超高效风险计算的切比雪夫方法

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英文标题：
《Chebyshev Methods for Ultra-efficient Risk Calculations》
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作者：
Mariano Zeron Medina Laris, Ignacio Ruiz
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Financial institutions now face the important challenge of having to do multiple portfolio revaluations for their risk computation. The list is almost endless: from XVAs to FRTB, stress testing programs, etc. These computations require from several hundred up to a few million revaluations. The cost of implementing these calculations via a \"brute-force\" full revaluation is enormous. There is now a strong demand in the industry for algorithmic solutions to the challenge. In this paper we show a solution based on Chebyshev interpolation techniques. It is based on the demonstrated fact that those interpolants show exponential convergence for the vast majority of pricing functions that an institution has. In this paper we elaborate on the theory behind it and extend those techniques to any dimensionality. We then approach the problem from a practical standpoint, illustrating how it can be applied to many of the challenges the industry is currently facing. We show that the computational effort of many current risk calculations can be decreased orders of magnitude with the proposed techniques, without compromising accuracy. Illustrative examples include XVAs and IMM on exotics, XVA sensitivities, Initial Margin Simulations, IMA-FRTB and AAD.
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中文摘要：
金融机构现在面临的一个重要挑战是，必须对其风险计算进行多次投资组合重估。清单几乎无穷无尽：从XVAs到FRTB，压力测试程序等等。这些计算需要数百到数百万次的重新评估。通过“强力”全面重估来实施这些计算的成本是巨大的。目前，业界对这一挑战的算法解决方案有着强烈的需求。本文给出了一种基于切比雪夫插值技术的求解方法。这是基于一个已证明的事实，即对于一个机构拥有的绝大多数定价函数，这些插值函数都表现出指数收敛。在本文中，我们详细阐述了它背后的理论，并将这些技术扩展到任何维度。然后，我们从实际的角度来处理这个问题，说明如何将其应用于该行业目前面临的许多挑战。我们表明，在不影响准确性的情况下，使用所提出的技术，许多当前风险计算的计算工作量可以减少几个数量级。示例包括XVAs和IMM关于exotics、XVA敏感性、初始保证金模拟、IMA-FRTB和AAD。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Chebyshev_Methods_for_Ultra-efficient_Risk_Calculations.pdf (935.17 KB)

2022-6-10 01:58:54 上传

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关键词：切比雪夫 Calculations computations Quantitative Institutions

切比雪夫超高效风险计算方法谱分解在风险管理中的应用Mariano Zeron Medina Laris，Ignacio RuizApril 2018年抽象金融机构现在面临着一个重要挑战，即必须对其风险计算进行多次投资组合重估。清单几乎无穷无尽：从XVAs到FRTB，压力测试程序等等。这些计算需要数百到数百万次的重新评估。通过“强力”全面重估来实施这些计算的成本是巨大的。目前，业界对这一挑战的算法解决方案有着强烈的需求。本文给出了一种基于切比雪夫插值技术的求解方法。这是基于一个已证明的事实，即对于一个机构拥有的绝大多数定价函数，这些插值函数都表现出指数收敛。在本文中，我们详细阐述了它背后的理论，并将这些技术扩展到任何维度。然后，我们从实际的角度来处理这个问题，说明如何将其应用于该行业目前面临的许多挑战。我们表明，在不影响准确性的情况下，使用所提出的技术，许多当前风险计算的计算工作量可以减少几个数量级。示例包括XVAs和IMM关于exotics、XVA敏感性、初始保证金模拟、IMA-FRTB和AAD。Momax智能。英国伦敦。m。zeron@iruiztechnologies.comMoCaX智力英国伦敦。i。ruiz@iruiztechnologies.comIntroduction在金融领域，有许多情况下，定价函数必须进行多次评估才能进行风险计算。

示例包括所有定价的XVA、通过IMM（IMM-CCR）的交易对手信用风险资本、市场风险VaR和压力VaR（sVaR）、即将推出的FRTB高级IMA方法（IMA-FRTB）、压力测试框架、CCAR等。它们都要求在每次计算中对投资组合进行几百到几百万次的重估。定价函数的复杂性在过去几十年中不断增加；从普通的欧洲期权和掉期到所有百慕大掉期期权系列的衍生品、奇异的外汇和股票产品、信用衍生品、商品产品等。因此，执行此类风险评估所需的计算工作量（即时间和硬件成本）已成为一个问题。例如，一级银行现在正在评估通过“蛮力”硬件方法进行IMA-FRTB计算的硬件成本（即构建一个强大到足以在真正的全面重估模式下进行计算的计算网格，根据需要随时调用前台定价功能）。这些成本往往在5000万美元至约2亿美元之间，这仅考虑强制资本计算；此外，还需要进行实时的日内计算，以便通过对FRTB资本影响的事前分析，做出正确的业务和交易决策。解决这一重要问题的核心在于能够面对行业和监管机构提出的要求。如果不能智能地解决这个计算问题，许多业务部门和交易台将变得不经济，不得不关闭。从积极的方面来看，那些设法解决这一问题的银行将拥有竞争优势。在本文中，我们介绍了一种有助于解决这个问题的优化方法。

