连续时间的离散股息支付

我们结合这些不等式得出以下估计，eρtJ（t，x，I；φ）- φ（x）≤ Exhφ（x+u（θα∧ t） +σ| Wθα∧t |）-φ（x）i≤ m级*φ（t）。因此，’vn（t，x）-φ（x）≤ m级*φ（t）。我们继续使用（3.9），它相当于'vn（t，x）=Exhφ（Xt）1{θx≥t} +(R)vn（t-θx，0）1{θx<t}i.从{θx<t}开始，φ（Xxθx∧t） =φ（0），φ（x）- (R)vn（t，x）=φ（x）-Ex[φ（Xxt）1{θx≥t} +(R)vn（t-θx，0）1{θx<t}]=φ（x）-Ex[φ（Xxθx∧t） +（(R)vn（t-θx，0）-φ（0））1{θx<t}]=Ex[（φ（x）- φ（Xxθx∧t） （）+φ(0) - (R)vn（t-θx，0）{θx<t}]。φφx- (R)vnt，x≤ Ex |φx- φXxθx∧t型|≤ m级*φtφ>然后，φ（0）=I（φ）（0）+=I（φ）（0）。回想一下c（ζ）=λf+（1+λp）ζ，λf>0，φ是连续的。因此，存在ζ*>0使得φ（0）=I（φ）（0）=sup{φ（ζ）- c（ζ）：ζ≥ ζ*}. >ζ≥ ζ*φ≤ φζ- cζvn（t-θx，0）≥ 越南-1（t-θx，ζ) -c（ζ). 根据命题3.9，在{θx<t}上我们有φ（0）-vn（t-θx，0）≤ φ(ζ) -越南-1（t-θx，ζ) +  ≤ m（t- θx；ζ*) +  ≤ m（t；ζ*) + .因此，φ（0）- (R)vn（t-θx，0）=eρt（φ（0）-vn（t-θx，0））+（eρt-1)φ(0) ≤ eρTm（t；ζ*) + A（eρt-1).因此，在这两种情况下φ（x）- (R)vn（t，x）≤ m级*φ（t）+[eρTm（t；ζ*) + A（eρt- 1） ]=：bm（t）。提案3.11。存在一个模量m（·），使得SUPN≥1.vn（t，x）-vn（t+h，x）≤ （1+x）~m（h），t型∈ [0，T- h] ，x≥ 0.证明。如前所述，设置“vn（t，x）：=eρtvn（t，x）。越南∈ CTAc公司≥n≤ vnt，x≤ cxλp，λf>vn∈ CTAζ*>再次独立于n，因此对于每个（t，x）∈ Q、 I（vn（t，·）（x）=supζ∈[0,ζ*]vn（t，x+ζ）-c（ζ）。第2步。固定（t，x）∈ Q、 h>0并设置τ：=θx∧ t、 Feynman–Kac公式，适用于安宇≥ tvnu，xExe-ρτvnu-τ、 Xxτutu=t+h，这意味着vn（t，x）-vn（t+h，x）=Ex[e-ρτ（vn（t-τ、 Xxτ）-vn（t+h- τ、 Xxτ））]。将τ=tandτ=θx<tand去掉指数因子，我们得到vn（t，x）-vn（t+h，x）≤ 呼气{θx≥t} +Bn{θx≤t} i，（3.10），其中：=φ（Xxt）-vn（高，Xxt）, Bn：=vn（t-θx，0）-vn（t+h- θx，0）.第3步。让cbe如步骤1所示，并设置c：=ceρT。

