考虑负利率的多曲线L拞evy远期价格模型

caplet的时间-0价格由cpl（0，T，δl，K）=Bd（Tk）π给出∞ZRe公司^1XT（u- iR）^fk，lK（iR-u）du（3.4），其中^fk，lK表示fk的扩展傅立叶变换，lK表示^fk，lK（z）=eizxkh-\'Dl（T，T，Tk）ePj公司∈JTnTλd（Tj-1） +γl（T）xkPj公司∈JTnTλd（Tj-1） +γl（T）+iz+~KlAd（T，Tk）ePj∈JTnTkλd（Tj-1） xkPj公司∈JTnTkλd（Tj-1） +Izif适用于任何k∈ {1，…，n- 1} 和^fn，lK（z）=eizxnh-^Dl（T，T，Tn）ePj公司∈JTnTλd（Tj-1） +γl（T）xnPj公司∈JTnTλd（Tj-1） +γl（T）+iz+~Klizi，其中z∈ C带XJ∈JTnTλd（Tj-1） +γl（T）<Im（z），对于所有T∈ T，xkis函数的唯一根hk，l（x）：=^Dl（T，T，Tk）^Cl（T，Tk）expXj公司∈JTkTλd（Tj-1） +γl（T）x个-Kl，xnis函数的唯一根hn，l（x）：=^Dl（T，T，Tn）expXj公司∈JTnTλd（Tj-1） +γl（T）x个-Kland R=1+M-嗯。证据傅里叶变换^fk，lk和^fn，lk的显式形式源自简单的积分练习。为了得到caplet公式，我们应用了Eberlein、Glau和Papapantoleon（2010）的定理2.2。因此，条件（C1）：gk，lK∈ Lbc（R），（C2）：MXT（R）<∞ 和（C3）：^gk，lK∈ 必须验证该定理的L（R）。20 E.EBERLEIN、C.GERHART和Z.Grbac函数hk、lare严格递增且连续，具有不同的符号，因此具有唯一的根xk∈ R代表每k∈ {1，…，n}。使用假设（EM），从（3.2）推导出的MXT的显式形式和λ的有界性可以找到R∈ （0，1+米-使条件（C2）满足。我们选择R=1+M-MMin假设（VOL）。召回∧l（T，Tn）<rf所有T∈ T阻尼函数gk，lk明显是连续的和fork∈ {1，…，n- 1} 以gk、lK（x）为界≤\'Dl（T，T，Tk）e（λl（T，Tn）-R） xk。因此，这些函数也是可积的。对于k=n，我们必须用^Dl（T，T，Tn）替换'Dl（T，T，Tk）。为了验证条件（C3），我们使用Berlein、Glau和Papapantoleon（2010）的引理2.5。

让我们考虑Sobolev空间H（R）：={g∈ L（R）|g存在且g级∈ L（R）}其中g表示函数g的弱导数。由于这个引理，可以证明gk，lK∈ H（R），但这很清楚，因为函数的形式和上面给出的上界。因此，定理2.2。在上述文件中，意味着CPL（0，T，δl，K）=Bd（Tk）2πZRИXT（u- iR）^fk，lK（iR-u） 杜。被积函数的一个明显的对称性导致了表示（3.4）。3.1.2. 型号（b）。对于任何k∈ {1，…，n-1} ，我们有fk，lK（x）：=▄Dd（T，T，Tk）expXj公司∈JTnTλd（Tj-1） x个+Dl（T，T，Tk）exp[Xj∈JTnTλd（Tj-1） +γl（T）]x-KlAd（T，Tk）扩展Xj公司∈JTnTkλd（Tj-1） x个!+andfn，lK（x）=Dd（T，T，Tn）expXj公司∈JTnTλd（Tj-1） x个+ Dl（T，T，Tn）扩展hXj公司∈JTnTλd（Tj-1） +γl（T）ix-Kl！+，多曲线L'EVY远期价格模型21，其中我们将▄Dd（T，T，Tk）：=Dd（T，T，Tk）Ad（T，Tk）Cd（T，Tk）▄Dl（T，T，Tk）：=Dl（T，T，Tk）Ad（T，Tk）Cl（T，Tk）with Cd（T，Tk）：=expTZXj∈JTkThλd（s，Tj-1） ，w（s，Tk，T*)ID！andCl（T，Tk）：=expTZhXj∈JTkTλd（s，Tj-1） +γl（s，T），w（s，Tk，T*)ids！。提案3.2。caplet的时间-0价格由cpl（0，T，δl，K）=Bd（Tk）π给出∞ZRe公司^1XT（u- iR）^fk，lK（iR-u）du（3.5），其中^fk，lK表示fk，lK的扩展傅立叶变换，允许表示^fk，lK（z）=eizxkh-Dd（T、T、Tk）ePj∈JTnTλd（Tj-1） xkPj公司∈JTnTλd（Tj-1） +iz-Dl（T，T，Tk）e[Pj∈JTnTλd（Tj-1） +γl（T）]xkPj∈JTnTλd（Tj-1） +γl（T）+iz+～KlAd（T，Tk）ePj∈JTnTkλd（Tj-1） xkPj公司∈JTnTkλd（Tj-1） +Izif适用于任何k∈ {1，…，n- 1} 和^fn，lK（z）=eizxnh- Dd（T、T、Tn）ePj∈JTnTλd（Tj-1） xnPj公司∈JTnTλd（Tj-1） +iz- Dl（T，T，Tn）e[Pj∈JTnTλd（Tj-1） +γl（T）]xnPj∈JTnTλd（Tj-1） +/γl（T）+iz+~Klizi，其中z∈ C带XJ∈JTnTλd（Tj-1） +γl（T）<Im（z）22 E.EBERLEIN、C.GERHART和z。

