全Black-Scholes-Merton模型之和：一种有效的定价方法

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英文标题：
《Sum of all Black-Scholes-Merton models: An efficient pricing method for
  spread, basket, and Asian options》
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作者：
Jaehyuk Choi
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Contrary to the common view that exact pricing is prohibitive owing to the curse of dimensionality, this study proposes an efficient and unified method for pricing options under multivariate Black-Scholes-Merton (BSM) models, such as the basket, spread, and Asian options. The option price is expressed as a quadrature integration of analytic multi-asset BSM prices under a single Brownian motion. Then the state space is rotated in such a way that the quadrature requires much coarser nodes than it would otherwise or low varying dimensions are reduced. The accuracy and efficiency of the method is illustrated through various numerical experiments.
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中文摘要：
与普遍认为由于维数灾难而无法进行精确定价的观点相反，本研究提出了一种在多变量Black-Scholes-Merton（BSM）模型下期权定价的有效统一方法，如篮子期权、价差期权和亚式期权。期权价格表示为单一布朗运动下解析多资产BSM价格的正交积分。然后，状态空间以这样的方式旋转，使得求积需要比其他方式更粗糙的节点，或者降低了低变维。通过各种数值实验验证了该方法的准确性和有效性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
--

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PDF下载：
--> Sum_of_all_Black-Scholes-Merton_models:_An_efficient_pricing_method_for_spread,_.pdf (490.15 KB)

2022-6-10 02:16:41 上传

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关键词：Merton模型 SCHOLES Merton choles Holes

所有BLACK-SCHOLES-MERTON模型之和：扩张期权、篮子期权和亚洲期权的有效定价方法Jaehyuk Choippeking University HSBC Business School University Town，Sounshan District，Shenzhen 518055，ChinaAbstract。与普遍的观点相反，由于维度的限制，精确定价是禁止的，本研究提出了一种有效且统一的方法，用于在多变量Black-Scholes-Merton（BSM）模型下对期权进行定价，如篮子、价差和亚洲期权。期权价格表示为单一布朗运动下解析多资产BSM价格的正交积分。然后，状态空间以这样一种方式旋转，即正交需要比其他方式更粗糙的节点，或者减少低变维。通过各种数值实验说明了该方法的准确性和有效性。1、引言1.1。出身背景自从布莱克-斯科尔斯-默顿（Black-Scholes-Merton，BSM）模型取得了举世瞩目的成功以来，研究人员一直对将其简单的解析解扩展到多个基础资产上的衍生工具非常感兴趣【Broadie和Detemple，2004年】。此类衍生工具的一个重要类别是遵循相关几何布朗运动（GBM）的资产线性组合的期权；其中包括以下三种流行的期权类型：o价差期权：关于两种资产价格差异的欧式期权；o篮子期权：多个资产价格之和的欧式期权，具有正权重；o亚式期权：在预先确定的离散时间集或连续时间范围内，对一项标的资产的平均价格进行期权。这三种期权类型可以说代表了交易所或场外交易市场中交易最活跃的非常规期权。

这是因为线性组合是将不同资产或不同时间的多个价格与此类选项联系在一起的常见方式电子邮件地址：jaehyuk@phbs.pku.edu.cn.Key单词和短语。多资产Black-Scholes-Merton、价差期权、篮子期权、亚式期权、维度曲线。作者感谢Robert Webb（编辑）、Jaeram Lee（2017年在韩国釜山举行的亚太衍生品协会会议上的讨论者）和匿名仲裁人的有益评论。本研究由Bridge Trust资产管理研究基金资助。2 J.选择提供定制的对冲或风险敞口。有关示例和财务动机，请参见Carmona和Durrleman【2003】和Linetsky【2004】的简介。然而，BSM模型下的此类期权定价，更不用说BSM之外的模型，并不是一件小事。这是因为，与正态随机变量（RVs）不同，相关对数正态RVs的线性组合既不会返回到同一类分布，也不会以任何一般分析形式表示分布。因此，期权价格的准确估值涉及风险中性测度下正收益的多维积分。然而，这种积分的数值计算不受维度诅咒的影响。例如，即使标准正态分布的粗略离散化-网格大小为0.25（每个维度41个点）的5到5导致fourassets为300万点，Five assets为1.16亿点，大大超过典型MonteCarlo模拟的大小。1.2. 文献综述。大量文献研究了这三种选项类型中的每一种。首先，回顾了近似期权价格或期权价格上下限的分析方法。

