金融市场的多重分形分析

然而，当Fq（s）表现出与任何金融时间序列不同的交叉现象时【165、458、564–568】，可以使用该想法同时确定交叉尺度s×和两个缩放指数H【562、569】。我们将q=2的二次幂律改写为ln F（s）=c+Hln s，s≤ s×c+Hln s，s>s×。（318）为了估计三个参数s×，Hand H，我们最小化以下函数o（s×，H，H，c）=Xsj≤s×hln F（sj）- Hln sj公司- ci+Xsj>s×hln F（sj）- Hln sj公司- ci。（319）其中，由于两条直线在s××处相交的约束，CI不是自由参数，即c+Hln s×=c+Hln s×。（320）此方法不允许确定两个缩放范围的左右截止值。如果我们结合其他方法，就可以确定左边界【570571】。或者，Fang et a l.建议对第二个范围使用多项式函数，并将第一个范围作为标度范围，但固定了smin=1[572]。Ge和Leu Ng研究了一种基于统计推断的交叉尺度识别方法【573】。Xiong et a l.认为，最佳右截止点Smax可以根据ln Fq（s）和ln Fq（s）曲线的交点来确定，其中Qan和Qa分别是调查中q的最小和最大正值【574】。候选右截止点确定如下Ln Fq（smax）- ln Fq（smax）=分钟{ln Fq（s）- 项次Fq}。（321）为了避免被困在局部o ptima内，要求smax周围的变化应足够大：ln Fqj（smax+1）- ln Fqj（smax）ln Fqj（smax）- ln Fqj（smax- 1） >10，（32 2），其中j=1和2。该方法适用于交通流量时间序列【574】。为了检验该方法是否适用于其他时间序列，需要进行大量的数值实验。Berntson和Stoll提出了一种基于自相似性检验的距离侵蚀方法[575]。

从最大范围开始，我们对数据进行拟合并进行自相似性单独测试，将二阶多项式拟合到残差图，并将显著的二阶多项式作为自相似性的抑制信号。如果自相似性被拒绝，我们会侵蚀端点以缩短数据，并重复验证和测试程序，直到保留很少的点来进行回归，或者d a ta在剩余范围内显示出自相似性。建议通过三种方式进行侵蚀：（1）移除左端点，（2）移除右端点，以及（3）移除其他端点。取剩余最大对数范围作为标度范围。有趣的是，Xia等人提出了一种基于il不等式系数的范围扩展方法【576】。它从标度序列中心的两点开始，计算出剖面的非线性系数δ（si，sj）。如果δ（si，sj）小于预先设定的阈值δ，我们继续下一步。我们包括nea剩余左标度si- 如果δ（si）为1，则为缩放范围- 1，sj）<δ（si，sj+1）和δ（si- 1，sj）<δ或最接近缩放范围的右标度sj+1，如果δ（si- 1，sj）>δ（si，sj+1）和δ（si，sj+1）<δ。当δ（si，sj）>δ且最终标度范围被视为最优时，迭代停止。Fei等人提出了另一种自动识别最佳缩放范围的方法【577】，该方法通过穷举或蛮力的方法来实现，以获得所有潜在缩放范围【si，sj】内的数据的残差均方根值，其中sj/si大于预设常数，并选择具有最小均方根值的缩放范围。同样，Gulich和Zunino提出了一个基于Brute force算法的标准，以系统地确定DFA和MF-DFA中的最佳拟合区域[578]。

虽然该算法的研究主要集中在DFA和MF-DFA上，但它显然可以应用于其他多重分形分析。首先确定一组在对数坐标中均匀分布的标度{si}ni=1。一个经验建议是使用s=4和sn=【n/4】，这包括了Gr e ch和Mazur的标度范围【579–581】。接下来，在r平方统计（或确定系数）Ri j中，对每一对【si，sj】进行线性回归，以观察ta。为了确保标度律不是虚假的，标度范围应该是很宽的enoug h【557】。因此，缩放范围宽度ln sj-ln应该大于一个预先固定的常数，比如说在m量级上。具有最大Ri JI的一对被视为最佳缩放范围【si，sj】。这两种方法的生物量基本相同。对于多重数据分析，on e获得不同q值的平均值【578】。此外，Leonar duzzi等人设计了一种基于非参数自举的过程，以实现标度范围的自动选择，这也属于穷举法的范畴[582]。Wu建议，分形维数估计中的合格项应满足三个标准[583]：（1）ln Fq（s）和ln s之间的线性b显著；（2） 每个点的最大偏差不超过fit残差标准偏差的两倍；以及（3）估计的标准偏差小于预设值。经过详尽的计算，所有合格产品的最大范围（最大ln sj- ln-si）被用作最佳缩放范围e【583】。因为这种方法不要求最佳的拟合优度，所以不需要对ln-sj进行约束- 国际单位制。

