价格影响下的最优投资、需求与套利

然而，当f=ψkand g=ψk（禀赋是ψ的组合）时，我们再次恢复静态最优位置。14 MICHAIL ANTHROPELOS、SCOTT ROBERTSON和KONSTANTINOS SPILIOPOULOS4。未定权益分析我们的中心主题是：获取未定权益的定价规则和需求计划。我们的重点是价格影响的预算约束方面，因此我们假设Kt=Rd。我们首先问一个价格无套利意味着什么，因为（3.3）中的预算约束在支付ξ中显然不是线性的。这意味着套利的不可扩展性，因此必须重新探讨无套利或有权益定价的主题。接下来，我们通过制定需求计划来解决最优需求问题，该计划给出了投资者希望在每个价格（无套利或无套利）下持有多少索赔单位。正如我们将看到的，正是由于价格影响，即使是创造套利机会的交易价格也不会产生有限的需求（即套利是有限的）。然后，我们将交易价格内生化为两个投资者之间的均衡价格，这两个投资者进行双边索赔交易，但在细分市场进行对冲。有趣的是，在有些情况下，均衡交易价格允许套利。该索赔具有最终付款∈ R、 与终端支付为ψ的证券不同，his不是通过做市商交易的：投资者与另一位投资者交易h，然后通过与做市商动态交易来对冲其头寸。例如，h可以被视为非流动性衍生产品的报酬，它不是通过做市商进行交易，而是在两个投资者或金融机构之间进行交易（一些衍生产品市场上的非流动性也得到了实证研究的支持，例如[14、15、21]）。为了隔离预算约束影响，并满足所有可集成性要求，我们假设假设4.1。

Kot=Rd对于t几乎肯定≤ T此外，Ee-γ∑+p（|ψ|+| h |）< ∞ 安第斯山脉e-α∑+p | h|< ∞ 对于所有p≥ 0.4.1. 无套利价格。固定位置大小u∈ R、 假设4.1意味着投资者可以对冲索赔额。实际上，使用Qfrom（3.4），因为eγuh< ∞, 有一个需求流程Q∈ AP I和a（每单位）初始资本h（u），使得uh（u）+VT（Q）=uh a.s。。接下来是可预测的表示，它断言策略π的存在∈ P（F）使得（4.1）eγuhE[eγuh]=eZ·πt（dBt- Ht（0）dt）T=eγVT（Q），其中最后一个等式在求解πT=Ht（Qt）之后- Qt为Ht（0）。所需初始资本为（4.2）h（u）：=γulogEheγuhi,这正是做市商出售h的u单位的差异（每单位）值。由于他没有与做市商交易，我们想确定h的价格，以防止投资者与做市商交易ψ时产生套利机会。尽管Kot=Rd暗示了完整性，但由于价格影响，uh不需要只有一个“无套利”价格。事实上，我们目前提出了三个无套利价格的概念，这在无摩擦的情况下是一致的，但考虑到价格影响，给出了截然不同的答案。价格影响下的最优投资、需求和套利15为了发展前两个概念，我们从（4.2）中看到，与无摩擦情况相比，复制资本-呃不是-uh（u）。相反，它是-uh（u）其中（4.3）h（u）：=-γulogEhe公司-γuhi,是做市商购买索赔h的u单位的差异（单位）值。Jensen的不平等意味着h（u）≤ h（u），它简单地验证了购买价值（bid）低于相应的销售价值（ask）的事实。我们首先定义了h的无套利价格的强烈概念，与【54】：定义4.2一致。

p是h中所有头寸的无套利，提供给所有Q∈ AP和u∈ R、 如果向上+VT（Q）- 嗯≥ 0 a.s.，然后向上+VT（Q）- uh=0 a.s。。定义4.2背后的理由很清楚：我们排除了投资者能够从零开始的可能性，对于一些美国投资者来说∈ R、 以h的u单位换取p的单价；在[0，T]以上与做市商交易ψ；并以T处的正增益概率覆盖她的位置。上述定义很强，因为它排除了同时对所有头寸规模u进行套利的可能性。无套利价格的较弱概念是：定义4.3。p是在h中u>0的水平上的无套利，前提是（a）对于所有Q∈ AP I，如果向上+VT（Q）- 嗯≥ 0 a.s.，然后向上+VT（Q）- uh=0 a.s。。（b） 对于所有Q∈ AP I，如果-上行+VT（Q）+uh≥ 0 a.s.，然后-up+VT（Q）+uh=0 a.s。。换言之，u>0水平的无套利价格p排除了买入或卖出u的套利。根据这两个定义，我们得出以下结论，如附录A命题4.4所示。假设4.1成立。然后，i）在定义4.2的意义上，h的无套利价格范围为单件E【h】。ii）对于任何固定u>0，定义4.3意义上的h的无套利价格范围分别为（4.2）和（4.3）之间的闭合区间【h（u），h（u）】。根据第4.4条的规定，每当大型投资者发现一个低于（或高于）E【h】的询价（或出价）价格时，就有一个套利机会。事实上，如果要求（分别出价）价格pis低于（分别高于）E【h】，则存在h的正数量单位u，其中p<h（u）（分别p>h（u））。然后，一个套利机会出现了，买入（或卖出）h的u单位，然后通过与做市商动态交易ψ进行对冲。

