考虑负利率的多曲线L拞evy远期价格模型

，λd，d（t，Tk-1） ）表示远期过程Fd（·，Tk）的波动性-1，Tk）。我们要求nxk=1λd，j（t，Tk-1) ≤ M、 对于所有t∈ [0，T*] 和j∈ {1，…，d}，其中M是来自假设（EM）的常数，我们设置λd（t，Tk-1） =（0，…，0）对于t>Tk-1.8 E.EBERLEIN、C.GERHART和Z.Grbac构建与基本曲线相对应的远期价格过程，如EBERLEIN和¨Ozkan（2005）所述，通过反向归纳法进行。为此，我们从最遥远的时期开始-1，Tn]和，对于任何t≤ 田纳西州-我们假设fd（t，Tn-1，Tn）Fd（0，Tn-1，Tn）=exptZλd（s，Tn-1） dLTns+tZbd（s，Tn-1，Tn）ds（2.3）其中时间不均匀L'evy过程LTn=LT*可以用它的典型代表来书写*t=tZ√csdWT公司*s+tZZRdx（uL- νT*)（ds，dx）和d维PdT*-标准布朗运动*:= （重量*t） t型∈[0，T*]与LT跳跃相关的andinteger值随机测度u*有PdT*补偿器νT*（dt，dx）：=英尺*t（dx）dt。现在漂移项bd（·，Tn-1，Tn）的规定方式如下：forwardprice流程Fd（·，Tn-1，Tn）成为PdT*-（局部）鞅。这可以通过设置BD（t，Tn）来实现-1，Tn）=-hλd（t，Tn-1） ，ctλd（t，Tn-1） Ti公司-ZRd公司ehλd（t，Tn-1） ，xi- 1.- hλd（t，Tn-1） ，xi英尺*t（dx）。（2.4）应用Jacod和Shiryaev（2003，定理II.8.10），可以将普通指数（2.3）表示的正向价格过程表示为随机指数FD（t，Tn-1，Tn）=Fd（0，Tn-1，Tn）Et（Hd（·，Tn-1，Tn）），（2.5），其中工艺Hd（·，Tn-1，Tn）由随机对数hd（·，Tn）给出-1，Tn）=L经验值tZλd（s，Tn-1） dLTns+tZbd（s，Tn-1，Tn）ds形式为HD（t，Tn-1，Tn）=tZλd（s，Tn-1)√csdWT公司*s+tZZRdehλd（s，Tn-1） ，xi- 1.（uL- νT*)（ds，dx）。

（2.6）观察Jacod和Shiryaev（2003，定理I.4.61）以及Eberlein、Jacod和Raible（2005）的观点，（2.5）中给出的远期价格过程是真实的PDT*- 鞅。多曲线L'EVY远期价格模型9因此，我们可以指定与日期相关的远期鞅测度-1定义日期(Ohm, FTn公司-1） 并用PdTn表示-1通过设置DPDTN-1dPdTn：=Fd（Tn-1，Tn-1，Tn）Fd（0，Tn-1，Tn）=ETn-1（Hd（·，Tn-1，Tn））。仅限于σ-字段FTT和t≤ 田纳西州-1、我们有DPDTN-1.FtdPdTnFt=Fd（t，Tn-1，Tn）Fd（0，Tn-1，Tn）=Et（Hd（·，Tn-1，Tn））。应用半鞅的Girsanov定理（见Jacod和Shiryaev（2003，定理III.3.24）），我们可以识别描述方程（2.6）中度量变化的可预测过程β和yth。一个得到β（t）=λd（t，Tn-1） Y（t，x）=exphλd（t，Tn-1） ，xi.特别地，这些过程决定了半鞅LT的特征*相对于PdTn-1从其相对toPdT的半鞅特征*. 由于这些特征仍然具有确定性，我们得出结论*在度量值更改后保持具有独立增量的过程。根据Girsanov定理，过程-1： =（WTn-1吨）吨∈[0，T*]由WTN定义-1t：=重量*t型-tZ公司√csλd（s，Tn-1） PdTn下的d维标准布朗运动-1此外，νTn-1（dt，dx）：=经验值hλd（t，Tn-1） ，xiνT*（dt，dx）=FTn-1t（dx）数据定义PdTn-1-uL补偿器，其中我们设置-1t（dx）：=经验值hλd（t，Tn-1） ，xi英尺*t（dx）。沿着离散的基调结构T向后，我们得到，对于anyk∈ {1, . . .