然后通过引理3.10，An=[φ（Xxt）- \'\'vn（h，Xxt）]+（eρh- 1） vn（高，Xxt）≤bm（h）+c（1+Xxt）ρh。因此，对于任何t∈ [0，T- h] ，x≥ 0，Ex[An{θx≥t} ]≤ （bm（h）+cρh）P（θx≥ t） +cρh Ex[Xxt{θx≥t} 】。（3.11）步骤4。我们现在为Bn建立一个模界。由于Vn是连续的，~mn（h）：=支持∈[0，T-h] ，x∈[0,ζ*]vn（t，x）-vn（t+h，x）是n的模量≥ 1.然后，对于n>1，考虑到边界条件（3.8），Bn≤ supζ∈[0,ζ*]越南-1（t-θx，ζ）- 越南-1（t+h- θx，ζ）≤ mn-1（h）。我们证明了▄mn由一个模一致有界。首先，存在*>0取决于ζ*这样，对于所有∈[0，T-h] andx∈[0, ζ*] 我们有[Xxt{θx≥t} ]≤ c*P（θx≥ t） 。因此，Ex[An{θx≥t} ]≤ [bm（h）+c（1+c*)ρh]P（θx≥ t） ，则，t型∈ [0，T- h] ，x∈ [0, ζ*].（3.10）和上述两个估计值的组合意味着mn（h）≤ [bm（h）+c（1+c*)ρh]P（θx≥ t） +锰-1（h）（1-P（θx≥ t） （）≤ supλ∈[0,1][bm（h）+c（1+c*)ρh]λ+~mn-1（h）（1-λ） ）=最大{bm（h）+c（1+c*)ρh，~mn-1（h）}，n>1。通过归纳，我们得出结论BN≤ mn（h）≤ 最大{bm（h）+c（1+c*)ρh，~m（h）}=：mB（h），n≥ 1.（3.12）（3.11）ExXxt{θx≥t}≤ cxx公司≥x个≥ 0，Ex[An{θx≥t} ]≤ （bm（h）+cρh）P（θx≥ t） +cρhEx[Xxt{θx≥t} ]≤ （bm（h）+cρh）+cρh[c（1+x）]≤ （bm（h）+c（1+c）ρh）（1+x）=：mA（h）（1+x）。（3.13）将（3.12）和（3.13）插入（3.10），从而产生vn（t，x）-vn（t+h，x）≤ mA（h）（1+x）+mB（h）。现在我们可以完成定理3.6的证明。定理3.6的证明。根据他们的定义，v（t，0）≥0=v（t，0）和v（t，·）=v（t，·）=φvv（3.4）v≥ vv型≥ vQthat vn≥ 越南-1对于某些n≥ 那么，vn+1（t，0）=I（vn（t，·））（0）+≥ I（vn-1（t，·））（0）+=vn（t，0），t∈ [0，T]。vvn+1≥ vnQvnn{vn}非线性连续。然后，{vn}n局部一致收敛到v∈ C（Q）。As{vn}所有（3.4）vv∈ C∞Q{vn}nv∈ CQ公司∩ CTAvnt，x≥ Ivn公司-1t、·xt、x∈ Qvt，x≥ Ivt、·xv以及（3.4）和边界条件允许我们通过标准验证参数证明值函数。

