当恐慌使你失明时：系统性风险的混乱路径

描述金融系统的慢-快动态模型的计时。将风险投资标记为i、j、k、。a、b、c等银行。。假设所有金融机构都是等价的，即它们拥有相同的初始股本和相同的资本要求，它们解决相同的投资组合问题，并且在形成风险预期时使用相同的方案。这当然是一个简化的假设，以实现分析的可处理性。然而，【Corsi等人，2016年】表明异质性如何对模型的结果没有重大影响。我们假设银行在统一长度的时间间隔内更新其风险预期，并据此做出有关杠杆和投资组合多元化的新决策（见图1）。在时间间隔（t，t+1）中，（t∈ Z） ，银行重新平衡其投资组合以达到杠杆率目标，但不改变风险预期。再平衡发生在（t，t+1）内的n个时间子区间，即{t+n，t+n，t+n，…，t+nn≡ t+1}。nis是与投资组合再平衡相关的时间尺度（图1中的红色轴），而单位价值是与投资组合决策相关的时间尺度（图1中的黑色轴）。显然，n∈ N \\{0}。如下文所述，【Corsi等人，2016年】考虑了消除风险预期形成的内生过程的情况，即在不考虑价格动态的情况下进行投资组合决策。这相当于在具有外部风险预期的情况下只优化一次投资组合，投资组合再平衡的过程随后进行，而不会改变最佳杠杆的价值。投资组合决策。每个金融机构在t时的权益由Et=at给出-Lt，其中Lt（At）表示银行在时间t的负债（资产）。

为简单起见，银行不面临资金限制，只要满足VaR约束，他们可以根据需要决定增加或减少负债。最后，RLI是负债方面的每美元平均利息支出，财务杠杆率为λt=AtEt。【Corsi等人，2016年】认为这是一个简化的环境，每家银行都可以确定杠杆和多元化的最佳价值。由于所有风险投资在统计上都是事先等价的，金融机构采用了一种简单的投资策略，即通过从m个可用投资资产集合中随机选择m个风险投资，形成一个加权相等的投资组合。因此，在存在多元化成本的情况下，银行必须找到投资资产的最佳数量，见【Constantinides，1986年】。多元化成本代表了阻碍各机构实现其投资组合完全多元化的所有信息和基础设施成本。银行还选择杠杆λt的最佳值，以VaR约束V aR×At6 Et为界。通过假设收益分布的函数形状，V aR是投资组合σp的预期持有期波动率的α-倍数，即ασp。在下面的数值实验中，如果我们假设正态分布的投资组合回报，则与PV aR=5%相关的VaR分位数由α=1.64给出。由于投资是等价的，u是持有期内的预期回报，那么金融机构的净利润率是u- rL。最后，金融机构正确地认识到，每项风险投资都包含一个特殊的（多样化）风险成分和一个系统的（不可分散的）风险成分，即。

投资i的预期方差为σi，t=∑u，t+∑d，t，其中第一（二）项表示系统因素（特质噪声）的预期方差。在下文中，我们使用hat，例如b∑u，t，来表示使用过去的观测值形成的方差估计。相反，未标记的符号表示期望；例如，∑u是时间t时系统风险在时间t+1时的预期值。mtassets投资组合的预期方差为σp，t=∑d，tmt+∑u，t.（2.1），如【Corsi等人，2016】所示，投资组合优化问题为最大λt，mtλt（u- rL）- cmts。t、 ασp，tλt6 1（2.2），其中c衡量每项投资的多元化成本。隐式形式的解ismt=λtp∑d，tsα2cu- rLσp，t（2.3）λt=ασp，t.（2.4）给定∑d，tand∑u，t，方程2.3和2.4中只有一个自变量。事实上，它是≡ mt（λt；∑d，t，∑u，t）=∑d，tαλt- ∑u，t（2.5），其中λ是下列四次方程的唯一正实解，∑d，tαu - rL2cλt！-1.-αλt- ∑u，t= 0.（2.6）投资组合再平衡。正如【Adrian和Shin，2010年】的经验所示，采用目标杠杆的金融机构调整其资产和负债，而不是筹集或重新分配股本。这意味着，随着时间的推移，股权会因银行盈利和亏损而发生变化，但并未得到有效管理。与【Corsi等人，2016年】类似，我们将区间（t，t+1）内长度为1/n的时间步中风险投资i的回报动态建模为两个分量之和：ri，t+k/n=εi，t+k/n+ei，t+（k-1） /n，k=1，2。。。，n、 （2.7）请注意，这里的时间尺度是最快的，因此我们使用分数时间标签来表示投资组合再平衡发生时t和t+1之间的时间。

