全Black-Scholes-Merton模型之和：一种有效的定价方法

【2016】B27* 100* 表3 6.3米列夫斯基和波斯纳【1998年b】、周和王【2008年】A150 k/50（k≥ 0) 100 * 1/51 * · 0 10 Levy和Turnbull【1992】、Benhamou【2002】、Cern\'y和Kyriakou【2011】A2* k/N（k≥ 0) 100 * 1/（N+1）17.801·0 3.67Fusai和Meucci【2008年】、Cern\'y和Kyriakou【2011年】、Fusai等人【2011年】、Cai等人【2013年】、Zhang和Oosterlee【2013年】表3。B2wk的剩余参数σk（%）ρkj（%）k<j qk（%）0.10 11.55 35 10 27 4 17 71 1.690.15 20.68 39 27 50-8 15 2.390.15 14.53 70-23 9 1.360.05 17.99 46-22 32 1.920.20 15.59-29 13 0.810.10 14.62-3 3 3 620.25 15.68 1.66所有BSM模型的总和156。数值结果该方法在运行Windows 10操作系统、Intel core i5 2.2 GHz CPU和8 GB RAM的个人计算机上以R（3.3.2版，64位）实现。测试了七个参数集，其中前六个参数集如表2和表3所示。集合标记为S表示排列，B表示篮子，A表示亚洲选项。表12中单独显示了连续监控亚洲选项的A3集以及结果。除S2外，参数与先前研究中使用的参数相同，以便于比较。数值结果如表4所示~12、除三套亚式期权外，还计算了两种版本的价格。其中一个版本是“快速”价格，使用minimalGHQ节点的目标精度为3~4位小数，既实用又有效。快速价格的计算成本很低。另一个版本是合并价格；快速价格误差是根据这一点来衡量的。随着节点大小的增加，可以得到收敛的价格。

合并价格的目标是7个十进制精度。对于亚洲期权案例（表10~12） ，仅报告快速价格；之前的研究测量了误差：对于离散情况（A1和A2），Cern\'y和Kyriakou【2011年】，对于连续情况（A3），Linetsky【2004年】。表中所有价格均为看涨期权的现值；即e贴现的远期价值-rT.一些表格在以下表示中显示了使用的因子矩阵V，以提供矩阵本身以外的额外属性。gTV公司*1 | V*1 |······V*N | kV kF=（Pk∑kk）1/2gV···V1N | V1*| =√Σ...... Vkj。。。。。。gNVN1···VNN | VN*| =√∑NN·M··MNM=Qj≥2Mj。（31）中心本身为V。上部和右侧面板分别显示列和行的L-范数，而右上角是Frobenius范数。左侧面板显示向前调整的权重向量g，左上角显示点积gTV*下面板显示了j的第j个尺寸的节点尺寸MJ≥ 2，总尺寸M在右下角。为了实施，必须以经济的方式选择MJ。并非所有尺寸的节点大小都需要相同。因此，可以选择MJ，以确保所有尺寸均达到类似的精度水平。一般准则是节点密度应与|d（˙z）/zj |以有效捕捉d（˙z）的变化。在这种程度上，以下规则用于在数值试验中系统地确定Mj：Mj=h | V*j | | gTV*j为1 |λ+1≥ 2，（32）其中，[x]是x的最接近整数，λ是精度等级的系数。比率| V*j |/| gTV*1 |通过应用Cauchy-Schwarz不等式| gTV获得*j |<g |·| V*j |=| V*j |，至（21），因此被理解为|d（˙z）/zj |。16 J。

Choi该规则还可作为尺寸缩减的标准：如果某些j的Mj=1，则可根据§3.3截断尺寸。此外，该规则与K无关；它确保了如果{zm}和{wm}计算一次，它们可以用于具有多个K值的期权。然而，对于亚式期权，Mj=3表示2≤ j≤ 经验发现，5（M=81）非常有效；因此，亚洲期权的测试案例不会求助于（32）。6.1. 排列选项。在S1中，价差看涨期权的定价范围从K=0（货币）到4（货币）。为了加快收敛速度，第二个维度的节点大小从M=2开始增加。如表4所示，收敛速度非常快。虽然M=2的价格已经很准确，但它们在atM=3的七位小数内收敛。该表还显示，§3.4的控制变量校正可以进一步减少误差。虽然Hurd和Zhou【2010年】以及Caldana和Fusai【2013年】显示出与他们的结果相似的精度=3，但他们的方法必须分别在二维和一维中评估昂贵的傅立叶反演。风险因素矩阵如表4（b）所示。在此示例中，针对ε=0.01的Vw触发调整步骤（23）。此外，本研究独立实施了Bjerksund和Stensland【2014年】、Lo【2015年】和Li等人【2008年】关于价差期权的解析近似方法。所有这三种方法在S1上都很好地工作，显示出大约10个错误-6或更少。在S2中，货币价差看涨期权的定价是针对从90%到-90%. 结果如表5（a）所示。该参数集旨在使firstaset遵循位移GBM，dS（t）=σ（S（t）+L）dW（t），L=100，以证明负隐含波动率偏差。