因此，它使序列{vn}局部一致连续。在这个证明的其余部分，我们建立了这个属性。根据命题3.11，vn（t，0）=I（vn-1（t，·））（0）+是一致连续的，即| vn（t，0）-vn（t+h，0）|≤ ~m（h）。固定（t，x）∈ Q、 因为vn（0，0）=φ（0），乘以（3.9），vn（t，h）-vn（t，0）=Eh[e-ρtφ（Xht）1{θh≥t} +e-ρθhvn（t-θh，0）1{θh<t}]-vn（t，0）≤ Eh[（φ（Xhθh∧t）-φ（0））1{θh≥t} +（vn（（t-θh）+，0）-vn（t，0））]≤ Eh[mφ（h+ut+σ| Wt |）1{θh≥t} +μm（θh）]。mh：支持∈[0，T]EhmφhuTσ| Wt |{θh≥t} Ehmθx摩尔，by（3.9），vn（t，x+h）- vn（t，x）=排气-ρt（φ（Xt+h）- φ（0，Xt））1{θx≥t} +e-ρθx（vn（t-θx，h）-vn（t-θx，0））1{θx<t}i≤ mφ（h）+m（h）。{vn}不连续。uC1,2Q∩ CQ公司∩ CTAδ>在δ邻域[0，T]×{0}中，它认为u<λf。因此，最大化子ζ*·∈ arg最大ζ≥0u（·，y）-u（·，0）- λf- （1+λp）y{y>0}I*ζ*ττI*≥ δI*圆周率*然后证明u是值函数。3.4数值结果d（3.3）L（3.2）更多工作。蒙特卡罗模拟的Lmeans。这对于没有差异的现金流流程尤其方便，如Cramér–Lundberg模型。原因是为了评估（3.2）中的指标函数，只需在跳跃时进行破产测试。另一方面，在差异模型中，这必须通过增加更小的时间步来估计。（3.4）（3.6）（3.8）时间点，在上边界的任何额外现金流都作为分割支付，随着计算域的选择越来越大，因此越来越不可能-ρ（T-t） 条件vx（x，t）=e-ρ（T-t） 因此是一个很好的近似值。使用计算运算符和L的方法，我们可以继续迭代应用于任意初始函数。我们在本节中选择的计算参数来自[]，如图1所示。

出于我们的目的，我们认为所有参数都是所谓监管风险加权资产的一部分。结果给人的印象是损失相对较小。请注意，对于较大的x值，绝对损耗保持不变，因此相对损耗随着值函数的几乎增加而衰减。虽然价值函数的变化不是很大，但股息界限移动很大，在图1中减少了14%（略高于0.005个单位）。然而，我们注意到，由于需要保留现金流，只有一半多一点的预期现金流是提前支付的。股息离散化的一个重要方面是，在离散问题中使用连续时间最优股息阈值会导致进一步的损失，因为它是离散模型。对于图中的参数，我们观察到使用错误的保单会使损失增加0.8个百分点多一点。(R)xcuσ在所考虑的范围内，最优策略发生了重大转变。在图3中，我们解决了不同ofT值的问题。这是唯一一个不提供支付的参数，但股息策略仍有很大不同。0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5·10-20.050.10.150.20.25“xd”xc连续股息支付离散股息支付：V（x）离散支付，连续策略1.21.41.61.82.2·10-2损失，最优离散策略（%）损失，连续策略（%）图1：无股票发行的价值函数和股利政策。左轴是离散模型中的值函数（蓝色，虚线），实体图，以及使用最佳连续策略continuous strategy（次优）获得的值。现金流由ct=ut+σwt和参数值ρ给出。Tσ。u.“xd”xc分别是离散模型和连续模型中的股息壁垒。

这种差异对应于离散模型中储量降低14%。0.5 11.5 2·10-2.-19-18-17-16-15-14-13u策略变更（%）：(R)xd-\'xc\'xc1.151.21.251.31.351.4损失（%）0.5 1 1.5 2·10-2.-19-18-17-16-15-14-13σ策略变化（%）：(R)xd-\'xc\'xc1.151.21.251.31.351.41.45损失（%）图2：未发布的参数u和σ的影响。离散的一个。损失在连续问题的最优红利屏障下进行评估。固定参数与图1.0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2相同-20-18-16-14-12t策略变更（%）：(R)xd-\'xc\'xc1.52.5损失（%）图3：未发布的参数T的影响。衡量连续分红策略与离散固定参数之间的相对距离，如图1.2.5·10所示-20.50.240.260.28xt0 2.5 5·10-20.20.40.60.8XT图4：价值函数vx、twith发行和t的最佳发行目标的曲面图∈,.X且发行目标显示为表面上的白线。发行成本为λp=0，λf=0.0025，其余参数如图1所示。发行成本独立于TANDX，仅在边界处发行。注意λpcase大约为0.0125。我们观察到，随着时间的推移，已发行股票的规模随着其初始价值的增加而增长。4具有随机稳定性的离散股息，而不是第3.4节中考虑的常数漂移，可以考虑漂移thedCt=utdt+σdwt依赖于某些稳定性过程（ut）t≥0、净现金储备X=（Xt）t≥0取决于初始现金储备x≥0，初始稳定性u∈ Rand控制过程（I，L）。在滥用符号的情况下，我们使用ν=（x，u，L，I）来表示这些依赖关系，而xνt=x+Cut- Lt+It，Cuu=Ztuudu+σWt.LetF=（Ft）t≥0是由（Cu，u）生成的过滤。