对于多重分形分析，我们建议st修改第三个标准，要求估计值的相对偏差小于预设百分比，例如5%。q=2的最佳标度范围用于其他q。然而，当存在交叉现象或大q的标度范围变窄时，大q的交叉变得明显，但q=2的交叉并不罕见。因此，最好根据最大q值确定最佳标度范围。或者，可以确定每个q的最佳缩放范围，其中应设置额外约束，确保不同q的缩放范围至少部分重叠。我们可以进一步组合交叉现象的多元线性回归（318）。Grech和Mazur认为，标度范围e与分析时间序列的长度N、由时间序列的Hurst指数H描述的长记忆水平以及由确定系数或等效u=1量化的拟合优度有关- R【579–581】。他们对DFA和DMA中标度范围的行为进行了出色的分析，并获得了其固定置信水平的表达式，即与r的假定标准相匹配的时间序列的百分比。在他们的分析中，他们将smin固定为8。对于DFA，发现Smax（u，N，H）=[（aH+a）u+a]N+a，（323），其中a=3.40，a=4.16，a=0.0097，a=-96表示信任级别97。5%，a=3.95，a=5.03，a=0.0070，a=-106对于c信任级别95%[579]。

对于DMA，发现Smax（u，N，H）=（D+DH）Nη-ηHuξ-ξH，（324），其中，对于97.5%的置信水平，D=0.558，D=0.640，η=1.130，η=0.135，ξ=1.049，ξ=0.657，对于95%的置信水平，D=0.400，D=1.125，η=1.146，η=0.163，ξ=0.975，ξ=0.593【580】。在大多数研究中，研究人员采用Kan te lhardt e t al[139]建议的smax=N/4，这对于大多数时间序列来说太大了，应该使用更小的Smaxt来确保更准确地估计H[581]。当我们估计给定时间序列的赫斯特指数时，我们首先选择好的指数和信心水平（例如97.5%或95%）。通过这种方式，smax（u，N，H）的表达式是确定的，但它的值不是确定的，因为H是未知的。接下来，我们扫描不同的标度（表示为s′），并通过拟合标度范围内的幂律来获得H的估计值[8，s′，这是s′的函数，即^H（s′）。缩放范围的“最佳”右截止值确定如下：smax=mins′| smax（u，N，^H（s′））- s′，（325），H的估计值为^H=^H（smax）。（326）当我们形成MF-DFA或MF-DMA时，我们首先确定smax，并对所有Q值使用相同的缩放范围。当然，这种自动程序需要进一步验证，因为它可能有多个Smax值以及多个^H值。此外，smin=8的选择相当随意[289]。上述方法基于数据的直接拟合。另一类方法是基于确定局部导数中的流动区域。在经验分析中，经常使用目视检查[289556584585]。Hong和Hong于1993年提出了最早的方法之一，称为自相似比率算法[586]。虽然alg算法设计用于确定分形维数估计中的标度grange，但它很容易用于多重分形分析。

自相似比率Ri定义如下Ri=Fq（si-1） Fq（si）=si-1si！h（q）。（327）如果对数标度{ln si}均匀分布，则si-1/Si是常数t，Ri也是每个q的常数。对于每个q，如果Ri=Hri（或Ri- 国际扶轮社-1=0）具有统计意义，该范围是一个合格的缩放范围。那么，w idestqualified scaling range就是最佳缩放范围。我们注意到，Ri本质上等价于局部导数ln Ri/ln（si-1/si）。Li等人通过移除局部导数远离平均值的点来确定标度范围e【587】。Du等人提出了一种关于局部导数的穷举方法，其中定性标度范围应确保导数与对数标度之间的相关系数大于0.99【588】。在所有合格的标度范围中，选择导数方差最小的标度范围作为最佳标度范围。Ji等人通过结合K-means算法和apoint斜率误差算法开发了一种算法【589】。此外，我们还可以在局部导数时间序列中进行曲线性测试，如参考文献[575]所示。Zhou等人建议考虑二阶导数，因为它们在escaling Range[590]范围内应该为零或接近零，这让人想起测试Ri- 国际扶轮社-自相似Ratio方法中的1=0【586】。

该方法使用模拟退火遗传模糊C均值聚类算法将数据分为三组：正函数、零函数和零二阶导数水平线周围的负函数。同样，也可以采用为ln F（s）及其一阶或二阶导数开发的其他识别方法，以开发基于二阶导数的新缩放范围识别方法。一个相关但需要考虑的问题是估计指数[591]的准确性，在确定标度范围e.5.1.5的过程中也应考虑到这一点。积分矩和阶乘矩对于许多时间序列可能会出现一个严重的问题，即矩对时间尺度d的标度依赖性偏离了渐近行为。当时间序列不够长时，这种情况通常与最终尺寸效应同时发生【592】。此外，由于中心极限理论所描述的自相关和非渐近收敛的影响，连续过程的离散化也会导致偏离渐近行为【372】。为了克服在测量金融时间序列的一般Hurst指数时的这些困难，Buonocore、Aste和Di Matteo引入了一种基于结构函数的综合估计方法[372]。理论上，对于单分形或多重分形过程，结构函数K（q，s）相对于式（56）中表示的时间尺度s的比例可以重写为ln K（q，s）=ζ（q）ln s+A，（328），其中lnk（q，s）是因变量，lns是自变量，A和ζ（q）和d A是要估计的模型参数。当应用于实数据时，等式。