因此，真实参数类似于S，asS（0）=100和σ≈ 30%，K=100对应于货币执行价。系数矩阵V随ρ的变化而变化，并根据（32）错误确定。对于最低价，当λ=3时，Mvaries从17到2。因为V中的组件*1利差期权的符号必须相反，其范数在正相关下减弱，因此需要更密集的节点。正交大小规则（32）工作得相当好，尽管它往往会在高相关性下过度分配节点。随着λ的增加，价格迅速收敛，以达到λ=9时的七位小数精度。表5（b）和（c）显示了ρ=90%时的V，以及-分别为90%。请注意，这两列切换位置时会更改符号。S2中的分析近似方法的性能不如S1中的分析近似方法；这可能归因于GBM特征的改变，即两种现货价格和大履约价格之间的显著差异。虽然Li等人[2008]的方法比其他两种方法更精确，但它说明了解析近似的局限性。6.2. 篮子选项。在以前的研究中，参数集B1和B2经常被用作基准。在此，首次报告了收敛期权值。参数集B1摘自Krekel等人【2004】，其中比较了几种分析近似方法的性能结果。表6和表7提供了变化K和Lo【2015】的结果，实施了参考文献中的“Strang分裂近似I”方法；这是一个明确的公式。所有BSM型号的总和17表4。

S1的数值结果如下：（a）对于变化的K，有无控制变量的收敛价格（CPs）和快速价格误差（FP Err），以及（b）因子矩阵V（表示见（31））。（a） KCP FP Err w/CV FP Err w/o CVM=4 M=3 M=2 M=3 M=20.0 8.5132252-7.4e-9-3.0e-6-1.3e-7-1.1e-40.4 8.3124607-8.2e-9-3.5e-6-1.3e-7-1.1e-40.8 8 8.1149938-9.0e-9-4.0e-6-1.3e-7-1.1e-41.2 7.9208198-9.8e-9-4.7e-6-1.3e-7-1.1e-41.6 7.7299325-1.1e-8-5.3e-6-1.3e-7-1.1e-42.0 7.5423239-1.1e-8-6.0e-6-1.3e-7-1.1e-42.4 7.3579843-1.2e-8-6.7e-6-1.3e-7-1.1e-42.8 7.1769024-1.2e-8-7.5e-6-1.3e-7-1.1e-43.2 6.9990651-1.3e-8-8.2e-6-1.3e-7-1.1e-43.6 6.8244581-1.3e-8-9.0e-6-1.3e-7-1.1e-44.0 6.6530651-1.3e-8-9.7e-6-1.3e-7-1.1e-4（b）0.125 0.172 0.143 0.2240.721 0.172 0.102 0.200-0.693-基准参数值分别为0.001 0.100 0.100·4 4ρk6=j。此外，表8通过同时改变σk测试了1≤ k≤ 3，同时保持σ=100%固定。在所有测试中，λ=9给出了一致的快速价格，这比Krekel等人[2004]的基准MonteCarlo价格更准确；此外，计算成本更低。测试表6显示λ=9对应于2的Mj=5≤ j≤ 4（M=125）。此外，表7和表8中的节点大小显示在各自的最后一列中。与展开选项相反，较低的相关性要求篮子选项中的节点更密集。还要注意的是，在非均匀波动性测试中，每个维度只有几个节点可以生成准确的价格。在相同的测试中，没有近似方法产生令人满意的精度【Krekel等人，2004年】。Milevsky和Posner【1998b】以及Zhou和Wang【2008】对参数集B2（称为G-7指数篮子期权）进行了测试。