我们再次限制股息≤ 四十、 It部门-θν=inf{t>0：Xνt<0}。与之前一样，公司的目标是使dividendsVx的贴现价值最大化，uJν的主要差异是对初始可行性的依赖。4.1周期和数值收敛LDTEXTOSPOSION，我们在不发行股票的情况下给出结果。特别是，我们没有证明这类普适可测函数。我们对cu和（ut）t进行以下假设≥0并且它确保了随机性的效果表现良好。特别是，它限制了稳定过程的过快增长。假设4.1。存在α：R→ [1, ∞) 因此，对于所有u，我们有1。Ex，u[（x+CuT-)+] ≤ x+Aα（u），对于一些A≥ 0;2、Ex，u[α（uT-)] ≤ eρT/2α（u）。现在我们可以给出以下结果。λP超额发行可以通过无成本支付股息来实现。在这些点上，我们认为OptimalIssuation目标是最小的优化器。定理4.2。存在一个度量空间（Xα，dα），使得算子映射到自身中，并且是一个严格收缩。

此外，值函数是T的唯一固定点。证据函数：Xα：=nx≤ φ（x，u）≤ x+Aφα（u）对于某些Aφw，其度量单位为dα（φ，ψ）：=supx≥0,u∈R |φ（x，u）-ψ（x，u）|α（u）。注意，这意味着|φ（x，u）- ψ（x，u）|≤ dα（φ，ψ）α（u）。那么，对于φ∈ Xα，eρTLφ（X，u）≤ Ex，u[（XT-+ Aφα（uT-))1{θ≥T}]≤ Ex，u[（x+CuT-)+] + AφEx，u[α（uT-)]≤ x+Aα（u）+eρT/2Aφα（u）≤ x+α（u）。因此，Tφ（x，u）≤ x+e-ρTAα（u），so Tφ∈ Xα。ttdα，| Tφ（x，u）的构造- Tψ（x，u）|≤ e-ρTEx，u[dα（φ，ψ）α（uT-)]≤ e-ρTeρT/2dα（ψ，φ）α（u）≤ e-ρT/2dα（φ，ψ）α（u）。dαTφ，Tψ≤ e-ρT/2dαφ，ψT合同。关于值函数的陈述的证明与定理3.4的证明完全相同。备注4.3。CutRtusdsσWtuOrnstein–Uhlenbeck过程Sut=k（(R)u-ut）dt+￠σd￠Wt，k￠σOrnstein–Uhlenbeck工艺，用于t∈ [0，1]我们有Ex，u[（ut）+]=Ex，uue-kt+(R)u（1- e-kt）+σ√2ke-ktWe2kt-1!+≤ u++ u +~σ√2kEx，u支持∈[0，e2k-1] 重量= u++(R)u+σse2k- 1kπ。因此，α（u）=u++A满足假设4.1中anyA的第二个条件≥u+σqe2k-1kπeρT/2- 1.∨ 1、然而，该估计值也适用于第一种情况，因为Ceex，u“x+Zutdt+σWt+#≤ x++ZEx，u[（ut）+]dt+σrπ。因此，我们得出结论，对于Cu和u的选择，满足假设4.1的条件。4.2数值结果假设动态规划原理成立，则值函数solvesmin(-(t+A- ρ） v（t，x，u），v（t，x，u）- supi公司≥0（v（t，x+i，u）- （1+λp）i-λf））=0，（4.1），边界条件v（t，0，u）=0，即v（t，0，u）=max{0(t+A+1-ρ） v（t，0，u），supi≥0（v（t，i，u）-（1+λp）i-λf}。（4.2）与一维情况一样，我们将使用此PDE公式进行问题的数值求解。dCututdtσdWtuvxe-ρ（T-t） X维度的上边界。