另一方面，如果投资者能找到的h的唯一价格是E[h]，则任何头寸u都没有套利机会∈ R、 由于h（u）在u>0时减少，而h（u）在u>0时增加，我们立即看到：推论4.5。假设4.1成立。如果p是u>0水平上的无套利价格，则p是u水平上所有u的无套利价格≥ u、 根据拉普拉斯原理（4.4）h（u）↓ h：=essinf（h）；h（u）↑ h：=ESSUP（h）作为u↑ ∞.16 MICHAIL ANTHROPELOS、SCOTT ROBERTSON和KONSTANTINOS Spiliopoulos因此，任何价格（h，h）3 p 6=E[h]都会引发套利，但套利机会有限，从某种意义上讲，套利可以利用的索赔单位数量最多。换句话说，由于价格影响，如果投资者持有大量头寸，套利就会消失。直觉上，索赔中的大额头寸需要在ψ中的大额对冲头寸。这会改变做市商的库存，由此产生的定价规则对投资者不利。这与没有价格影响的市场中的套利截然不同，因为套利规模太大了。定义4.2和4.3未考虑投资者偏好。这是一个重要的遗漏，因为关于价格影响的整个讨论都是针对足以产生价格影响的投资者的。我们现在定义了第三个概念，即p是一个无套利价格，如果考虑到为p购买任意数量h的可能性，投资者的最佳需求是有限的。为了说明这一点，对于给定的初始资本x、效用函数U和禀赋∑，从（3.1）中调用值函数U（x；∑）。定义4.6。p是h的基于效用需求的无套利价格，如果对于每个{un}n∈Nsuchthatlimn公司↑∞u（x- pun，∑+unh）=supu∈俄罗斯(-聚氨基甲酸酯；∑+uh），我们有supn | un |<∞.回忆（3.8）中的β和（4.4）中的h、h。

对于指数偏好，以下结果（附录A中有证明）表明基于需求的无套利价格范围最大。这与无摩擦的情况形成了鲜明的对比（见[32]）。提案4.7。假设假设4.1成立，并假设投资者具有指数偏好和风险规避α。基于公用事业需求的无套利价格范围为（h，h）。对于p∈（h，h），最优需求是唯一解^u=^u（p）到（4.5）p=E他-β（∑+∑+^uh）Ee-β（∑+∑+^uh）.地图p→^u（p）给出了需求计划。命题4.4和4.7意味着存在定义4.2和4.3意义上的套利价格，投资者的最佳需求是确定的。事实上，这适用于所有（h，h）3 p 6=E[h]。然而，套利收益是有限的，投资者可能希望出于享乐的目的交易索赔。例如，如果索赔与她的禀赋呈负相关，她就会选择多头头寸（即使p>E[h]，这意味着套利是由空头头寸提供的）。当套期保值的收益超过（有限的）套利时，最优需求不会利用它（即投资者最佳地忽略了套利机会）。下面的例子强化了这一点。示例4.8。我们重温例2.4和3.10的Bachelier模型，并假设h=RTytdBt，其中y∈ L（[0，T]；Rd）。假设4.1很容易成立，因此h中的任何头寸u都可以是价格影响17对冲下的最优投资、需求和套利。简单计算表明E【h】=-γRTytftdt，以及h（u）=E【h】+γuZT | yt | dt；h（u）=E【h】-γuZT | yt | dt。（线性）最优需求计划p→（4.5）中的^u（p）为（4.6）^u（p）=-p+βRTyt（ft+gt）dtβRT | yt | dt=-p+αCovhh，VT（^Q（0））+iβVar[h]，其中^Q（0）是（禀赋∑但）无索赔的最优顺序流，最后一个等式如下，使用示例3.10，∑=RTgtdBt。

