做市监管的最优做市费

当没有激励报酬ξ=0时，效用最大化问题（5）归结为Avellanda&Stoikov[3，13]最优做市问题。2.3交易所最优合约问题交易所对市场中发生的每个市场订单收取c>0的固定费用，然后在T时收取总收入c（NaT+NbT）- ξ. 合同ξ的选择取决于效用最大化问题：=supξ∈CE^δ（ξ）h- e-η（c（NaT+NbT）-ξ） i，（6）参见[18]中的定理III.3.11；δ的一致有界性保证了Lδ是鞅，参见[32]。在实践中，一些交易所在固定费用中增加了与交易现金金额成比例的部分。我们的分析可以扩展到更详细的费用表。我们选择constantfee是出于诱导的简单性，这对于推导准显式解至关重要。此外，我们将看到，在使用最优合约时，交易所在某种程度上与c的价值无关，见第4.2.3节。其中η>0是交易所的绝对风险规避参数，可接受合同集C是满足参与约束VMM（ξ）的所有合同的集合≥ R、 其中，保留水平R<0可能成为无契约的效用水平，以及可积性条件：supδ∈AEδheηξi<∞ 和supδ∈AEδhe-γξi<∞, 对于某些η>η，γ>γ。

（7） 由于Na和Nb是强度有界的点过程，而库存过程Q有界，因此从H¨older不等式的简单应用可以看出，问题（5）和（6）中的预期都是有限的。在本文中，我们假设参与水平R是允许合同集非空的：C=nξ，FT可测量，因此VMM（ξ）≥ R和（7）满足6=.3解决做市商问题我们从解决做市商面临任意合同的问题开始ξ∈ C由交易所提出。3.1做市商对（δ，z，q）的最优响应∈ [-δ∞, δ∞]×R×Z，δ=（δa，δb）和Z=（zS，za，zb），我们定义（δ，Z，q）：=Xi=b，a1- e-γ（zi+δi）γλ（δi）1I{εiq>-\'q}和H（z，q）：=sup |δa|∨|δb|≤δ∞h（δ，z，q）。（εb，εa）=(-1, 1). 对于任意常数Y∈ R和可预测过程z=（ZS，Za，Zb），带rt|ZSt |+| H（Zt，Qt）|dt<∞, 我们介绍了过程yy，Zt=Y+ZtZardNar+zbrndbr+ZSrdSr+γσ（ZSr+Qr）- H（Zr，Qr）dr，（8），我们用Z表示所有这些过程Z的集合，使得（7）中的第一个可积条件满足ξ=Y0，ZTandsupδ∈阿苏普特∈[0，T]Eδ[E-γY0，Zt]<∞, 对于某些γ>γ。（9） 显然，Z 6= 因为它包含所有有界的可预测过程和 Ξ :=YY，ZT:Y∈ R、 Z∈ Z、 和VMM（YY，ZT）≥ R.下一个结果表明，这些集合实际上是相等的，并确定了市场创造价值和相应的最佳响应。为了证明这些集合的相等性，我们将问题归结为表示任何合同ξ的问题∈ Cξ=YY，zt表示某些（Y，Z）∈ R×Z，在文献中称为后向随机微分方程问题。我们避免使用此术语，因为我们的分析不需要本文献的任何结果。定理3.1。（i） 任何合同ξ∈ 对于某些（Y，Z），C有唯一的表示形式ξ=YY，ZT∈ R×Z。