（328）仅渐近成立，且相关函数g（lns）应为常数，即lnk（q，s）=g（lns）+ζ（q）lns+b，（329）假设z∞g（lns）d lns=c（330），积分E q.（329），得到z∞ln^K（q，s）d ln s=ζ（q）（ln s）+b ln s+c，（331），其中^K（q，s）是从不同时间尺度的实时时间序列经验计算的。估算过程如下【372】。对于each q，我们确定自相关长度smax，对s的经验ln^K（q，s）进行积分∈ [1，smax]，并通过式（330）中定义的c（s）的行为确定Sminb。取中间值[smin，smax]作为标度范围，我们可以确定标度范围内的标度指数。然后检查校正函数g（lns）是否收敛到0，其积分是否收敛到常数。通过估计标度指数ζ（q），我们将抛物线和四次曲线拟合为公式（332）和公式（333），并选择最佳网络以获得ζ（q）的函数形式。对不同的标准ia重复该过程以确定Smax，然后选择具有最佳拟合优度的标准。或者，邱等人提出了基于无偏因子矩的矩估计[593]。p模型的数值分析（他们称之为概率再分配模型）验证了新方法可以从数百个记录中准确提取多重分形行为，并且优于基本配分函数方法、MF-DFA方法和WTMM方法。他们将该方法应用于1995年至2015年上海股市SSEC指数在3年滚动窗口内的日波动率，揭示了多重分形行为的有趣动态。

还发现，1995-1997年和2007-2009年两个包含亚洲危机和最近一次大崩盘的窗口中的分区函数在更广的标度范围内服从相对较好的幂律标度。虽然通过积分d矩的估计方法是基于结构函数法，而基于阶乘矩的估计是基于配分函数法，但这两种方法都很有前景，因为它们与其他多重分形分析方法的关系很简单。剩下的就是检查他们的表现。5.1.6. 假设τ（q）（或ζ（q））和f（α）的形式在一些研究中，研究人员拟合了τ（q）、ζ（q）或f（α）的经验曲线。如果时间序列可以在乘法级联中建模，我们可以使用具有已知多重分形特性的数学模式ls，如第5.5.1节所述。还有其他与任何潜在多重分形机制无关的假设。为了给出标度指数的平滑表示和多重分形度的定量评估，Buonocore等人建议对ζ（q）使用多项式表达式[372594]。二次（或抛物线）表达式为ζ（q）=Bq+- 2B！q（332），只有一个参数B<0，四次多项式表达式为ζ（q）=Dq+Cq+3C8Dq+- 8D- 4C级-3C4D！q（333），只有两个参数C和D<0。这些项的系数满足以下约束条件：ζ（0）=0<=> τ(0) = -1, (334)ζ(1) = 2 <=> τ（1）=0，（335）ζ′（q）<0<=> τ′′（q）<0。（336）多项式的拟合在q范围内进行≥ -1，因为实际周转时间序列通常具有尾部指数tγ>2的胖尾[20，595，596]，因此具有q<- 1不存在。

类似地，ζ（q）的累积量展开表明，在乘法算子[441]或小波导函数[264597]的多重分形框架下，ζ（q）的形式为有限多项式。对于二次表达式，基于式（7）中的勒让德变换，我们得到α（q）=2Bq+（0.5- 2B）和f（q）=Bq+1。紧接着f（α）=（α+2B- 0.5）4B+1。（337）我们可以看到，当q>0.5时，α可以是负的- 2B）/2B，αmin和αmax（当q→ ±∞) 不存在，最有可能的奇点是α=0.5- 2B，f（α）可能为阴性。当q→ ±∞, 如P模型，f（α）的形式可以假定d为[598]f（α）=α- αminα- αmin！γαmax- ααmax- α!γ（338），其中γ、γ、αmin、αmax和α=α（1）是一组表征特定f（α）cu-rve的参数。由于f（α）的几何性质，0<γ，γ<1。结合ddαf（α）| q=1=1和α=f（α），我们得到γα- αmin-γαmax- α=α. （339）因此，f（α）曲线有四个频率参数。也有为f（α）假设的二次和四次函数形式【599600】。如果我们考虑ddαf（α）| q=0=0，则线性项必须消失！5.2. 一些重要属性5.2.1。离散尺度不变性和对数周期icityFractals和多重分形测度具有尺度不变性【124】。标度不变性表征了两个不同标度s下可观测O值与λs之间的关系b：O（s）=κO（λs），（340），其中λ是磁化因子或标度比，dκ是可观测的相应标度因子。连续比率λ导致连续尺度不变性（CSI），其中等式（340）适用于λ的任意正实值。在许多自然、技术和社会系统中，都存在一个特征量表，因此Eq。