全Black-Scholes-Merton模型之和：一种有效的定价方法

（3） 如果V是∑的平方根矩阵，满足V VT=∑，则观测值Sk（tk）可以与k（tk）d=Fkexp相关(-∑kk+Vk*z） ，（4）其中z是独立标准法线RVs的向量，Fk=Sk（0）e（r-qk）tkis t=0时观察到的tk前进价格。symbold=代表分配法中的平等。由于V乘以状态向量z，因此它被称为风险因子矩阵，或简单地称为因子矩阵。平方根矩阵V不是唯一的。虽然Cholesky分解C是一种选择，但任何从C旋转的矩阵，如正交矩阵Q的V=CQ，也是∑的平方根矩阵。然而，请注意，行向量的范数| Vk*| 在任何旋转下都是不变的；自| Vk起*|是第k项资产回报的方差| Vk*|= Vk公司*五、*k=∑kk。此外，V的Frobenius范数也是不变的，因为kV kF=Pk | Vk*|=Pk∑kk。看涨期权价格的远期价值变为N维积分，C=ZzXKWKKEXP(-∑kk+Vk*z）- K+n（z）dz，（5），其中n（z）是多变量标准正态PDF。3、集成方案3.1。第一维度上的单因素BSM公式。当单个布朗运动驱动所有资产时，BSM模型的解析可跟踪性可以扩展到多资产情况。考虑第一个维度的积分：CBS（˙z）=z∞-∞XkwkFkfk（˙z）扩展-Vk1+Vk1z- K+n（z）dz，（6）其中，对其他维度的依赖性被吸收到系数函数中，定义为fk（˙z）=exp-NXj=2Vkj+Vk*˙z对于˙z=（0，z，···，zN）T.（7），而˙z为便于计算，z的z=0，函数F的F（˙z）应位于F（z，··，zN）之下。请注意，对于所有k，fk（˙z）>0且E（fk（˙z））=1。

CBS（˙z）的值可以视为由单一布朗运动驱动的加权资产价格上的期权价格，其中远期价格为Fkfk（˙z），第k项资产的对数价格的标准偏差为vk1。只有在确定正payoff区域的情况下，才能对这种一维积分进行分析评估。然而，为了找到payoff的根，必须使用数值方法，如牛顿-拉斐逊法。如下文§4.2所述，V可以选择所有BSM模型7中的任意一个，即支付函数单调增加，且始终存在唯一根z=-d（˙z），方程xkwkfkfk（˙z）exp-Vk1+Vk1z= K、 （8）来自-d（˙z）至∞ yieldsCBS（˙z）=XkwkFkfk（˙z）N（d（˙z）+Vk1）- KN（d（˙z））。（9） 这是BSM公式的多资产扩展。原始BSM公式是单一资产情况的特例（N=1，t=t，w=1）：C=FN（d+V）- K N（d）表示d=对数（F/K）V-五、 （10）其中V是标量值，V=√Σ= σ√T尽管存在繁琐的数值寻根问题，但Z的解析积分仍发挥着重要作用，这不仅仅涉及积分中的一维缩减。首先，由于罢工时期权支付的尖角，第一个因素的数值积分需要最密集的离散化。因此，解析积分允许我们跳过计算成本最高的维度，尽管这是以数值寻根为代价的。其次，由于第一维度与因子矩阵旋转有一定程度的自由度，因此可以选择V，以利于随后的数值积分（见§4.2）。无论V的选择如何，第一个因子的积分都是精确的，计算成本也很低，因为它是分析性的。

最后，分析定价可以捕获尾部概率（例如，货币罢工后的远期期权价格），这是蒙特卡罗模拟或基于离散化的数值积分不容易做到的。3.2. 其他维度上的正交积分。可以使用数值求积法对其他维度进行积分。由于积分由正态分布密度加权，高斯-厄米特求积（GHQ）是最合适的选择。设{˙zm}和{hm}分别为与n（˙z）相关的GHQ的点和权重，生成于维度（z，··，zN）上。随后，期权价格变成如下加权和：C=Z˙zCBS（˙Z）n（˙Z）d˙Z=MXm=1hmCBS（˙zm）。（11） 这里，M是节点总数，M=QNj=2Mj，其中mj是j-thdimension的节点大小。因此，期权价格基于资产价格的线性组合，转换为（9）中多资产BSM价格的加权和，其中资产的远期价格为varyas Fkfk（˙zm）。此外，相同的积分方案可应用于看涨期权价格以外的利息数量。下面给出了几个例子。8 J.CHOIo看跌期权价格：P=MXm=1hmPBS（˙zm），其中PBS（˙z）=KN(-d（˙z））-XKWKFK（˙z）N(-d（˙z）- Vk1）。（12） o二元看涨期权价格：D=MXm=1hmN（D（˙zm））。（13） o远期价格增量Fk：Dk=wkMXm=1hmfk（˙zm）N（d（˙zm）+Vk1）。(14)3.3. 降维。由于该问题涉及因子矩阵V，因此它自然倾向于在主成分分析的背景下对低变因子进行降维。为尽量减少副作用，采用以下方法。在不丧失一般性的情况下，假设系数强度| V*j |按j的降序排列，目的是减少N<j的维数≤ N因为这些| V*j |很小。

