价格影响下的最优投资、需求与套利

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英文标题：
《Optimal Investment, Demand and Arbitrage under Price Impact》
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作者：
Michail Anthropelos, Scott Robertson, Konstantinos Spiliopoulos
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  This paper studies the optimal investment problem with random endowment in an inventory-based price impact model with competitive market makers. Our goal is to analyze how price impact affects optimal policies, as well as both pricing rules and demand schedules for contingent claims. For exponential market makers preferences, we establish two effects due to price impact: constrained trading, and non-linear hedging costs. To the former, wealth processes in the impact model are identified with those in a model without impact, but with constrained trading, where the (random) constraint set is generically neither closed nor convex. Regarding hedging, non-linear hedging costs motivate the study of arbitrage free prices for the claim. We provide three such notions, which coincide in the frictionless case, but which dramatically differ in the presence of price impact. Additionally, we show arbitrage opportunities, should they arise from claim prices, can be exploited only for limited position sizes, and may be ignored if outweighed by hedging considerations. We also show that arbitrage inducing prices may arise endogenously in equilibrium, and that equilibrium positions are inversely proportional to the market makers\' representative risk aversion. Therefore, large positions endogenously arise in the limit of either market maker risk neutrality, or a large number of market makers.
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中文摘要：
研究了具有竞争性做市商的基于库存的价格冲击模型中随机捐赠的最优投资问题。我们的目标是分析价格影响如何影响最优政策，以及未定权益的定价规则和需求计划。对于指数做市商偏好，我们建立了两个因价格影响而产生的效应：受限交易和非线性对冲成本。对于前者，影响模型中的财富过程与没有影响但具有约束交易的模型中的财富过程相识别，其中（随机）约束集通常既不闭合也不凸。关于套期保值，非线性套期保值成本激发了对索赔无套利价格的研究。我们提供了三个这样的概念，它们在无摩擦的情况下是一致的，但在存在价格影响的情况下有很大的不同。此外，我们还表明，如果套利机会来自索赔价格，则只能对有限的头寸规模进行利用，如果对冲因素超过了套利机会，则可以忽略套利机会。我们还表明，套利诱导价格可能在均衡状态下内生产生，均衡头寸与做市商的代表性风险厌恶成反比。因此，在做市商风险中性或大量做市商的限制下，大量头寸是内生的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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PDF下载：
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关键词：Endogenously Mathematical proportional Quantitative Konstantinos

价格影响下的最优投资、衍生品需求和套利Michail Anthopelos、SCOTT ROBERTSON和KONSTANTINOS SPILIOPOULOSAbstract。本文研究了具有竞争性做市商的基于库存的价格冲击模型中随机捐赠的最优投资问题。我们的目标是分析价格影响如何影响最优政策，以及未定权益的定价规则和需求计划。对于指数做市商偏好，我们建立了价格影响的两个效应：受限交易和非线性对冲成本。对于前者，影响模型中的财富过程与没有影响但有约束交易的模型中的财富过程相同，其中（随机）约束集通常既不是封闭的，也不是凸的。关于套期保值，非线性套期保值成本激发了对索赔无套利价格的研究。我们提供了三个这样的概念，它们在无摩擦的情况下是一致的，但在存在价格影响的情况下会有显著的不同。此外，我们还表明，如果套利机会来自索赔价格，则只能对有限的头寸规模进行利用，如果对冲因素超过了套利机会，则可以忽略套利机会。我们还表明，套利诱导价格可能在均衡状态下内生产生，均衡头寸与做市商的代表性风险厌恶成反比。因此，在做市商风险中性或大量做市商的限制下，大量头寸是内生的。1、导言在本文中，我们研究了基于库存的价格影响对最优投资的影响，以及未定权益的定价和最优需求。在我们的模型中，当投资者向做市商提交订单时，价格影响是内生的，因为它改变了做市商的总库存，从而改变了定价规则。

我们的目标是了解基础市场的价格影响如何影响基础资产和债权的最佳投资。为此，我们确定了价格影响的两个主要影响：受限交易和非线性定价成本。非线性对冲成本意味着，即使没有约束，投资者也可以充分利用索赔中的任何头寸，对冲策略的成本与头寸大小不是线性的，就像在无摩擦的情况下一样。这是由于价格影响，需要我们重新审视无套利价格的概念，并询问是否总是最佳利用套利机会，因为基础市场的价格影响可能会限制套利的日期：2018年12月10日。M、 比雷埃夫斯大学研究中心部分资助了Anthropelos。S、 罗伯逊获得了国家科学基金会的部分资助，资助号为DMS-1613159。K、 Spiliopoulos部分由美国国家科学基金会资助，资助号为DMS-1550918.2 MICHAIL Anthropolos、SCOTT ROBERTSON和KONSTANTINOS SPILIOPOULOSgains。此外，非线性成本自然会导致我们考虑投资者的需求计划（即给定交易价格的最优需求），并询问在索赔中持有大量头寸是否可能是最优的。受[5]的启发，对于没有价格影响的模型，大量头寸是内生的，同时对冲误差、风险规避或交易成本都会消失，我们想检验最优需求是否会随着价格影响的消失而变大。我们没有像[7、18、22、33、55、43、53、48]等那样从外部指定交易的价格影响，而是遵循金融经济学范式，其中的影响是由内部决定的。我们使用了在【30，56】中首次开发的影响模型，并随后在【9，10】中进行了扩展。