外源组分εi，t+k/n=u+ft+k/n+i、 t+k/nis表示预期回报的漂移项加上所有风险投资的系统市场因子ft+k/n和噪声项之和i、 t+k/n呈现特质创新。在不丧失一般性的情况下，噪声项和系统因子都是高斯分布的，即。i、 t+k/n~ N（0，σ) 和ft+k/n~ N（0，σf）k=1，2。。。，n、 内源性成分ei，t+（k-1） /依赖于投资组合再平衡产生的风险投资i需求的价格影响。给定目标杠杆率，当资产价格上涨时，资产价值和权益都会增加，因为负债保持不变，因此杠杆率会下降。因此，为了保持杠杆率与目标值相等，银行通过增加负债和使用借入资金购买新资产来管理资产负债表。在资产流动性不足的情况下，购买或出售资产以达到杠杆目标将改变其价格。用数学术语表示，一般分数时间s=t+k/n，k=1，2。。。，n通用银行a的所需资产规模，a*a、 s=λtEa，s，银行a通过交易数量来重新平衡投资组合。可以证明公式2.6中λt只有一个正实解∈ 可行参数空间中的R+，即α>0，c∈ [0, 1], u - rL>0，∑d，t，∑u，t>0。当资产价格下降时，该符号会简单地恢复。例如。

如果pro fit等于δA，则A+δAE+δA<AE。根据风险投资的统计等效性假设，资产规模的增量在投资组合中的资产上均匀分布【Greenwood等人，2015年】。这是所需资产规模与当前资产规模之间的差异，Ra，s=A*a、 s-Aa，s，由以下公式得出Ra，s=A*a、 s- Aa，s=λtEa，s- A.*a、 s-1/n（1+rpa，s）==λt（Ea，s-1/n+rpa，sA*a、 s-1/n）- A.*a、 s-1/n（1+rpa，s）==（λt- 1） A*a、 s-1/nrpa，s（2.8），其中rpa，是银行a在s时的投资组合回报。等式2.8显示投资组合中的任何收益或损失（a*a、 s-1/nrpa）将导致资产规模的变化，并由财务杠杆放大。所有银行在s时进行的投资组合再平衡的影响将影响s+1/n时的资产价格。s时风险投资i的总需求将是在其投资组合中选择投资i的银行的个人需求之和，Di，s=NXa=1Ii∈金额Ra，s.（2.9），其中Ii∈ais是一个指标函数，当投资i在机构a的投资组合中时，取值1，否则取0。[Corsi等人，2016]表明该数量可以写成di，s=（λt）- 1） A*s-1/nmtNMri，s+mt- 1米- 1Xk6=irk，s.通过假设交易量中的价格影响是线性的，【Corsi等人，2016年】对内生成分asei建模，s=γDi，sCi，s（2.10），其中γ是衡量投资流动性的参数，Ci，s≡PNa=1Ii∈aA公司*a、 s-1/n代表时间s时投资i的资本化。与风险投资的统计等效假设一致，我们假设每项投资都具有相同的流动性参数γ。【Corsi等人，2016年】获得内生成分向量=Φtrs=Φt（es）的以下向量自回归（VAR）动力学-1/n+εs），s=t+k/n，k=1，2。。。，n（2.11），其中Φt=（λt- 1)γmtmtmt-1米-1.mtmt公司-1米-1mtmt-1米-1公吨。

