超高效风险计算的切比雪夫方法

然而，以下定理（Clenshaw&Curtis，1960）揭示了这种现象的本质，并为一种非常有用的技术奠定了基础，该技术有助于以非常有效的方式控制切比雪夫插值的误差。定理10。允许 Lipschitz连续开 然后让 是它的切比雪夫插值函数, . 允许 和 是的切比雪夫系数 和, 分别地然后   (2)           +   定理10的一个重要结果如下。定理4指出切比雪夫级数是一致且绝对收敛的。这意味着 趋于无穷大，绝对值 趋向于零。这与定理10中的方程相结合，意味着, 条款越小   和  , 这意味着条款 和 越来越近   一方面，系数 给我们一个关于何时接近收敛的概念。另一方面，当我们接近收敛时，系数 近似系数   . 作为系数 比系数更容易计算, 我们可以使用前者来确定潜在的收敛性。当然，也不能保证切比雪夫插值级数收敛到函数的最后几个系数 低于所需阈值。然而，在实践中，特别是对于解析函数，一旦系数的绝对值 如果低于一个很小的阈值（例如10-4），我们可以非常确定切比雪夫插值函数最多会给出这个错误。

这具有实际意义，因为除了切比雪夫点上的函数值和它是Lipschitz连续的事实之外，人们可以在不了解函数的情况下控制近似误差。从数学上讲，我们可以用以下方式说明切比雪夫插值的收敛性。下列定理利用了定理5、6和10。有关证明的详细信息，请参见（Trefethen，2013）。定理11。允许 满足定理5的条件。那么对于任何     定理12。允许 满足定理6的条件。然后针对每个      备注13。看看定理11和12，很容易看出为什么切比雪夫点上的多项式插值是一种比其他常用方法更具吸引力的近似方法。这些定理是定理5和6（适用于截断切比雪夫级数）的扩展) 切比雪夫多项式插值. 定理12证明了这种多项式插值的收敛速度也是指数的。该属性是该理论能够为金融衍生品投资组合的风险计算带来的好处的核心。然而，切比雪夫（或类似分布）以外的点上的多项式插值是病态的，如示例8所述。即使在保证收敛的情况下，舍入误差也会产生问题，如例9所述。对于广泛的函数集合，典型的线性插值和样条插值具有收敛特性。然而，它们的收敛速度非常慢。它不是指数函数，即使对于解析函数也是如此。在我们对应用这些技术感兴趣的背景下，这转化为对原始定价函数的大量调用，以实现最低程度的准确性，这转化为高定价CPU时间、高硬件成本，或两者兼而有之。

当面对切比雪夫插值函数的最优性质时，这显然是次优的。此外，对于线性插值和样条插值，我们对近似误差的控制有限或没有控制。然而，正如我们从定理10中看到的那样，切比雪夫提供了对近似误差的最有价值的事前控制。一般来说，机器学习方法，即使是复杂的方法，在存在大量数据的区域也很好，但很难捕捉到与可用数据很少的领域相关的值。这与切比雪夫近似形成了鲜明的对比，因为证明了关于上确界范数的收敛性，因此域中的每个点都必须满足定理11和12中的公式。除了无法准确捕捉尾部事件外，机器学习方法的校准可能很棘手，可能需要调用定价函数的次数远远超过手头的计算所需的次数，从而减少有时甚至扼杀我们所追求的时间节约。泰勒展开式因其速度快而在工业中广泛使用，通常只展开到一阶或二阶。因此，它们的精度无法与切比雪夫插值的精度相比。作为对前面评论的对照，我们有以下评论。备注14。切比雪夫插值甚至比最优多项式近似更有利。表示为 中的多项式 这将最小化 , 之间的距离 和, 哪里 表示中的通用多项式. 多项式 基本上是 程度小于或等于. 这种多项式虽然原则上是近似的理想选择，但通常很难计算。