在这里，做市商在为给定的需求过程报价时进行竞争。竞争导致做市商形成帕累托最优配置，现金余额保持预期效用。然后，现金余额过程决定了大型投资者的财富过程。最近的工作中考虑了这种情况下的对冲索赔问题【25，50】。这里，作为自然对应，我们考虑具有随机禀赋的动态最优投资问题（相应的静态问题在[4]中研究，而[24]包含连续时间的部分结果）。第一步是检查与给定投资者交易策略相关的财富过程。我们表明（正如[51]中针对单一资产所做的那样），在做市商的指数偏好下，价格影响模型中的财富过程可以与没有价格影响但交易受限的实际市场中的财富过程相识别。然而，约束集随时间和场景而变化，正如第2.3节中的示例所强调的，通常它既不是闭合的也不是凸的。因此，解决投资者投资组合选择问题的许多标准理论并不适用（c.f.[17]）。更困难的是，约束集的（如果确定）边界可能对应于价格影响模型中的有限投资者需求，并且至少在形式上，有限需求可能导致定义明确的财富过程（有关更详细的讨论，请参见第3节）。为了排除这种情况，在选择交易资产的最终支付额及其与做市商捐赠总额的关系时必须谨慎。虽然由于约束集的性质，缺乏关于最优投资的一般结论，但事实证明，在许多感兴趣的情况下，约束集对最优投资问题没有约束力。

例如，在Bachelier模型中，没有约束集。此外，在一般情况下，如果做市商和投资者的禀赋是“证券化的”（交易资产的组合加上一个独立的组成部分），那么最优政策是静态的，因此总是可以接受的。事实上，如果没有任何外部订单流向做市商（由其他投资者或“噪音交易者”），最初的最优订单会将大投资者和做市商置于帕累托最优状态，无需进一步交易。我们通过将价格影响模型中的CARA投资者偏好与约束交易模型中的CRRA偏好联系起来，建立了这些结果。考虑到上述结论，我们的主要重点是在基础市场存在价格影响时，确定定价规则和需求计划。我们观察到，Hedging在价格影响下的最优投资、需求和套利3a索赔头寸产生了两个独立但相关的问题：我们能对冲吗？对冲成本是多少？对于第二个问题，我们还问对冲成本在头寸规模上是否是线性的，如果不是，后果是什么？为了隔离对冲成本对最优需求的影响，我们消除了受约束的交易影响，假设索赔中的任何头寸存在该头寸的复制策略。在这里，我们表明对冲成本在索赔单位中不是线性的。由于影响引起了人们对套利机会可扩展性的怀疑，非线性对冲成本要求我们重新审视无套利定价的概念。为此，我们提供了无套利价格的三个定义，这三个定义在无摩擦情况下是一致的，但在此价格影响模型中，产生了显著不同的无套利价格范围。

事实上，我们获得了无套利价格范围，从一个单件到最大区间，由索赔的本质上确界和本质上确界决定。虽然定义无套利价格会带来套利机会，但由于价格影响，套利收益有限，因为它只能用于索赔中的小（足够）头寸：对于大头寸，套利消失。这是因为当投资者与做市商交易套利机会时，她会改变他们的库存，从而改变定价规则。在索赔头寸大小达到一定阈值后，hedging变得昂贵，套利消失。因此，如果投资者出于对冲原因想要购买/出售衍生工具，当对冲收益超过套利有限收益时，她可能会忽略套利机会。虽然这与没有价格影响的无摩擦市场中的套利概念形成鲜明对比，但这与存在资本约束或交易成本等摩擦的市场中的“套利限制”证据是一致的（相关实证结果见[1]）。对于具有一般市场摩擦的连续时间模型，类似的不可伸缩套利机会也出现在[28]中。最后，我们指出，虽然在无摩擦市场中对未定权益的定价和需求研究进行了很好的研究，但在价格影响方面的相应研究却很少（例外情况见[40，13]）。上述情况表明，即使交易价格允许套利，索赔的最佳需求也可能是有限的。事实上，最优需求还取决于投资者禀赋及其与债权和标的资产的关系。

