做市监管的最优做市费

当η=1时，交易所更倾向于规避风险。最后，我们假设买方成本c=0.5滴答。5.1交易所对利差和市场流动性的影响我们首先比较最佳收缩时获得的最佳利差δa+δbat时间0与无收缩时获得的最佳利差δa+eδB。图1绘制了不同初始库存值Q的最佳价差∈ {-\'q，···，\'q}。图1：有/无交易所激励政策的最优初始利差比较。我们在图1中观察到，初始价差在很大程度上不取决于初始库存（因为考虑的时间间隔[0，T]不是太小），它被简化为做市商和交易所之间的最优合同。这并不奇怪，因为在我们的案例中，交易所旨在通过向做市商提出激励合同，从而减少差价，从而增加市场订单流量。实际上，这种现象发生在整个交易期间[0，T]。为了看到这一点，我们生成了一个标记，即买方成本是根据标准（26）选择的。我们预计最佳利差将缩小到一个刻度。还要注意，这里的刻度只是一个单位，而不是真正的市场参数。5000条市场情景路径，并计算初始库存Q=0时[0，T]的平均价差。结果如图2所示。图2:95%置信区间的[0，T]平均利差，有/无激励。由于在交易所的激励政策下，交易期间的利差更为紧密，因此市场订单的到达强度更为重要，因此市场流动性更高，如图3所示。图3:95%置信区间下[0，T]的平均订单流量，有/无激励。现在，我们在图4中分别考虑投标方和询价方。

我们看到，当投资额为正且非常大时，^δaan和δaar为负，这意味着做市商准备以低于有效价格的价格出售，以吸引市场订单并降低库存风险。相反，如果库存为负值且非常大，在这两种情况下，其询价都远远高于有效价格，以提示买方市场订单的到来。然而，由于在我们的案例中，每次市场订单到达时，汇率都会对做市商进行报酬，因此我们得到，合约^δais的ask价差小于eδa。价差的出价部分有一个对称的结论。图4：有/无激励政策的最优买卖价差。我们现在来看看波动性对利差的影响。在（23）中获得的最优契约通过^ZS项诱导了库存风险分担现象。因此，当波动性增加时，有/无激励政策的情况下的利差差异变得不那么重要，见图5，其中我们考虑了当交易所对做市商的不同波动值的激励政策下的初始库存设置为零时，两种情况之间的最优初始利差。图5：有激励和无激励情况下的初始最优利差差异。5.2对交易所和做市商损益的影响我们假设Q=0。回想一下，（3）中定义的损益δ表示做市商在给定策略δ下损益（P&L）的交易部分。在我们的案例中，做市商在时间t的基础总损益表现最佳，用损益表示？t、 is：PL？t=PL^δt+Y^Y，^Zt，其中Y^Y，^Zt对应于（23）右侧的数量，t替换为t。

现在，我们将该数量与基准PLeδt进行比较，基准PLeδt对应于最佳利润和损失，无需交易所干预。制作PL？在δt可比较的情况下，我们选择^Yin（23），以便做市商在这两种情况下获得相同的效用，即^Y=kσlog（eu（0，Q））。因此，在有无外汇干预的情况下，市场的情况会有所不同。我们生成了5000条市场情景路径，并比较了图6中有无激励政策的损益平均值。图6：有/无激励的做市商的平均损益，95%置信区间。由于^Yis在这两种情况下都会获得相同的效用，因此在交易期结束时，这两个平均损益非常接近。在这两种情况下，损益的变化似乎也是相同的。与做市商观点的唯一不同之处在于，在合同的情况下，由于交易所的补偿，损益已经在时间0做出，然后略有波动。这是因为他正在赚取差价，但要连续支付“优惠券”H（^Zt，Qt）-σγ（^ZSt+Qt）合同中的dt。在没有外汇干预的情况下，做市商会因价差而在整个交易期间增加其损益。现在，我们比较这两种情况下交易所的收益和损失。当它对做市商实施激励政策时，交易所的损益由c（Nat+Nbt）给出- Y^Y，^Zt。当交易所为中性时，其损益仅为c（Nat+Nbt）。我们在图7中比较了这两个数量。图7：有/无激励的交易所平均损益，95%置信区间。我们发现，由于初始支付，合约交易所的初始损益为负值。然而，在没有交易所激励政策的情况下，它最终超过了损益，标准差较小。