对于价差期权，在实践中广泛使用的柯克公式【柯克，1995年】是对Margrabe的交换期权公式【Margrabe，1978年】的近似推广，即具有零执行价格的价差期权；随后，对公式进行了多项改进【Bjerksund和Stensland，2014年，Lo，2015年】。Carmona和Durrleman【2003年】计算了价差期权价格的下界，作为所有可能的线性（因此是次优）行使边界价格的最大值。Liet al.（2008）提出了一个基于exerciseboundary二次近似的闭式公式。篮子和亚式期权都有解析近似的基本思想，因为亚式期权的收益取决于观察期内的一篮子相关价格。最常用的方法之一是用其他分析已知的分布近似GBMsum的分布，如对数正态分布【Levy和Turnbull，1992，Levy，1992】、倒数伽马分布【Milevsky和Posner，1998a，b】、移位对数正态分布【Borovkovaet al.，2007】和对数扩展斜态分布【Zhou和Wang，2008】，以及已知分布的扰动展开【Turnbull和Wakeman，1991年，Ju，2002年】。另一个流行的想法是利用GBMs的几何平均值，而不是算术平均值，算术平均值的分布是对数正态的，因此可以解析解。几何平均数上的期权价格是算术平均数上期权价格的合理替代【斯威特，1993年】。因此，它可以用作控制变量，从而减少亚洲【Kemnaand Vorst，1990年】和篮子【Krekel等人，2004年】期权的蒙特卡罗方差。Curran【1994】使用几何平均数作为条件变量来分析估计期权价格。Beisser【1999】和Deelstra等人进一步定义了调节方法。

【2004年】也适用于持续监控的亚洲期权【Rogers和Shi，1995年】。有关其他篮子和亚洲期权定价方法以及分类，请参见Zhou和Wang【2008】及其参考文献。解析近似方法因其计算简单而具有吸引力，但其主要局限性在于结果不精确。虽然在基本假设有效的所有BSM模型3参数范围的总和中，每种方法都是准确的，但很难对所有范围验证任何一种方法的准确性。例如，没有一种方法在各种参数集下的基本选项中表现良好【Krekel等人，2004年】，尽管Ju【2002年】的方法总体上是优秀的。因此，从业者必须仔细确定感兴趣的方法最适合的参数范围。考虑到此类问题的多资产方面，提前对参数映射进行刻划并不是一件小事。此外，由于近似方法无法控制误差，因此趋势是最终应用外部方法，通常是蒙特卡罗模拟，以获得基准值。与近似方法相比，收敛定价方法的数量较少。收敛性意味着，与蒙特卡罗方法相比，该方法可以产生确定性价格，并且在调整计算参数（例如网格大小）时，通过合理的计算量收敛到真实值。由于问题是二维的，收敛方法对于spreadpoptions是可行的。Ravindran【1993】和Pearson【1995】将定价问题简化为BSM价格的一维积分，并具有不同的现货价格和履约价格。

此外，Dempster和Hong【2002】以及Hurd和Zhou【2010】应用了二维快速傅立叶变换（FFT）。据作者所知，关于篮子期权的研究很少使用收敛的方法。特别是，没有尝试使用直接积分，甚至用于误差测量，从而表明该方法带来的挑战（见§4.1）。尽管Leentvaar和Oosterlee[2008]提出的FFT方法通过并行分区减少了计算时间，但它并没有显著减少计算量。以前用于亚式期权的收敛方法是基于这样一种想法，即定价涉及一个随时间变化的单一价格过程。尽管由于合同困难，连续平均亚洲期权在实践中几乎没有交易，但其解析解包括三重积分【Yor，1992年】、拉普拉斯成熟度变换【Geman和Yor，1993年】和一系列扩展【Linetsky，2004年】。对于离散平均，一系列研究利用了概率密度函数（PDF）或价格上的递归卷积（称为Carverhill-Clewlow-Hodges因子分解）[Carverhill和Clewlow，1990年，Benhamou，2002年，Fusaian和Meucci，2008年，ˇCern\'y和Kyriakou，2011年，Fusai等人，2011年，Zhang和Oosterlee，2013年]。Cai et al.（2013）将离散监控的亚洲期权的价格描述为在一个小的观察间隔上的渐近扩展。尽管结构相似，但只有少数研究适用于所有三种期权类型。Carmona和Durrleman【2005】将下限法【Carmona和Durrleman，2003】扩展到多资产问题，而Deelstra等人【2010】使用公共性理论来近似期权价格。然而，由于这些研究遵循解析近似类，因此其方法具有上述局限性。

从本质上讲，没有一种收敛的方法可以对所有三种选项类型都始终如一地起作用。1.3. 论文贡献。本研究的目的是为相关GBM的线性组合的期权找到一种有效且统一的定价方法。虽然普遍的假设是，直接多维积分在计算上是禁止的，但开发了一种创新的4 J.CHOIintegration方案，它可以显著缓解维度诅咒。首先，可以观察到，如果所有价格过程都是由一个布朗运动驱动的，则期权价格可以通过BSM公式的多维扩展来解析获得，行使边界可以从数值寻根中获得。因此，可以对第一个维度的期权价格进行分析整合，对其余维度的期权价格进行数值整合。当前方法的关键是通过因子旋转选择第一维度，以使第一维度的分析价格作为后续数值积分的被积函数表现良好（即平滑且缓慢变化）。数值实验表明，即使是粗略的离散化也会产生非常精确的价格，并且价格会随着节点数的增加迅速收敛到真实值。本研究在每种期权类型背景下的贡献如下所示。这里，利差期权的方法与Ravindran【1993】和Pearson【1995】的方法相似；也就是说，第一维度的整合是通过分析完成的。然而，本研究方法中的因子旋转显著降低了二维数值积分的成本。