数学框架在本节中，我们建立了数学框架，稍后将在风险计算引擎中应用。正交展开有许多谱分解方法，它们基于将函数投影到由一系列基函数生成的子空间上。根据选择的基础及其维数，我们可以获得最优解。其核心是切比雪夫多项式和切比雪夫插值的使用。在许多情况下，我们能够构造可以有效评估的近似器。这意味着，在原始函数的求值次数非常少的情况下，我们能够生成一个非常精确的近似函数。将这一点付诸实践，我们正在寻找定价函数的副本，它可以根据定价函数在几个点上的值来构建，它与所需的一样精确，而且评估速度非常快。这样的复制品就可以取代风险计算所需的数百万评估中的原始定价功能，从而在不牺牲任何显著准确性的情况下，在很短的时间内完成计算。多项式函数是一个被广泛理解的函数族，用于数学的各个领域。它们的用途之一是近似任意连续函数。回溯到1885年，我们发现了它们适用于近似（Weierstrass，1885）定理1的证据。Weierstrass近似定理。允许 是上的连续函数, 然后让 是大于零的任意实值。然后有一个多项式 因此    然而，在给定连续函数的情况下，这个结果并没有给出如何查找的方法, 一个合适的近似多项式。

在决定什么是多项式时，有两件事要记住 用作近似器。一方面，我们需要准确性。另一方面，特别是在我们感兴趣的应用程序中，我们希望计算机能够尽可能有效地评估近似器。通常，这两个目标指向不同的方向。通常，我们需要的精度越高，近似器的评估就越复杂。让我们更具体地表达这一点。表示多项式的空间. 考虑其规范过滤 哪里 至多是次多项式的空间. 越高, 有更多的多项式可供选择。如果我们找不到多项式 在里面, 这近似于我们的函数 很好，我们需要在 哪里. 越高, 多项式的阶数越高。但是，学位越高, 评估时间越长。我们需要一种系统的方法来发现, 中的多项式 这个近似值 达到我们需要的程度。这对于这些方法的应用至关重要，因为工业化的风险计算环境需要系统的解决方案来实施和维护。正是在这个意义上，切比雪夫插值理论在两者之间提供了非凡的平衡，这将在以下章节中看到。切比雪夫级数到目前为止，我们已经谈到使用多项式来逼近任何给定的连续函数。然而，构成切比雪夫近似理论核心的结果对于具有一定光滑度的连续函数是有效的。虽然原则上有限制，但这在我们的环境中尤其有用，因为金融中的定价函数通常不仅是分段连续的，而且是分段可微的，实际上，在大多数情况下，是分段分析的。

在以下部分中，除非另有规定，否则我们将处理在闭合有界区间上定义的一维函数. 如果有问题的功能 在通用间隔上定义, 我们通过一个取时间间隔的缩放函数来预合成它 到. 这样我们就得到了一个函数 定义于. 从现在起，我们陈述的每一个结果都有效, 也适用于. 因此，我们假设，在不损失一般性的情况下，我们感兴趣的函数的域是区间. 定义2。实值函数 如果存在正实常数，则称为Lipschitz连续 这样，对于所有真实的 和,      定义3。这个-切比雪夫多项式定义为, 哪里 关于切比雪夫多项式的其他定义，以及它们的主要性质，我们参考了（Handscomb&Mason，2003）。以下结果是切比雪夫多项式逼近理论的核心。以下定理的证明可在（Handscomb&Mason，2003）和（Trefethen，2013）中找到。定理4。如果 Lipschitz是否连续打开, 它具有切比雪夫级数的唯一表示形式，   它是绝对一致收敛的。系数为 根据公式    如果, 上述公式除以. 固定自然数的截断切比雪夫级数, 逼近Lipschitz连续函数的一个很好的候选者是切比雪夫级数的截断，直至其-th学位   我们称之为度的切比雪夫投影.到目前为止，我们已经得到了Lipschitz连续函数的切比雪夫级数的收敛性。

