考虑负利率的多曲线L拞evy远期价格模型

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英文标题：
《Multiple curve L\\\'evy forward price model allowing for negative interest
  rates》
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作者：
Ernst Eberlein, Christoph Gerhart and Zorana Grbac
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In this paper we develop a framework for discretely compounding interest rates which is based on the forward price process approach. This approach has a number of advantages, in particular in the current market environment. Compared to the classical as well as the L\\\'evy Libor market model, it allows in a natural way for negative interest rates and has superb calibration properties even in the presence of extremely low rates. Moreover, the measure changes along the tenor structure are simplified significantly. These properties make it an excellent base for a post-crisis multiple curve setup. Two variants for multiple curve constructions are discussed. Time-inhomogeneous L\\\'evy processes are used as driving processes. An explicit formula for the valuation of caps is derived using Fourier transform techniques. Based on the valuation formula, we calibrate the two model variants to market data.
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中文摘要：
在本文中，我们开发了一个基于远期价格过程方法的离散复合利率框架。这种方法有许多优点，特别是在当前的市场环境下。与经典的以及列维Libor市场模型相比，它以一种自然的方式允许负利率，并且即使在利率极低的情况下也具有极好的校准特性。此外，度量沿语旨结构的变化被显著简化。这些特性使其成为危机后多重曲线设置的良好基础。讨论了多曲线构造的两种变体。时间不均匀的Levy过程被用作驱动过程。利用傅立叶变换技术导出了CAP估值的显式公式。根据估值公式，我们将两个模型变量与市场数据进行校准。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Multiple_curve_Lévy_forward_price_model_allowing_for_negative_interest_rates.pdf (2.96 MB)

2022-6-10 02:06:50 上传

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关键词：负利率 Mathematical Quantitative Construction mathematica

考虑负利率的多曲线L'EVY远期价格模型。在本文中，我们开发了一个基于远期价格过程方法的离散复合利率框架。这种方法有很多优点，特别是在当前的市场环境下。与经典的以及列维Libor市场模型相比，它以一种自然的方式允许负利率，并且即使在极低利率的情况下也具有超级校准特性。此外，指标沿期限结构的变化被显著简化。这些特性使其成为危机后多重曲线设置的良好基础。讨论了多曲线构造的两种变体。时间非均匀L'evy过程被用作驱动过程。利用傅立叶变换技术导出了CAP估值的显式公式。根据估值公式，我们将两个模型方差与市场数据进行校准。传统上，欧元银行同业拆借利率和EONIA OIS利率之间的利差为几个基点，因此从建模的角度来看，可以认为可以忽略不计。这在2007-2009年金融危机中发生了根本性的变化。通过观察不同期限的利差动态，可以很容易地确定危机的开始日期（见图1）。它的图表看起来像发烧图。根据具体期限的不同，2007年8月初，该比例飙升至40至70个基点。随着莱曼兄弟公司（LehmanBrothers）的倒闭，发烧图表在2008年9月中旬达到顶峰，当时的数值超过了200个基点。市场已经意识到，在以前没有重新认识到的情况下，存在着巨大的风险。

欧元银行同业拆借利率小组银行的选择机制是这样的，人们可以假设这些银行基本上是无风险的。随着危机的发生，这些银行很容易面临流动性和信贷风险，因此必须正确定价这种风险。这直接反映在价差中。这些利差的存在迫使金融业修正经典的单曲线固定收益模型，并考虑多曲线方法。在本文中，我们根据Eberlein和¨Ozkan（2005）提出的列维远期过程框架的精神，在远期价格过程（简称远期过程）的基础上开发了这样一个模型。图2显示了自2005年（子图（a））至2007年2009年、2012年、2014年至2016年（子图（f））FRA利率的历史演变。这些曲线通过自举法从存款市场报价、远期利率协议和掉期日期2018年5月8日获得。感谢欧洲金融研究所的资助。2 E.EBERLEIN、C.GERHART和Z.GRBAC（有关技术细节，请参阅GERHART和L–utkebohmert（2018））。短期和中期的短期远期利率协议需要存款利率，而中期和长期的期限结构部分则来自掉期报价。可以清楚地看到，2007年，风险期限相关曲线（三个月和六个月）开始偏离基本贴现曲线。图（c）-（f）显示了基本曲线和三个月曲线以及三个月和六个月曲线之间的显著差异。此外，我们强调，所有三个期限结构在2016年到期之前均为负值。因此，要开发的模型必须能够处理负利率和与期限相关的期限结构。