因此，假设d（˙z）在此类ZJI上的变化也很小，并且对这些尺寸的依赖性被忽略为d（˙z）≈ d（¨z），其中¨z=（0，z，···，zN，0，···）是幸存维度的状态向量，为方便起见，在其余维度加上零。此外，符号d（¨z）应类似地解释为d（z，···，zN）。由于CBS（˙z）对降维的依赖性仅通过fk（˙z）传递，因此（11）对截断维的积分可以移动到（9），这可以通过分析来完成。由于滥用符号，fk（˙z）在这些维度上的积分可以类似地表示为fk（¨z）=exp-NXj=2Vkj+Vk*¨z. （15） 因此，即使在降维后，远期价格也可以保持为Fk=E（Fkfk（¨z））。之前的结果（8）、（9）和（11）在通过纯符号变化（N到N，˙z到¨z，以及fk（˙z）到fk（¨z））来减少维度的情况下保持显著一致。特别是，通过¨z上的正交积分（11），节点总数减少了toM=QNj=2Mj。如下文§5.3.4所述，这种降维对于亚洲期权定价至关重要。作为控制变量的远期价格。如果正交节点太稀疏，积分的误差是不可忽略的。这种误差可以通过使用远期价格Fkas控制变量来减少。设“fk”为数值计算的期望值fk（˙z），“fk=PMm=1hmfk（˙zm），它不完全等于1。例如，对于标准法线z，E（E-+z） 偏差比-6.3 × 10-3在GHQ评估下，有三个节点；它还偏离了-4.6 × 10-4实际值1的四个节点。因此，Fk（Fk）错误定价Fk- 1） 根据GHQ评估。此错误也存在于（11）和（12）的put调用奇偶校验中：C- P-Xk（wkFk）+K=XkwkFk（(R)fk- 1).

（16） 所有BSM模型之和9这导致了一些问题，例如相同执行价格的看跌期权和看涨期权的隐含波动率不一致。由于每个Fkis的灵敏度（delta）计算为（14），因此可以使用它们作为控制变量的系数来调整期权价格：C=C-XkDkFk（(R)fk- 1） ，P=P-Xk（Dk- wk）Fk（(R)Fk- 1). （17） 调整后价格的看跌期权平价Cand P完全成立。4、风险因素矩阵的最优选择4.1。说明性示例。通过一个简单的例子，说明了为什么一个简单的数值积分会产生缓慢的收敛，以及因子矩阵的适当旋转如何提高收敛性。考虑两项不相关资产（N=2）的一揽子看跌期权，参数∑=I，r=0，wk=1，Fk=e1/2，k=1，2时qk=0，以确保支付效果为（k-前任-ex）+对于独立标准正常RVs，x和x。选择putoption以清楚地说明消失运动区域的奇异性。然而，由于看跌期权平价，同样的结果也适用于看涨期权。卖出期权价格isP=ZPBS（x）dx对于PBS（x）=（K- ex）N(-d（x））- 恩(-d（x）- 1） ，（18）式中，PBS（x）是从x=-∞ 到-d（x）=对数（K- ex）。如图1（a）所示，运动边界-d（x）分流至-∞ as XA从左侧接近对数（K）；因此，对于x，PBS（x）=0≥ 对数（K）。为了准确计算X轴上的数值积分，围绕奇点atx=log（K）的离散化应该是密集的。或者，考虑45o-旋转坐标（z，z），在该坐标下，payoff变为（K-e（z-z）/√-e（z+z）/√)+. 这将产生练习边界，z=-d（z）=-√2个日志2 cosh（z/√2） /千,期权价格为p=ZPBS（z）dz，对于PBS（z）=K N(-d（z））- 2 COSH（z√)N个(-d（z）-√).

