当恐慌使你失明时：系统性风险的混乱路径

在我们的模型中，这代表了资产负债表的控制策略，其结果是降低杠杆周期的幅度。一个将导致这项工作进一步发展的具有挑战性的问题是，放松投资资产和/或金融机构的同质性假设，并在风险预期形成过程中引入不同的时间范围。致谢我们感谢富尔维奥·科尔西（Fulvio Corsi）的有益讨论，我们也感谢米兰第18届量化金融研讨会（18thWorkshop in Quantitative Finance）和布达佩斯欧洲政治经济发展协会（European Association for Evolutional Political Economy）29周年会议与会者的建议。最后，我们感谢联合信贷银行研发集团通过斯库拉高等师范学院的“动力学和信息理论研究所”提供的财政支持。参考文献【Adrian和Shin，2010】Adrian，T.，&Shin，H.S.（2010）。流动性和杠杆。《金融中介杂志》，19（3），418-437。【Adrian和Shin，2014】Adrian，T.，&Shin，H.S.（2013）。顺周期杠杆和风险价值。《金融研究评论》，27（2），373-403。【Aymanns等人，2016年】Aymanns，C.、Caccioli，F.、Farmer，J.D.、Tan，V.W.（2016年）。驯服巴塞尔杠杆周期。《金融稳定杂志》，27263-277。【Aymanns和Farmer，2015】Aymanns，C.，&Farmer，J.D.（2015）。杠杆周期的动态。《经济动力与控制杂志》，第50期，第155-179页。【Bao等人，2013年】Bao，T.，Duffy，J.，&Hommes，C.（2013年）。学习、预测和优化：一项实验研究。《欧洲经济评论》，61186-204。【Bauwens等人，2006年】Bauwens，L.，Laurent，S.，&Rombouts，J.V.（2006年）。多元GARCH模型：综述。《应用计量经济学杂志》，21（1），79-109。【Bhattacharya和Majumdar，2003年】Bhattacharya，R.，&Majumdar，M.（2003年）。

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A、 2，我们得到等式2.19中的方差表达式。在极限n内→ ∞, 是φn→ 0和nφn→ 0，因为|φ|<1。然后是方差inEq的公式。4.3.多变量情况：VAR（1）。让我们关注等式2.18中描述的VAR（1）过程，其中内生成分遵循等式2.11中的VAR（1）过程。让我们假设n 1表示可分析性。在投资组合再平衡的时间尺度上，即，可以分析计算与内生成分相关的方差和协方差（见【Corsi et al.，2016】）。当=t时- 1+k/n，k=1，2。。。，n、 它是v ar[ei，s]=-~λ(γ-λ）（m（γ（m- 1)-~λ) + 2 -λmM-λM）××m（σ(~λ- γ（M- 1） ）+σf（￠λ- γ（M- 1） ））++2m（M（σ(γ-~λ) -λσf）- γσ)++M（M（σ(~λ- γ） +λσf）+γσ),（A.5）Cov【ei、s、ej、s】=-~λ(γ-λ）（m（γ（m- 1)-~λ) + 2 -λmM-λM）××m（σf（|λ- γ（M- 1)) - γ（M- 2)σ)+-2m（∧Mσf+γσ) + M（∧Mσf+γσ),（A.6）我们将超额杠杆定义为∧≡ λ - 1并且为了符号的简单性，我们不使用时间索引t标记λ和m- 因此，在重新平衡投资组合方差和收益协方差的时间尺度上，ri，s，areV ar[ri，s]=σ+ σf+V ar[ei，s]≡ θ（A.7）Cov[ri，s，rj，s]=σf+Cov[ei，s，ej，s]≡ ψ、 （A.8）分别。投资组合决策时间尺度上收益的方差和协方差，即Ri，t≡Pnk=1ri，t-1+k/n，areV ar[Ri，t]=E[（Ri，t）]=nE[Ri，s]+2（n- 1） E【ri、sri、s-1/n]+2（n- 2） E【ri、sri、s-2/n]+。。。Cov【Ri，t，Rj，t】=E【Ri，tRj，t】=nE【Ri，srj，s】+2（n- 1） E【ri、srj、s-1/n]+2（n- 2） E【ri、srj、s-2/n]+。。。，j 6=i由于t- 1和t.通过定义θk≡ E【ri、sri、s-k/n]和ψk≡ E【ri、srj、s-当j 6=i时，前面的公式读取为asV ar[Ri，t]=nθ+2nnXk=1θk- 2nXk=1kθk（A.9）Cov[Ri，t，Rj，t]=nψ+2nXk=1ψk- 2nXk=1kψk。