图2所示的曲线代表模型的起始值。正如伦敦银行同业拆借利率市场模型（LMM）中所述，利率是通过沿离散期限结构的反向归纳构建的。之所以选择向前过程方法，是因为它在分析和数值上都优于LMM，LMM是离散复合利率的行业标准模型。从分析的角度来看，主要优点是采用了更易于处理的测量更改技术，该技术保留了驾驶过程的结构，从而允许避免任何近似值，如冻结漂移假设。从经济角度来看，鉴于当前的市场环境，必须强调远期过程方法自然允许负利率。由于建模的基本数量是一个按比例和变动的利率，这种方法在精神上与变动的LMM类似，后者已成为行业对当前低利率和负利率状况的回应。然而，在移位LMM中，需要对负值的下边界进行任意选择或统计成像，这里的负速率范围来自将正向过程定义为正等式（见下面的等式（2.1））。另一个重要特性与校准有关。提取过程的增量直接转化为利率的增量，这将获得极好的校准结果。LMM的情况并非如此，在LMM中，驾驶过程的增量按当前费率水平进行缩放（有关明确表达式，请参阅Eberlein、Eddahbi和LalaouiBen Cherif（2016）的介绍）。特别是在利率极低的市场中，这会产生严重的问题。

即使利率发生微小变化（校准中的波动性爆炸），也需要驱动过程发生巨大变化。就L'evy过程的使用而言，我们还提到，与布朗运动驱动的Tomodel相比，这些过程足够灵活，可以在不同到期日的利率之间产生经验上可观察到的相关性水平。Beinhofer、Eberlein、Janssen和Polley（2011）对此方面进行了深入研究。让我们再次强调，forwardprocess方法还具有沿着基调结构平滑测量变化的优势。在最近处理多曲线建模的论文中，我们提到了Cuchiero、Fontana和Gnoatto（2016、2017）。在第一种方法中，开发了以半鞅为驱动过程的基于乘法利差的Anaproach，而在第二种方法中，作者研究了a ffine模型设置。在后一种情况下，需要对驱动过程的状态空间进行一些约束，以确保多曲线多曲线L’EVY远期价格模型30500150200250Jul/05Jul/06Jul/07Jul/08Jul/09Jul/10Jul/11Jul/12Jul/13Jul/14Jul/15Jul/16DateEuribor的预期行为-OIS利差（单位：bps）利差123M6M（a）02004009/05/06/07/08/09/10/11/12/13/14/15/9/16日期FRA-远期汇率（以bps为单位）汇率贴现远期FRA 3x6价差（b）图1。左图：不同期限的欧元银行同业拆借利率（EURIBOR）和EONIA OIS利率之间利差的演变。右图：远期利率和远期利率的差异。传播，如期限相关曲线的正性和单调性。相反，evy远期价格框架允许在选择提款流程时具有充分的灵活性。Grbac、Papapantoleon、Schoenmakers和Skovmand（2015）开发了另一个多曲线伦敦银行同业拆借利率模型，重点关注利差的积极性。

此外，我们还提到了Cr'epey、Grbac和Nguyen（2012），其中除了HJM框架中的基本风险利率外，还考虑了单一风险利率。在Eberlein和Gerhart（2018）中，开发了具有任意数量的期限相关曲线的全边缘模型。此外，该模型考虑了双价格经济环境下的多条曲线，因此允许利用出价和询价。关于多曲线模型的详尽文献综述，我们提到了Henrard（2014）、Grbac和Runggaldier（2015）的两部专著以及Bianchetti和Morini（2013）的文章集。Henrard（2010）引入了乘数效应的概念，并在Cuchiero等人（2016、2017）中进一步使用，在短期利率（即期利差）和Heath-Jarrow-Morton框架下，利差定义为连续的期限结构。本文将离散复合乘法远期利差建模为一个离散的期限结构，该结构以适当的方式向前过程方法扩展。本文的组织结构如下。在第一节中，我们介绍了驱动过程并讨论了其主要特性。模型如第2节所示。第3节涉及利率期权定价。最后一节专门介绍模型的实施和校准。1、驱动过程T*∈ R+：=[0，∞) 为有限时间范围，B：=(Ohm, G，F=（Ft）t∈[0，T*], P）满足Jacod和Shiryaev（2003，定义I.1.2和定义I.1.3）通常条件的随机基础。作为驱动过程，我们考虑了B上的一个d维时间非齐次L'evy过程L=（L，…，Ld），其中Li=（Lit）t∈[0，T*]每一个我∈ {1，…，d}。这意味着L是一个具有独立增量的F适应过程，4 E.EBERLEIN、C.GERHART和Z。