接下来，指定示例3.10to∑=RTgtdBt+^u（p）h的直接计算显示了最优策略^Q=^Q（^u（p））-p^u（p）+VT（Q）+^u（p）h=常数+α+γZT（γft+γ^u（p）yt- αgt）dBt。因此，大投资者不使用套利策略（除了γft+γ^u（p）yt的病理情况- αgt≡ 0，仅当a）γft- αgt∝ 年初至今b）交易价格isp=-αRtytgdt。）关系式（4.6）表示^u（p）>0当且仅当p<-αCovhh，VT（^Q（0））+∑i。这是直观的，因为如果h与大投资者的（最优）终端财富呈负相关，则她有购买h的对冲相关动机，并将在更高的价格下持有长期头寸。此外，如果^u（p）>0，那么，如命题4.4的证明所示，为了排除形式上的套利-p^u（p）+V（Q）T+ph我们必须有p≥ h（^u（p））。写入P=-αCovhh，V（^Q（0））T+∑i- ε对于一些ε>0的情况，我们发现（再次参见示例3.10）p- h（^u（p））=γ- α2αε+γCovhh，VT（^Q（0））i。为清楚起见，假设γ=α。这里，当Covhh，VT（^Q（0））i<0时，出现套利（但大型投资者不使用）。在这种情况下，大投资者的对冲需求超过了纳入套利的意愿。预期E【h】提供了定义4.2意义上的唯一无套利价格，但该定义限制性太大，因为它在无套利价格和最优头寸之间没有联系。然而，导致需求有限（即定义4.6中的无套利）的价格范围最大。获得独特价格或“价值”的一种方法是通过差异估价，因为它考虑了投资者的偏好。通过平衡方程u（x）确定h的u单位的（每单位，投标）差值Piu- upI；∑+uh）=u（x；∑）。对于指数偏好，pI独立于x，因此我们写pI（u；∑）。

此外，从命题3.7我们得到了显式公式（4.7）pI（u；∑）=-αulogu（0；∑+uh）u（0；∑）= -β-乌洛格e-β（∑+∑+uh）Ee-β(Σ+Σ)!,18 MICHAIL ANTHROPELOS、SCOTT ROBERTSON和KONSTANTINOS Spiliopoulos指出，这取决于大投资者的捐赠和风险规避。因此，在定义4.2、4.3的意义上，它不一定是无需套利的，但在定义4.6.4.2的意义上，它始终是无套利的。最优需求和内生大额头寸。回想一下，1/β=1/α+1/γ是投资者和做市商的综合风险承受能力。利用第3节的结果，结合[5]中发展的一般理论，我们现在表明，最优需求在1/β的数量级，因此，当投资者或做市商的风险厌恶消失时，大量头寸会内生产生。对于后一点，这两种情况与γ一致→ 0表示做市商数量增加（这意味着总风险承受能力1/γ的增长），近似于做市商风险中性。事实上，风险中性做市商的假设在微观结构文献中很常见（c.f.[39]及其参考文献）。值得注意的是，尽管投资者的价格受到影响，h中的大量头寸还是以γ的形式内生出现→ 0，即使投资者的风险规避α保持不变。试探性地了解为什么最佳位置在1/β和β之间→ 0，设p∈ （h，h）和^u是（4.5）中的最佳需求。保持p，∑，∑固定，让β→ 0。那么，^uβ→ 0必然意味着p=E【h】和uβ→ ∞ （分别为-∞) 表示p=h（分别为h）；矛盾。因此，对于除E【h】以外的所有交易价格p，必须是^uβ≈ ` 对于某些常数“6=0”。考虑到序列βn，我们现在对上述内容进行精确计算→ 假设4.1成立，为了与[5]一致，setrn：=βn=αn+γn→ ∞,作为总风险承受能力。

