连续时间的离散股息支付

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英文标题：
《Discrete dividend payments in continuous time》
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作者：
Jussi Keppo and Max Reppen and H. Mete Soner
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We propose a model in which dividend payments occur at regular, deterministic intervals in an otherwise continuous model. This contrasts traditional models where either the payment of continuous dividends is controlled or the dynamics are given by discrete time processes. Moreover, between two dividend payments, the structure allows for other types of control; we consider the possibility of equity issuance at any point in time. The value is characterized as the fixed point of an optimal control problem with periodic initial and terminal conditions. We prove the regularity and uniqueness of the corresponding dynamic programming equation, and the convergence of an efficient numerical algorithm that we use to study the problem. The model enables us to find the loss caused by infrequent dividend payments. We show that under realistic parameter values this loss varies from around 1% to 24% depending on the state of the system, and that using the optimal policy from the continuous problem further increases the loss.
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中文摘要：
我们提出了一个模型，在该模型中，股息支付在其他连续模型中以固定的、确定性的间隔发生。这与传统模型不同，传统模型要么控制连续股息的支付，要么通过离散时间过程给出动态。此外，在两次股息支付之间，结构允许其他类型的控制；我们考虑在任何时候发行股票的可能性。该值被描述为具有周期性初始和终端条件的最优控制问题的不动点。我们证明了相应的动态规划方程的正则性和唯一性，以及用于研究该问题的有效数值算法的收敛性。该模型使我们能够发现不经常支付股息所造成的损失。我们表明，在实际参数值下，根据系统的状态，这种损失在1%到24%之间变化，并且使用连续问题的最优策略进一步增加了损失。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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关键词：连续时间 Mathematical Quantitative Optimization mathematica