. .mtmt公司-1米-1.mtmt公司-1米-1mtmt-1米-1.mt公司. （2.12）注意Φt≡ Φ（λt，∑d，t，∑u，t），因为mt≡ mt（λt，∑d，t，∑u，t），根据公式2.5。公式2.11中的VAR（1）过程确定了公式2.7中的回报过程，并完全确定了我们的模型在t和t+1.2.2之间的快速动态。形成风险预期。在这里，我们通过指定银行如何在公式2.6中形成风险预期来做出投资组合决策，从而概括了【Corsi et al.，2016】的模型。一些实证和实验研究，例如【Hommes，2009，Bao et al.，2013】，表明金融机构使用过去价格观察的统计模型来预测未来，即所谓的后向预期。在这里，我们介绍了一个类似的预期方案，该方案利用过去观察到的价格信息预测未来的风险。风险评估。在每个投资组合决策时间t，银行估计t之间风险投资的协方差矩阵- 1和t，即b∑t=dV ar【Ri，t】dCov【Ri，t，Rj，t】··dCov【Ri，t，Rj，t】……·····（2.13）其中，i 6=j的dv ar[Ri，t]和dcov[Ri，t，Rj，t]是在投资组合决策的时间尺度上汇总的资产回报的方差和协方差的最大似然估计量，即Ri，t≡Pnk=1ri，t-1+k/n。我们假设银行根据向量自回归过程VAR（1）正确地感知到收益动态变化，见等式。2.7、2.11和2.12以及资产投资的统计等效性。因此，可以对b∑t施加对称条件，即协方差矩阵的对角分量彼此相等，并且对对角分量也是相同的。

它是b∑t=b∑d，tI+b∑u，t1（2.14），其中I是单位矩阵，1是M×M矩阵，其条目等于1，b∑d，t=dV ar[Ri，t]-dCov[Ri，t，Rj，t]和B∑u，t=dCov[Ri，t，Rj，t]i、 j=1。。。，M、 i 6=j。我们没有明确利用收益方差和协方差的最大似然估计来获得下一节的结果。然而，我们在附录A中展示了如何获得完整性的明确公式。这里，让我们强调b∑d，tandb∑u，只有快速变量rt的函数-1+k/n，k=0，1，2。。。，n、 即（b∑d，t≡b∑d，t（{ri，t-1+k/n}i=1，。。。，Mk=0,1，。。。，n） b∑u，t≡b∑u，t（{ri，t-1+k/n}i=1，。。。，Mk=0,1，。。。，n） 。风险预期。一旦银行估计了风险投资的协方差矩阵，它们就形成了协方差矩阵的两个独立量的风险预期，即∑d，tand∑u，t。我们假设协方差矩阵中某个元素在时间t的银行预期是之前采用的对同一元素的预期与当前估计的加权和，即（∑ωd，t=ω∑d，t-1+ (1 - ω） b∑d，t∑ωu，t=ω∑ωu，t-1+ (1 - ω） b∑u，t（2.15），其中ω∈ [0，1]是期望方案的记忆参数。公式2.15也被称为适应性预期【Hommes，2013年】。通过迭代公式2.15，我们可以将适应性预期写为过去观察到的风险的指数加权移动平均值（EWMA），即∑ω·，t=（1- ω)∞Xk=0ωkb∑·，t-k=（1- ω)∞Xk=0e-kτb∑·，t-k（2.16），其中τ=（lnω）-1对应适应性期望的“有效”记忆。极限ω→ 0+对应于天真的风险预期，即没有记忆（τ→ 0). 通过增加ω，期望方案的有效记忆τ增加。2.3. 期望反馈系统。