因此，交易所的激励政策被证明是成功的。对于做市商来说，这两种配置确实是等效的，但交易所在以最佳方式收缩时获得了更多收入。这是因为该合同触发了更多的市场订单。最后，我们绘制做市商和交易所的累计平均损益（独立于初始付款的选择）。我们观察到，在最优合同情况下，它总是更大。图8：有/无激励的交易所和做市商损益，95%置信区间。5.3激励政策对交易成本的影响我们考虑一个单一的市场接受者。在没有交易所的情况下，在特定参数和做市商的最佳反应下，该投资者平均购买200股[0，T]以上的股票。为了与有汇率干预的情况进行比较，我们在用最优合约模拟市场时修改了强度（2）中出现的参数A。选择此新值是为了让投资者在一段时间内平均购买相同数量的资产（200）。这相当于A=0.9秒-1.

我们在图9中确认，在这两种情况下，平均订单流量是一致的。图9：在有和无激励政策的情况下，通过采取不同的强度基础，在[0，T]上设置类似的平均ask订单流量；95%置信区间。最后，图10比较了市场接受者的平均交易成本EδRTδatdNat,无论有无激励，都表明利差的减少会导致投资者的交易成本显著降低。图10:95%置信区间的[0，T]平均交易成本，有/无激励。6扩展：对称交易所竞争在本节中，我们通过考虑调查多家交易所竞争案例的第一步，扩展了之前的研究。6.1纳什均衡中的对称交易所我们在此假设N个相同的交易所显示一个做市商的报价，交易流量在交易所之间平均分配。更准确地说，每次市场接受者在市场上行动时，他的1号交易被分成N个1/N大小的交易，分布在所有交易所。这相当于将每家交易所收到的市价从c改为c/N。这种情况当然很典型，但了解这一点显然是研究与不同做市商进行不同交易所案例的一个非常重要的初步准备。此外，正如我们将在下文中看到的，这里考虑的情况已经比前面章节中处理的oneexchange的情况复杂得多。做市商收到由N个交易所提供的报酬的总和，表示为ξ=ξ+ξ，其中ξ和ξ分别是代表性交易所提供的报酬和N个交易所提供的报酬的总和- 1其他。

因此，ξ继承了之前对ξ所做的所有技术假设（仅针对一家交易所），因为做市商的问题类似于考虑ξ的补偿。因此，市场制造商的问题返回一个最优价差δ（ξ），因此考虑ξ，定理3.1成立。考虑到交换的对称性假设，任何交换都在solvingVE（|ξ）=supξ∈CE^δ（ξ+～ξ）h- e-η（cN（NaT+NbT）-ξ） i，（29）其中，ξ是固定的，η>0是N个交易所的常见风险规避参数。定义6.1（纳什均衡和对称纳什均衡）。N元组（ξe）1≤e≤对于任何e，Nis都是纳什均衡∈ {1，…，N}我们有ve（ξe）=e^δ（PNj=1ξj）h- e-η（cN（NaT+NbT）-ξe）i.A合同的N元组（ξe）1≤e≤Nis对称Nash均衡如果（ξe）1≤e≤Nis是一个纳什均衡，使得ξ=···=ξN。我们用SN表示：=ξ: (ξ, . . . , ξ) ∈ 中国大陆所有这些对称纳什均衡的集合。从定理3.1可以看出，任何对称纳什均衡ξ∈ SNI由一对（▄y，▄Z）诱发∈ [是+∞) ×Z，使得ξ=NY▄y，▄ZT=▄yN+ZTN▄Zrdχr+γσ2N（▄ZSr+Qr）dr-NXi=a，bHi（▄Zir，Qr）dr，=▄yN+ZTζrdχr+γσ2N（NζS，0r+Qr）dr-NXi=a，bHi（Nζi，0r，Qr）dr，（30）其中ζ=ZN，而hi（z，q）=λ（δ（z））σk+σγεiq<q，其中（εb，εa）=(-1, 1).我们现在用ξ0，N表示-1（N- 1） -由（30）定义的相同合同的元组ξ，并且我们设置Y：=N-1N年。

