的Q∈ AP I<=> π ∈ ACforπ=H（Q）- H（0），thatx+V（Q）=（1/γ）log（X（π））。2.3. 约束集。约束集过程Koof（2.7）由γ、∑和ψ确定。在本节中，我们构造了三个示例，通常表明对于固定（t，ω），Kot（ω）既不是闭合的也不是凸的。这与假设闭性和凸性的约束下效用最大化问题的文献不同，并在解决价格影响下投资者的最优投资问题时产生了一个严重的问题，这将在下一节讨论。在第一个示例中，没有Kot=Rd的约束；在secondKotis未关闭；在第三个Kotis中不是凸的。示例2.4。Bachelier模型：无约束。与[10，示例4.11]类似，设k=d，∑=RTftdBtandψ=RTψtdBt，其中f∈ L（[0，T]；Rd）和ψ∈ L（[0，T]；Rd×d）。假设ψtis8 MICHAIL ANTHROPELOS、SCOTT ROBERTSON和KONSTANTINOS SpiliopoulosInversible，映射t→ ψ-1这是连续的。显然，假设2.2成立，计算结果显示t（q）N（q）=E-γZt（fs+ψsq）dBs; t型≤ T、 因此Ht（q）=-γ（ft+ψtq），因此Kt=Kot=rd，πt=Ht（Qt）- Ht（0）当且仅当ifQt=-（γψt）-1πt。示例2.5。数字索赔：非闭合集。

考虑当k=d=1，∑=0，ψ=1BT时≥这里我们有关于{Bt=b}和对于τ=T- t： （2.8）Kt=Kot=√τφb√τ×-Φb√τ,1.- Φb√τ,式中，Φ是标准正态随机变量的累积分布函数，φ是其概率密度函数。上面的左端点为q↓ -∞, 而右端点出现为q↑ ∞. 为了验证（2.8），我们注意到∑=0，ψ=f（BT），f有界且可测量，因此Ht（q）=-bv（t，Bt；q），其中v（t，b；q）：=-日志Ee-γqf（BT）| BT=b. 实际上，这可以用It^o公式和B的跃迁密度来表示。在这个例子中，V（t，B；q）=-日志e-γq+Φ-b√T- t型1.- e-γq.结果之后是差异，即-关于q的bv（t，Bt；q），取q↑ ∞, q↓ -∞.示例2.6。二维数字和线性声明：一个封闭但非凸集。考虑当nk=d=2、∑=0和ψ时=英国电信，英国电信≥0. 这里，τ=T- t、 和上Bt=b，Bt=b定义A=Φ(-b类/√τ） 和C=√τ/φ (-b类/√τ). 那么，Kt=Kot={（p，p）}，其中p，pmustemission-(1 - A） C<p<AC；（τp- （b）≥ 2τ (1 - 2(1 - ACp）（1- A） ）日志1 + (1 - A） Cp1- ACp公司.很容易看出Kotis不是凸的。实际上，选择pclose足够大到1/（AC），使上面第二个等式的右侧严格为正。然后，（p，p）6∈ Kotfor pnear b/τwhile（p，p）∈ Kotfor | p |足够大。如图1所示。其中，当解H（q）=p时，在阴影区域的内部，有两个解；沿着边界，但不是线交叉的地方，有一个独特的解决方案；在两条线相交的地方，有一个数不清的解族。这表明约束集是封闭的，但对于大投资者的最优投资问题，通常不会有唯一的最优需求政策。3、具有价格影响的最优投资我们现在考虑投资者的最优投资问题。

