超高效风险计算的切比雪夫方法

速度增益范围从已经考虑的快速分析定价函数的100到外来产品的近6000000。尽管存在壁垒等具有强烈非线性特征的交易，但误差大多远低于基点精度。唯一误差超出基点阈值的交易是采用蒙特卡罗模拟进行定价的交易，其具有相同幅度的内置误差；在这种情况下，错误来自于原始定价函数本身缺乏准确性，而不是切比雪夫方法。定价函数定价方法Quantlib运行时间（ms）切比雪夫构建时间（ms）切比雪夫运行时间（ms）准确度切比雪夫运行速度倍增器IRSAnalytic0.2142.6750.00010310-152088欧洲期权分析（BS）0.0130.2090.00012710-6美国期权Monte Carlo23.103247.1170.00009610-6239668伯尔穆丹SwaptionTree318.993642.120.00012710-5251173Barrier Optionalytic0.0240.00012510-4BarrierOptionMonte Carlo601.9196590.5220.00010310-35843883这些示例适用于低维情况。如下一节所述，这些方法也可应用于高维情况。这些技术在风险管理中的实际应用是无穷无尽的。任何需要多次对投资组合重新定价的风险计算都应该从中受益。事实上，一旦完成了构建阶段的开销，多个计算将受益于构建对象的速度。以下是这些技术在商业环境中应用的实例。本文的主要目的是为我们所看到的改进提供理论基础，因此我们将为后续出版物留下详细的商业解释。

exotics XVA和IMM Monte Carlo engines的CVA、FVA和IMM capital需要在每次运行中对投资组合重新定价数十万次甚至几百万次。一旦交易组合具有非常规产品，全面重估方法的计算成本就会非常高。一些机构已经实施了基于美国蒙特卡罗回归的技术。然而，它的实现远非琐碎，定价代理的准确性也远非理想。因此，监管者不喜欢IMM计算的这种解决方案。此外，试图摆脱它的敏感性也会很麻烦。异国情调的定价是受益于所述切比雪夫技术的主要候选方案。事实上，我们通过1000个场景的蛮力重估，在双因素模型中对百慕大Swaption进行了EPE和PFE-95%剖面，并将其与通过切比雪夫对象进行的相同计算进行了比较。如下图所示，获得的剖面完全相同，因为切比雪夫对象在实践中提供了完美的定价准确性。利率和波动率双因素模型。下表说明了所创建的计算改进。与基准完全重估相比，通过切比雪夫对象进行的计算大大减少了计算工作量。例如，在我们使用的单核设置中，有10000个场景的蒙特卡罗模拟大约需要4.5天，而通过切比雪夫对象只需要53分钟。当使用切比雪夫对象时，增加场景数量的增量计算工作量可以忽略不计；所提议的技术中的大部分工作都是在构建步骤中完成的，一旦完成，评估插值对象的计算工作量非常小。定价方法MC scenariosBuilding step EffortValuation effortTotal effortChebyshev vs。

full-revalFull-Reval1000N/a10h:54m10h:54mn/AfFull-Reval10000N/a4d:12h:58m4d:12h:58mn/AfFull-Reval100000N/a45d:10h:05m45d:10h:05mn/Achebyshev100000H:53m70毫秒s0H:53m:00s8%Chebyshev100000H:53m700毫秒s0H:53m:01s0.8%Chebyshev100000H:53M7000毫秒s0H:53m:07s0.08%这有多个好处。例如，我们不仅可以快速执行风险预测计算，而且评估时间的速度非常快，因此我们可以通过bump和reval构建插值对象，保存它并根据需要经常重复使用，以进行许多极快的XVA灵敏度计算。一个引人注目的应用是，一旦构建了插值对象，我们就可以很容易地模拟灵敏度，如下一节所示。初始裕度模拟我们已经看到，切比雪夫对象很容易达到10-6的精度。我们通过一个函数来实现这种精度  由于切比雪夫多项式已被很好地理解，其导数可以很容易地计算出来。因此，考虑到近似的高精度，定价函数的导数 就其风险因素而言，可近似为  严格地说，相对于原始函数的近似，这种导数近似往往会失去一点精度。然而，切比雪夫插值往往是C++中的一种计算，使用QuantLib定价函数，在台式PC Intel i7单核进程中。对1000个方案进行了全面重估计算。很好地近似于定价函数，即插值器的导数往往也是导数的很好代理。