（19） 自边界以来-d（z）在所有z上都存在，PBS（z）在所有z上都是完全不同的，并且适合沿z进行数值积分（PBS（x）和PBS（z）参见图1（b））如图1（c）所示，（z，z）下的正交积分误差随节点数的增加呈指数下降，但（x，x）下的误差下降非常缓慢。4.2. 选择第一个因素。上述直觉被推广到相关和高维情况。为选择V设定了以下两个标准：（i）所有˙z和K都应存在（8）的运动边界d（˙z），以及（ii）d（˙z）的变化|d（˙z）/zj |，代表j≥ 2，应尽量减少。目的是使CBS（˙z）不仅在˙z上可区分，而且-d（˙z）发散，但也尽可能低变化。由于系数函数{fk（˙z）}几乎可以取任何任意正值，因此对所有k施加wkVk1>0作为满足（i）的有效条件。在这种约束中，（8）的左侧表示z的严格单调函数，其值范围为（0，∞) 对于10 J.Choi图1。带payoff（K）的篮子认沽期权定价- 前任- ex）+对于不相关的标准法线x和x.（a）显示运动区域forK=2和4（阴影区域）以及边界-d（x）（实线）。轴（z，z）是45o从原始轴（x，x）旋转度。（b） 显示沿两个坐标系x（蓝色实线）和z（红色虚线）的第一维度的积分。（c） 显示了（x，x）（菱形）和（z，z）（圆形）下函数in（b）的GHQ积分对于增加节点大小的误差。（a）-3.-2.-1 0 1 2-3.-2.-1 0 1 2x2x1K=4K=2z1z2log 2log 4（b）-3.-2.-1 0 1 20.0 1.0 2.0x2或z2PBS（· )K=4K=2日志2日志4（c）5 10 15 20 25 301e-13 1e-07 1e-01所有BSM型号11篮子和亚洲选项的GHQ节点错误数或(-∞, ∞) 用于排列选项。

因此，对于任何˙z和非平凡K，都存在唯一的根d（˙z）。对于（ii），应用GBM的以下线性化近似：exp(-Vkj+Vkjzj）≈1+Vkjzj，假设方差很小，kV kF 1、忽略二阶和高阶项后，（8）近似值为XkwkFk+XkwkFk（Vk*˙z+Vk1z）=K，（20）和d（˙z）/zjis作为常数获得 d（˙z） zj公司≈gTV公司*jgTV公司*1=gTC Q*jgTC Q*1对于j≥ 2.（21）这里，g是归一化的前向调整权重向量，gk∝ wkFk，其中| g |=1。当Q*1与CTg的方向对齐，因为选择使分母最大化，并使Q之间的正交性中的分子为零*1和Q*j代表j≥ 因此，确定了最佳的第一个因素：Q*1=CTg√gT∑gand V*1=C Q*1=∑g√gT∑g.（22）这相当于将轴旋转到（20）左侧最陡的上升方向，这与§4.1中的观察结果一致。其他轴跨越缓慢变化的尺寸，需要进行昂贵的数值积分。以这种方式可以最小化总体计算成本。然而，V*1in（22）并不总是符合早期的约束wkVk1>0。在wkVk1的情况下≤ 0，对于某些k，通过将VK1推入一致性区域byV（adj）k1来调整VK1=uvk1如果wkVk1>0uε符号（wk）√∑kkif wkVk1≤ 0，（23）对于小ε>0和重缩放因子u>0，从而使Q*1=C-1V（调整）*1a单位矢量（如果没有调整，则u=1）。在这里√∑kk用作Vk1的特征量表，因为| Vk1 |≤√∑kk。4.3. 其余因素。其余列V*j代表j≥ 采用奇异值分解（SVD）确定；这将按系数强度| V的降序正交重新排列柱*j |。此过程分以下两个步骤执行。首先，找到一个正交旋转矩阵，其第一列与Q相同*1.

计算最轻的选择是Householder反射矩阵R，它将e=（1，0，····）映射到Q*1使用镜像成像仪=I- 2VVTW此处v=（Q*1.- e） /| Q*1.- e |。（24）因此，CR的第一列等于V*1、其次，CR的其余列通过缩小的SVD C（R）重新排列*2···R*N） =˙U˙D˙QT，其中˙D是an（N- 1） ×（N-1） （非负）奇异值按降序排列的对角矩阵，且˙U和12 J.CHOI˙Q是N×（N-1） 和（N-1） ×（N-1） 分别满足˙UT˙U=˙QT˙Q=I的矩阵。最后，通过以下列式串联V=（V*1˙U˙D），（25）和相应的Q asQ=R1 0T˙Q！，（26）其中0是零向量。由于线性化假设，V的选择与执行价格K无关；这确保了如果V计算一次，那么它可以用于具有多个执行价格的期权。关于亚洲期权的备注本节讨论了在亚洲期权背景下采用的方法的一些含义。首先，由于协方差∑来自于布朗运动中的自相关，因此可以简单地计算出切尔斯基分解C为kj=如果k<jσ，则为0√tj公司- tj公司-1如果k≥ j（t=0）。因此，对于大N秒，V的所有元素都没有计算负担*1in（22）为正，因为∑和g的所有元素对于亚式期权都为正。基本上，选定的V*1不受（23）调整步骤的影响。第三，因子矩阵V的列可以解释为离散时间集{tk}，σ上布朗运动σW（t）的级数表示W（t），···，W（tN）Td=V z。如果Vj（t）是Vkj的连续极限，则为N→ ∞, 当σ=1时，t=k/N固定，则集合{Vj（t）}将用作W（t）：W（t）d的级数展开=∞Xj=1Vj（t）zj，（27）对于独立标准法线{zj}。