GRBAC适用于所有T∈ T，xkis函数的唯一根hk，l（x）：=Dd（T，T，Tk）Cd（T，Tk）expXj公司∈JTkTλd（Tj-1） x个+ Dl（T，T，Tk）Cl（T，Tk）exp[Xj∈JTkTλd（Tj-1） +γl（T）]x-Kl，xnis函数的唯一根hn，l（x）：=Dd（T，T，Tn）expXj公司∈JTnTλd（Tj-1） x个+ Dl（T，T，Tn）扩展hXj公司∈JTnTλd（Tj-1） +γl（T）ix-Kland R=1+M-嗯。证据该证明类似于命题3.1的证明。在这种情况下，wede fine∧d（T，Tn）：=Xj∈JTnTλd（Tj-1） ，并回顾∧l（T，Tn）<rf对于所有T∈ T那么，对于k∈ {1，…，n- 1} 函数gk，lK以gk，lK（x）为界≤~Dd（T，T，Tk）e∧d（T，Tn）-R） xk+~Dl（T，T，Tk）e（(R)∧l（T，Tn）-R） xk因此是可积的。对于k=n，必须用Ddand Dl替换系数▄Ddand▄Dl。表示（3.5）再次遵循被积函数的对称性。4、型号标定4.1。数据和方法。我们将模型变量（a）和（b）校准为彭博社提供的后危机时期观察到的欧洲市场数据。将使用基于不同期限的存款市场利率、远期利率协议和掉期（OIS和欧元银行同业拆借利率指数）以及欧元银行同业拆借利率指数（Euribor）上针对多个到期日和履约的上限报价。CAP报价以依赖于模型的隐含波动率（INBP）的形式给出。更具体地说，我们将考虑2016年9月15日六个月欧元银行同业拆借利率指数的上限波动率报价。因此，将考虑两个期限结构，即基本曲线和六个月曲线。由于我们观察到一段负利率时期，标准对数正态市场模型不再适用于这种情况。根据市场实践，在这种情况下，我们使用Bachelier模型的多重曲线形式，从波动率报价中得出上限的市场价格。最后，CAPLETS的市场价格由cap价格得出。