连续时间的离散股息支付Jussi Keppo*A、 Max Reppen+§H.Mete Soner§2019年7月24日其他连续模型中的平均间隔。这与传统模型不同，传统模型要么控制连续股息的支付，要么通过离散时间过程给出动态。此外，在两次股息支付之间，结构允许其他类型的控制；我们考虑在任何具有周期性初始和终止条件的问题上发行股票的可能性。我们证明了相应的动态规划方程的正则性和唯一性，其收敛性使我们能够发现由于不经常支付股息而造成的损失。我们表明，在实际参数值下，这种损失在1%到24%之间变化，这取决于系统的状态，并且使用连续问题的最优策略进一步增加了损失。1引言Nomena仅以离散的间隔出现。在资产交易模型中，这些时间间隔通常很短，足以证明连续时间模型的合理性。然而，其他类型的事件发生在更大的时间尺度上，因此削弱了股息频率持续时间变化的基础，股息频率通常从每月到每年不等，远低于大型交易所的交易频率。*新加坡，电子邮件：keppo@nus.edu.sg.部分由运营研究与分析研究所（新加坡国立大学）拨款WBS-R-726-000-009-646支持。+美国新泽西州普林斯顿大学ORFE系，邮编：08544，电子邮件：areppen@princeton.edu.Supported由瑞士国家科学基金会拨款181815瑞士法郎金融研究所，电子邮箱：mete。soner@math.ethz.ch.§部分由ETH基金会、瑞士金融研究所和瑞士国家基金会资助SNF 200020\\U 172815。arXiv:1805.05077v2【数学OC】2019年7月22日预先确定的离散时间点。

这让人想起了一些模型，在这些模型中，分期付款时间是离散和随机的，如[]所示，但在随机和预先确定的模型中，数学结构明显不同。此外，可在任何时间点发行特殊权益。虽然我们选择的连续时间控制是股票发行，但同样的方法也可以用于其他类型的决策和模型，例如资本投资。尽管如此，手头的模型并不是系统的状态。杠杆式交易所买卖基金（杠杆式ETF或LETF）。LETF的目标是在一定的时间尺度上跟踪某些指数的回报率，通常是每天通过预先确定的股票发行，而“监控”起着股息支付的作用（尽管未受到积极控制）。具有固定点结构的PDE。要从数字上找到解决方案，需要迭代分红/监控。在我们的模型中，我们不会以其他方式对其差异模型进行任何特定假设，参见[12，14]。与当前储量成比例或成函数，参见[，]。尽管我们不这样做。股息模型和收敛结果是一个多维模型，其精神是[]，但这里是离散股息支付。

数值研究的价值和提供了我们的发现总结以及我们的解释和结论。2一般结构股息问题。我们考虑一种特定类型的有限时域（可能是奇异的）随机最优正则等距区间，涉及奇异动作和/或监控或奇异连续和离散时间控制问题。简单起见，我们将通过增量运算符来表示这些组件，增量运算符表示确定跨这些时间区域的解的方程。特别是，我们考虑了两个代表连续控制αβXα、βXα、βtt的控制α和β≥0β考虑两种类型的成本结构：Fαt=F（αt，Xα，βt）的累积（未折现）GβtGβt，Xα，βt-αt混凝土时间点。利用这个结构，我们可以把控制问题写成asV（x）=supα，βEx“Z∞e-ρtdFαt+∞Xn=0e-ρnGβn#，Exstarts atx（在激活任何控件之前），上确界位于某组可容许控件之上，ρ是贴现率。要继续，我们需要离散时间动态∈ T N{，T，T，…}Bertsekas和Shreve[9]建立了可衡量的标准。X‘增量’操作符定义良好。