这是一个很好的起点，但我们需要确保以尽可能小的速度获得所需的准确度. 否则 可能太高，在速度和精度至关重要的情况下无法使用。因此，使用次数尽可能小的多项式很重要。正如我们将看到的，切比雪夫级数对于一类重要的函数具有惊人的收敛速度。这确保我们使用的投影具有尽可能小的度数（即。 是小的）。如果函数不仅是Lipschitz连续的，而且是阶可微的, 我们有定理5。对于整数, 允许 及其衍生产品，包括 在上绝对连续. 此外，假设-th导数 具有有界变化. 那么对于任何, 其切比雪夫投影满足     A函数 对于每个点都是解析的 在其范围内，泰勒级数 在 存在并收敛到值. 函数分析打开时 它可以解析地扩展到周围复杂平面中的一个邻域. 对于以下定理，感兴趣的区域是焦点位于 和, 被称为伯恩斯坦椭圆。椭圆越大，收敛速度越快。以下定理加强了定理5的结果，最早出现于（Bernstein，1912）。定理6。允许 是区间上的解析函数. 考虑它对开放Bernstein椭圆的解析延拓, 满足要求的地方, 对一些人来说. 然后针对每个       哪里 是度的切比雪夫投影. 如前所述，金融中使用的函数（如定价函数）中有很大一部分（如果不是全部的话）满足很强的可微性或确实是分析性的。

对于具有后一性质的函数，小阶切比雪夫级数的投影通常给出很好的逼近度，因为 到. 从上一节的定理中可以明显看出，切比雪夫投影提供了一种非常有吸引力的近似分段解析（甚至可微）函数的方法。然而，评估这些投影可能很棘手，因为定理4中的系数涉及到求解所讨论的积分。在其域的所有点集合中，除了有限的点之外。例如，障碍期权的障碍或利率掉期的支付日期。在这些情况下，所描述的方法可以扩展到分段函数，而不会失去通用性。然而，有些多项式插值函数的收敛速度与定理4、5、6中指定的插值函数的收敛速度相同，并且其表达式更容易找到和计算。为了引入这样的多项式插值，我们需要以下内容。定义7。与自然数相关的切比雪夫点 都是   团结的根源     等效地，切比雪夫点可以定义为 这些点是复数平面上的酉圆上半部分的等距点到实线的投影。有关切比雪夫点、性质和推广的更多详细信息，请参阅（Handscomb&Mason，2003）。允许 成为函数并让 be点位于. 表示为 的值 在下面. 我们称之为点 锚定点和 的值 在锚定点上。插入剂 在这些点上定义为函数 因此, 对于所有人 . 如果 是多项式，那么我们说 是多项式插值 在锚定点上.

众所周知，对于每个函数 而且每   如上所述，有一个唯一的多项式插值 最多学位. 多项式插值在数值计算中作为逼近器有着很坏的声誉。这种坏名声的部分原因是Faber在1914年的一个结果（Faber，1914），该结果表示，对于连续函数类，无论点的分布方式如何，都没有多项式插值方案可以确保收敛。由于这个定理，多项式插值成为了不公平负面声誉的受害者，因为只要我们将函数空间限制为Lipschitz连续函数，我们就保证了多项式插值的收敛性，而且，只要我们将自己限制为解析函数，多项式插值就可以指数收敛，正如我们接下来将看到的，如果插值方案是正确的。此外，在实际风险计算中，我们使用的大多数定价函数要么是分析函数，要么是已知细分市场中的分段分析函数。必须强调的是，正确的插值方案是本文结果的核心。事实上，如果我们不使用正确的插值方案，即使将函数类限制为解析函数也不一定有帮助。等距点上的插值通常被认为是一种明智的选择，即使对于具有高度平滑度的函数，插值也会发散，如下例所示。例8。1901年，伦格（Runge，1901）给出了一个著名的例子。他证明了等距插值不仅对函数发散    但它呈指数级发散。这就是众所周知的龙格现象。等距点上的多项式插值也有其他问题。

即使在理论上保证收敛，浮点算法中的舍入错误也可能会导致问题。示例9。从数学上讲，等距点上的多项式插值收敛于. 然而，浮点运算中的舍入误差会随着多项式次数的增加而放大，从而在实践中产生分歧。切比雪夫插值经常被忽略的是，在不同于等距的点集上插值可以完全改变多项式插值的性质。特别地，切比雪夫点上的多项式插值具有与切比雪夫投影相同的收敛性。此外，正如我们接下来描述的那样，这些多项式的表达式更容易、更快地找到和计算。表示连续函数的多项式插值 在第一个  切比雪夫点. 这样的多项式位于, 至多次多项式空间. 因此，它可以表示为第一个   切比雪夫多项式（实际上，作为)    用切比雪夫多项式表示切比雪夫插值具有以下优点。如（Ahmed&Fisher，1970）所示，可以计算系数 从 在切比雪夫点上，使用快速傅立叶变换。由于快速傅立叶变换可以应用于 操作。方程1中的表达式不仅易于快速找到，而且可以以数值稳定且不受计算机舍入误差影响的方式有效计算。原因是 具有如此好的收敛特性与一种称为锯齿的现象有关。别名的全部细节超出了本文的范围。