我们假设她具有实线上定义的效用函数所描述的偏好，即C，严格凹，并满足合理的渐近弹性条件（C.f[52]）。根据引理2.3，价格影响下的最优投资、需求和套利9-3-2-1 1 2 3p1-1.5-1.0-0.50.51.01.5p2图1的0。Kofor示例2.6的二维声明。Q∈ 对于给定的初始资本x和捐赠∑乘以（3.1）u（x；∑）：=supQ，价格影响下的财富过程得到了很好的定义，反过来，我们可以定义她的价值函数∈AP IE[U（x+VT（Q）+∑）]。为了确保u（x；∑）得到很好的定义，我们假设假设3.1。E（U（x+∑））-< ∞ 对于所有x∈ R、 根据第2.2节的结果，我们可以将u（x；∑）与约束交易的实际模型中非最优投资问题的值函数相等，其中投资者的偏好由效用场u（w，ω）：=u来描述γ对数（w）+∑（ω）; w>0，ω∈ Ohm.很容易验证，对于ω固定，~U（w，ω）严格递增、凹，并满足[36]中的渐近弹性条件。此外，我们知道Q∈ AP I<=> π ∈ ACforπ=H（Q）- H（0），并使用（2.6），我们得出结论，对于价格影响模型中的初始财富x和eγxin，实际模型▄U（XT（π），·）=Uγlog（XT（π））+σ= U（x+VT（Q）+∑）。为了进行比较，我们还定义了活跃市场中的无约束问题，设置a：=π ∈ P（F）| ZT |πt | dt<∞ a、 s。.在实际市场中使用▄U，我们定义了价值函数▄U（x；∑）：=supπ∈AEh▄U（XT（π），∑）X=eγxi；uC（x；∑）：=supπ∈亚齐U（XT（π），∑）| X=eγxi，（3.2），基于以上，我们立即得到了10个MICHAIL Anthropolos、SCOTT ROBERTSON和KONSTANTINOS Spiliopoulos命题3.2。

假设2.2和3.1成立，对于x∈ R设u（x；∑）来自（3.1）。Thenu（x；∑）=uC（x；∑）≤ u（x；∑）。随机禀赋和效用领域的无约束效用最大化问题已经得到了很好的研究。对于启用效用函数的捐赠（0，∞) 我们强调了[31]，而对于效用领域，我们特别关注[41]，它包含了在一般不完全环境下存在最优策略的必要和充分条件。目前，由于无约束市场已经完成，因此分析非常简单。实际上，（3.3）~u（x；∑）=supξ∈L（FT）nE[U（x+ξ+∑）]| Eheγξi≤ 1o，其中Eis对QD的预期由（回顾（2.4）和λ=-H（0））（3.4）dQdPFT=e-γ∑E[E-γ∑=EZ·Ht（0）dBtT、 看看这个，对于π∈ A集ξ=（1/γ）log（XT（π））-x、 或者，对于ξ，Eeγξ≤ 1有π∈ P（F）满足ER·πt（dBt- Ht（0）dt）T=eγξ/eeγξ, 和（1/γ）log（XT（π））≥ x+ξ。我们记录（2.2）表示（3.5）EheγVT（Q）i，以备日后使用≤ 这一预算约束具有重大影响。现在，随机约束下的效用最大化问题也是标准问题。然而，大多数文献（c.f.[17]、[34]）都假设t的约束集是闭的和凸的≤ T当约束绑定时，闭性用于获得最优策略；当构造无约束的辅助市场时，凸性用于获得最优策略。然而，如第2.3节所示，通常不能断言Kotof（2.7）具有这些属性中的任何一个。备注3.3。有鉴于此，在解决这类价格影响模型中的最优投资问题时存在着二分法。实际上，在U和∑的非常温和的条件下（例如，参见[42]），对于（3.2）中的无约束问题，有一个最优策略^π。然后，在受约束的情况下，我们有两种选择：I.^π∈ Ko，Leb[0，T]×P几乎可以肯定。二、