但是，什么时候最佳需求量大？为了回答这个问题，我们应用了[5]的结果，并表明最优需求与（代表性的）做市商风险厌恶成反比。因此，无论是单个做市商变得风险中性（微观经济学中的一个常见假设，c.f.[38]），还是做市商数量增加（因为代表性风险承受能力聚合了单个风险承受能力），头寸都会变大。因此，我们的结果支持观察到的场外（OTC）衍生品头寸规模，考虑了价格影响，前提是大量做市商或做市商充分接近风险中性。最后，我们询问索赔的交易价格（是否无套利）是否以及在何种情况下内生均衡。为此，我们使用了[6]中介绍的部分均衡4 MICHAIL ANTHROPELOS、SCOTT ROBERTSON和KONSTANTINOS SPILIOPOULOSPrice Quantilities（PEPQ）的概念，其中两个大型投资者以各自效用最优的价格和数量进行OTC交易。然而，在我们处理价格影响时，在准确描述投资者与谁交易以对冲风险时必须小心。我们从细分市场的角度来看，这一市场最近吸引了大量的关注（c.f.[45，46]）。在这里，价格影响是“本地的”，因为每个投资者都在自己的本地市场与（本地）做市商和交易资产进行交易。然后，根据PEPQ公式，投资者就单独的索赔进行额外的交易。细分避免了投资者与同一个做市商对冲需求（因此必须制定现金余额共享规则），并允许衍生工具的私人交易，而不是将衍生工具嵌入以前存在的交易资产中。

假设两位投资者都有CARA偏好，我们为PEPQ的存在和唯一性提供了充分的条件。值得注意的是，当投资者的禀赋完全不同时，内生均衡价格可能不会无套利。现在，金融经济学文献中出现了超出无套利价格范围的均衡价格。例如，[35]表明，在战略证券市场模型中，套利机会与均衡是相容的，而在[16]中，套利均衡价格发生在限制参与和外部投资组合约束下。然而，据我们所知，这是首次在未定权益定价的背景下出现均衡套利价格。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们描述了价格影响模型，将其与具有随机约束的实际市场模型联系起来，并讨论了约束集的性质。在第3节中，我们指定了投资者何时具有指数偏好，并提供了约束不具有约束力的示例。第4节专门讨论意外索赔需求、定价和套利。在第5节中，我们在细分市场中使用PEPQ框架对交易的衍生品价格和头寸进行内生化。最后，附录A给出了主要结果的证明。2、价格影响模型与虚拟市场2.1。模型。我们考虑的基于库存的价格影响模型在[30，56]中引入，并在[9，10]中进一步发展。

有一个完全概率空间(Ohm, F、 P）支持二维布朗运动B，我们用F表示B的自然滤波的P-增强，因此F满足所有P-零集的0处右连续和饱和的通常条件。时间范围为T>0，有一定数量的证券，其最终支付由k维可测量的随机向量ψ表示。证券交易是通过一系列做市商进行的，这些做市商提供基于需求的价格。做市商是风险规避者，具有随机禀赋，对于给定的订单q∈ Rk，（合计）aska价格X（q）∈ R根据两个条件：（i）总订单、价格和随机禀赋在做市商之间以帕累托最优方式分配；（ii）每个做市商在交易后保持差异（即其预期效用保持不变）。每次，所有随机变量都假定为可测量的。价格影响下的最优投资、需求和套利5做市商、他们的库存满足订单，因此定价规则发生变化。不连续时间，顺序流Q={Qt}t≤t现金余额X（Q）={Xt（Q）}t≤t适应随机过程。我们假设做市商具有指数（CARA）偏好。这使我们可以考虑以后成为一个单一（代表性）做市商。事实上，众所周知（见【11、12、57】），指数效用最大化者的帕累托最优分享问题可以写成一个代表性代理的优化问题，其效用再次是指数的，其风险容忍度和恩赐分别是单个做市商的风险容忍度和恩赐的总和。此外，上述条件（ii）意味着做市商要求的现金余额是代表代理人的差价（c.f。

[9，定理3.1]，[10，定理4.9]）。备注2.1。如【56】所述，做市商差异定价的假设在经济上是合理的。这不仅是因为做市商之间的激烈竞争（见[4]和[9]中的相关讨论），也因为有充分证据表明做市商愿意为大型投资者提供更好的价格（见[3，27]及其参考文献）。在我们的环境中，“更好的价格”意味着每个做市商都要求最低价格来补偿自己的位置（即她的差异价值）。代表性做市商的风险厌恶度γ>0，禀赋∑。我们对∑、γ和ψ（c.f.【10，假设2.4】，【8，方程（15）】进行了耐受性假设。假设2.2。对于所有q>0，Ee-γ∑+q |ψ|< ∞.首先考虑单周期模型。与[9]一样，我们从做市商的角度出发，假设投资者提交订单-q∈ Rkψ单位。根据假设，做市商引用现金余额X（q），以保持与订单不同。由于她的禀赋从∑变为∑+X（q）+qψ，X（q）必须满足-e-γ（∑+X（q）+qψ）i=E-e-γΣ.换句话说，X（q）是（卖方）的差异价格-qψ的单位，在风险规避γ和范围∑下。对于投资者而言，期末与订单相关的财富isV（q）=-qψ- X（q）。在连续时间内（c.f.[10]），投资者以适应随机过程Q的形式提交订单流，现金余额X（Q）是一个诱导随机过程。这里，每个人∈ [0，T]，qt是投资者向做市商出售的证券的累计数量，Xt（Q）是累计现金余额。与静态情况一样，X（Q）通过做市商差异原则确定。