特别是，C=Ξ。（ii）根据本声明，做市商效用价值为VMMξ= -e-γY，所以Ξ=nYY，ZT:Z∈ Z、 和Y≥^Yo，^Y：=-γ测井(-R） ，具有以下最优买卖策略^δit（ξ）=（青春痘），i∈ {b，a}，其中（z） ：=(-δ∞) ∨n- z+γ测井1+σγko∧ δ∞. （10） 第A.4节报告了第（i）部分的证明，并按照桑尼科夫（Sannikov）[30]的方法，通过使用做市商的动态连续效用过程获得。定理3.1（ii）的证明设ξ=YY，zt为（Y，Z）∈ R×Z.我们首先证明了jmm（δ，ξ）≤ -e-γy对于所有δ∈ A、 表示Yt：=YY，Zt+Pi=A，bRtδitdNit+QtdSt。设置hδ：=h（δ，.），它遵循it^o的公式thatde-γYt=γe-γYt-h类- （Qt+ZSt）dSt-Xi=b，a1- e-γ（Zit+δit）γdeNi，δt+H- hδt（Zt，Qt）dti，意味着-γ是Pδ-局部子鞅。根据条件（9），Na和Nb的强度一致有界性和H¨older不等式（e-γYt）t∈[0，T]是统一整数。利用Doob-Meyer分解定理，我们得出R·γe-γYt--（Qt+ZSt）dSt-Pi=b，a1-e-γ（Zit+δit）γdeNi，δt, 是鞅。由此得出jmm（δ，ξ）=Eδ-e-γYT= -e-γY-EδhZTγE-γYtH（Zt，Qt）-h（δt，Zt，Qt）dti公司≤ -e-γY。另一方面，当且仅当δ被选为哈密顿量H（dt×dP）的最大值时，等式在最后一个不等式中成立-a、 e.），从而得出（10）给出的唯一最大化子^δ（ξ），然后导出JMM（^δ（ξ），ξ）=-e-γY。这就完成了VMM（ξ）=-e-γy具有最佳响应^δ（ξ）。4设计最优合同4.1以风险中性交易为例。为了理解最优合约的形状，我们首先研究了交易所为风险中性的情况，对应于η为0的极限，我们通过显式计算得出最优补偿。在当前设置中，weset q=+∞, 从而放宽了对库存的有界限制。

根据定理3.1，交换问题简化为ve=supY≥^YsupZ∈ZE^δ（YY，ZT）hc（NaT+NbT）- YY，ZTi=supZ∈ZE^δ（Y^Y，ZT）hc（NaT+NbT）- Y^Y，ZTi，（11）带^δit=（Zit），t∈ [0，T]，i∈ {a，b}，其中，由于（10）给出的做市商最优响应^δ（YY，ZT）不依赖于目标函数在Y中递减的Yso，在Y上实现了最大化。定理4.1。考虑风险中性交换情况η&0，并假设δ∞≥σk-σk+σγ+γ测井（1+σγk）- c、 那么交换问题（11）的最优契约是：^ξ=^Y+c（NaT+NbT）-ZTQrdSr-σTk+σγ，（12）具有最佳做市商效应：δat（ξ）=δbt（ξ）=σk-σk+σγ+γ测井（1+σγk）- c、 证明。通过设置▄c=c+σk+σγ，注意e^δ（Y^Y，ZT）hcXi=b，aNiT-Y^Y，ZTi=E^δ（Y^Y，ZT）hZTXi=b，aλ（^δit）（~c-Zit）dt-^Y-ZT公司γσ（ZSr+Qr）dri，所以（11）中的优化器由ZS给出，？r=-Qr、Za、，？r=Zb，？r=▄c-σk.注意，（12）给出的最优合约强调做市商的支付与交易所的支付之间通过termRTQrdSr进行的风险转移。4.2指数风险规避交换定理3.1，并求解关于Y的最大值≥^Yas在前面的小节中，交换问题（6）归结为vE=eη^YvE，其中vE：=supZ∈ZE^δ（Y^Y，ZT）h- e-ηc（NaT+NbT）-Y0，ZTi。