（A.10）以一元情况的类似方式，通过递归应用等式2.18中的VAR（1）过程并取期望值，我们得到了两个方程组，其解为termsPnk=1θk，Pnk=1kθk，Pnk=1ψkandPnk=1kψkin Eqs的解析表达式。A、 9和A.10。为了便于注释，让我们定义≡λ - 1γm（A.11）β≡λ - 1γ毫米- 1米- 1（A.12），使式2.18中的自回归系数矩阵读数为Φ=（Д- β） I+β1，其中I是身份矩阵，1是条目等于1的矩阵。可以验证Θ≡Pnk=1θkandψ≡Pnk=1ψk表示下列线性方程组的解，（（1- φ)Θ- β（M）- 1） ψ=Дθ+β（M- 1) ψ-β Θ+ (1 - （Д+β（M- 2） ））ψ=βθ+（Д+β（M-2） ψ，（A.13），其中我们假设θn 1和ψn 1、当n 1，见【Tsay，2005年】。同样，Θ≡Pnk=1kθkandψ≡Pnk=1kψq是下列线性方程组的解，（（1- φ)Θ- β（M- 1） ψ=ДΘ+β（M- 1) Ψ-β Θ+ (1 - （Д+β（M- 2） ））ψ=βΘ+（Д+β（M-2） ）ψ，（A.14），其中我们假设θn 1，nθn 1，ψn 1和nψn n时为1 1、根据我们对风险投资统计等价性的假设，协方差矩阵是一个对角线项相等的矩阵，即∑d+∑u≡ V ar[Ri，t]i、 和其他对角线相同，即∑u≡ Cov【Ri，t，Rj，t】i 6=j。因此，对于n 1式2.18中投资组合决策时间尺度下回报的协方差矩阵为∑=∑dI+∑u1（A.15），其中（∑d=n(θ- ψ) + 2(Θ- Ψ) -n（Θ）- Ψ)\'∑u=nψ+ 2Ψ-nψ（A.16）为简单起见，我们假设资产回报率以平均值为中心。通过代入等式的公式。A、 5、A.6、A.7和A.8在等式A.16中，协方差矩阵是显式得到的。最大似然估计。

在公式2.18中估算VAR（1）过程的理想程序中，即rs=Φrs-1/n+εs，s=t- 1+k/n，k=1，2。。。，n、 （A.17）我们可以得到∑dand∑u的最大似然估计量，即b∑dandb∑u。在等式A.17中，εs~ N（0，∑ε）s=t- 1+k/n，k=1。。。，n其中∑ε=σI+σf1和σ, σf>0且Φ=（Д）- β） I+β1，等式中定义了Д和β。A、 11和A.12。根据t- 1和t，VAR（1）过程isP[rt]的可能性-1+1/n，rt-1+2/n。。。，rt | rt-1] =nYk=1P[rt-1+k/n | rt-1+（k-1） /n]=nYk=1N（Φrt-1+（k-1） /n，∑ε），因为收益的条件分布是多元高斯分布。因此，对数似然isL（Φ，∑ε）=-nlog∑ε|-nXk=1（rt-1+k/n- Φrt-1+（k-1） /n）|∑-1ε（rt-1+k/n- Φrt-1+（k-1） /n）（A.18）和参数的最大似然估计量，即^Д、^β、^σ和^σf，可作为以下方程组的解获得L（Д，β，σ,σf）φ= 0L（Д，β，σ,σf）β= 0L（Д，β，σ,σf）σ= 0L（Д，β，σ,σf）σf=0。让我们注意到，参数的最大似然估计量只是观测到的快速变量{rt的函数-1+k/n}k=0,1,2，。。。，n、 即^Д≡ ^Д（{rt-1+k/n}k=0,1,2，。。。，n） ，^β≡^β（{rt-1+k/n}k=0,1,2，。。。，n） ，^σ≡ ^σ（{rt-1+k/n}k=0,1,2，。。。，n） 和σf≡ ^σf（{rt-1+k/n}k=0,1,2，。。。，n） 。然后，根据以下时间序列分析的标准结果，参见【Tsay，2005】，（^θ-^ψ）I+^ψ1≡∞Xk=0bΦkb∑ε（bΦk）|其中b∑ε=σI+σf1和bΦ=（φ）-^β）I+^β1，我们能够在快速时间尺度上计算方差和协方差的最大似然估计，即^θ≡dV-ar[ri，s]和^ψ≡dCov[ri，s，rj，s]，j 6=i。因此，通过计算≡ Θ(^θ,^ψ, ^φ,^β),^Ψ≡ Ψ(^θ,^ψ, ^φ,^β),^Θ≡ Θ（^θ、^ψ、^Д、^β）和^ψ≡ ψ（^θ，^ψ，^Д，^β），等式中收益动态的（可分散的）方差和协方差的最大似然估计量。