首先，连续算子由lφ（x）=supαEx“ZTe给出-ρtdFαt+e-ρTφ（Xα，0T-)#.其次，离散算子由dφ（x）=supβ给出φ（x+β）+G（β，x）.除息的o 五十： X个→ 特大号o D： X个→ 文本：Do LVVVT VTX、dTV∈ XTfunction是固定点，limn→∞（D）o 五十） 每φnφ=V∈ 十、 在本文的其余部分，我们将展示如何为这两个最优红利问题选择X和D。3有资本注入的离散股息支付本节专门讨论固定点股东在离散的预定时间间隔内持有的最优股息问题。公司也可以选择在任何时间发行股票。3.1问题股息可在T、T、…时从这些储备金中定期支付。

.直到股息的时间价值扣除注资后。，PFFtt公司≥0WxLLtt≥0IItt≥0请注意，这些合成中的第一个运算符可能映射到中间空间。实际上，这就是所谓的值迭代[8]。假设（L，I）是RCLL（右连续，左极限），并适应toF。然后，净现金储备Xν：=（Xνt）t≥0由Xνt得出：=X+Ct- Lt+It，Ct=ut+σWt，其中ν=（x，L，I）表示对这些过程的依赖性，给定正常数σuσuxνRCLL，初始条件解释为xν0-= x、 同样，我们也认为-= I0-= 股息从储备金中定期支付，时间为T，T。直到破产时，θν：=inf{t>0：Xνt<0}。公司在破产后关闭其业务，因此所有可接受的股息和发行LTITT>θνYYt:Yt- 年初至今-强加条件书信电报≤ Xνt-, 对于allt≥0、特别是as（Ct）t≥0是连续的，Xνθν=0。此外，每一次非零发行都会产生固定成本，因此，在一段时间内最多可以有很多这样的行动。因此，对于可容许问题i{t≥:它是满足这些可容许的要求，并且是所有可容许过程的集合。该公司的目标是最大化股息的贴现价值，扣除资本注入。我们按照[]对股票发行成本进行建模，在给定贴现率ρ>λf>λp>下，企业价值由v（x）给出：=sup（L，I）∈AxJ（ν），J（ν）：=Ex∞Xn=0e-ρnT书信电报-Xt公司≥0e-ρtc(It）,其中，与前面一样，ν=（x，L，I）和c（ζ）：=（λf+（1+λp）ζ）{ζ>0}，Ex表示期望xν0-X在【11】中进行了计算，随后在【1、17】中进行了进一步研究。备注3.1。λpis的严格正性仅在下面的证明引理3.11中使用，以表明任何发行都必然有界。

因此，我们的证明也适用于λp=0的模型，但发行规模受给定常数的限制。λp选择假设λp>0.3.2φ：R的不动点结构≥0→ R≥0和x≥ 0，集合I（φ）（x）：=supζ>0φ（x+ζ）-c（ζ）.定义3.2。定义以下空间。oLetbCAbe所有连续、非递减函数的集合φ：R≥0→ R≥0满足（I（φ）（x））+≤ φ（x）≤ x+A和φ（0）=I（φ）（0）∨ 0=：（I（φ）（0））+。（3.1）oCAφ∈bCAДx：φx- xAR公司≥0φ ∈ 在R上呈尾状连续≥0和x≤ φ（x）≤ x+A。按照第2节中所述的程序，定义L、D、T onbCAbyLφ（x）：=supI∈bAxEx公司-X0≤s<Te-ρsc(Is）+e-ρTφ（XαT）1{T<θα}, （3.2）Dφ（x）：=sup0≤`≤x（φ（x-`) + `), （3.3）式中，对于α=（x，I），xα：=x（x，0，I），θα=θ（x，0，I），andI∈BAX提供了（0，I）∈ Ax。设置T：=Do 五十、 cφ∈bCAD（c+φ）（x）=c+Dφ（x）和L（c+φ）（x）≤ e-ρTc+Lφ（x）。定理3.3。A.≥D： bCA公司→ CAA公司*>因此，对于每个≥ A.*, 五十： 加利福尼亚州→BCA和T:CA→ CAI是一个严格的收缩。证据修复A≥ 0、设置φ*（x） ：=x代表x≥ 0和φ*:= A+φ*.第1步。固定φ∈BCA和ζ≥ 0.