GRBAC0123005-09-072006-09-072007-09-072008-09-072009-09-072010-09-07到期FRA利率（以bps为单位）COLOR3M6MBASIC（a）0123452007-12-272008-12-272009-12-272010-12-272011-12-272012-12-27到期FRA利率（以bps为单位）COLOR3M6MBASIC（b）012342009-11-262010-11-262011-11-262012-11-262013-11-262014-11-26到期FRA利率（bps）color3M6MBasic（c）2012年12月-03-152013-03-152014-03-152015-03-152016-03-152017-03-15饱和度FRA费率（单位：bps）颜色3M6MBasic（d）0.00.40.82014-10-022015-10-022016-10-022017-10-022018-10-022019-10-02到期FRA利率（以bps为单位）COLOR3M6MBASIC（e）-0.250.000.252016-09-152017-09-152018-09-152019-09-152020-09-152021-09-15饱和度FRA比率（bps）颜色3M6MBasic（f）图2。从市场数据得出的自举tenordependent FRA曲线的历史演变。多曲线L'EVY远期价格模型5绝对连续特征（缩写为PIIAC，见Jacod和Shiryaev（2003））。这种类型的随机过程也称为加法过程（见Sato（1999））。我们强调L是一个d维半鞅。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设L的每个组成部分的路径是c\'adl\'ag。我们还假设每个组件都在零中。Lti的法律由其特征函数E【eihu，Lti】=exptZhihu，bs（h）i确定-hu、csui+ZRdxi eihu- 1.- ihu，h（x）iFs（dx）ID！（u）∈ Rd）。（1.1）这里，h是截断函数，通常取h（x）=x·1{| x|≤1} ，bs（h）=（bs（h），bds（h））：[0，T*] → Rd，cs=（cijs）i，j≤d： [0，T*] → Rd×d，不对称非负定义d×d矩阵，FSI是everys的L'evy度量∈ [0，T*], i、 e.积分（| x）的（Rd，B（Rd））上的非负度量|∧1） 满意度Fs（{0}）=0。我们用h·、·i表示欧几里德标量积，并且····是相应的范数。RDI上的标量积通过为每个w，z设置hw，zi：=Pdj=1wjzj扩展为复数∈ Cd。

因此，h·，·i不是这里的厄米特标量积。我们进一步假设T*Zh | bs（h）|+kcsk+ZRd（| x|∧ 1） Fs（dx）ID<∞,其中k·k表示d×d-矩阵集上的任意范数。三元组（b、c、F）=（bs、cs、Fs）s∈[0，T*]表示L的局部特征。我们还对指数矩作出如下假设。假设（EM）。存在常数M，ε>0，使得t*ZZ | x |>1exphu，xiFt（dx）dt<∞,对于每个u∈ [-（1+ε）M，（1+ε）M]d.特别是，在不损失一般性的情况下，我们假设r | x |>1exphu，xiFt（dx）<∞, 对于所有t∈ [0，T*].假设（EM）等于E[表达式，Lti]<∞ 对于所有t∈ [0，T*] 安度∈ [-(1 + )M、 （1+)M] d.我们将考虑利率模型，其基本过程是关于L的随机积分的指数。这些基本过程必须是风险中性测度下的鞅。因此，先验地，他们必须有明确的期望，这是由假设（EM）精确保证的。（EM）的一个直接后果是，随机变量L具有有限的期望值。因此，代表6 E.EBERLEIN、C.GERHART和Z.GRBAC（1.1）很简单，可以写成[eihu，Lti]=exptZhihu，bsi-hu、csui+ZRdxi eihu- 1.- ihu，xiFs（dx）ID！。（1.2）我们强调，特征b现在不同于（1.1）中的特征。我们将始终使用（1.2）中出现的局部特征（b、c、F）。假设（EM）的另一个含义是过程L是一个特殊的半鞅。因此，它的规范表示由简单的形式lt=tZbsds+tZ给出√csdWs+tZZRdx（uL- ν） （ds，dx）（1.3）（见Jacod和Shiryaev（2003，推论II.2.38）），其中W=（Wt）t∈[0，T*]是标准的d维布朗运动，√cs是cs平方根的可测量版本，uLis是L跳跃的随机测量，补偿器ν（ds，dx）=Fs（dx）ds。