（13） 4.2.1简化交换问题的HJB方程我们对控制问题vEof（13）的方法是推导相应HJB方程的解v，并通过随机控制中的标准验证参数来证明建议的解v与值函数vE一致。根据标准动态规划方法，（13）的HJB方程为tv（t，q）+HEq、 v（t，q），v（t，q+1），v（t，q- 1)= 0，q∈ {-\'q，···，\'q}，t∈ [0，T），（14），带边界条件vt=t=-1，使用哈密顿量HE：[-‘q，’q】×(-∞, 0]→ R： HE（q，y，y+，y-) = HE（q，y）+1I{q>-\'q}他（y，y-) + 1I{q<\'q}HE（y，y+，（15）and HE（q，y）=supzs∈RhE（q，y，zs），hE（q，y，zs）=ησyγ（zs+q）+ηzs,HE（y，y）=supζ∈RhE（y，y，ζ）和hE（y，y，ζ）=λ(ζ)hyeη（ζ-c）- y1 + η1 - e-γ(ζ+(ζ))γi、 根据下面的引理A.2，HEare的最大化子^z=（^zs，^za，^zb）由：^zs（t，q）=-γγ+ηq，^za（t，q）=^ζv（t，q），v（t，q- 1), ^zb（t，q）=^ζv（t，q），v（t，q+1）, （16） ^ζ（y，y）=ζ+ηlogyy年, ζ=c+ηlog1.-σγη（k+σγ）（k+ση）.这里，δ∞非常大，因此引理A.2的条件（38）始终满足，即δ∞≥ C∞+η支持∈[0，T]supq∈[-\'q，\'q-1]日志v（t，q）v（t，q+1）, （17） 带C∞引理A.2中给出，我们将检验我们的验证论点，即HJB方程的候选解将验证它。再次使用引理A.2中的计算报告，我们将HJB方程（14）改写为tv（t，q）+γησ2（γ+η）qv（t，q）-Cv（t，q）h1I{q>-\'\'q}v（t，q）v（t，q- 1)kση+1I{q<\'q}v（t，q）v（t，q+1）kσηi=0，（18），边界条件为vt=t=-1，其中常数Cis由C=C（σγk，σηk）给出，其中C（α，β）：=Aβ（1+α）-α1.-αβ(1 + α)(1 + β)1+β.受【13】的启发，我们现在主要观察到，通过引入u：=(-五）-kση。

通过直接替换，我们得到以下线性微分方程Ut=t=1，和tu（t，q）-FC，C（q，u（t，q），u（t，q+1），u（t，q-1） ）=0，t<t，| q |≤ \'q，（19）Fm，m（q，y，y，y）：=mqy- m级y1I{q<\'q}+y1I{q>-\'\'q}, C： =kγησ2（γ+η），C：=kCση。该方程可以用R2'q+1表示-值函数u（t）=u（t，q）q∈{-\'q，。。。，仅变量t的\'q}，作为线性常微分方程tu=-Bu，其中B=-质量控制。。。。。。。。。C-CqC。。。。。。。。。C-C'q← 第q行是一个三对角矩阵，带有标记线-\'q，\'q.用bq表示R2\'q+1的向量，除位置q外，其余均为零，即bq，j=1I{j=q}表示j∈ {-\'q，\'q}，and 1=P\'qq=-(R)qbq。那么，这个常微分方程有一个唯一的解u（t）=e（t-t） B1，因此u（t，q）=bq·e（t-t） B1和v（t，q）=-bq·e（T-t） B类-σηk.（20）在下一节中，我们将证明HJB方程（14）的解v与约化交换问题（13）的值函数相吻合，具有（16）中给出的最优控制^z（t，q），从而得出最优契约Y^Y，^Zt与^Zt=^z（t，Qt-).让我们注意到，我们可以提供上述函数u的更明确表达式：u（t，q）=Xp≥0[C（T- t） ]pp！Xj公司≥0[C（T- t） ]jj！e-C（T-t） （q+j-p） 1I{| q+j-p|≤\'\'q}，（21）关于纳什均衡中N个对称交换的更一般情况，请参见附录A.3。我们通过函数u的一种（还有一种）替代表示来结束本节，这便于推导一些有用的属性。提案4.1。将u和v定义为（20）。函数u可以表示为asu（t，q）=EheRTt(-C（Qt，qs）+λs+λs）dsi，其中Qt，qs=q+Rstd（Nu- Nu）和（N，N）是强度（λs，λs）=C（1I{Qs）的二维点过程-<\'\'q}，1I{Qs->-\'\'q}）。特别是，我们有e-C？qT≤ u≤ e2CT和条件（17）在δ∞≥ ∞:= C∞+σk（2C+C'q）T.（22）证明。请注意，u是一个光滑有界函数。