，n}和0≤ t型≤ Tk公司-1、表格FD（t，Tk）中的所有远期价格流程-1，Tk）Fd（0，Tk-1，Tk）=exptZλd（s，Tk-1） dLTks+tZbd（s，Tk-1，Tk）ds,其中过程LTk=（LTkt）t∈[0，T*]由Tkt=tZ给出√csdWTks+tZZRdx（uL- νTk）（ds，dx）（2.7）和漂移bd（·，Tk-1，Tk）的形式为bd（t，Tk-1，Tk）=-hλd（t，Tk-1） ，ctλd（t，Tk-1） Ti公司-ZRd公司ehλd（t，Tk-1） ，xi- 1.- hλd（t，Tk-1） ，xiFTkt（dx）。10 E.EBERLEIN、C.GERHART和Z.Grbac漂移的规定方式为Fd（·，Tk-1，Tk）是一个PdTk鞅，在前面的步骤中，我们定义了前向测度PdTkon(Ohm, 英尺*, （Ft）t∈[0，Tk]），密度dpdtkdpdtk+1Ft：=dPdTkFtdPdTk+1Ft：=Fd（t，Tk，Tk+1）Fd（0，Tk，Tk+1），与PDTL和l相关∈ {k+1，…，n}bydPdTkdPdTlFt=l-1Yj=kFd（t，Tj，Tj+1）Fd（0，Tj，Tj+1）=Bd（Tl）Bd（Tk）l-1Yj=kFd（t，Tj，Tj+1）。此外，我们得到了关系swtkt：=WT*t型-tZ公司√csn公司-1Xj=kλd（s，Tj）tdpdtk补偿器νTkofuLνTk（dt，dx）：=expn-1Xj=khλd（t，Tj），xiνT*（dt，dx）=FTkt（dx）dt，其中我们设置了FTkt（dx）：=expPn编号-1j=khλd（t，Tj），xi英尺*t（dx）。注意，由于假设（DFP.2），在PDTkt下，过程是具有局部特征（0，ct，FTkt）的时间非均匀L'evy过程。公式（2.7）给出了关于PdTk的规范表示。为了结束这一小节，我们推导出任何T，S∈ T={T，…，Tn}带T≤S、 驱动进程SLT和LS之间关系的一般表示。让我们表示jst：={h∈ 第N个∈ T和T<Th≤ S} （2.8）和新定义（S、T、S）：=- csXh公司∈JSTλd（s，Th-1） T+ZRdxhexp-Xh公司∈JSThλd（s，Th-1） ，xi- 1FTS（dx）多曲线L'EVY远期价格模型11适用于任何s≤ T注意w（s，T，s）≡ 当T=S时为0。通过应用半鞅的Girsanov定理，我们得到了LT=-·ZcsXh公司∈JSTλd（s，Th-1） Tds+·ZZRDXHEP-Xh公司∈JSThλd（s，Th-1） ，xi- 1iFTs（dx）ds+·Z√csdWSs+·ZZRdx（uL- νS）（ds，dx）=·Zw（S，T，S）ds+LS。

（2.9）我们强调，所有驱动过程在相应的正向测度下仍然是时间不均匀的，因为它们与确定性漂移项不同。2.2. 风险期限相关曲线。让m∈ N是曲线数。每一个我∈ {1，…，m}，我们考虑一个等距离散结构Ti：={Ti，…，Tini}，对应于曲线i，其中ni，n∈ N、 Ti公司 T={T，…，Tn}和0≤ Ti=T<Ti<···<Tini=Tn=T*. 和以前一样，日期之间的年份分数-1和Tikare由δi表示：=δi（Tik-1，Tik）对于所有k∈ {1，…，ni}。此外，我们假设Tm ···  T T我们考虑时间非齐次L'evy过程LT*在上(Ohm, 英尺*, F=（英尺）t∈[0，T*], PdT公司*) 概率测度PdT，PdTn公司-1来自最后一小节。注意我们有fD（t，Tik-1，Tik）=Yj∈JikFd（t，Tj-1，Tj），（2.10），其中Jikis是JTikTik的缩写-1（2.8）中定义的内容。对于每个i∈ {1，…，m}和k∈ {1，…，ni}，let Li（Tik-1，Tik）表示Tik-与期限δi相对应的1即期伦敦银行同业拆借利率或欧元同业拆借利率。假设li（Tik-1，Tik）是FTik-1-可测量的随机变量。然后，我们定义（t，Tik-1，Tik）：=EdTikLi（Tik-1，Tik）| Ft（t≤ Tik公司-1） （2.11）其中EdTik[·]表示PdTik下的预期。请注意，该定义与（教科书式）远期利率协议的市场利率估值公式（见Mercurio，2009）和我们haveLi（Tik-1，Tik-1，Tik）=Li（Tik-1，Tik）。此外，Li（·，Tik-1，Tik）定义为PdTik鞅。我们指的是-1，Tik）作为对应于δi的离散复合远期利率。这些利率是模型的关键量。12 E.EBERLEIN、C.GERHART和Z.GRBACLemma 2.1。