A、 17在慢时间尺度上聚合的是b∑d=n(^θ-^ψ) + 2(^Θ-^Ψ) -n（^Θ）-^Ψ)b∑u=n^ψ+ 2^Ψ-n^ψ.（A.19）渐近极限n→ ∞. 在极限n内→ ∞ 方程式A.16中的最后一项可以忽略不计。然而，术语n（（θ- ψ) + 2(Θ- ψ）和n（ψ+2ψ）在n因有限∑而变为有限时保持有限= 画→∞nσ和∑f=limn→∞nσf.By定义Θ≡ Σ+∑f-~λm（∑）(~λ- γ（M- 1） ）+∑f（∧λ- γ（M- 1） ）+2m（M（∑）(γ-~λ) -λ∑f）- γΣ) + M（M∑）(~λ- γ） +λ∑f）+γ∑)(γ-λ）（m（γ（m- 1)-~λ) + 2 -λmM-λM），（A.20）ψ≡ ∑f-~λm（∑f（|λ- γ（M- 1)) - γ（M- 2)Σ) - 2m（∧M∑f+γ∑）) + M（∧M∑f+γ∑）)(γ-λ）（m（γ（m- 1)-~λ) + 2 -λmM-渐近极限n中的λM，（A.21）→ ∞, 它是（e∑d=Θ）- ψ+2（Дβ（M-2)+φ-φ-β（M-1))(Θ-ψ）+βΘ+β（M-1)Ψ-（M）-2)Ψ(1+β-^1）（β（M-1)+φ-1） e∑u=ψ+2-βΘ+（Дβ（M-2)+φ-φ-β（M-1） +Дβ（M-2))Ψ(1+β-^1）（β（M-1)+φ-1).（A.22）0 50 100 150 200 250 300At/A001020银行资产0 50 100 150 200 250 300Et/A000.250.5股本0 50 100 150 200 250 300λT204060目标杠杆图9。n=1时简化模型的数值模拟。顶部面板：按初始价值A计算的资产规模的演变。中间面板：股权的演变。下图：财务杠杆的动态。我们在T=300的时间窗口中模拟模型。其他模型参数为：γ=40，α=1.64，u- rL=0.08，σ= 0.04, ω = 0.9.因此，通过替换方程式。A、 式A.22中的20和A.21以及自∧起≡λt-1，公吨-1.≡ mt公司-1（λt-1，∑d，t-1，∑u，t-1） 根据式2.5，我们得到了式4.1中∑dande∑uin的显式解析表达式。附录B.单时间尺度在我们考虑简化模型的情况n=1时，即银行以相同的投资组合再平衡频率更新风险预期。

当时间尺度相同时，预期形成过程会减少，以模拟IGARCH型模型中的方差【Engle和Bollerslev，1986年】，σt=ωσt-1+ (1 - ω） 具有记忆参数ω的rt（B.1）。这种方法与RiskMetrics方法类似，见【Longerstaey和Spencer，1996年】，正如【Bauwens等人，2006年】所强调的，尽管简单，但这种模型通常被实践者采用，每日数据的衰减系数ω等于0.94，每月数据的衰减系数ω等于0.97。方程式规定的模型。2.19等式B.1中的预期形成过程与【Aymanns和Farmer，2015年】中所述的过程接近，这对价格动态产生了影响。Aymanns和Farmeras认为，股权价值是固定的，市场上只有一个投资者，因此≡ pt=λTe和pt交易风险投资的价格。通过进一步假设返回为log differencert=logptpt-1通过用λtE代替价格，得到了一个二维动力系统。根据这一进一步的假设，这两个模型是一致的。图9显示了n=1的简化模型的银行资产、股权和财务杠杆的模拟动态。我们注意到，目标杠杆价值的波动与股权价值的波动密切相关。权益价值的变化反映了价格的变动。资产规模的演变使其财务杠杆与其目标价值相等。