自c（ζ）起≥ ζ、 对于任何`∈ [ζ，x+ζ]，φ（x+ζ- `) + ` ≤ φ（x- (` - ζ)) + (` - ζ） +c（ζ）≤ Dφ（x）+c（ζ）。φ ∈bCAφx^ζ≤ φxc^ζx，^ζ≥` ∈, ζset^ζ=ζ- ` 利用这个不等式得到φ（x+ζ- `) + ` ≤ φ（x）+c（ζ- `) + ` ≤ φ（x）+c（ζ）≤ Dφ（x）+c（ζ），` ∈ [0，ζ+x]。上述两个不等式意味着dφ（x+ζ）≤ Dφ（x）+c（ζ），对于每个x，ζ≥0、正弦φ≥Dφ≥ 内径φ+φ∈bCAφIDφ+Dφ（0）=任意φ的φ（0）。因此，Dφ（0）=I（Dφ）（0）+。对于h≥ 0，Dφ（x+h）=sup0≤b类`≤x+h（φ（x+h-b`）+b`）=辅助-h类≤`=b类`-h类≤x（φ（x-`) + `) + h类≥ sup0≤`≤x（φ（x-`) + `) + h=Dφ（x）+h。因此，Dφ（x）-xis单调。

而且，很明显，dφ是连续的，dφ≤ Dφ*=φ*.我们已经证明了D mapsbCAinto CA.x≥我∈bAxθαx，Iτα：θα∧ Tθα≤ TXαταXαθαXαT{T<θα}Xαταζ+～ζ≤ c（ζ+～ζ）≤ c（ζ）+c（|ζ），对于每个ζ，|ζ≥ 0，以及自对于每t>θα，它=0，-X0≤s<Te-ρsc(It）+e-ρTXαT{T<θα}≤ -X0≤s<Te-ρTc(It）+e-ρTXατα≤ -X0≤s<Te-ρTIt+e-ρTXατα=e-ρT[-Iτα+Xατα]=e-ρT[x+Cτα]。这意味着Lφ*（十）≤ Exe文件-ρT[x+Cτα]≤ e-ρT（x+uT）。因此，Lφ*（x） =L（A+φ*)（十）≤ e-ρTA+L（φ*)（十）≤ e-ρT（A+x+uT）≤ e-ρTx+A，前提是-ρT（A+uT）≤ A相当于A≥ A.*:=uT（eρT-1)-1、因此0≤ Lφ（x）≤ e-ρTx+A，每x≥ 0和φ∈ CAA每当A≥ A.*.x个≥ζ>Lφx≥ Lφxζ- cζLφ≥ ILφLφ每φ连续∈ Ca和满意度（3.1）。因此，LmapsCAintobCAfor allA≥ A.*.A.≥ A.*TD公司o 五十： 加利福尼亚州→ CATdφ，Д：supx≥0 |φx- Дx |φ，Д∈ CA，d（φ，Д）≤ A和L（φ，Д）（x）≤ e-ρTd（φ，Д）。因此，supx≥0（Tφ- TИ）（x）≤ supx公司≥0sup0≤`≤xL（φ-^1）（x- `) ≤ e-ρTd（φ-φ).因此，d（T f，T g）≤ e-ρTd（f，g）和T是严格收缩。以下验证结果是价值函数的主要特征。它还提供了一种计算方法，前提是在定理3.6的下一小节中改进了运算符的有效方法。定理3.4（验证）。价值函数V∈ 加利福尼亚州*是T的唯一固定点。证据因为这是一个严格的收缩*, 它有一个唯一的固定点Φ∈ 加利福尼亚州*. L和D的定义意味着Φ（x）=sup（L，I）∈AxEx公司L-X0≤t型≤Te公司-ρtc(是的-ρTΦ（XαT）1{θα>T}.由于Φ是连续的，标准选择定理意味着Φ（x）=sup（L，I）∈AxEx公司L+e-ρT书信电报-X0≤t型≤2Te-ρtc(It）+e-ρTΦ（Xα2T）1{θα>2T}= sup（L，I）∈AxEx公司N-1Xn=0e-ρnTLnT公司-X0≤t型≤（N）-1） Te公司-ρtc(It）+e-ρNTΦ（XαNT）1{θα>NT}.x个≤ aA公司*显示Φ=V。3.3单周期问题≥ A.*φ ∈ CAQ：（0，T）×（0，∞).Lφ具有任意到期日。