显然，（1.3）中的积分应该从组件的角度来理解。我们强调，假设（EM）对于实现该模型的所有感兴趣的过程都是有效的。特别是（EM）适用于由广义双曲分布生成的过程。概率测度P下与过程L相关的（扩展）累积量过程用θsand表示，θs（z）=hz，bsi+hz，cszi+ZRdehz，xi- 1.- 赫兹，xiFs（dx）每z∈ Cd定义此函数时，需要Re（z）∈[-(1 + )M、 （1+)Kallsen和Shiryaev（2002）给出了半鞅累积量过程的详细分析。注意，如果L是（齐次）L'evy过程，即如果L的增量是平稳的，则三元组（bs、cs、Fs）以及θsdo不依赖于s。在这种情况下，我们写θforshort。然后等于L.2的累积量（也称为对数矩生成函数）。多曲线L'evy远期价格模型2.1。基本曲线。设T：={T，…，Tn}表示任意离散的n阶结构∈ N和0≤ T<T<···<Tn=T*. 对于任何k∈ {1，…，n}我们设置δk：=δ（Tk-1，Tk）是日期Tk之间的年份分数-1和tka根据特定的天数计算惯例（见Brigo和Mercurio，2006年，第I.1.2节）。我们假设期限结构是等距的，因此我们可以为每个k指定δ：=δkF∈ {1，…，n}。因此，所考虑的离散结构T与tenorδ明确相关。我们用Bdt（T）表示在T到期的债券在T时的价格。对于每个连续日期Tk-1，Tk∈ 带k的T∈ {1, . . .

，n}，我们定义了多重曲线L'EVY远期价格模型7时间t的离散复合远期参考利率≤ Tk公司-1byLd（t，Tk-1，Tk）：=δBdt（塔卡-1） Bdt（Tk）- 1.与该参考利率相对应的远期价格规定为FD（t，Tk-1，Tk）：=Bdt（Tk-1） Bdt（Tk）。显然，我们有关系fD（t，Tk-1，Tk）=1+δLd（t，Tk-1，Tk）。（2.1）参考利率Ld对应的利率曲线将被称为基本曲线或贴现曲线。此后，目标是为远期价格过程Fd（·，Tk）开发一个易于处理的模型-1，Tk）。请注意，forwardprice过程建模意味着指定连续债券价格比率的动态。让LT*= （L1，T*, . . . , Ld，T*) 是基于随机基定义的时间非齐次L'evy过程(Ohm, 英尺*, F=（英尺）t∈[0，T*], PdT公司*) 具有局部特征（0，ct，FT*t） 满足指数矩条件（EM）。此过程将用作模型的驱动过程。我们解释概率测量PdT*作为与基本曲线和结算日期T相关的前向鞅测度*. 开发基本曲线模型需要以下两个要素。（DFP.1）债券价格的初始期限结构由BD确定：（[0，T*] → (0, ∞)T 7→ 给出了Bd（T）。Ametrano和Bianchetti（2013）考虑的自举方法可用于构建初始期限结构。我们通常采用OIS费率的报价来推导此曲线。然后通过关系fD（0，Tk）获得前向处理的起始值-1，Tk）=Bd（Tk-1） Bd（Tk），每k∈ {1，…，n}。（2.2）（DFP.2）对于任何到期日Tk-1.∈ 带k的T∈ {1，…，n}有一个有界的，连续的，确定性函数λd（·，Tk-1） 由λd（·，Tk）给出-1） ：（[0，T*] → Rd+t 7→ λd（t，Tk-1） =（λd，1（t，Tk-1), . . .