这有一个非常重要的结果：定价函数的切比雪夫近似不仅能够在风险引擎中实现有效的完全重估，还可以提供非常准确和非常有效的敏感性模拟，而无需任何额外的构建计算成本。在这个框架中，初始保证金的风险模拟或对冲模拟非常容易。下图显示了SIMM的预期概况、第5百分位和第95百分位TM 使用此方法对掉期、百慕大掉期期权和障碍股权期权组合进行模拟。仿真很快就完成了，具有绝对的精度。蒙特卡罗引擎通过价格函数的切比雪夫插值，在标准笔记本电脑上，在2.3秒内模拟了约5000万个敏感度（3600万个Delta和1400万个Vegas）。灵敏度的准确度优于10-4；i、 e.实践中的完美模拟。IMA-FRTB另一个应用程序采用FRTB的内部模型方法（IMA-FRTB）。在这种情况下，我们在这里解释的技术已经在一家商业一级银行中进行了测试；不久将出版一本出版物。该技术应用于掉期、掉期期权和百慕大掉期期权的投资组合。在这种情况下，该技术面临的额外挑战是输入空间的维数，如果我们包括所有利率利差曲线和波动率曲面，输入空间的维数可能高达数百维。应用了一种降维技术，包括PCA和正交玻片聚集的混合；这种技术的细节超出了本文的范围，它们将很快在后续文章中发表。

下图说明了将此技术应用于百慕大掉期期权（左窗格）后，原始定价函数和快速定价函数之间的1天PnL相关性，以及通过这两种技术获得的资本费用（基于10天预期短缺）（右评估时间。建设时间被视为发生在隔夜计算批次中。窗格）。可以看出，误差是如此之小，以至于我们可以确保通过PnL归因测试；事实上，PnL相关性为99.9%，确保了损益归因测试的符合性。重要的是，使用近似技术的技术所需的计算负载在蛮力完全重估所需计算负载的1%到5%之间。这种技术每年可以为银行节省数百万的硬件成本。定价功能“克隆”风险引擎通常位于定价引擎的独立IT基础架构中。风险引擎的核心问题之一是如何将通常存在于前台系统中的定价函数传输到模拟框架中。切比雪夫框架提供了一个解决方案。例如，假设风险引擎需要为产品定价3000倍。切比雪夫对象只需要在很少的固定点上对每个产品进行定价，以便非常准确地复制定价函数。在一个典型示例中，我们只需要150个锚定点上的定价函数的值。风险引擎可以将这150个锚定点设置为切比雪夫“校准”场景，仅在这150个锚定点上查询产品价格，并以非常高的精度和极快的评估时间复制风险引擎内的定价功能。请注意，风险引擎和定价引擎之间的通信可以动态或静态完成。

在动态模式下，风险引擎具有定价引擎中定价例程的句柄，因此它可以在需要时“即时”查询定价作业。然而，许多系统不具备这种能力，在这种情况下，150个定价场景可以在一个批次中传达给定价引擎，150个价格也可以在另一个批次中反馈给风险引擎。实际上，这种通信可以像平面文件或Excel电子表格一样手动进行，因为定位点由切比雪夫点给出，因此不需要与定价引擎或交易的特定信息进行动态通信。在许多实际情况下，这是该方法的一个关键特征。当我们有相同风险因素的交易组合时，可以实现进一步的计算改进。例如，假设我们有5000笔交易由同一系列风险因素驱动（例如美元收益率曲线和波动率曲面上的掉期和期权）。正如我们所看到的，它的每个定价函数都可以用切比雪夫插值函数表示。在本例中，我们有5000个单交易切比雪夫对象。为了对投资组合进行多次重估，而不是评估5000个切比雪夫对象，我们可以通过累加切比雪夫系数并以这种方式构建投资组合切比雪夫对象来进一步减少计算工作量。这个新对象的计算量与单个贸易对象的计算量相同，因此我们在重估过程中实现了5000倍的加速。AAD不用说，伴随算法微分（AAD）是一种非常先进的方法，可以在有限的计算量下计算许多灵敏度。