存在一个集合（a，b）×E∈ [0，T]×fta<b，P[E]>0 s.T.^πt6∈ 科顿E×（a，b）。在案例I中，约束问题与无约束问题的答案相同，约束问题实际上不存在。在第二种情况下。，最优投资问题超出了现有文献的研究范围。此外，在II中。，最终可能会出现一种奇怪的情况，投资者被诱使向做市商索要一定数量的股票，而做市商至少在形式上愿意为这种需求提供一定的现金余额。例如，示例2.5中出现了这样的情况，当∑被精确地形成，使得^π是t的（2.8）中的左端点∈ （a、b）。价格影响下的最优投资、需求和套利113.1。指数首选项。当投资者具有指数效用时，命题3.2的有用性就突出了。这里，价格影响模型中的指数效用与实际约束市场中的电力效用相关联。接下来，我们用α>0表示投资者的绝对风险厌恶，并将假设3.1指定为假设3.4。Ee-αΣ< ∞.假设3.4允许我们使用通常的计量变更（c.f.[20]），即FTby（3.6）dePdP上的捐赠∑，定义EPFT=e-α∑E[E-αΣ].UsingeP和eα（（1/γ）log（XT（π））=XT（π）-α/γ，直接计算得出以下结果（其中ee代表测量下的期望值）。提案3.5。让假设2.2和3.4保持并从（3.2）中调用▄u和▄uc。那么，takingU（x）=-e-αx，我们有▄u（0；∑）=αγEe-αΣsupπ∈AeE公司p（XT（π））p | X=1;uC（0；∑）=αγEe-αΣsupπ∈ACeEp（XT（π））p | X=1!,（3.7）式中p：=-α/γ.3.2. 求解最优投资问题。正如我们刚才看到的，价格影响表现在两个方面。第一个与市场不完全性有关，当Kot6=Rd时产生。

第二种方式是由于（3.5）中修改的预算约束，它不同于“传统”约束等式[V（Q）T]≤ 无摩擦市场为0。因此，即使在没有约束的情况下（即Kot=rdt几乎肯定在t上≤ T）而且市场是完整的，由于价格影响，存在一个不平凡的“预算约束”效应。我们的兴趣在于预算约束的影响。因此，对于本文的其余部分，我们假设约束是无约束力的（实际上没有）。保持假设2.2、3.4的有效性，H¨older\'sinequality确保（3.8）Ehe-β（∑+∑）i<∞;β： =α+γ，因此β是投资者和做市商的代表性风险规避。因此，存在^Д∈ P（F）验证（3.9）e-β（∑+∑）Ee-β(Σ+Σ)= EZ·^ИtdBtT、 我们对∑、ψ和∑进行以下假设，以确保约束^π∈ Kisnon binding：12 MICHAIL ANTHROPELOS、SCOTT ROBERTSON和KONSTANTINOS Spiliopoulos假设3.6。^φ ∈ K、 Leb[0，T]×P几乎可以肯定。假设3.6说明了禀赋∑和∑与可交易资产ψ之间的隐含联系。如下图所示，它在许多实际情况下都适用，并且很明显，它会使有约束和无约束优化问题重合。因此，我们得出以下结果，其证明见附录A提案3.7。假设2.2、3.4和3.6成立。然后，对于（3.7）中的每个最优投资问题，最优交易策略^π∈ ACis^π=^Д- H（0），值函数（3.1）和（3.7）重合，取显式值-Ee-γΣ-αγ×Ehe-β（∑+∑）iαβ。(3.10)3.3. 指示性示例。有假设3.6适用的具体例子。一个简单的例子是当Ko=Rd，Leb[0，T]×P几乎可以肯定：如例2.4中的Bachelier模型。我们现在提供其他示例。示例3.8。马尔可夫模型。