我们还强调，所考虑的DCAP合同包含负罢工率。多曲线L'EVY远期价格模型23基于多曲线自举（参见Ametrano和Bianchetti（2013）以及Gerhart和L¨utkebohmert（2018）），我们构建了与期限相关的分形。基本曲线是通过引用OIS费率构建的。对于每个期限，我们使用短期到期存款利率、中期远期利率协议利率和中长期到期掉期利率的相应市场报价。在引导过程中使用精确的三次样条插值。这种方法还保证了曲线的足够平滑。我们在右侧底部的图2中展示了校准日期2016年9月15日的自举基本、三个月和六个月FRA曲线。六个月或六个月的基本和FRA曲线值用作校准程序中的输入数据。如公式（3.4）和（3.5）所示，需要沿榫结构的基本曲线值。我们在图3中给出了这些值。请注意，由于利率的负性，贴现曲线在开始时增加。此后，我们将介绍校准程序。设Θ为可容许的模型参数集，T为所考虑债务的到期日，K为执行率。我们将模型和中等规模市场caplet价格之间的平方相对误差之和降至最低∈T，K∈Kcaplet型号价格（θ，T，K）- caplet市价（T，K）caplet市价（T，K）关于θ∈ Θ. 这种优化是通过使用随机化的Powellalgorithm完成的（见Powell（1978））。然后，我们使用校准的模型参数^θ来确定CAP的模型隐含挥发率。

模型价格的隐含波动率和报价波动率之间的差异说明了校准的准确性。此步骤适用于车型（a）和（b）。0.850.900.951.001.052016-09-152017-09-152018-09-152019-09-152020-09-152021-09-152022-09-152023-09-152024-09-152025-09-152026-09-15饱和度基本折扣曲线如图3所示。2016年9月15日的自举基本曲线。24 E.EBERLEIN、C.GERHART和Z.Grbaturity2.53.03.54.04.55.0罢工率-0.20.00.20.4市场和模型波动性020406080（a）到期日2.53.03.54.04.55.0履约率-0.20.00.20.4市场和模型挥发性020406080（b）图4。2016年9月15日两种车型的校准结果。模型规格和校准。首先，让我们指定驱动过程LT*PdT下*. 我们将使用参数α、β、δ和u的正态逆高斯（NIG）L'evyprocess（参见Eberlein（2009））必须满足0≤ |β|<α，δ>0和u∈ R、 最后一个参数u未进入估价公式。我们的选择应确保*等于零。NIG过程的分布完全由其累积量函数θ（z）=uz+δ决定pα- β-pα- （β+z）其中Re（z）∈ (-α -β, α -β). 我们强调，只有导致L'evy测量FT的参数*满足性假设（EM）是可以接受的。根据假设（VOL），如果我们指定λ，λd，γland'γl，则确定波动性结构。我们选择λ（t）=exp（at），λd（t）=p'ad't，γl（t）=p'al't，'γl（t）=p'al't。因此，四个实值参数a、ad、aland描述了波动性。我们强调，根据假设（VOL），波动率函数必须满足有界性限制。

因此，校准需要在多个约束条件下进行非线性优化。在图4的两个图表中，网格表示2016年9月15日的市场波动面。图中的点表示校准模型的隐含波动率。特别是图表还显示，这两种模型都能够应对2016年9月盛行的负罢工利率和负利率。表1给出了与校准模型相对应的参数。多曲线L'EVY远期价格模型25校准参数模型变量（a）NIG波动率结构α53.66666 a-3.498342β-47.62499 ad-0.009348δ0.105083 al0.000548模型变量（b）NIG波动性结构α2.35391 a-6.003533β0.87951 ad0.002264δ14.6241？al0.001549表1。2016年9月15日。参考Ferdinando M.Ametrano和Marco Bianchetti。你总是想知道关于多重利率曲线引导的一切，但又不敢问。SSRN 22195482013提供。Maximilian Beinhofer、Ernst Eberlein、Arend Janssen和Manuel Polley。利维利率模型中的相关性。《定量金融》，11（9）：1315–13272011。马可·比安切蒂和马西莫·莫里尼。金融危机后的利率模型。2013年风险账簿。Damiano Brigo和Fabio Mercurio。利率模型-理论与实践：微笑、通货膨胀和信贷。斯普林格金融公司。Springer，第二版，2006年。St’ephane Cr’epey、Zorana Grbac和Hai Nam Nguyen。银行间风险的多曲线jm模型。《数学与金融经济学》，6（3）：155–190，2012年。克里斯塔·库奇罗、克劳迪奥·丰塔纳和亚历山德罗·格诺阿托。多屈服曲线建模的通用HJMFramework。《金融与随机》，20（2）：267–320，2016年。克里斯塔·库奇罗、克劳迪奥·丰塔纳和亚历山德罗·格诺阿托。多场曲线模型。数学金融（即将出版），2017年。恩斯特·埃伯林。

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