表9（a）显示了不同Kand T的看涨期权价格，表9（b）显示了因子矩阵V。currentmethod适用于这种N=7的情况。λ=3（M=432）的快速价格误差为10-4最多，小于试验中蒙特卡罗法的标准误差，相关下限ρk6=jis-1/3; 这是为了确保协方差矩阵为正半定义。18 J.选项5。具有变化相关性ρ的S2的数值结果。聚合价格（CPs）和快速价格误差（FP Err）如（a）所示。使用λ=3获得快速价格，使用λ=9获得收敛价格。三种近似方法的误差也可供参考：Bjerksundand Stensland【2014】（BjSt Err）、Lo【2015】（Lo Err）和Li等人【2008】（LDZErr）。ρ=90%和-90%分别显示在（b）和（c）中。（a） ρ（%）CP FP Err MBjSt Err Lo Err LDZ Err90 5.4792720-1.5e-8 17-1.3e-1+1.4e-2-1.9e-270 9.3209439+3.7e-8 10-6.3e-2+1.0e-2-1.0e-450 11.9804918+2.2e-7 7-4.0e-2+1.0e-2+7.9e-430 14.1425869-4.0e-7 6-2.8e-2+8.8e-3+7.7e-410 16.0102190-1.4e-7 5-2.0e-2+6.6e-3+6.1e-4-10 17.6770249+5.2e-6 4-1.6e-2+3.7e-3+4.5e-4-30 19.1954201+1.5e-6 4-1.4e-2-3.6e-5+3.1e-4-50 20.5982705 -8.0e-6 3-1.3e-2-4.3e-3+1.9e-4-70 21.9077989 -1.7e-6 3-1.4e-2-9.2e-3+1.0e-4-90 23.1398674 -8.3e-5 2-1.5e-2-1.5e-2+2.0e-5（b）0.060 0.075 0.327 0.3350.894 0.034 0.146 0.150-0.447-0.067 0.292 0.300·17（c）0.262 0.327 0.075 0.3350.894 0.146 0.034 0.150-0.447-0.292 0.067 0.300·2周王模拟【2008】。七位数收敛价格的计算公式为λ=12（M≈ 1.2 × 10).6.3. 亚洲选项。测试了亚洲选项的三个参数集。

表10和表11中分别报告了离散监测集A1和A2的结果。表10中，K和σ有所不同，而表11中，K和N有所不同。误差由ˇCern\'y和Kyriakou【2011】测量，其中报告的结果精度为10-7、在五个维度上仅使用81个节点计算的快速价格（Mj=3表示2≤ j≤ 5） 有10个左右的错误-4或更少。总体抑价是由于维数减少导致的方差下降。在A1和A2中，N=12、50和250时，每个期权价格的平均计算时间分别为0.01、0.02和0.06秒。当K的多个值的价格一起计算时，这可以加速，因为v、{zm}和{hm}的计算没有重复。虽然很难对CPU时间进行直接比较，但参数集几乎与A1相同，只是r=4%，也在文献中进行了广泛测试；例如，Cern\'y和Kyriakou【2011年】、Fusai等人【2011年】和Cai等人【2013年】。他们不应该感到困惑。所有BSM型号的总和19表6。对于K变化的B1，数值结果如下：（a）收敛价格（CPs）和快速价格误差（FP-Err），以及（b）因子矩阵V。使用λ=9获得快速价格，从而得到Mj≥2=5（M=125）。（a） K CP FP Err50 54.3101761-2.0e-460 47.4811265-2.5e-470 41.5225192-2.6e-480 36.3517843-2.4e-490 31.8768032-2.0e-4100 28.0073695-1.3e-4110 24.6605295-6.4e-5120 21.7625789+8.4e-6130 19.2493294+7.9e-5140 17.0655420+1.4e-4150 15.1640103+2.0e-4（b）1.414 1.414 0.632 0.632 0.632 0.0000.500 0.707-0-0.420 0.352 0.8940.500 0.707 -0-0.191-0.513 0.8940.500 0.707 -0.447 0.306 0.081 0.8940.500 0.707 0.447 0.306 0.081 0.894·5 5 125表7。同时变化相关性ρk6=j的B1的数值结果。

显示了收敛价格（CPs）、快速价格误差（FP Err）和平方大小。使用λ=9获得快速价格。ρk6=j（%）CP FP Err Mj≥2（米）-10 17.7569163 -4.9e-8 12、12、12（1728）10 21.6920965-7.3e-6 7,7,7（343）30 25.0292992+1.3e-4 6,6,6（216）50 28.0073695-1.2e-4 5、5、5（125）80 32.0412265-4.0e-4 3，3，3（27）95 33.9186874-3.1e-3 2，2，2（8）由于计算环境的差异，Cern\'y和Kyriakou【2011】报告1至0.3秒，计算N=50个案例，σ在10%至50%之间变化，精度为5分贝。表12报告了连续监测装置A3的结果。因为时间与T=1/200，T=1时N=200，T=2时N=400。由81个节点计算的快速价格与Linetsky（2004）的值相匹配，计算精度高达10分贝。对于N=200和400的情况，每个选项的计算时间分别为0.04和0.18秒。结论由于维数灾难，多元BSM模型下的期权定价是一项具有挑战性的任务，研究历史悠久。这项研究通过20 J.CHOITable 8显著缓解了这一诅咒。具有不同挥发度σk的B1的数值结果≤3σ=100%固定值如下：（a）收敛价格（CPs）、快速价格误差（FP Err）和节点大小，以及（b）σk情况下的因子矩阵V≤3= 10%.