从（4.7）中，我们可以看到，沿速率u=`rn，`∈ R\\{0}pI（`rn；∑）=-`logE公司e-`h类-βn（∑+∑）Ee-βn（∑+∑）!.然后，如【5，第6.2节】所述，支配收敛定理yieldsp∞（`）：=limn→∞pI（`rn；∑）=-`日志Ehe公司-`你好.（4.8）备注4.9。禀赋∑，∑与n无关的假设可以放宽。例如，考虑以下情况：→ ∞ 具有相同风险规避γ>0和捐赠∑的做市商。这里，代表性做市商的风险规避是γn=γ/n，集合禀赋是∑n=n∑=（γ/γn）∑。换句话说，即使是γn→ 0，γn∑n=γ∑6→ 0，因此代表性做市商的风险中性不一定对应于零捐赠。此处，（4.8）中的限制为→∞pI（`rn；∑）=-`logE公司e-`h类-γΣE【E】-γΣ]!.更一般地说，我们的分析可以处理捐赠以rn的速度增长的问题，这一假设对许多做市商来说是合理的。价格影响下的最优投资、需求和套利19利用【5】中的理论，将限制差异值和内生大额头寸联系起来。事实上，对于p∈ （h，h）和n∈ 固定后，命题4.7产生了唯一的最优需求^un（p）。（4.8）中的收敛性，以及`→ p∞（`）在`=0时，验证了[5]中的假设3.3，从而验证了[5，定理4.3，4.4]，如rn→ ∞ 它适用于所有p 6=p∞（0）that0<lim infn→∞|^un（p）| rn≤ lim支持→∞|^un（p）| rn<∞.因此，最佳位置以rn的速率变大。事实上，[5，推论4.6]通过显示自\'7\'以来→ `p∞（`）是严格凸（4.9）limn→∞^un（p）rn=`∈ R \\{0}。召回p∞（0）=E【h】（或p∞（0）=E他-γΣ/Ee-γΣ如果捐赠没有如标记4.9所示消失）。因此，每当p 6=p∞（0），最佳需求量增加至∞正是以rn的速率。

价格p∞（0）是定义4.2中无套利价格E0，n【h】的限制（以及定义4.3中固定为n的定义→ ∞), 所以p 6=p∞（0）对应于大型投资者在做市商接近风险中性时获得非常有利的价格。最后，我们指出，对于任何交易价格序列{pn}n，[5，推论4.6]验证（4.9）∈N （h，h）提供pn→ p 6=p∞(0). 无需在所有n中固定p。我们以观察结束本节。[5] 在内生性大头寸化和渐进市场完整性之间建立一般联系（c.f.第6.2节）。由于我们假设Kot=Rd，对于任何级别的做市商风险规避，具有价格影响的市场都是完整的。因此，[5]中的“渐进市场完备性”并不对应于价格影响模型中对冲索赔的消失能力，而是对应于价格影响模型中的“渐进做市商风险中性”。然而，可以将渐进市场makerrisk中立性与渐进完备性联系起来，这是通过基差风险模型的视角来实现的（c.f.[19]）。为了看到这一点，我们扩展了概率空间来支持与B无关的d维布朗运动W，并用FW，B表示（B，W）自然过滤的P-增强。接下来，我们定义ρ：=pα/（α+γ）∈ （0，1）和？ρ：=p1- ρ，并考虑一个具有可交易资产的活跃市场，其价格过程S随着DSTST=ρ（dBt）的变化而变化- Ht（0）dt）+ρdWt；t型≤ T、 因此，ρ衡量可对冲和不可对冲冲击之间的相关性，ρ→ 1为γ→ 在这个市场中，交易策略θ代表美元在S中的头寸，而诱导财富过程X（θ）具有动态dXt（θ）=θtρ（dBt- Ht（0）dt）+ρθtdWt，对于t≤ T现在，让π∈ A或π∈ ACbe是第3节中的策略，考虑θ=π/（γρ）。

通过第一个条件onF=FB，直接计算表明，在假设2.2和3.4下，u（0；∑）=supθ∈A/（γρ）Eh-e-α（XT（θ）+∑）i；ubr，C（0；∑）=supθ∈AC/（γρ）Eh-e-α（XT（θ）+∑）i.20 MICHAIL ANTHROPELOS、SCOTT ROBERTSON和KONSTANTINOS Spiliopoulos因此，我们看到做市商风险规避如何直接与市场不完整性的度量联系在一起，即使原始的价格影响模型是完整的。细分市场和部分均衡价格和数量我们的最后部分通过均衡参数内生化交易价格。回想一下，对于任何交易价格p∈ （h，h），如果p 6=E[h]，则出现套利机会。此外，还有一个∞（0）当a）交易价格与∞（0）和b）代表性风险规避γ趋于0。在本节中，我们提供了此类价格p在均衡状态下发生的情况。我们考虑细分市场。细分市场模型在金融文献中很常见：例如，见[45，46]，其中投资者的角色由“套利者”扮演，而做市商是有竞争力的价格承受型投资者。这里，我们假设有两个具有不同禀赋的做市商（A和B）∑A、∑B可交易证券支付ψA、ψB。所谓“分割”，我们是指A和B不相互交易。类似地，有两个投资者拥有捐赠∑A、∑B和效用函数UA、UB。每个投资者都与各自的“本地”做市商进行交易。投资者还以双边OTC交易的形式相互交易h（类似于[45，46]中套利者之间的交易）。其想法是，特定产品/地区/市场的做市商不一定参与其他产品/地区/市场（例如。