远期价格Fd（t，Tik）的显式表示-1，Tik）内部结构Ti由FD（t，Tik）给出-1，Tik）=Fd（0，Tik-1，Tik）exptZXj∈Jikλd（s，Tj-1） dLTiks+tZXj∈吉克hλd（s，Tj-1） ，w（s，Tj，Tik）i+bd（s，Tj-1，Tj）ds！和Fd（·，Tik-1，Tik）是PdTik鞅。证据考虑表达式（2.10）并应用方程（2.9），我们得到了Fd（t，Tik）的显式公式-1，Tik）。将Jacod和Shiryaev（2003，命题III.3.8）先后应用于（2.10）中的乘积，证明了鞅性质。我们不是直接对远期利率的动态进行建模，而是通过对与LDF和Fd相关的远期利差进行建模来说明演变。通常，这些价差可以用两种方式考虑，即（1）加法远期价差SSI（t，Tik-1，Tik）：=Li（t，Tik-1，Tik）- Ld（t，Tik-1，Tik）或（2）乘法前向扩展ssi（t，Tik-1，Tik）：=1+δiLi（t，Tik-1，Tik）1+δiLd（t，Tik-1，Tik）=1+δiLi（t，Tik-1，Tik）Fd（t，Tik-1，Tik）。远期价格框架中的自然选择是乘法远期利差。按照这种方法，我们可以通过将乘法向前价差建模为大于1的量，轻松确保每个风险曲线和基本曲线之间观察到的单调性。我们有1+δiLi（·，Tik-1，Tik）=Si（·，Tik-1，Tik）Fd（·，Tik-1，Tik）。（2.12）引理2.2。每对日期Tik-1，Tik∈ Tiwith i公司∈ {1，…，m}和k∈ {1，…，ni}，过程Li（·，Tik-1，Tik）遵循PdTik鞅当且仅当乘法前向扩散Si（·，Tik-1，Tik）是PdTik-1-鞅。证据

Jacod和Shiryaev（2003）中的命题III.3.8可与DPDTIK一起直接应用-1PDTIK公司Ft=Fd（t，Tik-1，Tik）Fd（0，Tik-1，Tik）。因此，回顾Li（·，Tik-1，Tik）定义（2.11）为PdTikmartingale，Si（·，Tik）的演化-1，Tik）必须以PdTik的方式指定-1-鞅。多曲线L'EVY远期价格模型13对于远期利率的起始值，我们设定li（0，Tik-1，Tik）=EdTikLi（Tik-1，Tik）= FRA（0，Tik-1，Tik），其中FRA（0，Tik-1，Tik）表示教科书中关于Tik日期的远期利率协议的当前市场利率-1和Tik。然后由i（0，Tik）给出正向价差的初始值-1，Tik）=1+δiLi（0，Tik-1，Tik）Fd（0，Tik-1，Tik），（2.13），其中Fd（0，Tik-1，Tik）也可通过结合（2.2）和（2.10）的市场数据获得。更准确地说，（2.13）右侧的数量是从多重期限结构曲线中获得的，这些曲线是通过使用特定期限存款、远期利率协议和掉期的数据自举得到的。下面，我们将开发两种建模方法，以不同程度的可伸缩性来交换模型中想要实现的属性。2.2.1. 型号（a）。为了获得最大的可处理性，我们在第一种方法中允许乘法远期利差的值小于等于负的加法利差的值。为此，我们对Si（·，Tik）进行建模-1，Tik）作为普通指数。我们从以下输入开始，可以将其解释为Si（·，Tik）的挥发度-1，Tik）。（MFP.a）对于每个i∈ {1，…，m}和每个到期日Tik-1.∈ Tiwith k公司∈{1，…，ni}，存在一个有界的、连续的、确定性函数γi（·，Tik-1） 由γi（·，Tik）给出-1） ：（[0，T*] → Rd+t 7→ γi（t，Tik-1） =（γi，1（t，Tik-1), . . .