切比雪夫插值不仅易于计算，而且如（Ehlich&Zeller，1966）所证明的，如果 是度的切比雪夫插值,  不能超过   比系数大     此外，如果 是解析的，这样的因子只有2。备注15。减少一维函数 对于方程1中的表达式有几个优点。首先也是最明显的一点是能够以快速有效的方式对其进行评估。然而，由于我们有简单的多项式表达式，它可以用于各种数值计算，例如计算导数、积分、求根、求解微分方程等。结论我们已经看到，典型的近似方法（例如线性或样条插值、机器学习、泰勒）在风险引擎内近似定价函数时是次优的，因为它们的收敛性通常较差。然而，我们也看到，通过切比雪夫多项式插值有一个非常特殊的性质：指数收敛。因此，切比雪夫技术是风险引擎中精确且计算效率高的定价近似的理想选择。高维切比雪夫多项式和切比雪夫插值的基本理论已经存在了几十年。然而，更高维度的扩展是最近才出现的。首先，我们提到其中一些扩展，特别是我们认为最相关的扩展。然后，我们给出了在实际环境中我们发现是最优的版本。（Townsend&Trefethen，2013）和（Behnam&Trefethen，2016）分别介绍了二维和三维的扩展。

两者都建立在一维理论的基础上，并在Chebfun中实现其结果，Chebfun是一个Matlab软件包，该软件包首先使用切比雪夫投影和插值理论为一维函数开发。Chebfun中介绍的技术非常强大。所获得的近似程度是惊人的。此外，函数的导数在许多其他方面都得到了非常有效的评估。然而，这里介绍的技术对于金融领域的许多应用并不理想，因为极端准确度（例如10-15）优先于施工速度。除此之外，它还有一个局限性，即只能近似最多三维的函数。最近在（Gass，Glau，Mahlstedt，&Mair，2016）中，切比雪夫多项式的扩展-对维度进行了审议，特别注意在金融领域的应用。如果一维切比雪夫插值函数的表达式为   高维中的相应表达式如下所示：     哪里 是中的元素,   以及系数 由给出   哪里 表示第一个和最后一个总和减半 表示d维切比雪夫节点。在（Gass，Glau，Mahlstedt，&Mair，2016）中，定理12被扩展到更高的维度，表明在与定理12等价的条件下，我们获得了次指数收敛。此外，还介绍了二维定价函数的实际应用，与标准基准点相比，在节省时间的同时，精度损失可以忽略不计。

然而，方程式4中的表达式使用系数 使用公式5计算。这有一个缺点，即操作数随维数呈指数增长。因此，当我们增加维度时，不仅需要将原始定价函数调用成倍增加，而且我们还需要承受方程5的开销，该开销也呈指数增长。我们的实现使用了一种覆盖任何给定维度的替代技术。我们用一维切比雪夫插值函数覆盖函数域，以生成切比雪夫插值函数，而不是使用方程4中给出的直接推广。构建插值对象。其构建和评估方法如下。为了便于说明，让我们将重点放在二维函数上。该域的图像如下图所示。域由间隔定义 沿着-轴和 沿着-轴首先沿曲面生成切比雪夫点，得到二维切比雪夫点网格-轴，然后沿-轴，然后取其笛卡尔积，以获得二维锚定点网格，在图1中的实心蓝点中可见。我们将这些点称为插值“锚”点。构建网格后，必须计算-量纲函数 在网格的每个锚点处。这就是我们所说的“建设”阶段。使用插值对象进行计算。现在，我们在一个通用点上描述函数求值. 对于水平运行的网格中的每个锚点集合，请考虑-多维切比雪夫插值。在上图中，共有5个插入点，每个插入点由4个锚定点组成。

我们在这里使用的一个中心思想是，一维切比雪夫方法非常精确，因此我们可以使用严格来说非常接近真实值的“近似”值。因此，首先，我们使用每个一维切比雪夫插值来获得 在图表上的每个黑色圆圈处。然后，使用黑圈的集合来构建一维切比雪夫插值，上图中的切比雪夫插值垂直运行。请注意, 我们要计算函数的地方在于这个新的一维插值函数。因此，我们可以在 以获取最终值。观察我们在第一组评估中所做的，当我们计算黑圈处水平一维插值的值时，是为了将问题从2维减少到1维。通过这样做，我们最终得到了一个一维插值，我们可以很容易地对其进行评估。扩展到任何维度。将此方法扩展到更高维度很简单。如果我们有一个三维函数，而不是像上面描述的那样，有一个一维切比雪夫插值函数的一维族，我们将有一个一维切比雪夫插值函数的二维族。通过评估每一个插值，我们将问题的维数减少了一个，留下了一个二维域，与我们上面描述的域在性质上相同。如果我们按顺序扩展这个概念，我们可以将切比雪夫方法扩展到任意维。评论。考虑到所述解中每个一维切比雪夫插值的独立性，如果我们知道函数在某些区域更难逼近，我们可以调整网格结构，以便网格在我们知道函数更波动的区域具有更高的分辨率。