Asξ+（N- 1） ξ=YY+￠Y，ZT，通过设置ζ：=Z- （N）- 1） ζ，对于某些（Y，Z）∈ [是+∞) ×Z每次交换的问题归结为ve（ξ0，N-1） =supY，ζE^δ（ζ+（N-1） ζ）h- e-η（RT（Pi=a，b（cN-ζit）dNit-ζStdSt）-Y-RTG（ζt，ζt，Qt）-αtdt）i，其中Y的范围为[^Y-Y+∞), ζ ∈ Z、 andG（ζ，ζ，q）=γσ（ζS+（N- 1） ζS，0+q）-Pi=a，bHi（ζi+（N- 1） ζi，0，q），αt=N-1Nγσ（NζS，0t+Qt）-Pi=a，bHi（Nζi，0t，Qt）.Yi上的优化立即得到解决，导致ve（ξ0，N-1） =supζ∈ZE^δ（ζ+（N-1） ζ）h-e-η（RT（Pi=a，b（cN-ζit）dNit-ζStdSt）-Y-RTG（ζt，ζt，Qt）-αtdt）i，（31）与Y=^Y-Y.definition 6.2（马尔可夫纳什均衡）。对称纳什均衡ξ∈ 对于某些确定性函数ζ，如果（30）中出现的系数ζ由ζt=ζ（t，Qt）给出，则SNis为马尔可夫函数。备注6.1。注意，如果ξ是一个分解为（30）的对称纳什均衡，则我们必然有y=y，ζ（ζ）=ζ，其中ζ（ζ）表示（31）的优化器。如果至少存在一个对称纳什均衡，这就可以描述任何对称纳什均衡。6.2主要结果与前面研究的一个交换问题类似，我们引入了HJB方程Vt=t=-1和tv（t，q）- ηv（t，q）^F（t，q，v（t，q），v（t，q+1），v（t，q- 1） ）=0，（32），带^F（t，q，y，y+，y-) = supζSFS（t，q，ζS）+supζF（t，q，y，y+，ζ）1q<q+supζF（t，q，y，y-, ζ） 1q>-q、 andFS（t，q，z）=-^HS（q，ζS，0（q），z）-ησ| z |，F（t，q，y，y，z）=-λ^δ（z+（N- 1） eζ（y，y））yyeη（z-cN）η-η-σk+σγ-λ^δ（Neζ（y，y））（N）- 1） σN（k+σγ），^HS（q，~z，z）=σγh（z+（N- 1） z+q）-N- 1N（Nz+q）i，ζS，0（q）=-γη+Nγq，eζ（y，y）=^ζ（y，y）+1- NNc。因此，通过表示F的bζS，bζN优化器，我们分别得到bζS（q）=ζS，0（q），bζN（y，y）=eζ（y，y）。因此，HJB方程（32）简化为tv（t，q）+γησ2N（Nγ+η）qv（t，q）-^CNv（t，q）h1I{q>-\'\'q}v（t，q）v（t，q- 1)Nkση+1I{q<\'q}v（t，q）v（t，q+1）Nkσηi=0，（33），边界条件为vt=t=-1，其中^CN=Ce（N-1） kσησγ+N（ση+k）σγ+（ση+k）。我们现在设置u=(-五）-kNση。

通过直接替换，我们得到以下线性方程ut=t=1和tu（t，q）- FCN，CN（q，u（t，q），u（t，q+1），u（t，q- 1） ）=0，t∈ [0，T），（34），其中CN=kγησ2（Nγ+η）和CN=^CNkNση。与第4节类似，我们推断v（T，q）=-u（t，q）-σηkNwhere u（t，q）=bq·e（t-t） BN1和BN=-CN？qCN。。。。。。。。。中国大陆-CNqCN。。。。。。。。。中国大陆-CN？q← 附录A.3中报告的第q行直接计算为函数u提供了另一种形式：u（t，q）=Xp≥0[CN（T- t） ]pp！Xj公司≥0[CN（T- t） ]jj！e-CN（T-t） （q+j-p） 1I{| q+j-p|≤\'\'q}。（35）下面的结果建立了一个唯一的对称纳什均衡的存在性，而且它是马尔可夫的。证明推迟至附录A.6。定理6.1。存在唯一的对称纳什均衡ξ∈ 由ξ=bYN+ZTζrdχr+γσ2N（NζS，0r+Qr）dr定义-NXi=a，bHi（Nζi，0r，Qr）dr，（36）其中，对于i∈ {a，b}和（εb，εa）=(-1，1），ζS，0r=-γη+NγQr，ζi，0r=cN+η日志v（r，Qr）v（r，Qr）- εi）+ 日志1.-σγη（ση+k）（σγ+k）.特别是，这种独特的对称纳什均衡是马尔可夫均衡。备注6.2。存在很多（非对称）纳什均衡。例如，根据合同（ξe）e≤由ξe=Yj+ZTζrdχr+γσN（NζS，0r+Qr）dr定义-NXi=a，bHi（Nζi，0r，Qr）dr是任何yj满足性pnj=1Yj=^Y的（非对称）纳什均衡。备注6.3。问题的对称性使我们能够找到均衡的自然候选，通过使用验证程序（见证明的第一步），我们证明它确实是一个（对称的）纳什均衡。这是因为所考虑的积分微分方程允许光滑解。如果现在有人想将这项研究扩展到雇佣一个做市商的交易所的异质寡头垄断，那么解决方案将与[23]中解释的完全耦合HJB方程系统紧密相关。