使用λ=9获得快速价格。（a） σk≤3（%）CP FP Err Mj≥2（M）5 19.4590950-4.3e-4 3，2，2（12）10 20.9682321+8.4e-4 4，2，2（16）20 25.3794239+6.9e-4 5，3，3（45）40 36.0485407+1.6e-3 6，4，4（96）60 46.8189186+6.5e-3 6，4，4（96）80 56.7772198-9.2e-3 5，5，5（125）100 65.4256003+1.8e-4 5，5，5（125）（b）1.304 2.217 0.429 0.158 0.158 2.2690.500 0.134-0.124 0.129 -0.011 0.2240.500 0.134 -0.124-0.054 0.117 0.2240.500 0.134 -0.124-0.074-0.106 0.2240.500 2.205 0.371 -0-在最优旋转状态空间下，将期权价格复制为单因素BSM价格的加权和。此外，该方法可以统一应用于价差、篮子和亚式期权。数值算例表明，该方法快速、准确。参考Jochen Beisser。另一种评估篮子期权价值的方法。技术报告，工作文件，约翰内斯格滕贝格大学美因茨分校，1999年。埃里克·本哈莫。离散亚式期权的快速傅立叶变换。《计算金融杂志》，6（6）：49–682002年。彼特·比杰克松（PetterBjerksund）和甘纳·斯滕斯兰德（GunnarStensland）。封闭式价差期权估值。QuantitativeFinance，14（10）：1785–17942014。Svetlana Borovkova、Ferry J Permana和Hans VD Weide。一种封闭式的篮子和差价期权估值和对冲方法。《衍生品杂志》，14（4）：8-242007。马克·布罗迪和杰罗姆·德坦普尔。周年纪念文章：期权定价：估值模型和应用。《管理科学》，50（9）：1145–1177，2004年。马克·布罗迪和¨Ozg¨ur Kaya。随机波动率和其他跳跃扩散过程的精确模拟。运筹学，54（2）：217–2312006。所有BSM型号之和21表9。

对于具有变化K和T的B2，数值结果如下：（a）收敛价格（CPs）和快速价格误差（FP-Err），以及（b）T=1情况下的因子矩阵vf。（a） CP（λ=12）FP Err（λ=3）Mj≥2=（11、10、8、7、5、4），M=123200 Mj≥2=（4，3，3，3，2，2），M=432K T=0.5 T=1 T=2 T=3 0.5 1 2 380 21.6022546 23.1411627 26.0424328 28 28.6992602-1.6e-8-9.0e-7-1.0e-5-2.8e-5100 3.8828353 6.2216810 10.2156012 13.7425580-4.3e-5-1.1e-4-2.5e-4-3.7e-4120 0.0235189 0.3535584 2.0570044 4.4578389-5.8e-6-7.9e-5-4.1e-4-7.8e-4（b）0.23 0.26 0.20 0.17 0.14 0.12 0.08 0.06 0.420.24 0.07-0.06-0.01-0.03 0.02-0.03 0.05 0.120.36 0.14 0.05 0.12-0.05 0.00-0.01 0.210.36 0.09 0.08-0.02 0.04-0.02-0.06-0.01 0.150.12 0.10 0.06-0.10 0.00 0.09 0.01 0.00.180.49 0.11 0.09 0.00 0.02-0.05 0.04 0.02 0.160.24 0.00-0.09 0.05 0.10 0.03 0.01 0.00 0.150.61 0.10-0.09-0.06-0.05-0.02 0.01-0.02 0.16·4 3 3 3 3 2432表10。具有不同执行价格K和波动率σ的A1的数值结果。M2的快速价格（FPs）≤j≤5=3，显示错误（Err）。误差由ˇCern\'y和Kyriakou【2011年】测量，其中数值以七位小数精度报告。KFP错误（×10-7)σ = 10% σ = 30% σ = 50% 10% 30% 50%80 22.7771749 23.0914273 24.8242382 0 -105-19990 13.7337771 15.2207525 18.3316585 -2.-85-155100 5.2489922 9.0271796 13.1580058 -5.-92-398110 0.7238317 4.8348903 9.2344356 -7.-168-778120 0.0264089 2.3682616 6.3718411 -3.-238-1125蔡宁宁、李晨旭和赵石。分散模型中离散监控的亚洲期权的封闭式扩展。运筹学数学，39（3）：789–8222013。蔡宁、宋英达、陈楠。SABR模型的精确模拟。运营研究，65（4）：931–9512017。Ruggero Caldana和Gianluca Fusai。一般闭式价差期权定价公式。《银行与金融杂志》，37（12）：4893–49062013.22 J。