，γi，d（t，Tik-1） ）其中，我们要求的值为1λd，j（t，Tik-1） +γi，j（t，Tik-1)≤ M、 对于所有t∈ [0，T*] 和j∈ {1，…，d}。同样，常数M来自假设（EM），我们设置γi（t，Tik-1） =（0，…，0）对于t>Tik-1、我们假设∈ {1，…，m}和每对日期Tik-1，TikthatSi（t，Tik-1，Tik）Si（0，Tik-1，Tik）=exptZγi（s，Tik-1） dLTik公司-1s+tZbi（s，Tik-1） ds公司其中LTik-1在第2.1小节和漂移项bi（·，Tik）中定义-1） chosensuch是不是-1，Tik）是PdTik-1-鞅，namelybi（t，Tik-1) = -hγi（t，Tik-1） ，ctγi（t，Tik-1） Ti公司-ZRd公司ehγi（t，Tik-1） ，xi- 1.- hγi（t，Tik-1） ，xiFTik公司-1t（dx）。14 E.EBERLEIN，C.GERHART和Z.Grbaby引理2.1，我们有FD（t，Tik-1，Tik）Fd（0，Tik-1，Tik）=exptZXj∈Jikλd（s，Tj-1） dLTiks+tZXj∈吉克hλd（s，Tj-1） ，w（s，Tj，Tik）i+bd（s，Tj-1，Tj）ds！和Fd（·，Tik-1，Tik）是PdTik鞅。这一远期价格过程同时代表了以下指标变化的密度过程，即DPDTIK-1PDTIK公司Ft=Fd（t，Tik-1，Tik）Fd（0，Tik-1，Tik）。使用表示法（2.12）和应用（2.9），我们得到了远期利率（·，Tik-1，Tik）来自1+δiLi（t，Tik-1，Tik）=Si（t，Tik-1，Tik）Fd（t，Tik-1，Tik）=1+δiLi（0，Tik-1，Tik）exptZγi（s，Tik-1） dLTik公司-1s+tZbi（s，Tik-1） ds！×exptZXj∈Jikλd（s，Tj-1） dLTiks+tZXj∈吉克hλd（s，Tj-1） ，w（s，Tj，Tik）i+bd（s，Tj-1，Tj）ds=1+δiLi（0，Tik-1，Tik）exptZ公司Xj公司∈Jikλd（s，Tj-1） +γi（s，Tik-1)DLTIK+tZhbi（s，Tik-1） +hγi（s，Tik-1） ，w（s，Tik-1，Tik）i+Xj∈吉克hλd（s，Tj-1） ，w（s，Tj，Tik）i+bd（s，Tj-1，Tj）ids！。备注：在该模型中，远期参考利率以及δi-远期利率可根据当前市场情况变为负值。特别是，初始利率可能已经是负数。请注意，从正（负）初始利率开始并不意味着利率随时间保持正（负）。2.2.2. 型号（b）。

现在，我们将指定一个模型，如果初始利差已经大于1，则该模型将确保乘法远期利差大于1。这相当于相加利差的正性。多曲线L'EVY远期价格模型15我们在这里已经提到，衍生品的定价变得比模型（a）中的更难处理。与模型（a）中一样，我们需要波动率函数满足每个i∈ {1，…，m}和每个到期日Tik-1.∈ Tiwith k公司∈{1，…，ni}，有一个有界的，连续的，确定性函数γi（·，Tik-1） 由γi（·，Tik）给出-1） ：（[0，T*] → Rd+t 7→ γi（t，Tik-1） =（(R)γi，1（t，Tik-1), . . . , γi，d（t，Tik-1） ）其中，我们要求的值为1λd，j（t，Tik-1） +γi，j（t，Tik-1)≤ M、 对于所有t∈ [0，T*] 和j∈ {1，…，d}。