假设∑=∑（YT）和ψ=ψ（YT），其中Y是一个微分，动力学dYt=b（t，YT）dt+σ（t，YT）dband Y=Y。这里Y被理解为一个经济因子。让F（y；q）：=-γ∑（y）-γqψ（y），我们注意到，使用马尔可夫性质，Nt（q）=v（t，Yt；q），其中v（t，y；q）：=EeF（YT；q）| YT=y. 对于q fixed，v（·；q）解决了柯西问题vt+Lv=0，on[0，T）×Rd；v（T，·）=eF（·；q），on Rd，其中L是Y的最小生成元。假设b，σ，∑，ψ足够正则，因此存在u∈ C1,2,0解决了上述Cauchy问题（参见示例[23]了解一般正则结果）。使用It^o公式dnt（q）=Nt（q）ylog v（t，Yt；q）σ（t，Yt）dBt。因此，Ht（q）=σ（t，Yt）假设3.6的有效性取决于映射q 7的光滑性和单调性→ ylog v（t，Yt；q）。事实上，当d=k=1时，[25]中的定理3显示了；b（t，y）=b（t）；σ（t，y）=σ（t）；∑和ψ呈线性增长；ψ在R中严格单调，然后Kt=Kot=R。有趣的是，[25]还提供了一个例子，其中ψ是一个欧洲呼叫的支付（不是严格单调的），Kt6=R。事实上，在这个马尔可夫设置中，识别Kt等同于识别，对于t≤ T、 y型∈ 固定，范围σ（t，y）ylog v（t，y；q）| q∈ Rk公司. 据我们所知，文献中没有此类的一般结果。文献中的一个常见假设是，ψ在∑，中是线性的（参见[2，26，37]，以及最近的[38，49]）。换句话说，代理将其风险头寸证券化，并通过交易实现互利的风险降低。以下示例与此设置相关，并验证假设3.6。此外，在这种情况下，动态交易是不必要的，因为最优策略是静态的。价格影响下的最优投资、需求和套利13例3.9。捐赠作为ψ的投资组合和一个独立的组成部分。

设d=k+nand写入B=（B，…，Bk）和B=（Bk+1，…，Bk+n）。对于k，k∈ Rk，假设∑=kψ+Y，∑=kψ+Y，其中ψ是可测量的，Y是可测量的。Yand Yc可以被解释为各自禀赋的特质成分；虽然ψ中的头寸是投资于可交易资产的部分（对于做市商来说，后者可以被视为总库存）。对于所有t，As（Y，Y）和ψ是独立的≤ T，它跟在q后面∈ RK和t≤ TNt（q）=Ehe-γ（k+q）ψFtiEe-γY英尺.在（2.1）中，写入H（q）=H（q），H（q）. 我们看到了Z·Hu（q）dBuT=e-γ（k+q）ψEe-γ（k+q）ψ; EZ·Hu（q）dBuT=e-γYE[e-γY]。由于H不依赖于q，我们发现Kot=Ht（q）q∈R、 0个. 接下来，回忆一下=^φ, ^φ来自（3.8）和（3.9）。由于独立性Z·^ИtdBtT=e-β（k+k）ψEhe-β（k+k）ψie-β（Y+Y）Ee-β（Y+Y）= EZ·^ИtdBtTE公司Z·^ИtdBtT、 自-β(Σ+ Σ) = -γΣ- γαΣ- γ∑α+γ，我们看到^Д=H（（αk- γk）/（α+γ）），但当αY=γY时，我们只能有^Д=H（0）（即假设3.6）。如果没有这个条件，它将失败。然而，约束π∈ Komeans我们不能投资于S，而S的最佳需求是-H（0）。因此，对于投资者而言，静态位置^Qt=（αk- γk）/（α+γ），t≤ T是最优的，不需要动态交易。事实上，最优订单将做市商和投资者置于帕累托最优状态（见[11]），并且没有其他互利交易可进行。示例3.10。重温学士模式。最后一个例子表明，动态最优交易策略是可能的。我们通过设置∑=RTgtdBtwhereg来扩展示例2.4的Bachelier模型∈ L（[0，T]；Rd）。假设3.6为Kt=Rd，计算表明（3.9）中的^Д和^π，命题3.7分别为^Д=-β（f+g）；^π = ^φ - H（0）=γα+γ（γf- αg）。因此，^Q=（1/（α+γ））ψ-1（αg- γf）。请注意，最佳需求是确定性的，但不一定像示例3.9中那样是静态的。