然而，对于这样一个系统，光滑解的存在性尚不清楚。6.3经济见解说明做市商在N-对称交换情形不同于（36）中一种交换情形的最优契约ξ。因此，即使在对称纳什均衡中的简单对称交换设置中，我们的结果也不平凡，值得关注。注意，我们还有一个类似于命题4.1中u的表示：u（t，q）=EheRTt(-CN（Qt，qs）+λs+λs）dsi，（37），其中Qt，qs=q+Rstd（Nu-Nu）和（N，N）是强度（λs，λs）=CN（1I{Qs）的二维点过程-<\'\'q}，1I{Qs->-\'\'q}）。通过使用与第4.2.3节中相同的参数（并基于[3，13]中的渐近展开），我们注意到Nζbt~ -CNKQT和Nζat~CNkQt。同样，当库存高度正时，交易所向做市商提供激励，以吸引买入市场订单，并阻止额外的卖出市场订单，反之亦然，以吸引负库存。随着Cn相对于N的减少，这种影响随着平台数量的增加而减少。因此，从做市商的角度来看，当交易所数量增加时，观察到的价差就会减少。注意，当N变大时，NζS，0r~ -Qr。换言之，对于大量平台而言，库存风险转移到交易所的寡头垄断中。附录A。1可预测的代表性以下结果可能是众所周知的，我们报告其完整性，因为我们无法找到精确的参考。引理A.1。让(Ohm, F、 P，F）是过滤概率空间，其中F=FW∨Fn是布朗运动W和d维可积点过程N=（N，····，Nd）的右连续完成过滤，补偿器a=（a，···，Ad）。

那么，无论如何-鞅X存在一个可预测的过程Z=（ZW，Z，···，Zd），使得xt=X+zwsdws+dXi=1ZtZis（dNis- dAis）。证据为了简单起见，我们取d=1。设P是与Mt=Nt相关的鞅问题的解- Atand Wt.根据[18]中的定理III.4.29，为了证明引理A.1，我们需要建立P的唯一性。我们用pw表示P在W上的条件定律。我们首先证明了M仍然是PW下的鞅。为此，我们考虑Bs∈ Fsand想证明EPW1IBs（Mt- 毫秒）= 0，对于0≤ s≤ t型≤ T让C∈ FWT。我们的目标是证明这一点1IBs（Mt- 毫秒）i=E1IC1IBs（Mt- 毫秒）= 根据布朗鞅的鞅表示定理，我们可以写出1IC=αs+RTsφudWu，其中αs=E[1IC | FWs]和（φu）u≥0是可预测的进程。利用M的鞅性质，我们得到αs1IBs（Mt- 毫秒）= 然后W和M是正交鞅，我们推导出ehztsφudWu1IBs（Mt- Ms）i=0，因此，使用[18]中的定理III.1.21，pw是唯一的概率度量，因此M是以W为条件的F-鞅。最后，通过积分，P.A.2交换哈密顿量最大化的唯一性将被P.A.2交换哈密顿量最大化的唯一性所取代。以下结果来自（繁琐的）直接计算。引理A.2。对于所有v，v<0，定义Д（z）：=Ae-k（z） +cσhveη（z-c）- vηγ1.- e-γ（z+（z） （）+ 1.i、 z∈ R、 使用（z） ：=(-δ∞) ∨ （z）∧ δ∞和（z） ：=-z+log（1+σγk）γ，对于某些参数δ∞满足δ∞≥ C∞+日志vv型η, 带C∞:= c+对数（1+σγk）η+γ1.-σγη（k+σγ）（k+ση）η. （38）那么，Д有一个最大点z？给出人：z？=c+η对数vv1-σγη（k+σγ）（k+ση）带Д（z？）=-简历vv型kση，（z？）≤ δ∞,C=Aσηk1+σγk-kσγ1.-σγη（k+σγ）（k+ση）1+kση。A、 3（21）和（35）的调整由D和J表示，矩阵由条目Dq定义，r=qq=rand Jq，r=1Ir=q+1+1Ir=q+1，-q≤ p、 r≤ q