正如业界所知，它对实现和维护提出了挑战。出于这个原因，一些贸易公司决定推迟或避免其实施。一个核心问题是，为了实现AAD，开发人员需要实现和维护每个定价函数的伴随版本。此外，在运行模拟时，内存也是一个问题，因为计算需要存储大量信息。同样，切比雪夫可以用来降低这些问题的复杂性。如果我们有切比雪夫插值表示的许多交易的定价函数，那么我们可以为所有这些交易编写一个通用的伴随版本，从而大大减少实现和维护工作以及内存占用。                          必须注意的是，这种AAD通用方法目前只是一种理论想法。我们还没有机会测试它。如果您是AAD专家，并且希望在这一主题上与我们合作，请与我们联系。如前所述，在风险计算的背景下，切比雪夫插值和切比雪夫对象的应用数量是无限的。除上述方法外，其他明确的候选方法还包括压力测试和综合资本分析及审查计划、对冲模拟、模型风险管理等。与其他方法相比，切比雪夫插值法可能与以下替代方法“竞争”o全面重估。显然，如果完全重估是一种可行的选择，那么就不需要任何算法替代方案。然而，金融业现在正受到其高计算需求的困扰。事实上，这就是为什么它经常被称为“暴力”解决方案，因为克服其计算限制的唯一方法是添加更多硬件标准插值。

这些方法包括流行的线性或三次样条插值方法。正如本文中已经明确证明的那样，切比雪夫插值在所有计数中都比这些方法好几个数量级基于回归的“Longstaff-Schwartz”近似。在风险计算中，另一种有点流行的替代全面重估的方法是通过美国蒙特卡罗（Cesari等人，2009）调整用于期权定价的方法。在我们了解切比雪夫方法的威力之前，回归方法似乎常常是有效计算的唯一可能。然而，众所周知，他们遭受着非常严重的回归误差（用户希望平均消除该误差，但控制有限），风险分布尾部的表现非常差（因此风险部门和监管机构往往忽视它），回归校准往往更像是一门“黑术”，而不是一种科学方法。相反，切比雪夫插值方法解决了所有这些问题，并且需要类似的计算工作。独立验证参考（Gass、Glau、Mahlstedt和Mair，2016）构成本文所述方法的独立验证。2016年论文的作者M.Gass、K.Glau、M.Mahlstedt和M.Mair描述的方法与我们在本文中概述的方法大致相同。事实上，（Gass，Glau，Mahlstedt，&Mair，2016）指出，“对于数学金融中的定价任务，切比雪夫插值似乎仍然很少使用，其潜力尚未显现”。它还指出，“使用如此少量的插值节点实现高精度的财务影响是双重的。首先，它表明有一些有趣的情况，我们观察到机器精度范围内的精度。

在这种没有方法风险的舒适情况下，我们可以忽略这样一个事实，即近似值已经实现。其次，与其他风险源相比，精确度低得多的错误已经可以忽略。如果我们同意精度为10-4是令人满意的，已经有36–49个插值节点用于逼近看涨期权价格[…]足够了“参考文献Ahmed，N.，&Fisher，P.（1970）。切比雪夫系数算法特性研究。《国际计算机数学杂志》，307-317。Behnam，H.，&Trefethen，L.（2016）。三维切布冯。预印本。Bernstein，S.（1912年）。在梅勒曲线上，函数的近似值继续表示多项式的近似值。MéM.阿卡德。罗伊。贝尔格。Cesari，G.、Aquilina，J.、Charlpillon，N.、Filipovic，Z.、Lee，G.、Manda，I.（2009）。建模、定价和对冲交易对手信用风险：技术指南。斯普林格。Clenshaw，C.，&Curtis，A.（1960年）。在自动计算机上进行数值积分的一种方法。数字。数学2, 197–205. Ehlich，H.，&Zeller，K.（1966）。Auswertung der Normen von Interpolationsoperatoren。数学安。164, 105–112. Faber，G.（1914年）。"Uber die interpolatorische Darstellung stetiger Funktionen。贾雷斯伯。德国。数学Verein 23，192–210。Gass，M.，Glau，K.，Mahlstedt，M.，和Mair，M.（2016）。参数期权定价的切比雪夫插值。预印本。https://arxiv.org/abs/1505.04648.Handscomb，D.，&Mason，J.（2003）。切比雪夫多项式。查普曼和霍尔/CRC。伦格，C.（1901）。"Uber empirische Funktionen和die Interpolation zwischen"aquiditanten Ordinaten。Z、 数学。物理。，224–243. Townsend，A.，&Trefethen，L.（2013）。Chebfun到二维的扩展。暹罗科学计算杂志35（6），C495–C518。Trefethen，L.（2013年）。近似理论和近似实践。暹罗。Weierstrass，K.（1885）。

分析人员Darstellbarkeit Sogenter willkürlicher在Rellen Veranderlichen中发挥作用。Sitzungsberichte der Akademie zu Berlin，633–639年。