表示f（x）=-Cx+C（1I{x>-\'q}+1I{x<\'q}），Ms=eRstf（Qt，qu）duu（s，Qt，qs），t≤ s≤ T现在我们证明M是鞅，因此u（t，q）=Mt=E[Mt]=Ee-RTtf（Qt，qs）ds, 作为u（T，）=为了证明M是阿马丁格尔，我们用It^o的公式计算出=u（s，Qt，qs）f（Qt，qs）+tu（s、Qt、qs）ds+Cu（s、Qt、qs-+ 1) - u（s、Qt、qs-)dNs+Cu（s、Qt、qs-- 1) - u（s、Qt、qs-)dNs。因为u是（19）的解，所以我们得到dms=Cu（s、Qt、qs-+ 1) - u（s、Qt、qs-)dMs+Cu（s、Qt、qs-- 1) - u（s、Qt、qs-)dMs，其中（M，M）=（N-R·λsds，N-R·∧sds）是鞅。M的鞅性质现在来源于u的有界性，因为它可以通过表达式（20）进行验证。最后，界| Qt，qs |≤ “‘q’直接导出u的公布界限，当（22）满足时，这又意味着条件（17），因为v=-u-σηk.4.2.2主要结果我们现在验证上一节推导的函数v是交易所的价值函数，具有（16）中给出的最优反馈控制（^zs、^za、^zb），从而确定交易所向做市商提出的唯一最优合约。定理4.2。假设δ∞≥ ∞, 具有∞由（22）给出，由（20）定义u和v。然后交换问题（6）的最优合约由^ξ=^Y+ZT^ZardNar+^zbrndbr+^ZSrdSr给出+γσ^ZSr+Qr- H^Zr，Qrdr，（23）带^ZSr=^zs（r，Qr-),^Zar=^za（r，Qr-), 和^Zbr=^zb（r，Qr-) 如（16）所述。市场制造商的最佳效益由^δat=^δat（^ξ）=-^Zat+γlog（1+σγk），^δbt=^δbt（^ξ）=-^Zbt+γlog（1+σγk）。（24）备注4.1。请注意，在我们的模型中，交易所观察市场庄家设定的价差。然而，如上所述，差价不能成为合同的一部分。因此，在做市商参与约束下，定理4.2中的第二个最佳交易问题与交易所可以在合同ξ中使用观察买卖政策δ的第一个最佳交易问题不一致。

相应的计算报告见下文附录A.7。4.2.3讨论和解释制定最佳合同的过程具有自然的解释。根据命题4.1，我们可以得到（至少对于大型库存）^Zi=ξ+ηlog的直觉u（t，Qt-)u（t，Qt-- εi）~|q|→+∞ξ+εiηCkQt-, 我∈ {a，b}，（25）回顾（εb，εa）=(-1, 1). 下面的图4在时间t=0时证实了这一点（因为^Zband^za分别与最优买卖价差相反）。事实上，在【13，第4节】和【3，第3.2节】中的数值模拟和渐近展开中，任何时候都可以看到这一点，其中考虑了与我们相同类型的偏微分方程。因此，当库存高度正时，交易所会向做市商提供激励，以吸引买市订单，阻止做市商更多地卖出市场订单，反之亦然。积分可以理解为风险分担术语。更准确地说，RTQRDSR对应于投资风险QtSt的价格驱动部分。因此，交易所支持该风险的γγ+η比例，以便做市商在有库存的情况下保持合理的报价。请注意，对于高度规避风险的交易所，即η%∞,ZT^ZardNar+^zbrndbr≈ c（NaT+NbT），^ZSr≈ 0，表示交易所将总费用转移给做市商。这就是所谓的抛售效应，因为交易所将所有利益委托给做市商。到目前为止，我们一直关注制造商部分的报价问题，因为我们认为报价成本c是固定的。然而，我们的方法也使我们能够建议交换c的相关值。