然而，请注意，这只是一个额外的增强；我们总是可以使用正方形或矩形网格作为通用定价函数，并受益于切比雪夫技术的指数收敛特性，这是这些方法威力的基石。此外，在多维空间中使用一维切比雪夫插值的另一个优点是，它们的导数易于计算。这一点特别有用，因为切比雪夫插值函数给出的导数的计算成本与函数本身相同：我们不需要在更多的固定点（计算成本较高的部分）调用原始函数，当我们要计算一个导数时，计算切比雪夫插值所需的时间（在大多数情况下可以忽略不计）是相同的。数值示例所述方法可按以下方式应用于工业环境。下图显示了通用风险引擎的步骤。通常，定价步骤需要大量的计算需求，要么因为我们正在计算大量普通交易的风险，要么因为存在（难以定价）异国交易，要么两者兼而有之。如果在完全重估模式下进行风险计算，定价步骤将多次调用前台“原始”定价功能，从数百次调用到数百万次，具体取决于计算。从计算角度来看，这可能非常昂贵。我们将此设置称为“蛮力”计算。切比雪夫插值函数的特殊特性允许进行不同的优化设置。定理6告诉我们，如果我们将定价函数投影到第一个 切比雪夫多项式，投影函数以指数速度收敛到定价函数 增加。

我们还知道，有一些方法可以非常有效地计算切比雪夫系数。例如，参考文献（Ahmed&Fisher，1970）显示了我们如何在 操作。从定理10我们也知道，我们可以预先控制近似的误差。最后，我们从定理12知道，切比雪夫插值也以指数形式收敛，几乎与切比雪夫投影的收敛速度相同。因此，我们可以使用切比雪夫技术来构建超精确的插值对象，而不是蛮力计算。然后调用此对象，而不是原始定价函数，以计算每个场景中的投资组合价格。此设置包括两个步骤。首先，在“构建”阶段，我们对原始定价函数进行有限次调用，以构建超精确的切比雪夫插值对象。我们所说的“切比雪夫插值对象”是指上述解释的切比雪夫插值框架的代码实现，它可以推广到保留所解释的基本原理的任何实现。然后，在第二步“评估”阶段，风险引擎使用优化的切比雪夫插值对象来评估每个场景中的投资组合价格。只要（i）我们在建筑阶段调用原始定价函数的次数少于蛮力法，（ii）插值对象的精度非常好，（iii）评估插值对象的计算成本较低，这种优化方法就很好。与典型的线性插值技术（样条曲线得到类似的结果）相比，下图说明了点（i）和（ii）。

该图显示了当我们增加调用原始定价函数来构建对象的次数时，插值对象相对于原始定价函数的最大误差。此示例适用于Black-Scholes选项中的二维Spot Vol曲面。蓝色虚线是线性插值方案的最大误差，橙色实线是切比雪夫方案的最大误差。注：误差以对数标度表示。可以清楚地看到，线性插值框架的收敛速度非常慢，因此它在许多应用中都达到了所需的精度。然而，在切比雪夫框架内，会指数收敛，因此在定价函数提供的信息非常少的情况下，就可以达到极高的精度。事实上，仅需几百个点即可达到机器精度。例如，假设我们使用的线性插值方案有大约250个锚定点（16 x 16网格）。图表显示，我们获得的精度约为10-1。一方面，如果我们使用相同数量的锚定点（即构建阶段相同的计算工作量）构建网格，但应用切比雪夫原理，我们得到的精度约为10-7；也就是说，在实践中完全重估的准确性。另一方面，如果我们对精度感到满意，但我们希望减少构建阶段的计算工作量，则切比雪夫对象仅需约25个锚定点（5 x 5网格）即可达到10-1的精度；仅为原始计算成本的10%。下表显示了使用QuantLib开源库时，与完全重估方法相比，使用切比雪夫对象时定价时间的改进及其准确性。为了便于说明，这些是一维情况。