所以对于t∈ [0，T]和x≥ 0，我们定义（t，x）：=supI∈^AxJ（t，x，I；φ），J（t，x，I；Д）：=Exh-X0≤u<te-ρuc(Iu）+e-ρtД（Xαt）1{θα≥t} i，其中与前面一样，α=（x，i），xαs=x+us+σWs+Is，θα=inf{s>：xαs<}。很明显，v（T，x）=Lφ（x）。定义3.5。CTAu:Q→ 接收∈ R≥07→ u（t，x）- e-ρtx为非递减且对于每（t，x）∈ Q、 e类-ρtx≤ u（t，x）≤ e-ρt（x+A+ut）。注意，u（t，x）的单调性- e-ρtxis等于xu（t，x）≥ e-ρtin分布意义。定理3.6。对于φ∈ CA，值函数是空间中唯一的函数v∈ C∞（Q）∩C（Q）∩cta满足，ρv（t，x）+(t型- ux个-σxx）v（t，x）=0，（t，x）∈ Q、 （3.4）v（t，0）=（I（v（t，·））（0））+=supζ>0v（t，ζ）- c（ζ）+, t型∈ [0，T]，（3.5）v（0，x）=φ（x），x≥ 0。（3.6）溶液。为了证明极限确实是解决方案，我们首先建立一个数字定义来简化演示。定义3.7。模数（连续性）是一个递增函数m:R≥0→ R≥0，在0处连续，且m（0）=0。φ ∈ 加利福尼亚州≤ Д：φx- x个≤ 因此，AИИφ均匀连续。因此，存在一个模量mφ，例如φx- φy |≤ mφ| x- y | x，y≥|φx- φy |≤ Aevery x，y≥ 0，取mφ≤ A、 为了将来的参考，我们设置*φ（t）：=E[mφ（ut+σ| Wt |），t≥ 0。很明显，m*φ也是一个模量。v（3.4）（3.6）vt，t∈, t随机正则性理论∈ C∞（Q）∩C（Q \\{（0,0）}）。LetXxs：=X（X，0）砂θX：=θ（X，0）。那么，v（t，x）=Exhe-ρtφ（Xxt）1{θx≥t} i，（t，x）∈ Q、 引理3.8。v∈ C∞（Q）∩C（Q \\{（0,0）}）∩每ζ的CTAND*>0，存在amodulus m（·；ζ*) 因此eρtv（t，x）-φ（x）≤ m（t；ζ*), 0≤ t型≤ T、 x个≥ ζ*.尤其是地图t 7→ （I（v（t，·））（0））+在[0，t]上是连续的。证据设置v（t，x）：=eρtv（t，x）。然后，\'vsolvesL\'v（t，x）：=(t型- ux个-σxx）(R)v（t，x）=0，（t，x）∈ Q、 （3.7）重量，x:xAutw（3.7）φ∈ CAw（0，x）≥ φ（x）=v（0，x）。此外，w（t，0）≥0=(R)v（t，0）。然后，根据最大值原理，w≥ ？vQut，x:x（3.7）u，x≤ φx'v（0，x），u（t，0）=0='v（t，0）。

同样根据最大值原理，u≤ “von Q.h>重量，x：”“vt，xh”- ？vt，x- h’wt，’vt，h- 高压- ut，h≥φ ∈ CA'w，xφxh- φx- h类≥w（3.7），我们的结论是≥0 onQ。因此，mapx∈ R≥07→ \'\'v（t，x）-xis增加。第2步。用v表示，|(R)v（t，x）-φ（x）|≤ Ex[|φ（Xxt）-φ（x）| 1{θx≥t} +φ（x）1{θx<t}]≤ Ex【mφ（Xxt- x） 1{θx≥t} ]+φ（x）P（θx<t）。对于任何ζ*> 0，^m（t；ζ*):= supx公司≥ζ*φ（x）P（θx<t）是一个模量。因此，v（t，x）-φ（x）|≤ Ex[mφ（ut+σ| Wt |）]+φ（x）P（θx<t）≤ m级*φ（t）+^m（t；ζ*) =:m（t；ζ*), x个≥ ζ*.作为两个m*φ和^m（·；ζ）*) 是模量，m（·；ζ）也是模量*).第3步。自V（t，x）≤ e-ρt（x+A+ut）和c（ζ）≥ ζ、 对于每个yh>0，存在ζh>使得i（v（t，0））（0）=sup0<ζ≤ζhv（t，ζ）- c（ζ），t型∈ 【h，T】。vh，T×，ζhh>T 7→ I（v（t，·））（0）在（0，t）上是连续的。步骤4。接下来我们证明原点处的连续性。实际上，对于任何t>0和ζ>0，v（t，ζ）≤ Eζ[E-ρtφ（（Xζt）+）]≤ E[φ（ζ+ut+σ| Wt |）]和φ（0）≥ φ（ζ）+c（ζ）。