在u维中，边界条件也有u-0.5 0 0.5 10.51.5ux-1.-0.5 0 0.5 10.51.5uX图5：（4.1）–（4.2）（黑线）的状态空间和自由边界。左面板无股权发行，右面板有股权发行。介于nutRtusdsσWtdutk？u之间- utdt￠σd￠Wtλf.λp.ρ。Tσ。k、 u。~σ.Cov（重量，~Wt）=0。有更好的选择，但我们预计由于theOrnstein-Uhlenbeck过程在边界处的强烈向内漂移，其影响相对较小。对于有无股权发行的模型，可以看到股息边界一维设置：当准备金在分割时高于该边界时，以及当准备金位于该线以下时，可以看到股息边界。由于新的州仍将位于该线以下，因此必须支付股息，直到准备金达到零。对这一点的解释是，每当储量下降到线以下时，公司就会进行清算。我们将这些线称为可变现性极低的线，无论准备金如何，清算都是最优的。汇聚结果与忽略u-边界处的扩散一致。事实上，忽略下边界的扩散和上边界的镜像，似乎可以在不影响自由边界的情况下使最小的域保持稳定，即在选择较大的域时保持稳定性。-0.5 0 0.5 10.51.5ux-1.-0.5 0 0.5 10.51.5ux23.62图6：离散股息相对于连续支付股息的相对损失热图。左侧面板无发行，右侧面板有发行。刻度以百分比表示。参数如图5所示。白色曲线构成离散问题的股息/清算边界。进展另一方面，清算边界向上/向内移动，以获得更高的盈利能力，从而降低了今天不清算的价值。

在两个连续值中。图6显示了状态空间中各个点的离散股息相对于连续股息的相对损失。离散解的损失在清算边界附近达到峰值。在这些情况下，不发行股票的损失接近25%，而在股票发行的模型中，我们发现离散股息支付的损失相对较小。显示域中所有点的平均损失小于0.8%。5结论性意见股息离散化程度相对较低。我们观察到，对于其他参数选择，也存在同样的、相对较小的损失，并认为这延伸到了最合理的股息，损失尤其小。如果目标是确定现金流的价值函数/价值，则整体小额损失为使用连续模型作为替代品提供了依据。另一方面，第4节中提出的更丰富的模型描绘了另一幅画面。对企业价值的强烈影响。因此，传统的连续建模是否为分段建模必须根据具体情况进行。如图1所示，损失可能会进一步影响性能损失。参考文献【1】经济学，51:93–1012014。[2] 应用，第25-60页。Springer，2017年。[3] Hansj"org Albrecher和Stefan Thonhauser。保险红利问题的最优性结果。RACSAM Revista de la Real Academy de Ciencias Exactas，Fisicas ynnaturales。意甲选手Matematicas，103（2）：295–3202009。[4] 统计科学与应用概率；v、 14）。《世界科学》，2010年。[5] 本杰明·阿万齐和伯纳德·王。关于布朗运动下的均值回复红利策略。《保险：数学与经济学》，51（2）：229–2382012。[6] Benjamin Avanzi、Vincent Tu和Bernard Wong。关于optimalASTIN公告之间的接口：IAA杂志，46（3）：709–7462016。[7] arXiv:1705.029222017。[8] 理查德·贝尔曼。

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