实际上，我们看到，当采取适当行动时，交易所将固定的买方费用c的总额转移给做市商。因此，它与c的值无关，因为它的最优效用函数vE=v（0，Q）与买方成本无关，见（18）。然而，c在做市商提供的最佳利差中起着重要作用-2c+σklogu（t，Qt-)u（t，Qt-- 1） u（t，Qt-+ 1)-η对数1.-σγη（k+σγ）（k+ση）+γ对数（1+σγk）。此外，从数值计算或渐近发展（25），我们注意到u（t，q）u（t，q-1） 对于任何t和q，u（t，q+1）都接近于单位。因此，如果例如ExchangeTarget的价差接近一个刻度（有关最佳刻度大小和价差的详细信息，请参见[10，17]），则可以通过设置C来获得≈ -打上钩-η对数1.-σγη（k+σγ）（k+ση）+γ对数（1+σγk）。当σγ/k足够小时，该方程可降低toc≈σk-打上钩（26）这是设置接受者固定费用c的一个特别简单的公式，因为参数σ和k可以根据市场数据轻松估计。我们看到，波动率越高，买方成本应该越大。k的减少也是很自然的：如果k很大，当价差变大时，流动性会迅速消失，这意味着市场接受者对相对于有效价格的额外成本很敏感。因此，接受者的代价是，我们要感谢一位匿名裁判提出了这种解释。如图2所示，如果交易所想要维持合理的市场秩序，u不依赖费用c.small。5交易所对市场质量的影响在本节中，我们将我们的设置与没有交易所对做市活动的激励政策的情况进行比较，这与[3，13]中考虑的最优做市问题相对应。我们将[3]中的结果作为调查的基准，以强调激励政策对市场质量的影响。

我们将此案例称为中性交易案例。让我们首先回顾一下[3，13]中的结果。做市商的最优控制由δaandeδbare表示，作为库存qtbeyeδit=σklog的函数eu（t，Qt-)eu（t，Qt-- εi）+γlog（1+σγk），i∈ {b，a}，（εb，εa）=(-1，1），其中eu是线性微分方程eu的唯一解t=t=1和标准箱（t，q）- FfC，fC（q，eu（t，q），eu（t，q+1），eu（t，q- 1） ）=0，t<t，| q |≤ \'q，EC=σγkandeC=A（1+σγk）-（1+σγk）。在我们的例子中，从定理4.2获得的最佳引号^δaand^δBare满足∈ {b，a}，和（εb，εa）=(-1，1）：^δit=σklogu（t，Qt-)u（t，Qt-- εi）+γ测井（1+σγk）- c-η对数1.-σγη（k+σγ）（k+ση）.其中u是线性方程（19）的解。数值实验表明，当q变大时，u和eu迅速减小到零，导致v+（t，q）=log的计算不稳定u（t，q+1）u（t，q）, ev+（t，q）=对数eu（t，q+1）eu（t，q）, q∈ {-\'q，···，\'q- 1} ，这在最佳引号的表达式中至关重要。为了避免这种数值困难，我们指出v+和ev+是以下积分微分方程v的解+t=t=0和tv+（t，q）+FC，C（q，v+（t，q），v+（t，q+1），v-（t，q+1））=0，（27）ev+t=t=0和tev+（t，q）+FfC，fC（q，ev+（t，q），ev+（t，q+1），ev+（t，q- 1） ）=0，（28），其中（εb，εa）=(-1，1），Fα，β（q，y，y+，y-) = α（2q+1）- βXi∈{a，b}εieεiv+（t，q-εi）1I{εiq<\'q-1}- εieεiv+（t，q）。因此，我们将经典有限差分方案应用于（27）和（28）。在以下数字说明中，本着【13，第6节】的精神，我们对波动率σ=0.3的资产取T=600s。s-1/2（除非另有规定）。市场订单根据强度（2）驱动，A=1.5s-1和k=0.3s-1/2. 我们假设做市商的阈值库存为“q=50个单位”，并将其风险规避参数设置为γ=0.01。