即使由于数值寻根（上述研究中未发现这一点）而导致额外计算的代价，由于在第二维度上减少了离散化，总体计算也要轻得多。关于篮子期权，这里使用的方法是完全收敛的。虽然收敛速度取决于协方差结构，但通常情况下，该方法可以在广泛的参数和维度范围内收敛到真正的期权值。这是第一次，可以报告文献中使用的几个基准测试的合并价格。对于亚式期权的研究，本研究的定价方案是对以往研究的一种新的替代方案。由于维度大，即观察量大，集成方法对于Asianoptions尤其有问题。在效果上，该研究利用了布朗运动序列表示的几个第一因素，如主成分分析（PCA）。因此，该方法无法真正收敛。然而，与现有方法相比，该方法对所有实际目的都是准确的，并且能够实现更便宜的计算。此外，它能够在离散监控框架中对连续监控的数据期权进行定价，这与相反方向的方法相比是一种罕见的方法。在这种程度上，该方法可以灵活地处理非均匀权重、非均匀平均间隔（例如，前向开始平均）和时间相关波动性等特征，这些特征很难纳入基于连续理论的方法中【Linetsky，2004，Cai et al.，2013，Fusai et al.，2011】。第5节详细讨论了亚洲期权。本研究侧重于BSM模型，但其发现也可用于其他模型。如§6中的数字示例所示，可以对结果进行细微修改，以适用于置换的GBM。

被取代的GBM有额外的自由度来捕捉波动率偏斜，如果不是像期权市场中观察到的那样。这些结果也可以应用于随机挥发模型，如赫尔和怀特（Hull and White）[1987]、赫斯顿（Heston）[1993]和随机α-β-rho（Haganet al.，2002）]模型。在这些模型中，期权的定价使用所有BSM模型的条件蒙特卡罗方法5，其中价格表示为BSM价格的预期，条件是终端波动率和综合方差等数量；分别参见Willard【1997年】、Broadie和Kaya【2006年】和Cai等人【2017年】。因此，有效的BSM定价方法对于此类方法下的利差或一揽子期权定价至关重要。然而，详细的实施超出了本研究的范围。本文的组织结构如下。第2节阐述了问题。第3节概述了多维集成方案。第4节讨论了维度的最佳旋转促进集成。第5节讨论了亚洲期权的含义。第6节报告了数值结果。最后，第7节总结了本研究。2、模型设置和初步假设资产价格，Skfor 1≤ k≤ N，遵循风险中性测量值Sk（t）Sk（t）=（r）下的相关GBM- qk）dt+σkdWk（t），（1）其中σkis是波动率，qkis是股息率，r是无风险利率，Wk（t）是标准布朗运动，相关系数dWk（t）dWj（t）=ρkjdt（ρkk=1）。此处考虑的期权的最终收益取决于在T到期之前或到期时观察到的资产价格的线性组合。行使价格为K的普通看涨期权的支付如下：NXk=1wkSk（tk）- K+, （2） 对于体重、工作时间和观察时间，0≤ tk公司≤ T这里，（x）+=max（x，0）是正部分运算符。

当前设置足够通用，包括但不限于以下三种选项类型：o欧洲价差选项：对于部分（但并非全部）k，wk<0；此外，tk=T表示所有k.o欧洲篮子选项：wk>0，tk=T表示所有k.o亚洲选项：wk>0表示所有k，Pwk=1和0≤ t<···<tN=t。价格过程都是相同的，k（t）=Sj（t），k 6=j；因此，省略索引k而没有歧义；例如，S（t）、W（t）、σ和q。持续监控的亚洲期权，其收益为（TRTS（t）dt- K） +，将在离散框架下考虑。接下来，设置一些符号和约定。对于矩阵A，注意以下几点：A的k-throw向量、A的第j列向量和A的（k，j）分量由Ak表示*, A.*j、 分别为andAkj。例如，使用这些符号，矩阵乘法C=AB可以表示为Ckj=Ak*B*j、 A的转置用At表示，单位矩阵用I表示。对于向量x，第k分量用xk表示。此外，除非另有说明，否则向量是列向量。x的L-范数为| x |=√xTx和Ais的Frobenius范数kAkF=（Pk，jAkj）1/2。此外，除非另有规定，否则矩阵的维数为N×N，向量的大小为N，指数k和j从1到N。对于下文定义的factormatrix V，k用于索引行（资产），j用于索引列6 j.CHOI（布朗运动或因子）。在整个研究过程中，因子和维度这两个术语可以互换使用。在BSM模型下，对数价格log Sk（tk）遵循相关正态分布，协方差矩阵∑为∑kj=ρkjσkσjmin（tk，tj）。