通过总结我们模型的构建模块，金融系统的动态由一个离散时间的慢-快随机动态系统来描述，该系统由以下方程描述：，∑ωd，tαu-rL2cλt-1.-αλt- ∑ωu，t= 0∑ωd，t=ω∑ωd，t-1+ (1 - ω） b∑d，t∑ωu，t=ω∑ωu，t-1+ (1 - ω） b∑u，t（2.17）rs=εs+Φ（λt-1，∑ωd，t-1，∑ωu，t-1） 卢比-1/ns=t- 1+k/n，k=1，2。。。，n（2.18），其中b∑d，tandb∑u，皮重是在投资组合决策的时间尺度上聚合的（可分散的）方差和收益协方差的最大似然估计量，可按照附录A中的解释获得，见等式A.19。等式2.17描述了银行投资组合决策的动态，即由慢变量λt、∑ωd、t和∑u、t描述的动态的慢分量。等式2.18描述了风险投资的价格演变，即由快变量ri、s描述的动态的快分量。模型必须满足平稳性条件，即自回归过程的协方差平稳性，即λ<γ+1。根据构造，它也是λ>1和0 6 m 6 m。总结动力学的主要步骤：（i）时间t的投资组合决策-1根据风险预期确定杠杆的价值，见等式。2.17和（ii）影响-1和t，因为自回归系数Φ（λt-1，∑ωd，t-1，∑ωu，t-1） ，返回过程，请参见等式。2.18;为便于注释，我们认为资产回报率以平均值为中心。当矩阵Φ的最大特征值小于1时，等式2.18中的VAR（1）过程是协方差平稳的，这相当于假设λt<γ+1，如【Corsi等人，2016年】所示。（iii）在时间t，银行通过使用过去的价格观察值b∑d，t（{rt）来估计资产风险-1+k/n}k=1,2，。。。，n） andb∑u，t（{rt-1+k/n}k=1,2，。。。，n） 。

然后，（iv）银行形成新的风险预期∑ωd，tand∑ωu，t，和（v）在时间t做出新的投资组合决策。一维设置。接下来，我们还研究了通过考虑一家银行和一项风险投资得到的模型的简化版本。在此设置中，价格动态受式2.7中的自动回归过程控制，N=M=1。我们将时间s的投资回报称为RSA，并将其方差称为使用观察值{rt-1+k/n}k=1,2，。。。，nas^σt。在这种情况下，我们失去了与多元化相关的方面，投资组合问题减少到根据风险价值约束找到杠杆的最佳值，即最大λtλt（u- rL）s.t.ασωtλt6，其中σω是投资的预期波动率。然后，控制投资组合决策的方程是λt=（ασωt）-1带（σωt）=ω（σωt-1)+ (1 - ω） ^σt。我们可以将模型动力学的慢分量简化为表示动态变量λt一维映射的单个方程。简化模型的具体说明如下：，λt=ωλt-1+ (1 - ω） αdV arPnk=1rt-1+k/n-卢比=s+λt-1.-1γrs-1/ns=t- 1+k/n，k=1，2。。。，n（2.19），其中dV ar“nXk=1rt-1+k/n#=1+2^φt-1(1 -^φnt-1)1 -^φt-1.- 2（n^φt-1.- n- 1） φn+1t-1+φt-1n（1-^φt-1)!n^σ1.-^φt-1是在一般n>1的投资组合决策的时间尺度上聚合的收益方差的最大似然估计量，其中φt为-1=Pnk=1rt-1+k/nrt-1+（k-1） /nPnk=1rt-1+（k-1） /n^σ=Pnk=1（rt-1+k/n-^φt-1rt-1+（k-1） /n）自回归系数φt的最大似然估计量-1.≡λt-1.-1γ和特质噪声σ的方差AR（1）过程。在等式中。

2.19 AR（1）过程的协方差平稳性等效于条件λ∈ [1，γ+1）。由于慢变量在时间上的演化取决于快变量的平均值，即随机自回归过程的方差AR（1），这是一个慢-快随机动力系统。在这种情况下，我们还可以考虑n=1的情况，即投资组合决策的时间尺度与投资组合再平衡的时间尺度一致。在附录B中，我们表明，这种情况与[Aymanns and Farmer，2015]中提出的情况相似，并且，在进一步假设资产价格动态的情况下，这两个模型是一致的。在下文中，我们将考虑三种情况外部风险预期。在第一种情况下，我们考虑了论文【Corsi等人，2016年】中研究的外部风险预期，因此我们仅总结此处获得的主要结果。o慢-快随机动力学的渐近确定性极限。第二种情况是极限n→ ∞, i、 e.投资组合在t- 1和t。在该极限下，模型变得可分析处理两种通用时间尺度。最后是有限n的情况，为了简单起见，我们考虑了慢-快随机动力系统的简化版本。我们将给出一些数值结果。3、外生风险预期首先，将投资组合决策视为完全外生的，因为预期的多样性和系统性风险是不依赖于过去资产价格动态的外生参数。这意味着在公式2.17中删除预期形成过程，因此，只考虑动态的快速部分，而不更新风险估计。