因此，v（t，ζ）- c（ζ）- φ(0) ≤ E[φ（ζ+ut+σ| Wt |）]]-φ(ζ) ≤ E[mφ（ut+σ| Wt |）]=m*φ（t）。Ivt，·supζ>0vt，ζ- cζ≤ φm*φtφ≥得出lim支持的结论↓0（I（v（t，·））（0））+≤ φ(0).第5步。假设φ（0）>0。那么，φ（0）=I（φ）（0）。对于 >0，选择ζ>0，使得φ（0）≤ φ(ζ) -c（ζ) + . 因此，lim inft↓0I（v（t，·））（0）≥ 限制↓0v（t，ζ) -c（ζ) = φ(ζ) -c（ζ) ≥ φ(0) - .上述估计和步骤4意味着limt↓0（I（v（t，·））（0））+=φ（0）。以下结果是迭代过程。提案3.9。n≥越南∈ C∞Q∩ CQ公司∩ CTA抛物线方程（3.4）、终端数据（3.6）和横向边界条件vn（t，0）=（I（vn-1（t，·））（0））+，t∈ [0，T]。（3.8）独特的解决方案满足vn（t，x）≥ I（vn-1（t，·））（x）和表示vn（t，x）=Exhe-ρtφ（Xt）1{θx≥t} +e-ρθxvn（t-θx，0）1{θx<t}i，n=0，1。（3.9）此外，对于每个ζ*> 0，存在模量m（·；ζ*) 这样的话≥0supx≥ζ*eρtvn（t，x）-φ（x）≤ m（t；ζ*), t型∈ [0，T]。证据

我们分几个步骤完成证明。Ivt，·+正则性理论，存在一个独特的函数V∈ C∞（Q）∩C（Q）在引理3.8证明的步骤1中求解抛物线（3.4）（3.6）vt，Ivt，·+（3.9）nvAs，setw（t，x）：=x+A+ut。然后，对于每ζ>0，v（t，ζ）- c（ζ）≤ e-ρt（ζ+A+ut）-c（ζ）≤ e-ρt（A+ut）。vt、Ivt、+≤ e-ρtwt，引理3.8，证明v∈ CTA。n≥越南∈ C∞Q∩ CQ公司∩ CTA（3.9）n | eρtvnt，- φx |≤ xAuTt∈, 德克萨斯州≥ ζ*,|eρtvn（t，x）-φ（x）|≤ Ex[mφ（ut+σ| Wt |）]+supx≥ζ*（x+A+uT）P（θx<T）≤ m级*φ（t）+supx≥ζ*（x+A+uT）P（θx<T）=：m（T；ζ*).很明显，m（·；ζ*) 是一个模量。第3步。我们遵循引理3.8 mutadis mutandis的步骤3、4和5来证明（I（vn（t，·））（0））+在[0，t]上是连续的。vn+1∈ C∞Q∩ n+1的CQ（3.4）（3.6）（3.8）（3.9）遵循规律。ζ>ut，x:vn-1t，xζ- cζu·≤ φvn，·u·，≤ vn·，u（3.4）u≤ vnQζ>Ivn-1t，·x≤ vnt，xv∈ CTAvn+1∈ CTA通过归纳法完成此命题的证明。让我们来看看allI的集合∈^ax的发行量最多。因为VNIS平滑且VNT，x≥ Ivn公司-1t，·x表示vn，vn（t，x）=supI∈^AnxJ（t，x，I；φ）。引理3.10。存在一个ModulesBM，用于s∈ [0，T]，支持≥1.eρtvn（t，x）-φ（x）≤bm（t），（t，x）∈ Q、 证明。设置'vn（t，x）：=eρtvn（t，x）。修正∈[0，T]，x≥在{θα<t}上，Xαθα=0和Φ（0）≥因此，φ（Xαt）{θα≥t}≤φXαθα∧teρtJt，x，Iφ≤ 前任-P0≤u<teρ（t-u） cIuφXαθα∧t加法和正数，X0≤u<teρ（t-u） c类(国际单位）≥X0≤u<tc(国际单位）≥ c（X0≤u<tIu）=c（Iθα∧t） 。此外，因为φ≥ I（φ），φ（Xαθα∧t）-c（Iθα∧t）≤ φ（（Xαθα∧t型- Iθα∧t） +）≤ φ（x+u（θα∧ t） +σ| Wθα∧t |）。回想一下thatm*φ（t）：=E[mφ（ut+σ| Wt |）]。