因此，值得将此展开式与著名的Karhunen–Lo\'eve展开式进行比较：W（t）d=∞对于V（KL）j（t），Xj=1V（KL）j（t）ZJ=√（j）-) πsin（j）-) πt. （28）图2显示了两次扩展的前三个因素。这些术语相似，但在第一个因素上存在细微差异。对于归一化参数，即σ=1，tk=k/N（T=1），wk=1/N，r=q=0，V（T）由（22）的连续版本给出：V（T）=Rmin（T，u）duqRRmin（s，u）duds=√t型-t型. （29）由于Karhunen–Lo’eve展开式是功能空间中W（t）的主成分分析，因此V（KL）（t）是最大化L-范数RV（t）dt的条件。因此，kV（KL）（t）k=2/π(≈ 0.6366）是所有BSM模型13的最大总和图2。标准布朗运动级数展开的前三项。实线（蓝色）是使用此处介绍的方法获得的因子Vj（t），用N=50计算，而虚线（红色）是从（28）中的Karhunen-Lo\'eve展开中获得的因子V（KL）j（t）。0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.4 0.0 0.4 0.8t（=k/N）Vj（t）V1（t）V2（t）V3（t）比kV（t）k=p2/5(≈ 0.6325). 另一方面，选择V（t）来最大化ERV（t）dt。因此，RV（t）dt=1/√3 (≈ 0.5774）大于RV（KL）（t）dt=4√2/π(≈ 0.5732). 连续表示（29）仅在恒定权重下有效，并且不再适用于例如r 6=0或Wk不恒定的情况。因此，通常V*1是数值计算的，而不是使用（29）。第四，维数减少在亚洲期权中非常有效，因为维数n很大。对于一年期的到期日，月平均数、周平均数和日平均数分别约为N=12、N=50和N=250。即使每个维度使用了少数节点，节点总数也会变得非常大。然而，前几个因素解释了期权价格的大部分差异，而其余因素的影响可以忽略不计。

表1显示了解释方差的部分，PNj=1 | V*j |/kV kF，作为增加N的函数。第一个因子，V*1，占最大部分，约80%，在N=5时，累积部分达到约96%。第6节中的数值结果表明，五个维度（一个在分析维度下，四个在数值积分维度下）对于准确的期权定价是有效的。如果平均化功能是为了避免市场操纵，那么平均化应该在接近成熟的某个时候开始。由于这种情况下的相关性总体上高于直接平均情况下的相关性，因此解释的方差比例更高，降维更有效。最后，将连续监控的亚洲期权的估值转换为离散监控。为了更好地随时间进行积分收敛，使用辛普森规则权重，而不是恒定权重。对于离散化步骤使N=T/T为偶数，观测时间和权重为astk=kT、 工作时间：=4.T/（3T）如果k为odd2T/（3T）如果0的k为偶数≤ k≤ N、 （30）除两个端点处的重量外，w=wN=T/（3T）。14 J.选项1。解释方差的比率，以百分比（%）表示，作为第一个维度的函数。假设r=q=0，wk=1/N.N\\N1 2 3 4 512 80 90 94 96 9750 80 90 95 96250 80 90 93 95 96表2。测试用例的参数集。注释的参数* 将在测试中更改；上标的值* 表示未更改时的基值。LabelN tkor T Sk（0）K wkσK（%）ρk6=j（%）qk（%）r（%）参考测试相同的参数集12 1（100，96）* (1, -1） （20，10）50 5 Dempster和Hong【2002】、Hurd和Zhou【2010】、Caldana和Fusai【2013】S22 1（200，100）100（1，-1) (15, 30) * 0 0没有以前的参考B14 5 100 100*1/4 40**0 0Krekel等人【2004年】，Caldana等人。