我们设置γi（t，Tik-1） =（0，…，0）对于t>Tik-1、对于任何i∈ {1，…，m}和每对日期Tik-1，Tikwe假设si（t，Tik-1，Tik）- 1Si（0，Tik-1，Tik）- 1=经验值tZ′γi（s，Tik-1） dLTik公司-1s+tZ’bi（s，Tik）-1） ds公司,（2.14）其中“bi（t，Tik-1) = -h′γi（t，Tik-1） ，ct′γi（t，Tik-1） Ti公司-ZRd公司ehγi（t，Tik-1） ，xi- 1.- h′γi（t，Tik-1） ，xiFTik公司-1t（dx）。（2.15）注意si（t，Tik-1，Tik）=1+（Si（0，Tik-1，Tik）- 1） 经验值tZ′γi（s，Tik-1） dLTik公司-1s+tZ'bi（s，Tik-1） ds公司你可以看到Si（·，Tik-1，Tik）是PdTik-1-通过（2.15）定义的指数补偿器选择鞅。以与上一小节类似的方式，我们得到了1+δiLi（t，Tik）的表示-1，Tik），命名为1+δiLi（t，Tik-1，Tik）=Dd（t，Tik-1，Tik）exptZXj∈Jikλd（s，Tj-1） dLTiks！+Di（t，Tik-1，Tik）exptZhXj∈Jikλd（s，Tj-1） +γi（s，Tik-1） 怠速！，16 E.EBERLEIN、C.GERHART和Z。

GRBAC我们设置的位置DD（t，Tik-1，Tik）：=Fd（0，Tik-1，Tik）exptZXj∈吉克bd（s，Tj-1，Tj）+hλd（s，Tj-1） ，w（s，Tj，Tik）ids！andDi（t，Tik-1，Tik）：=Fd（0，Tik-1，Tik）（Si（0，Tik-1，Tik）- 1） exptZdi（s，Tik-1，Tik）ds！带DI（s，Tik-1，Tik）：=Xj∈吉克hλd（s，Tj-1） ，w（s，Tj，Tik）i+bd（s，Tj-1，Tj）+？bi（s，Tik-1） +h′γi（s，Tik-1） ，w（s，Tik-1，Tik）i.注意，对于初始值，我们有关系fD（0，Tik-1，Tik）（Si（0，Tik-1，Tik）- 1） =1+δiLi（0，Tik-1，Tik）-Yj公司∈Jik[1+δLd（0，Tj-1，Tj）]。3、capsLet l的定价公式∈ {1，…，m}。期限为δl，到期日为t的caplet的时间t价格∈ 特兰语打击K，代表t≤ T和T+δl=Tk∈ 对于一些k∈ {1，…，n}，由cpl（t，t，δl，K）给出：=δlBdt（Tk）EdTkLl（T，Tk）- K+英尺= Bdt（Tk）EdTk1+δlLl（T，T，Tk）- （1+δlK）+英尺= Bdt（Tk）EdTkFd（T，T，Tk）Sl（T，T，Tk）-Kl+英尺= Bdt（Tk）（Zkt）-1EdT*ZkT公司Fd（T，T，Tk）Sl（T，T，Tk）-Kl+英尺（3.1）式中▄Kl：=1+δlK和zkt：=Qj公司∈JT公司*TkFd（T，Tj-1，Tj）Fd（0，Tj-1，Tj），Tk<T*1，Tk=T*.我们做出以下假设（VOL）。每升∈ {1，…，m}和所有T∈ [0，T*], 波动率函数可分解为λd（t，t）=λd（t）λ（t）γl（t，t）=γl（t）λ（t）多重曲线l'EVY远期价格模型17和'γl（t，t）=γl（t）λ（t），其中λd，γland'γl：[0，t*] → R+和λ：[0，T*] → RDA是确定性和连续性函数。向量λ（t）在λk（t）的意义上有界≤ 每个t∈ [0，T*], k∈ {1，…，d}和常数M<M。此外，我们假设∧l（T，Tn）：=Xj∈JTnTλd（Tj-1） +γl（T）<R或R=1+M-M和所有T∈ T同样，我们假设∧l（T，Tn）：=Xj∈JTnTλd（Tj-1） +γl（T）<所有T∈ T让我们定义随机变量XT：=RTλ（s）dLT*砂考虑其扩展特征函数ДXTunder PdT*可表示为ДXT（z）=expTZθs（izλ（s））ds.

（3.2）比较Eberlein和Raible（1999，Lemma3.1），了解此表示的详细信息。回想一下，LT的扩展累积量*关于PdT*由θt（z）=hz，ctzi+ZRd给出ehz，xi- 1.- 赫兹，xi英尺*任意z的t（dx）∈ C定义的地方。我们将采用基于傅立叶的估值方法，以使caplet的时间-0价格公式在数值上可访问。我们将（3.1）的右侧（t=0）作为支付函数fk的期望值，Lk应用于XT。自Zk起≡ 1我们得到CPL（0，T，δl，K）=Bd（Tk）EdT*fk、lK（XT）. （3.3）函数fk，lk的显式形式将借助（2.9）表达式1+δlLl（T，T，Tk）=Fd（T，T，Tk）Sl（T，T，Tk）18 E.EBERLEIN，C.GERHART和Z.Grbac的相应形式以及密度（对于k≤ n- 1） ZkT=expTZXj∈JT公司*Tkλd（s，Tj-1） dLT公司*s+TZXj公司∈JT公司*Tkbd（s，Tj-1，Tj）+1{k≤n-2} Xj公司∈JTn公司-1Tkhλd（s，Tj-1） ，w（s，Tj，T*)我ds！。3.1. 数字。在本小节和下一小节中，我们推导了两种模型变量的caplet价格公式（3.3）的数值有效形式。3.1.1. 型号（a）。对于任何k∈ {1，…，n-1} ，我们有fk，lK（x）：=(R)Dl（T，T，Tk）exp(Xj公司∈JTnTλd（Tj-1） +γl（T）x）-KlAd（T，Tk）扩展Xj公司∈JTnTkλd（Tj-1） x个!+andfn，lK（x）：=^Dl（T，T，Tn）exp(Xj公司∈JTnTλd（Tj-1） +γl（T）x）-Kl+其中，我们将'Dl（T，T，Tk）：=^Dl（T，T，Tk）Ad（T，Tk）^Cl（T，Tk）设置为^Dl（T，T，Tk）：=1+δlLl（0，T，Tk）expTZhbl（s，T）+hγl（s，T），w（s，T，Tk）i+Xj∈JTkT公司hλd（s，Tj-1） ，w（s，Tj，Tk）i+bd（s，Tj-1，Tj）ID！Ad（T，Tk）：=expTZXj公司∈JT公司*Tkbd（s，Tj-1，Tj）+1{k≤n-2} Xj公司∈JTn公司-1Tkhλd（s，Tj-1） ，w（s，Tj，T*)我ds！多曲线L'EVY远期价格模型19和^Cl（T，Tk）：=expTZhXj∈JTkTλd（s，Tj-1） +γl（s，T），w（s，Tk，T*)ids！。阻尼支付函数定义为gk，lK（x）：=e-Rxfk，lK（x）表示任意x∈ R和一些R∈ R、 提案3.1。